几何压轴题-2022年中考数学复习压轴题分类汇编（深圳专用）（解析版）

专题05几何压轴题

1.（2021•深圳）在正方形/BCD中，等腰直角AAEF,NAFE=90°,连接CE,H为CE中点,连接

RF

BH、BF、HF,发现一和ZHBF为定值.

BH

②NHBF=；

③小明为了证明①②，连接/C交5。于。，连接08,证明了也和空的关系，请你按他的思路证明①

AFBO

②.

（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2,—=—=

ADFA

ABDA=/EAF=6>（0°<0<90°）.

求①言=------------------用"的代数式表示）

图1图2

【答案】（1）①行；②45。；③见解析（2）①3②S4kcosf

2k

【详解】①正；②45。；

③由正方形的性质得：—=42,。为/C的中点，

BO

又一：H为CE的中点，

:.OH//AE,OH=-AE,

2

A4EF是等腰直角三角形,

AE=42AF,

这3理

OHBO

-OH//AE,

，ZCOH=NCAE,

/BOH=ABAF,

ABOH^\BAF,

—=①/HBO=ZFBA,

BH

/HBF=AHBO+/DBF=/DBA=45°；

(2)①如图2,连接NC交5。于点O,连接OH,

由(1)中③问同理可证：NDOH^NDAF,

FDAD_2

,•茄一丽—％'

②由①知：NDOH^NDAF,

ZHDO=/FDA,

AHDF=ABDA=6,

PD7

在Affl邛中，——=—,

HDk

设DF=2t,HD=kt,

作。/于M,

HM=DHxsin=ktsin0,DM=ktcos®,

:.MF=DF-DM=(2-kcos0)t,

在RtAHMF中，由勾股定理得：

HF=tlk2-4Acos6+4,

FH"2-4%COS6>+4

DH~k

2.（2021•河东区二模）如图，矩形N3C。中，已知/8=6.8C=8,点E是射线3c上的一个动点，连接

/E并延长，交射线。C于点尸.将AA8E沿直线/E翻折，点2的对应点为点B'.

（1）如图1,若点E为线段3C的中点，延长48,交CD于点求证：AM=FM；

RF

（2）如图2,若点"恰好落在对角线NC上，求丝的值；

RF?

（3）若些=2,求/以9的正弦值.

CE2

图1图2备用图

【答案】（1）见解析；（2）-3；（3）Q=或125

54117

【详解】（1）证明：•・・四边形45CZ）为矩形，

AB//CD,

ZF=ZBAF,

由折叠可知：ZBAF=ZMAF,

ZF=/MAF,

/.AM=FM.

（2）解：同（1）的证法可得A4cb是等腰三角形，AC=CF,

在RtAABC中，AB=6,BC=8,

AC=yjAB2+BC2=V62+82=10,

,\CF=AC=10,

AB//CF,

,\ABE^\FCE,

BEAB63

CECF105

(3)①当点£在线段5C上时，如图3,/夕的延长线交CD于点

sbFCE，

目口

ABBE一3，即一6=一3

CFCE2CF2

.\CF=4,

同(1)的证法可得=

^DM=x,贝ljMC=6—x,则/M=FM=10—x,

在RtAADM中，AM2=AD2+DM1,BP(10-x)2=82+x2,

9

解得：x=?

5

941

贝!JAM=\Q-x=\0——

55

9

5_9

4141

5

②当点E在5C的延长线上时，如图4,

E

图4

由AB//CF可得：\ABE^\FCE,

ABBE363

二.——=——=一，即nn——=一，

CFCE2CF2

，CF=4,

则。方=6—4=2,

设同(1)的证法可得4四=厂A/=2+x,

在RtAADM中，AM2=AD2+DM2,BP(2+x)2=82+x2,

解得：x=15,

贝！］AM=2+x=17,

.…n，DM15

..smNZX4B----——.

AM17

综上所述：当生=3时，/"夕的正弦值为2或”.

