辽宁省2024-2025学年高三年级上册10月联考数学教学质量检测试卷（含解析）

辽宁省2024-2025学年高三上学期10月联考数学教学质量

检测试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答

题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

八八人幺=周|2_司<1]B-[x\a<x<a+3).N<x<5)n.n

i.已知集合1111>,5兀若一兀则。一()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合A,再根据并集得出参数的值.

【详解】因为2=(1,3),2。8=(1,5),又因为8=(a,a+3),

所以。+3=5,即a=2.

故选：C.

2.如图，在V45c中，点D是BC边的中点，AD=3GD)则用向量方，k表示数为()

BDC

mm2^11111:1LUUiULD2^

A.BG=——AB+-ACB.BG=——AB+-AC

3333

tun201111UL®uun21X111UL®

C.BG=—AB——ACD.BG^-AB+-AC

3333

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的线性运算求解即可.

__.2__-

【详解】AD=3GD，故=

则瑟=成+*=函+2诙=函+2*1（益+宿=二次

332、/33

故选：A

3.在等比数列｛叫中，记其前〃项和为%已知的=-％+2%,则各的值为（）

A.2B,17C.2或8D.2或17

【答案】D

【解析】

【分析】根据等比数列通项公式求得4=1或4=-2,再利用等比数的求和公式求解即可.

【详解】解：由等比数列的通项公式可得%/=—

整理得/+q_2=0,

解得q=1或q=-2.

邑=也=2

当4=1时,

S44al

q(q8_i)

q-i

当q=—2时，|=q4+l=17.

4T/—i

q—i

所以善

的值为2或17.

故选：D.

4.每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为25%,下雨的概率为20%,吹南风

或下雨的概率为35%,则既吹南风又下雨的概率为（）

A.5%B.10%C.15%D.45%

【答案】B

【解析】

【分析】根据概率公式直接得出结论.

【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%+20%-35%=10%.

故选:B

5.若直线/：y=Ax+3-左与曲线c：y=J1二7恰有两个交点，则实数左的取值范围是（）

44343

A.—,+«9B.C.D.

33；2352

【答案】B

【解析】

【分析】先得到直线过定点尸（1,3）,作出直线/与曲线C,由图求出直线/过点幺（-1,0）时的斜率和直线/

与曲线C相切时的斜率即可树形结合得解.

【详解】由＞=依+3-左=左（》一1）+3可知直线/过定点尸（1,3）,

曲线C:y=JI一两边平方得/+/=1（＞20）,

所以曲线C是以（0,0）为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆,

3

当直线/过点2（-1,0）时，直线/与曲线C有两个不同的交点，止匕时0=-k+3-左n左=],

,、\i-k\

当直线/与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0,0）到直线/的距离4=方充=1,两边平方

4

解得左=§，

43

所以结合图形可知直线/与曲线C恰有两个交点，则一〈左＜一.

32

故选：B.

6.已知/(x)=sin|ox+乌+0”0>0,闸(乌为偶函数,g(x)=sin(0X+。），则下列结论不正确的

32

是()

71

A.展不

若g(x)的最小正周期为3兀，则0=g

B.

C.若g(x)在区间(o,7l)上有且仅有3个最值点，则①的取值范围为

D.，则。的最小值为2

【答案】D

【解析】

【分析】先根据/(x)是偶函数求。判断A选项；根据最小正周期公式计算可以判断B选项；据有且仅有

3个最值点求范围判断C选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D选项.

【详解】/(x)=singx+'+03>0,忸|<3J为偶函数,

lTTITJTIT

则—(p——Fku,左£Z,|(f\<一.(p=1,A选项正确；

3226

2兀2

若g(x)的最小正周期为3兀，由g(x)=sin(©x+0)则7=——=3兀,「.。=一，B选项正确;

CD3

XG(O,7l),^x+—G(工，/兀+巴)

666

若g(%)在区间(0,兀)上有且仅有3个最值点，

E5兀兀，7兀7,103TH丁也

则<初IH<,—V刃<,C选项正确;

_.7C7171-、717C27r-

则G—十———F27kji或co—+——---F2k7ji,无£Z,

463463

2

则@=—+8左或〃>=2+8左，左wZ,

3

又因为0>o,则。的最小值为2,D选项错误.

