截长补短模型-2023年中考数学总复习（全国,含解析）（原卷版）

模块二常见模型专练

专题28截长补短模型

0氟题猾匏

丽（2021年四川广安中考真题）在数学中，我们会用截长补短”的方法来解决几条线

段之间的和差问题.请看这个例题：如图1,在四边形4BCZ）中，ZBAD=ZBCD=9Q°,

AB=AD,若/c=5cm,求四边形45CD的面积.

三角形的性质得＜£=ZC=5,ZEAB^ZCAD,贝［

NEAC=NEAB+ABAC=ADAC+ABAC=ABAD=90°,得

^JMABCD~S7ABe+SyADC~^NABC+$‘研="3C,这样，四边形4BCZ）的面积就转化为等腰直

角三角形及4c面积.

（1万艮据上面的思路，我们可以求得四边形4BCZ）的面积为cm2.

（2汝口图2,在Y43C中,4cB=90。，且4C+BC=4,求线段"?的最小值.

（3波口图3,在平行四边形4BCZ）中，对角线4c与助相交于O,且NBOC=60。；

AC+BD=\G,则4Q是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出4Q的最小值及此时平行

四边形48CZ）的面积.

例2（2021年湖北襄阳中考真题）如图，四边形N6CZ）是eO内正方形，P是圆上一点

（点P与点A,B,C,D不重合），连接P4PB,PC.

（1番点P是弧力D上一点，

①NBPC度数为；

②求证：P4+PC=0P8；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，

请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）.证明：在尸。的延长线上

截取点E.使CE=PZ,连接8E.

（2探究当点P分别在沥，耽,劭上，求P4PB,PC的数量关系，直接写出答案，不

需要证明.

模型截长补短

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一

种思想。截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。

ABCD如图①，若证明线段AB、CDEF之间存在

I_____________________|EF=AB+CD可以考虑截长补短法。

E©F

截长法：如图②，在EF上截取EG=AB再

1_________1_____________\证明

EGFGF=C第可。

O

1_________1,.........................1补短法：如图③，延长AB至H点，使

A6HBH=CD

再证明AH=EF即可。

模型分析

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于已

知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三

角形来完成证明过程。

概述图:

勤曾就硼筑

【变式1】（2021秋河北沧州八年级统考期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用

截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系.截长法将较长的线段截取为两段，证明

截取的两段分别与给出的两段相等.补短法延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段

相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等.

【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，NCAD=NCBD=90。,组成一个四边形

ACBD,以D为顶点作NA1DN,交边AC、8C于M、N.

（1错/4CD=30。，ZMDN=60。,证明：AM+BN=MN；经过思考，小红得到了这样的解

题思路：利用补短法，延长C8到点E,使跖=/〃，连接£出，先证明VEUM0VD防，

再证明△”£）可且△EZW,即可求得结论.按照小红的思路，请写出完整的证明过程；

（2）当N/CD+NMDN=90。时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你

的结论，不用证明）

（3珈图③，在（2）的条件下，若将M、N改在C4、的延长线上，完成图③，其余条件

不变，则40、MN、6N之间有何数量关系？证明你的结论.

【变式2］（2022秋全国八年级专题练习）在教、学、练、评一体化”学习活动手册中，

全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有戳长补短”作辅助线的方

法.

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等.

这两种方法统称截长补短法.

请用这两种方法分别解决下列问题：

已知，如图，在ZABC中，AB>AC,Zl=Z2,P为AD上任一点，求证AB—AC>PB—PC

【变式3］（2022贵州遵义统考三模）（1）问题发现：学完垂径定理后，小红对弧的中点与

弦的关系再次做了研究，如图甲，e。中，点C是劣弧AB的中点，D点在BC弧之间，过

点C作CE_L4Q,垂足为点E,小红在电脑上用几何画板的度量功能度量了线段ED、DB、

AE的长度如下表所示，小红发现了一个数量关系，这个关系是（用ED、DB、AE的

式子表示）

（图甲）

EDDBAE

1.372.233.60

1.512.073.58

1.631.933.56

1.911.603.51

(2)探索结论：

怎么完成(1)中关系的证明呢？小红根据学习经验想到了截长补短”中的截长”思想，如

图乙，在线段AE上截取点F,使得在£=£应，连接CF、CD.小红试图构造关于AF、DB

所在的三角形，通过全等完成证明，请接着小红的想法完成证明.

(3)结论应用：

如图丙，等边三角形ABC内接于e。，点D在eO上，连接BD、CD,过点C作

CELAD,垂足为点E,若皮＞=6—1,NCBD=45。,求e。的半径.

【变式4](2022全国九年级专题练习)【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一

种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条

短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.

P

C

(1脚图1,ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，4DC=120。，探索线段DA、

DB、DC之间的数量关系.

解题思路延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,根据与AC+zBDC=180。，可证zABD：

zACE易证得AXBD乌以CE,得出△ADE是等边三角形，所以AD=DE,从而探寻线段DA、

DB、DC之间的数量关系.根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系

是

【拓展延伸】

(2波口图2,在RtAXBC中，$AC=90°,AB=AC.若点D是边BC下方一点，&DC=90",

探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3珈图3,两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角

顶点之间的距离PQ的长为cm.