CE24117

3.(2021•天宁区校级一模)如果三角形的两个内角a与父满足4=90。，那么我们称这样的三角形为

“准互余三角形”.

(1)若AA8C是“准互余三角形”，乙4>90。，48=20。，求NC的度数；

(2)如图①，在RtAABC中，ABAC=90°,AB=4,BC=5,点。是延长线上一点.若A4AD是“准

互余三角形”，求CD的长；

(3)如图②，在四边形48CD中，AC,3。是对角线，AC=4,CD=5,ZBAC=90°,

ZACD=2ZABC,且ABCD是“准互余三角形”，求AD的长.

图①图②

45,—

【答案】(1)35°；(2)—(3)3713

7

【详解】(1)•・•A/18C是“准互余三角形"，NN>90°,48=20°,

若44一/8=90°,则44=110°,

ZC=180°-110°-20°=50°,

若NN-NC=90°,

ZA+ZB+ZC=180°,

ZC=35°；

(2)•/ABAC=90°,AB=4,BC=5,

:.AC=^BC2-AB2=V25-16=3,

・•・AABD是“准互余三角形”，

ABAD-AB=90°,或ABAD-ZADB=90°,

当/B4D-乙4DB=90。,

ABAC+ACAD-NADB=90°,

/CAD=ZADB,

;.AC=CD=3,

当ABAD—/B=90°,

ABAC+/CAD-ZB=90°,

ZB=/CAD,

•・•ZADC=ABDA,

\ADC^\BDA,

.CDADAC

"茄一茄一花’

CDAD_3

,*ID-CD+5~4’

・0-45

7

(3)如图，将A48C沿5C翻折得到

图②E

：.CE=AC=4,/BCA=/BCE,ZCBA=ZCBE,ZE=ABAC=90°,

ZABE+ZACE=1SO°,

•・•ZACD=2NABC=/ABE,

:.ZACD+AACE=\^°,

.•.点。，点。，点£三点共线,

•••ZBCD=ZACD+ZACB=2ZABC+ZACB=90°+ZABC,

ZBCD-NABC=90°,

；ABCD是“准互余三角形”，

ZBCD-ZCDB=90°,

90°+ZABC-ZCDB=90°,

ZCDB=ZABC=NEBC,

又•.•/£=NE,

NCEBsKBED,

•生BE

■,~BE—访

4BE

即——

BE~~9~

:.BE二=6,

BD=^BE2+DE2=J36+81=3屈.

4.(2021•宁波模拟)【基础巩固】

(1)如图①，NABC=NACD=NCED=a,求证：\ABC^\CED.

【尝试应用】

(2)如图②，在菱形48CD中，N/=60。，点E,尸分别为边ND,上两点，将菱形48c。沿E尸翻

折，点/恰好落在对角线上的点尸处，若PD=2PB,求生的值.

AF

【拓展提高】

(3)如图③，在矩形ABCD中，点尸是4。边上一点，连接,PC,若尸N=2,PD=4,

ZBPC=120°,求48的长.

【答案】⑴见解析；⑵?⑶

【详解】（1）;NABC=NACD=a,NACE=NA+NABC,

ZDCE+a=ZA+a,即//=/ECD，

•「/ABC=ZCED=a,

\ABC^\CED；

(2)・.•四边形Z5CQ为菱形，

AB=AD,

•・•N4=60°,

A45。为等边三角形，

ZEPF=ZA=ZADB=/ABD=60°,

由(1)得：ADPE^ABFP,

.ED_PD_PE

"PB-BF-PF'

设BP=a,贝I」。尸=2。，AE=PE=x,AF=PF=y,

贝!jDE=3a-x,BF=3a-y,

3a-x_2a_x

-----=------=一,

a3q_yy

解得：色=3,

y4

；.二的值为3；

AF4

(3)如图，在4。上取点E、F,使N/5E=NOC尸=30。，

四边形45CD为矩形，

/A=/D=90°,

ABEP=ABPC=ZPFC=120。，

/EPB+ZFPC=180。一120。=60°,AEPB+/EBP=60°,

ZFPC=/EBP,

ABEP^APFC,

BE_EP

PF-FC'

^AB=CD=m,

2m

则5-二

.m2m

F

73

解得：m=V1T-A/3—V3-V1I（舍去）,

AB=4H-43.