3

故选:D.

7.已知(x——的展开式中，常数项为—1280,贝巾=()

A.-2B.2C.-V2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.

【详解】由题意，[x—q]的通项公式为=Q26T(—4)―6一2、

令6—2尸=0,则r=3,

7

令6-2/=-1,则尸=一不符合题意，

2

所以(x—l)[x—的常数项为—C：23(—4)3=—1280,

解得a=-2.

故选：A.

8.已知函数/(x)=log2X-机―+X,若不等式/(x)>0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数加

的取值范围是()

A3+log23^3+log233

"-9—JB.~954

、F3+log233]33+log23

L94)8；-9—)

【答案】C

【解析】

【分析】不等式/(x)>0可化为1<岭妇，利用导数分析函数g(x)=g叱的单调性，作函数

XX

h(x)=mx-l,g(x)=理场的图象，由条件结合图象列不等式求机的取值范围.

X

【详解】函数/(》)=1。82%一鹏2+X的定义域为(0,+(»)，

不等式/(x)>0化为：

X

令〃(x)=〃x-1,g(x)=log2.-xlog,e-log2x

^w=-——三—k^eTog2了，

故函数g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+。)上单调递减.

当x>l时，g(x)>0,当x=l时，g(x)=0,

当0<x<l时，g(x)<0,

当Xf+00时,g(x)f0,当x>0,且x.0时,g(x)-»-00,

画出g(x)及〃(x)的大致图象如下,

10g2X

因为不等式/(x)>0的解集中恰有两个不同的正整数解,

故正整数解为1,2.

W(2)<g⑵

2，解得以火

故<即《*二.

["3"g⑶'logj394

3m-i>一三一

3

故选：C.

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

2

i+i+p+...+i2023

9.已知复数2=—,则下列结论正确的是()

1+i

1-i1-i_l+i

A.z=-----B.z=--C.z=---

222

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用i+i2+i3+j4=0对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共朝复数、复数的模依次判断即

可得出结果.

i,〃=4k+1

—1,〃=4左+2

234

【详解】因为丁=.A.,左£Z,所以i+i+i+i=0，

一1,〃=4上+3

1,”=4左

23423

••2•3•2023505(i+i+i+i)+i+i+ii+p+p_i

1+1+1+…+111.

所以Z=-----------------------------------------F—1，

1+i1+i1+i1+i(l+i)(l-i)22

所以A正确，B错误,

D正确.

故选：ACD

10.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点,

使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当V48C的三个内角均

小于120。时，使得44。8=/80。=/。。4=120°的点0即为费马点；当V45C有一个内角大于或等

于120。时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（）

A,正三角形的的费马点是正三角形的中心

UUULIUUUI

B.若P为V4SC的费马点，且PA+PB+PC=。，则V48c一定为正三角形

C.若V4SC三边长分别为1,6,2,则该三角形的费马点到各顶点距离之和为J7

JT

D.V48C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ZA=-,bc=2,若点P为V48C的费马点，

2

________巧

财PA.PB+PB-PC+PC•PA=―匚•

9

【答案】ABC

【解析】

【分析】对A,根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B,取48的中点。，由

秒+方+定=。可得点尸是V48c的重心，再结合条件可得点尸是V48C的中心，得证；对C,利

用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D,由向量数量积定义，结合费马点

定义和三角形等面积法列式求解.

【详解】对于A,如图。是正三角形48c的中心，根据正三角形的性质易得

ZAOB=ZAOC=ZBOC=120°，所以点。是正三角形48c的费马点，故A正确；

对于B,如图，取48的中点。，则再+而=2而，因为港+方+京=6,

ULA1IULLN

所以尸C=-20。，所以C,P,。三点共线，且点P是V45C的重心，

又点P是YABC的费马点,则NAPB=ZAPC=ZBPC=120°，

则N4PZ)==60°，又AD=BD,易得PA=PB,同理可得PC=P5,

所以尸N=尸8=PC所以点尸是V/5c的外心，所以点尸是V48c的中心，

即V4BC是正三角形.故B正确；

对于C,如图，在Rt^ZBC中，AB=1,8C=G，AC=2,NNC5=30°，

点。是RtZkABC的费马点，将ACCM绕点C顺时针旋转60°，得到△CEQ，

易证ACOE,A/CD是正三角形，

则OC=OE,OA=DE,CD=AC,且点瓦。,瓦。共线，

所以N8CD=90。，所以AD=yjBC2+CD2=J(+22=77-

5iOA+OB+OC=DE+OE+OB=DB=

即该三角形的费马点到各顶点距离之和为近.故c正确;

