面积定值问题（学生版）-2024年中考数学二次函数压轴题

专题04面积定值问题

一、知识导航

二、典例精析

如图，抛物线y=-d+2x+3与无轴交于A、B两点、(点A在点8左侧)，与y轴交于点C,连接BC,抛物

线在线段2C上方部分取一点P,连接尸8、PC,若△P2C面积为3,求点P坐标.

思路1：铅垂法列方程解.

根据8、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3,

设点P坐标为^m,—m2+2〃z+3),

过点P作PQy_x轴交于点。，

则点Q坐标为(m,-m+3),

PQ=加？+2m+3)—(一〃？+3)|=|—m2+3m|,

2

SPBC=—x3x|—m+3词=3,

分类讨论去绝对值解方程即可得相的值.

思路2:构造等积变形

同底等高三角形面积相等.

取8C作水平宽可知水平宽为3,根据△PBC面积为3,

可知铅垂高为2,

在y轴上取点。使得CQ=2,过点。作BC的平行线,

交点即为满足条件的P点.

当点。坐标为(0,5)时，解析式为：y=-x+5,

耳夫五方:—厂+2x+3=—x+5,解即可.

当点。坐标为(0,1)时，解析式为：y=-x+\,

联立方程：-X2+2X+3=-X+1,解之即可.

在平面直角坐标系中，直线y=尤+2与x轴交于点A,与y轴交于点3,抛物线y-ax2+bx+c(。＜0)经过

点A、B.

(1)求a、6满足的关系式及c的值.

(2)如图，当。=-1时，在抛物线上是否存在点P,使的面积为1?若存在，请求出符合条件的所

有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),

代入解析式可得：c=2,4a-2b+2=0

(2)考虑A、8水平距离为2,△B48的面积为1,故对应的铅垂高为1.

当。二-1时，可得b=-l,抛物线解析式为y=-N-x+2.

取点C(0,3)作A5的平行线，其解析式为：产X+3,

联立方程-%2_1+2=%+3,解得X=-1,故点《坐标为(-1,2)

取点。(0,1)作A3的平行线，其解析式为：y=x+l,

联立方程-12-%+2=%+1,解得X]=—1+,%2=—1—.

三、中考真题演练

1.(2023•浙江湖州•中考真题)如图1,在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=Y-4x+c的图象与y轴的

交点坐标为(0,5),图象的顶点为矩形ABCD的顶点。与原点。重合，顶点A,C分别在x轴，y轴上,

(2)如图2,将矩形ABC。沿无轴正方向平移f个单位(0</<3)得到对应的矩形AB'C'D.已知边C'。'，A!B'

分别与函数y=--4x+c的图象交于点P,Q,连接尸2,过点尸作PGLAF于点G.

①当r=2时，求QG的长；

②当点G与点。不重合时，是否存在这样的f,使得△2质的面积为1?若存在，求出此时f的值；若不存

在，请说明理由.

2.（2023・四川甘孜•中考真题）已知抛物线y=/+Zzx+c与X轴相交于A（-I,o）,8两点，与y轴相交于点

C（0,-3）.

（2*为第一象限抛物线上一点，PBC的面积与，AfiC的面积相等，求直线AP的解析式;

3.（2023•内蒙古呼和浩特.中考真题）探究函数y=-2讨+4国的图象和性质，探究过程如下:

请画出该函数图象的另一部分.观察图象，写出该函数的一条性质;

⑵点P是函数、=-2|城+4kl图象上的一动点，点4（2,0）,点8（-2,0）,当/皿=3时，请直接写出所有

满足条件的点尸的坐标；

4.（2023・辽宁盘锦・中考真题）如图，抛物线>=加+法+3与x轴交于点A（-l,0）,*3,0）,与，轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式.

（3）如图2,点E是第一象限内一点，连接AE交V轴于点D,AE的延长线交抛物线于点P,点b在线段CO

上，且CV=OD,连接E4FE,BE,BP,若名人氏=，求面积.

5.（2023・湖南・中考真题）如图，二次函数y=x2+6x+c的图象与x轴交于A,8两点，与V轴交于C点,

其中8（1，。），。（0,3）.

⑴求这个二次函数的表达式；

⑵在二次函数图象上是否存在点P,使得&MC=SAABC?若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理

由；

6.（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与探究

如图，抛物线，=-/+法+。上的点A,C坐标分别为（0,2）,（4,0）,抛物线与x轴负半轴交于点8,点/

为y轴负半轴上一点，且OM=2,连接AC,CM.

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式;

(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP,CP,当时，求点P的坐标;

7.(2023・四川泸州・中考真题)如图，在平面直角坐标系尤0Y中，已知抛物线、=依2+2》+。与坐标轴分另(!

相交于点A,B,C(0,6)三点，其对称轴为x=2.

⑴求该抛物线的解析式；

(2)点尸是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线