5.(2021•达州)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究:

图1图2

【观察与猜想】

(1)如图1,在正方形中，点E,尸分别是N8,4。上的两点，连接DE,CF,DE_LC/，则——

CF

的值为;

(2)如图2,在矩形48c。中，40=7,CD=4,点£是4。上的一点，连接CE,BD,且CE_L&),

则cm的值为；

BD

【类比探究】

(3)如图3,在四边形48co中，乙4=NB=90。，点E为AB上一点,连接DE,过点C作DE的垂线交

ED的延长线于点G,交/。的延长线于点尸，求证：DEAB=CFAD；

图3图4

【拓展延伸】

(4)如图4,在RtAABD中，ABAD=90°,AD=9,tanZADB=-,将AA8D沿3。翻折，点/落在点

3

C处得ACBD,点、E,尸分别在边48,4D上，连接,CF,DE1CF.

①求匹的值；

CF

②连接AF,若/石=1,直接写出2斤的长度.

【答案】(1)1;(2)—；(3)见解析；(4)①2；②士回

735

【详解】(1)如图1,设DE与CF交于点G,

图1

•・,四边形ABCD是正方形,

:./A=/FDC=90。，AD=CD,

•「DELCF,

ZDGF=90°,

/ADE+ZCFD=90°,/ADE+ZAED=90°,

ZCFD=ZAED,

在A4EQ和AZX中，

'/A=ZFDC

<ZCFD=ZAED,

AD=CD

AAED=ADFC(AAS),

DE=CF,

.DE

••二1;

CF

(2)如图2,设。5与CE交于点G,

E

图2

•・・四边形45CD是矩形，

N4=ZEDC=90°,

•・•CEVBD,

:.ZDGC=90Q,

ZCDG+ZECD=90°,/ADB+ZCDG=90°,

ZECD=NADB,

ZCDE=ZA,

NDECS\ABD,

.CEDC4

…BD~liD~7'

故答案为：

7

图3

CG1EG,

/G=/H=/A=/B=90°,

四边形为矩形，

AB=CH,ZFCH+ZCFH=ZDFG+ZFDG=90°,

ZFCH=ZFDG=/ADE,NA=NH=90°,

/.\DEA^\CFH,

.DE_AD

,~CF~~CH'

.DEAD

,~CF~^B'

...DE•AB=CF•AD；

(4)①如图4,过点。作CG，/。于点G,连接ZC交助于点〃，CG与。内相交于点O,

图4

•・•CFLDE,GCLAD,

ZFCG+ZCFG=/CFG+/ADE=90°,

ZFCG=/ADE,/BAD=ZCGF=90°,

/.ADEAsACFG,

.DEAD

t~CF~~CGJ

在RtAABD中，tmZADB=-,AD=9,

3

/.AB=3，

在RtAADH中，tanZ^D/f

3

AH1

-----——,

DH3

^AH=a,贝!J07/=3Q,

•・•AH2+DH2=AD2,

z.a2+(3a)2=92,

Q.—

/.a=一V10(负值舍去)，

10

AH=—y/u),DH=—4W,

1010

:.AC=2AH=W厢,

•••S.,=-ACDH=-ADCG,

IAAUnIc^22

1Q1

z.-x-VlOx一回=—x9CG,

25102

27

...CG=—,

5

DEAD_9_5

,CF-CG=27=3；

T

9i—27

②=—J10,CG=—,ZAGC=90°,

55

AG=4AC1-CG1=Jg厢y-(y)2=|，

由①得ADE4sAe尸G,

.DEAE

"~CF~~FG'

936

AF=AG-FG=----=一，

555

22

BF=^AB+AF=卜+§)2=|V29.