对于D,由费马点定义可得N4P5=NAPC=NAPC=120°，

设尸Z=x,PB=y,PC=z,x.y.z>0,

可得L广电+Lz.也+1z.也」x2

由S'ABC~S'PAB+‘VPAB+S'PAB'

2-2222-22

整理得xy+yz+xz=，

所以苏.而+方.正+卮.再=++

1/\14-\/32-\/3+6c*jt、口

=—（XV+yz+xz]=—x----=------,故D错厌.

2、'233

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D选项的关键在于利用三角形等面积法求

中4G

出盯+yz+xz=§-

11.在四面体ABCD中，棱AB的长为4,ABLBD,CDVBD,BD=CD=2,若该四面体的体积为

述，则（）

3

7T

A.异面直线AB与CD所成角的大小为一

3

B.AC的长可以为2Jd

C.点D到平面ABC的距离为2叵

7

D.当二面角8C-。是钝角时，其正切值为-指

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sinNCQ£=X上，即可由异面直线的角的定义求解

2

A,根据余弦定理即可求解B,根据等体积法即可求解C,根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解

D.

【详解】在平面45。内过。作。E8,且ED=4B,

由于48LAD,故四边形4aDE为矩形，

CD1BD,DELBD,BD[}DE=C,CDu平面CDS,QEu平面CDS,故AD1平面C£>£,

故VC-ABD=VC-EDA=VB-CDE=-S^CDE'BD=S^CDEX2=~~'

S△LrnDF匕=-2CDDE-sinZCDE=-2x2x4sinZCDE=4sinZCDE

故%ABD=~SrnPx2=-x4sinZCDEx2=—，因此sin/CDE=立，

C-ABD3ACUZI332

由于NC£)£e(O7),所以NCQE=q或整，

7T

由于NCDE为异面直线4B与CD所成角或其补角，故异面直线48与CD所成角的大小为一，A正确，

3

当NCDE=g时，CE=dCD?+DE2—2co.DE.cosNCDE=,+4?—2x2x4xg]=23,

由于8。1平面CDE,AE//BD,；.4E上平面CDE,CEu平面CDE,故Z£，C£,

此时AC="炉+幺炉=4挺

5

当NCQ£=工时，CE7CD2+DE?-2CD-DE-cosNCDE=j2?+4?—2x2x4><L=2百,

3\2

由于8D工平面CDE,4E〃8£),.•.ZE,平面CDE,CEu平面CDE,故NELCE,止匕时

AC=^CE2+AE2=4，故B错误，

由于8C=\lCD2+BD2=2V2,4B=4,

当NC=4夜时，cosABAC=16+31-!-=,故sin/5NC=恒，

2x4x4近88

SARC=-AB-AC-sinZBAC=-x4x4y[2x^-=241,

"BC228

当NC=4时，cosABAC=+=y>故sinN8/C=——

2x4x444

S=-AB-ACsinZBAC=247,

△TAIDRGC2"