【培优练习】

1.(2022秋山东烟台七年级统考期末)阅读材料：

戳长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系.截长,

即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段补

短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线

段.

依据上述材料，解答下列问题：

如图，在等边Y43c中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作

等边0EF,连接CF.

(1放口图，若点D在边BC上，试说明CE+CF=C。；(提示：在线段CD上截取CG=CE,

连接EG.)

(2加图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE,CF与CD之间的数量关系并说明

理由.

AF

BCD

2.(2022秋全国九年级专题练习)问题：如图1,eO中，AB是直径，4c=6C,点D

是劣弧BC上任一点(不与点B、C重合)，求证：4〃一8」为定值.

程.

证明：在AD上截取点E,使*=应)，连接CE.

运用：如图2,在平面直角坐标系中，eO,与x轴相切于点4(3,0),与y轴相交于B、C两

点，且BC=8,连接AB、OXB.

(1X)B的长为

(2加图3,过A、B两点作e(92与y轴的负半轴交于点M,与O"?的延长线交于点N,连接

AM、MN,当e&的大小变化时，问BM—6N的值是否变化，为什么?如果不变，请求出

6N的值.

3.(2022秋北京八年级统考期末)如图，在等边ABC中，点P是BC边上一点，ZBAP=

a(30°<«<60"),作点B关于直线AP的对称点D,连接DC并延长交直线AP于点E,

连接BE.

(1)依题意补全图形，并直接写出4EB的度数；

(2)用等式表示线段AE,BE,CE之间的数量关系，并证明.

分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与

性质……

②通过截长补短，利用60。角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的

目的.

请根据上述分析过程，完成解答过程.

4.(2021秋湖南永州九年级校考阶段练习)【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题

中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在

一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.

Q

图1图3

(1)如图1,y46c是等边三角形，点。是边6C下方一点，ZBDC=nO°,探索线段04、

DB、DC之间的数量关系.

解题思路：延长到点笈，使CE=BD,连接丝，根据的C+NMC=180。，可证

NABD=NACE,易证得VZ8D白以CE,得出V4QE是等边三角形，所以=从而

DA、DB、£>C之间的数量关系.

根据上述解题思路，请写出04、DB、DC之间的数量关系是，并写出证明过程；

【拓展延伸】

(2)如图2,在R/V4BC中,ZBAC=90°,AB=AC,若点刀是边6C下方一点，

ZBDC=90°,探索线段DB、OC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图3,两块斜边长都为2aM的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直

角顶点之间的距离尸。的平方为多少？

5.(2022秋河北石家庄八年级校考期末)【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中

一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一

条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题.

(1)如图，△期。是等边三角形，点。是边下方一点，连结DB、DC,且

ZBDC=\20°,探索线段DB、之间的数量关系.

解题思路：延长DC到点£,使(为=助，连接4E,根据/84C+BDC=180。，则

ZABD+ZACD=180°,因为NACD+NACE=18。。可证NABD=NACE,易证得八4皮

ACE,得出是等边三角形，所以=从而探寻线段Q4DB、之间的数量

关系.根据上述解题思路，请直接写出/M、DB、D。之间的数量关系是；

【拓展延伸】

(2)如图②，在RtZU5C中，ZBAC=90°,AB=AC.若点。是边BC下方一点，

ZBDC=9Q°,探索线段。4、DB、Z>C之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30°所对直角

边等于斜边一半，则P。的长为cm.(结果无需化简)

（2021秋新疆乌鲁木齐八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）阅读下面文字并填空:

数学习题课上李老师出了这样一道题：如图1,在Y45C中，AD平分/胡C,

ZB=2NC.求证：AB+BD^AC.

（图1）

李老师给出了如下简要分析：要证45+皮）="C就是要证线段的和差问题，所以有两个方

法，方法一：截长法'如图2,在AC上截取陛=加，连接DE,只要证成）=即

可，这就将证明线段和差问题为证明线段相等问题，只要证出

V,得出NB=NAED及BD=,再证出N

=Z__,进而得出⑷=£0,则结论成立.此种证法的基础是巴知AD平分

NBAC,将△/皮＞沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处，成为可能.

（图2）

方法二：补短法”如图3,延长AB至点F,使BF=BD.只要证即可.此时先证

N=NC,再证出V,则结论成立.”

/--J）

截长补短法”是我们今后证明线段或角的和差倍分”问题常用的方法.

7.（2022秋浙江八年级专题练习）阅读材料并完成习题:

截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题.请看这个例题：如图I,

在四边形ABCD中，BAD=2BCD=90°,AB=AD,若AG=2cm,求四边形ABCD的面积.

解：延长线段CB到E,使得BE=CD,连接AE,我们可以证明Z^BAE名ZDAC,根据全等

三角形的性质得AE=AC=2,zEAB=zCAD,贝!I

ZEAC=ZEAB+ZBAC=zDAC+zdBAC=2BAD=90°,得S四边形

ABCD=S.BC+S^DC=S9BC+S.BE=SMEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角

形EAC面积.