6.(2021•武汉模拟)【问题背景】

(1)如图1,在A48c中，。为/C上一点，2ABD=NC,求证：—=—■

BCAB

【变式迁移】

(2)如图2,在RtAABC中，44c8=90。，D为4B上一点,CD=CA,DE上AB交BC于点、E,连接

Ap

AE.求证：——=tan/B；

AB

【拓展迁移】

FD2

(3)如图3,在菱形/反力中，F为CD上一点,E为BCk一点、,EC=\,——=-,/EAF=ND,

CF3

4

tanZD=—,直接写出/£的长.

3

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）717

【详解】(1)证明：•••N/AD=NC,NA=NA,

AABD^AACB,

.BD_AD

,•瓦-IF；

(2)证明：•:CD=CA,

ACAD=ZCDA,

•・•/ACB=ZADE=90°,

ZCAD+ZB=ZADC+ZCDE=90°,

ZB=ZCDE,

又•；4DCE=/BCD,

NCDEsbCBD,

.CECD

,~CD~~CB"

.CECA

T~CA~~CB'

•/NACE=ZBCA,

ACAEshCBA,

/c4ECE

/CAE—/B，----------，

ABCA

4E

tan/CAE==tan/B.

AB

(3)解：如图，在上取点〃，AM=AE,

ZAME=ZAEM,

•・•ZEAF=ZD,ZC+ZD=180°,

Z£L4F+ZC=180°,

，/AEC+/AFC=180。,

/AEM=NAFC,

ZAME=NAFC,

ZAMB=ZAFD,

又・.・/8=N。，AB=AD,

KABM?AADF(AAS),

:.BM=DF,

过点/作ZG_LM石于点G,则MG=GE,

设DF=MB=2x,

FD2

,~CF~3"

CF=CM=3x,

AB=5x=BC=CD,

3r-1

:.ME=3x-l,MG=-------,

2

17_1

BG=BM+MG=2x+-------=----r----,

22

4

tan/B=tanZD=—,

3

3

cosB=—,

5

..x—1,

.•./G=4,EG=\,

：.AE=yjAG2+EG2=742+12=后.

7.（2021•濮阳一模）一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、/、D

在同一条直线上）.

（1）发现BE与DG数量关系是,BE与DG的位置关系是.

（2）将正方形/EFG绕点/按逆时针方向旋转（如图2）,（1）中的结论还成立吗？若能，请给出证明；

若不能，请说明理由.

AJ77

(3)把图1中的正方形分别改写成矩形4MG和矩形/BCD,AE=2,AB=4,将矩

AGAD3

形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3).连接DE,5G.小组发现在旋转过程中，。炉+3G?的值

E

图3

【答案】(1)BE=DG；BE工DG；(2)见解析；(3)65

【详解】(1)如图1,延长DG交BE于H,

四边形48c£＞、四边形EFGN为正方形,

AB=AD,AE=AG,NGAD=/EAB=90°,

在NDAG和NBAE中,

DA=BA

<NDAG=NBAE,

AG=AE

AD4G=ABAE(SAS),

BE=DG,ZADG=ZABE,

•••NAGD=NBGH,

：.4BHG=/GAD=90°,BPBE±DG,

故答案为：BE=DG；BEIDG；

(2)(1)中的结论成立，

理由如下：如图2,延长。G交AE1于"，交AB于N,

•.•四边形N2CD、四边形EFGN为正方形，

AB=AD,AE=AG,ZGAD=ZEAB=90°,

ZBHG=ZGAD

在NDAG和ABAE中,

DA=BA

<NDAG=/BAE,

AG=AE

:.\DAG=\BAE{SAS),

:.BE=DG,ZADG=ZABE,

•・•ZAND=ZBNM，

/BMN=ZNAD=90°，即_LQG；

(3)如图3,连接此、EG,设BE、0G交于点尸,

AEAB2

AE=2,AB=4,

AGAD3

/.AG=3,AD=6,

EG2=AE2+AG2=13,BD2=AD2+AB2=52,

1|=今,NEAB=NGAD,

二.■ABSAGAD,

/ABE=ZADG,

•「ZAHG=ZDHB,

ZDPB=/DAB=90°,

/.BEIDG,

DE2+BG2=DP2+PE2+PG2+PB2=EG2+BD2=65.