4G

故点D到平面ABC的距离为d=~—=己叵=口包,c正确,

1<S.BC7

3Q&ABC

当NC=4时，Z8=ZC=4,CZ)=8Z)=2,取8c中点为0,连接0/,。。,

则ZAOD即为二面角N—8C—。的平面角,

OD=^BC=^CD2+BD2=^2，AO=^AB^OB2=V14

1A+2-(BD2+AD2^14±22=—正＜o,故nn。。为钝角,符合题意，此

所以cosNZOD=

2x714x722xV14xV27

sinZAODrr

时tanNAOD=------------=—V6

cosZAOD

4G

当ZC=4,由于点A到平面BDC的距离为"=丁二一=^-=273

_CS&BDC

33BDC

设A在平面BDC的投影为〃，则AH=2日故HD=^AD2-HA2=2正，HC=y）AC2-AH2=26，

因此点。为以。，。为圆心，以半径为2J5,2亚为半径的圆的交点,

显然交点位于8C,同。的一侧，故此时二面角Z-5C-。为锐角，不符合要求，故D正确,

故选：ACD

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

ab

12.已知a,beR+,4a+6=l,则----的最大值是_________.

a+b

【答案】-

9

【解析】

【分析】先求出工+工的最小值，再将4化为7万，即可求得答案.

aba+b-+7

ab

【详解】因为a/eR+,4〃+6=1,

11(11"7、U64。u。

—+—=—+—(4。+6)=5+—+—>5+2.

ab\ab)'7ab

b4Q11

当且仅当一=丁，结合4a+6=l,即。=:力二彳时等号成立，

ab63

ab11

------=-------<—abI

所以a+b11-9,即一r的最大值是一，

—+ya+b9

ab

故答案为：—

9

13.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的

曲率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多

面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体（四个

TT

面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是一，所以正四面体在每个顶点的曲

3

兀

率为2兀—3x—=兀，故其总曲率为4兀.我们把平面四边形48。外的点尸连接顶点A、B、C、。构

3

成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为.

【答案】4兀

【解析】

【分析】根据曲率的定义求解即可.

【详解】由定义可得多面体的总曲率=2兀x顶点数一各面内角和，

因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，

所以任意四棱锥的总曲率为2兀x5-（兀x4+2兀*1）=4兀.

故答案为：4兀.

22

14.过双曲线4-1（。>01>0）的上焦点与，作其中一条渐近线的垂线，垂足为〃，直线耳〃与

ab~

双曲线的上、下两支分别交于M,N,若彷=3加，则双曲线的离心率e=.

【答案】75

【解析】

【分析】设双曲线右焦点为月，|冏4=/,|N"|=3/,由题意结合双曲线定义可依次求出阳〃|、

|。叫、阳"I、闺N|、EM和接着分别在Rt△片。H、△片和△片N4中结合余弦定理

求出cos/。片M,进而建立等量关系式求出"从而求得6=2。，进而由离心率公式即可得解.

【详解】设双曲线右焦点为鸟，由题片（0,。），双曲线的一条渐近线方程为y=-fx即ax+力=0,

b

।।\bc\\bc\।।

过该渐近线作垂线，则由题闺/==\OF,\=c,

+b~yjc-

^\HM\=t,则由题|NH|=3L阳=闺N|=b+3f,

所以|7^7V|—b-\-3t—2a,=—/+2〃，

市W『+年月12T月w『_伍一）2+（2°y一伍7+2a）2

在中，cosZOF^M=②,

2怛MM可2伍-,）（2c）

忸必+忸g|2-1|2_（/,+3?）2+（2c）2-（b+3t-2a）2

在△片N6中，cosZOF{M=③,

2忸MM可2伍+37）（2c）

（b-tX+（2cY-（b-t+2aYb.ab

由①②得1—1―—一--------乙—9,化简解得/二

2（6-r）（2c）a+b

b

由①③得化简解得/=

2（ZJ+3?）（2C）

故答案为：4s.

【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为月，|〃〃|=八则结合双曲线定义可得Rt△大。〃、

AF'MF2和△片N居的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角NOF］M的余弦

值cos/O^M,从而可建立等量关系式依次求出f和6=2a,进而由离心率公式得解.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

15.设S〃为数列｛4｝的前n项和，满足S“=l—

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）记7；=S；+S；+…+S；,求北.

【答案】（1）an=

【解析】

【分析】（1）应用5“-5恒=4,再结合等比数列定义及通项公式计算即可；

（2）先化简得出S；=l-（g）〃T+（；）",再应用分组求和及等比数列前n项和公式计算.