(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2.

(2)请你用上面学到的方法完成下面的习题.

如图2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,zG=2N=90°,求五边形FGHMN的面积.

8.(2023全国九年级专题练习)例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，

也是把几何题化难为易的一种策略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短

就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.

(1)如图1,△是等边三角形，点D是边BC下方一点，zBDC=120",探索线段DA、

DB、DC之间的数量关系.

解题思路将AVBD绕点A逆时针旋转60。得到ZACE,可得AE=AD,CE=BD,zABD=4CE,

zDAE=60°,根据2BAGzBDC=180°,可知及BI>zACD=180°,贝I/VCE+承CD480°,易

知ADE是等边三角形，所以AADE,从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是—；

(2)如图2,Rt&iBC中，z£AC=90°,AB=AC.点D是边BC下方一点，2BDC=90°,探

索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论.

AA

D

图1图2

（2021秋山东济宁八年级统考期中）现阅读下面的材料，然后解答问题：

截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法.在证明线段的和、差、倍、分等

问题中有着广泛的应用.截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩

余的线段与另一段线段相等.补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部

分等于另一条线段.

请用截长法解决问题（1）

（1）已知：如图1等腰直角三角形46c中，?B90?,是角平分线，交6C边于点

D.求证：AC=AB+BD.

0S1

请用补短法解决问题（2）

（2）如图2,已知，如图2,在A45C中,NB=2NC,4。是的角平分线.求证:

AC=AB+BD.

10.（2022秋八年级课时练习）数学课上，小白遇到这样一个问题：

如图1,在等腰及/A4BC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD=AE,求证ZABE=ZACD；

过点A作4口，跖于点G交于点歹，过歹作正？，。。交跖于点P,交CD于点、H,试探

究线段8尸，FP,4尸之间的数量关系，并说明理由.

小白通过研究发现，NNq与4/FC有某种数量关系；

小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短”，再通过进一步

推理，可以得出结论.

阅读上面材料，请回答下面问题：

（1）求证ZABE=ZACD；

（2）猜想N4/Z与NHFC的数量关系，并证明；

（3）探究线段HP,FP,4■之间的数量关系，并证明.

11.（2021秋江苏无锡八年级宜兴市实验中学校考期中）【初步探索】

截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策

略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两

条短边拼合到一起，从而解决问题.

（1）如图1,是等边三角形，点D是边BC下方一点，2BDC=120°,探索线段DA、

DB、DC之间的数量关系；

H

图1

()如图2,为等边三角形，直线a"<B,D为BC边上一点，zADE交直线a于点

E,且zADE=60°.求证：CD+CE=CA；

图2

【延伸拓展】

(3)如图3,在四边形ABCD中，zABC+zADC=180°,AB=AD.若点E在CB的延长线

上，点F在CD的延长线上，满足EF=BE+FD,请直接写出ZEAF与zDAB的数量关

系.

12.(2023秋山西吕梁九年级校考阶段练习)综合与实践

问题情境：已知在等边中，P是边ZC上的一个定点.M是6C上的一个动点，以尸”

为边在PM的右侧作等边连接CN.

猜想证明：

AAA

4N

N

N

图1图2图3

(1脚图1,当点M在8。边上时，过点P作PH〃45交8。于点H,试猜想CP,CN,CM

之间的数量关系.并说明理由.

(2涧题解决：如图2,当点M在C8的延长线上时，已知C15,CM=U.请直接写出CW

的长.

⑶如图3,当点M在6。的延长线上时，(1)中的猜想是否依然成立？若成立，请说明理由;

若不成立，请写出正确的猜想并说明理由.

13.(2023秋河南南阳八年级校考期末)【问题初探】

(1)如图1,在Y46。中，ZBAC=90°,期=4。，点D是8。上一点，连结4Q,以AD

为一边作V4DE,使"4E=9O。，AD=AE,连结跖，猜想跖和CD有怎样的数量关系，

并说明理由；

【类比再探】

(2)如图2,在Y46c中，ZBAC=90°,初=4C,点M是研上一点，点D是6C上一

点，连结MD,以MD为一边作YMDE,使NDME=90。，MD=ME,连结M，贝ij

ZEBD=(直接写出答案，不写过程)；

【方法迁移】

（3）如图3,在Y45c是等边三角形，点D是8。上一点，连结3,以4Q为一边作等边

三角形ME,连结跖，则5Q,BE,5C之间有怎样的数量关系？答案：

（直接写出答案，不写过程）；

【拓展创新】

（4）如图4,Y46C是等边三角形，点M是43上一点，点D是8。上一点，连结

MD,以为一边作等边三角形连结BE.猜想NEBZ）的度数，并说明理由.

图1图2图3图4

14.（2023秋重庆沙坪坝九年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，YABC和AABD分

别位于45两侧，点E为4Q中点，连接班，CE.

(1物图1,若加C=460=9O。，4C=3,AB=BD=4,求CE的长;

(2旗口图2,连接CD交疝?于点尸，在