图2

8.（2020•深圳）背景一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、/、D

在同一条直线上），发现跳'=r>G且BELOG.

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形NEFG绕点/按逆时针方向旋转（如图1）,还能得到吗？若能，请给出证明；若

不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形4MG和菱形/8CA,将菱形NEFG绕点/按顺时针方向旋转（如

图2）,试问当NE/G与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论8E=OG仍成立？请说明理由；

AJ7AR7

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形/EFG和矩形AE=4,AB=8,将矩

AGAD3

形/EFG绕点/按顺时针方向旋转（如图3）,连接OE,5G.小组发现在旋转过程中，。炉+8G2的值

是定值，请求出这个定值.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）260

【详解】（1）证明：•.•四边形工斯G为正方形,

AE=AG,AEAG=90°,

又：四边形4BCA为正方形,

AB=AD,/BAD=90°,

/EAB=ZGAD,

AAEB二AAGD(SAS),

/.BE=DG；

(2)当NE4G=N5/Z)时，BE=DG,

理由如下：

•・•/EAG=ABAD,

/EAB=ZGAD,

又四边形4EFG和四边形4BCD为菱形,

:.AE=AG,AB=AD,

\AEB=AAGD(SAS),

BE=DG；

(3)解：方法一：过点£作画交。4的延长线于点M,

过点G作GN，AB交AB于点N,

由题意知，AE=4,AB=8,

••4E_4B_2

,~AG~7D~3"

，/G=6,AD=12f

•・•/EMA=ZANG,/MAE=ZGAN,

AAME^AANG,

设EN=2Q,AM=2b,贝(JGN=3Q,AN=3b,贝!|BN=8—3b,

/.ED2=(2Q)2+(12+26)2=4a2+144+48b+4b2,

GB2=(3a)2+(8-3b了=9a2+64-48b+%2,

ED2+GB2=13(/+^)+208=13X4+208=260.

方法二：如图2,设5£与0G交于0,BE与4G交于点尸,

E

:.AG=6,AD=n.

•・•四边形AEFG和四边形ABCD为矩形,

NEAG=ABAD,

/./EAB=ZGAD,

..EA_AB

•~AG~^D'

AEAB^AGAD,

/BEA=/AGD,

E,G,。四点共圆，

ZGQP=NPAE=90°,

/.GDLEB,

连接EG,BD,

ED2+GB2=EQ2+QD2+GQ2+QB2=EG2+BD2,

EG2+BD2=42+62+82+122=260.

9.(2020•徐州)我们知道如图①，点8把线段4C分成两部分，如果生=必，那么称点8为线段4c

ABAC

的黄金分割点.它们的比值为避二1.

2

(1)在图①中，若/C=20c〃z,则48的长为cm；

(2)如图②，用边长为20c加的正方形纸片进行如下操作：对折正方形N2CA得折痕£尸，连接CE,将

CS折叠到CE上，点8对应点〃，得折痕CG.试说明：G是N8的黄金分割点；

(3)如图③，小明进一步探究：在边长为。的正方形N8CL1的边ND上任取点E(/E>DE),连接2E,作

CF1BE,交于点尸，延长£尸、C3交于点尸.他发现当尸8与BC满足某种关系时，E、尸恰好分

别是4D、N2的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

B

图①图②

【答案】(1)(104-10)；(2)见解析；(3)见解析

【详解】⑴•••点3为线段/C的黄金分割点，AC=20cm,

AB=x20=(1075-10)C/M.

故答案为：(104-10).