【小问1详解】

因为数列｛aj的前n项和，满足S〃=l一%,

当〃22时，可得=1—an_x,

a”1

两式相减得a”一〃“，即2Q〃=Q〃T，所以----二5，

an-\幺

令〃=1,可得E=1-q=q,解得q=；,

所以数列｛aj构成首项为:，公比为g的等比数列，

所以｛aj的通项公式为%=|-（1）"-1=（1）".

【小问2详解】

由（1）知%=（］）",可得S"=i—（］）"，

所以出=口-（；）"『=1-2•（1）«+（；产=i-（1r+（5,

2221；山—(；)"]3n-5

]_

贝iK=s；+s；+…+即=。+1+…+i)——一

1--1--33

24

16.如图，正四棱台48co—EFG4■中,EG=2NC=4,〃N上为上下底面中心的连线，且与侧面

6

所成的角的正切值为注.

2

(1)求点A到平面M/G的距离;

(2)求二面角£——G的余弦值.

V6

【答案】(1)

~6~

⑵一:

【解析】

【分析】(1)由题意建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用点面距向量公式，可得答案;

(2)求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.

【小问1详解】

由题意，易知儿取儿以,MB两两垂直，分别以为x,y,2轴建立直角坐标系，如下图:

则幺(1,0,0),M(0,0,0),//(0,-2,1),G(-2,0,1),mW=(0,-2,1),W=(-2,0,1),

n-MH=—2y+z=0

设平面〃HG的法向量为=(x,y,z),则＜_.，令z=2,则x=l,y=l,

n•MG=—2x+z=0

所以平面MfG的一个法向量力=(1,1,2),取疝=(1,0,0),

\MA-n\1痴

点A到平面MHG的距离d=1,,1=,=—.

\n\Vl+1+46

【小问2详解】

由⑴可知E（2,O,1）,2（O,—2,1）,M（O,O,O）,G（_2,O,1）,

取版=（2,2,0）,施=（2,0,1）,丽=（-2,2,0）,标=（-2,0,1）,

m,-HE=2x+2y.=0

设平面E7W的法向量能i=(xi，%,zj,贝卜——."，令X]=—1,贝（1%=1/2=2,

Wj-ME=2x1+2]=0

所以平面£7£攸的一个法向量而=(-1,1,2),

—..、m,-HG=-2x,+2y,=0

设平面HA/G的法向量机2=（》2，%，22），贝M二.一,一，令/=1，则M=1,4=2,

~m2-MG=-2x2+z2=0

所以平面£8G的一个法向量点=(1,1,2),

-^2I—1+1+4|2

设二面角£——G的大小为3,则cos。=1'=

风・用1+1+43

17.某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上

是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行整理，得

到如下的频率分布直方图:

(I)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值三(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);

(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽

车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(〃,b2),其中日近似为样本平均数万，◎近似为样本标

准差S.

(i)利用该正态分布，求尸(250.25<X<399.5)；

(ii)假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续

航里程位于区间(250.25,399.5)的车辆数，求E(Z)；

参考数据：若随机变量自服从正态分布N(〃,b2),则尸(〃一b<J<〃+b)=0.6827,

尸(〃一2b<J<〃+2tr)=0.9545,尸(〃一3b<J<〃+3cr)=0.9973l.

（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛

掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点0出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都工，客

2

户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车

向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59,0）（胜利大本营）或点（60,0）（失败大本营）时，游戏结

束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点（〃,0）的概率为

Pn[i<n<60）,试证明数列优一匕1｝是等比数列（2<«<59）,求出数列｛5｝（1口V60）的通项公

式，并比较人9和累0的大小.

【答案】（1）300(2)(i)0.8186；(ii)16.372

2_j_

36

（3）证明见解析,49>稣0

11

-+-

36

【解析】

【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.

（2）（i）根据正态分布的对称性求得正确答案.

（ii）根据二项分布的知识求得正确答案.

（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得匕，利用差比较法比较巴9和Ko的大小•

【小问1详解】

x~205x0.1+255x0.2+305x0.45+355x0.2+405x0.05=300.

【小问2详解】

0954506827

(i)尸(250.25<X<399.5)=0.6827+---=0.8186.

(ii))服从二项分布5(20,0.8186)E(Z)=20x0.8186=16.372.