(2)延长£/,CG交于点M,

•.•四边形ABCD为正方形，

DMIIBC,

AEMC=ZBCG,

由折叠的性质可知，NECM=NBCG,

/EMC=NECM,

EM=EC,

■.■DE=10,DC=20,

EC=yjDE2+DC2=V102+202=1075,

:.EM=10#,

.-.DM=10V5+10,

DC202A/5-1

tan/DMC=------产--------——产—

DM10V5+10V5+12

「.tan/BCG="匚，

2

即变二51,

BC2

・・•AB=BC,

.BG_下-\

••—,

AB2

.•.G是ZB的黄金分割点；

(3)当8P=BC时，满足题意.

理由如下：

•・,四边形ABCD是正方形，

/.AB=BC,ZBAE=ZCBF=90°,

BELCF,

NABE+ZCFB=90°,

又ZBCF+ZBFC=90°,

/.ZBCF=ZABE,

/.MBE^ABCF(ASA),

/.BF=AE,

・・・AD//CP,

\AEF^^BPF,

.AE_AF

…而一而‘

当E、尸恰好分别是40、的黄金分割点时,

•/AE>DE,

.AFBF

一~BF~^4B'

•・•BF=AE,AB=BC,

.AFBF_AE

.AEAE

BP=BC,

10.（2021•福山区期末）如图，在矩形Z8CD中，/8=20,点E是3C边上的一点，将A48E沿着ZE折

叠，点8刚好落在CD边上点G处；点厂在。G上，将A/1D尸沿着Z尸折叠，点。刚好落在NG上点〃处,

此时SbGFH：S刈FH=2：3.

(1)求证：\EGC^\GFH；

(2)求4。的长；

(3)求HF的值.

【答案】(1)见解析；(2)12；(3)6

【详解】(1)证明一•四边形是矩形，

/./B=/D=/C=90°,

由折叠对称知：/AGE=/B=90°,ZAHF=ZD=90°,

:./GHF=NC=90。，ZEGC+AHGF=90°,AGFH+AHGF=90°,

ZEGC=ZGFH,

\EGCS\GFH.

(2)解：・：SkGFH：SwFH=2：3，且AGM和A4W等高，

:.GH:AH=2:3,

•・・将AASE沿着折叠，点8刚好落在CD边上点G处，

AG=AB=GH+AH=2b,

:.GH=8,AH=12,

AD=AH=12.

(3)解：在RtAADG中，DG=4AG2-AD2=7202-122=16,

由折叠的对称性质可设。尸=尸〃=X，贝!]G/=16-x,

HG2+HF2=FG2,

82+X2=(16-X)2,

解得x=6,

:.HF=6.

11.（2021•深圳模拟）如图1,点8在线段CE上，RtAABC=RtACEF,ZABC=ZCEF=90°,

ZBAC=30°,BC=l.

（i）求点尸到直线a的距离;

（2）固定AABC,将AC跖绕点C按顺时针方向旋转30。，使得C尸与C4重合，并停止旋转.

①请你在图1中用直尺和圆规画出线段历经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不

要求写画法）并求出该图形的面积;

②如图2,在旋转过程中,线段CF与N2交于点O,当。£时，求的长.

【详解】（1）如图，过点尸作万于X.

（图1）

在RtAFCH中，ZFHC=90°,CF=CA=1BC=2,

:.FH=-CF=1.

2

（2）①旋转运动所形成的平面图形，如图所示,

30乃•（事）［：无

==

S阴S扇形，CF-S、AE，C+S庄FC~S扇形ECE，--

—360—-12

②如图2中，过点E作瓦7_LC尸于X,T§：OE=OB=X.

A

O

BC

(图2)

EF=BC=\,ZCEF=90°,ZECF=30°,

CF=2EF=2,ZF=60°,

i万

:.FH=EFcos600=-,EH=EF-smbO0=—,

22

•・•ZB=90°,OB=x,BC=\,

2

OC=A/1+x,

•・•EO2=OH2+HE2,

+(|_7[77)2=x2,

解得/=?,

9

42

:.OF=CF-OC=2——=-.

33

12.（2021•深圳模拟）如图1,点8在线段CE上，RtAABCsRtACEF,AABC=ACEF=90°,

ZBAC=30°,BC=\.

（1）点F到直线CA的距离是；

（2）固定AA8C,将ACE/绕点C按顺时针方向旋转30。，使得C尸与C4重合，并停止旋转.

①请你在图1中用直尺和圆规画出线段跖经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不

要求写画法）.该图形的面积为；

②如图2,在旋转过程中，线段C尸与交于点。，当OE=O8时，求OF的长.

【答案】⑴k⑵①4②"羊解】⑴如图1中‘作如小于，

(图1)

•/RtAABC=RtACEF,/ABC=/CEF=90。,ABAC=30°,BC=1.

ZACB=60°,ZFCE=ABAC=30°,AC=CF,

.\ZACF=30°,

ABAC=ZFCD,

在A45C和AC。尸中，

ABAC=ZFCD

<ZABC=ZCDF,

AC=CF

/.\ABC=\CDF(AAS),

,.FD=BC=1,

法二：•/ZECF=ZFCD=30°,FDLCD,FELCE,

DF=EF,

EF=BC=\,

:.DF=1.

故答案为1；

(2)线段所经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点£落在W上的点"处.

图1-1

30•^■.2230/.(屈二兀

S阴=SAEFC+S扇形4CF-S扇形C£H-^MHC='扇形XCF一S扇形上切=2gQ

360-12

故答案为？

(3)如图2中，过点£作EH_LC/于〃.T^OB=OE=X.

图2

在RtAECF中，••-EF=1,ZECF=30°,EHVCF,

EC=y/3EF=y/3,£1//=—,CH=y[3EH=~,

22

在RtABOC中，OC=^OB2+BC2=^1+X2,

:.OH=CH-OC=--^+x2,

2

在RtAEOH中，则有/=(乎/+(|-V1+x2)2,

解得x="或-"(不合题意舍弃)，

33

•・•CF=2EF=2,

42

OF=CF-OC=2――=一.

33

解法二：作。G_LEC于G,设OG=x,则。C=2x,CG=gx,

在RtAOBC中，利用勾股定理，构建方程，求出x,可得结论.

13.（2021•开福区模拟）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.早在2000多年以前，人们就开始对它

进行研究，至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔

细阅读并解答相关问题：

如图，分别以RtAABC的三边为边长，向外作正方形BCFG、ACHI.

（1）连接2/、CE,求证：KAB1=NAEC；

（2）过点8作NC的垂线，交/C于点交出于点N.

①试说明四边形/与正方形4BDE的面积相等；

②请直接写出图中与正方形2CFG的面积相等的四边形.

（3）由第（2）题可得：

正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积=的面积，即在RtAABC中,

AB2+BC2=.

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②四边形与正方形8c尸G的面积相等；（3）正方形NC印,

AC-

【详解】（1）证明：•.•四边形四边形/C即是正方形，

AB=AE,AC=A1,ZBAE=ACAI=90°,

AEAC=ABAI,

AB=AE

在NABI和\AEC中,]ABAI=NEAC,

AI=AC

\ABI=AAEC(SAS)；

(2)①证明：BM1AC,AllAC,

BMHAI,

四边形/AW7的面积=2A42/的面积，

同理：正方形4BDE的面积=2AAEC的面积，

Xv\ABI=\AEC,

四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等.

②解：四边形CMW与正方形BC/G的面积相等，理由如下：

连接，过笈作H°_L8C于尸，如图所示：

易证NCPH=AABC(AAS),四边形CMNH是矩形，

.­.PH=BC,

■：NBCH^^^=-CHxNH=-BCxPH,

22

:.CHxNH=BC2,

二.四边形CWH与正方形8CFG的面积相等；

(3)解：由(2)得：正方形N2DE的面积+正方形2CFG的面积=正方形NC?〃的面积;

即在RtAABC中，AB1+BC-=AC2

14.(2021•安徽模拟)我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形.