【小问3详解】

当3W“459时，Pn+*，尸"-Pnl=一；(巴一1一5—2)，

乙乙I'™I

{5—5_1}(2<〃<59)是以;为首项，―；为公比的等比数列，

々—4i=；,g](2W〃W59).

P2~PX~P2—Qi(2<ZZ<59).

累加得：

Ui/」门

4[2)21(1V111r1Y8

=2^n8=i+6\d'

Pn-P^———.~--(2V〃V59),4

1+136V2J

2

g—gU,1<«<59

:.p—<

."11IM

—H-,77=60

〔36⑴

11f1V81((iY8>|

・••—]于图4-0J>0,二与>取.

注：比较己9和兄。的另一个过程：己9>|-1=-

5，%=i-4<5<4,

X+1

18.已知函数/(X)=「一.

(1)求函数/(x)的极值；

(2)若不等式d/(》)+。111》21恒成立，求实数。的取值范围；

(3)已知直线/是曲线y=/(x)在点«,/«))处的切线，求证：当f>1时，直线/与曲线y=/(x)相交

于点卜,/(§))，其中s<f.

【答案】(1)极大值为1,没有极小值

(2)[-e,0]

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求导，利用导数判断了(x)的单调性和极值;

(2)根据题意可得x+alnx»O恒成立，构建g(x)=x+alnx,x>0,分类讨论。的符号，利用导数求

最值，结合恒成立问题分析求解；

(3)根据导数的几何意义可得当，>1时，方程山+与―厂+'+1=0有小于/的解,构建

exee

A(x)=—+--r+Z+1,其中/>1,利用导数研究函数零点分析证明.

【小问1详解】

由题意可知：/(x)的定义域为R,且/'(%)=三，

e

令/'(X)=0时，x=0,

则X，f(x),/(X)的关系为

X(-°0,o)0(0,+co)

f(x)+0—

/(x)单调递增极大值单调递减

所以，当x=0时，/(X)取到极大值为1,没有极小值.

【小问2详解】

若exf(x)+alnx>l,即x+alnx20恒成立，

设g(x)=x+alnx,x>0,则g<x)=1+@=火工,

xx

①当。=0时，则g(x)=x>0恒成立，符合题意；

②当口〉0时，则g'(x"0,可知g(x)在(0,+8)上单调递增,

因为ge"=e0-1<0,所以x+alnx20不恒成立；

③当a<0时，x,g'(x),g(x)的关系为

X(0,-4)-Q(-a,+“)

g'(x)—0+

g(x)单调递减极小值单调递增

可知g(x)的最小值为g(x)min=—a+aln(-a),则一a+aln(-a)20,

因为。＜0,贝！j1—In(-a)20,解得—efa＜0；

综上所述：实数。的取值范围是卜e,0].

【小问3详解】

因为/(x)=W，/'(x)=三，则/«)=＜，k==

eeee

即切点坐标为切线/斜率为左=g,

可得"的方程为＞一/=9(、一')’即

/+%+1

y=—^+

ee’—x+1tx〃+，+l

联立方程可rZ得B----+—----------=0,

x+1exe'e’

y=­

ex

由题可知：当，＞1时，方程叶1+与一:+'+1=0有小于/的解,

exee

设==1+£—二±|±1,其中x</,/>1且〃(7)=0,则l(x)=g+(,

设E(x)=〃'(x),则

e

因为/>1,X,k(x),F(x)的关系为

X(E)1(M)

尸(X)—0+

-1t

F(x)单调递减一+~'单调递增

ee

可知F(x)的最小值E(x)min=E(l)<E«)=0,且尸(一1)=e+。〉0,

e

可知王oe(-1,1),使E(Xo)=O,

当xe(-e,Xo)时，F(x)>0,即h'(x)>0；

当xe(x()/)时，F(x)<0,即h'(x)<0；

可知h(x)在(一。,玉))内单调递增；在(％/)内单调递减,

可知h(x)的最大值MHmax=〃(%)〉M')=°，且〃(―1)=-<0，

可知h(x)存在小于/的零点，

所以当，>1时，直线/与曲线y=f