(1)如图1,在四边形/BCD中，AB=AD,CB=CD,问四边形是垂直四边形吗？请说明理由;

(2)如图2,四边形42CA是垂直四边形，求证：AD2+BC2=AB2+CD2；

(3)如图3,RtAABC中，ZACB=90°,分别以/C、N2为边向外作正方形/CFG和正方形4&DE,连

接C£,BG,GE,已知/C=4,BC=3,求GE长.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)V73

【详解】(1)解：四边形N2CD是垂直四边形；理由如下：

•••AB=AD,

：.点A在线段BD的垂直平分线上，

---CB=CD,

.•.点C在线段3。的垂直平分线上，

直线AC是线段BD的垂直平分线，

AC1BD,即四边形ABC®是垂直四边形；

(2)证明：设/C、AD交于点E,如图2所示：

ACVBD,

NAED=NAEB=NBEC=NCED=90°,

由勾股定理得：AD2+BC2=AE1+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+DE2+CE2,

AD2+BC2=AB2+CD2；

(3)解：连接CG、BE,如图3所示：

正方形ACFG和正方形ABDE,

:.AG=AC,AB=AE,CG=@C=4也，BE=yflAB,ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ABAC=NBAE+ABAC,即AGAB=ZCAE,

AG=AC

在AGAB和NCAE中，＜ZGAB=/CAE,

AB=AE

:.AGAB=\CAE(SAS),

NABG=ZAEC,

又•••ZAEC+NCEB+ZABE=90°,

AABG+ACEB+AABE=90°,BPCE1BG,

四边形CGE3是垂直四边形，由(2)得，CG?+BE?=BC?+GE?,

■.■AC=4,BC=3,

AB=VAC2+BC2—J42+3。=5,BE=y[2AB=5^/2,

GE2=CG2+BE2-BC2=(4A/2)2+(5A/2)2-32=73,

GE=5.

图3

15.(2021春•连云港期末)A48c中，ZBAC=90°,4B=NC,点。为直线上一动点(点。不与8,

如图1,当点。在线段BC上时，

①8c与C尸的位置关系为：；

②BC、CD、。厂之间的数量关系为：；

(2)深入思考

如图2,当点。在线段C8的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请

你写出正确结论再给予证明.

(3)拓展延伸

如图3,当点。在线段8c的延长线上时，正方形/对角线交于点。.若已知48=2后，CD=-BC,

4

请求出OC的长.

【答案】(1)②垂直；②BC=CF+CD；(2)见解析；(3)U

2

【详解】(1)①正方形尸中，AD=AF,

•・•ABAC=ZDAF=90°,

/BAD=ZCAF,

在ADAB与"AC中，

AD=AF

<ABAD=ZCAF,

AB=AC

ADAB=AFAC(SAS),

/ABC=ZACF,

AB=AC,NBAC=90。,

ZABC=ZACB=45°,

ZACB+ZACF==45°+45°=90°,

即BC±CF；

故答案为：垂直；

®\DAB^\FAC,

CF=BD,

•・•BC=BD+CD,

BC=CF+CD；

故答案为：BC=CF+CD；

(2)CF_L3C成立；BC=CZ)+C尸不成立，CD=CF+BC.理由如下:

•/正方形ADEF中，AD=AF,

•・•ABAC=ZDAF=90°,

/BAD=ZCAF,

在AD4B与\FAC中,

AD=AF

</BAD=ZCAF,

AB=AC

NDAB=AFAC(SAS),

.../ABD=ZACF,

vABAC=90°,AB=AC,

ZACB=/ABC=45°.

ZABD=180°-45°=U5°,

ZBCF=ZACF-ZACB=135。—45°=90°,

...CFIBC.

・；CD=DB+BC,DB=CF,

CD=CF+BC.

(3)vABAC=90°,AB=AC=242,

BC=4,

:.CD=-BC=\