空间向量及其应用（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第31讲空间向量及其应用

（10类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第6题,5分线面关系有关命题的判断

2024年天津卷，第17题,15分证明线面平行面面角的向量求法点到平面距离的向量求

2023年天津卷，第17题,15分证明线面平行广求点面距离求二面角

2022年天津卷，第17题,15分空间位置关系的向量证明线面角的向量求法，面面角的向量求法

2021年天津卷，第17题,15分空间位置关系的向量证明线面角的向量求法，面面角的向量求法

2020年天津卷，第17题,15分空间向量垂直的坐标表示线面角的向量求法面面角的向量求法

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为15分

【备考策略】1.理解、掌握空间向量的加减数乘运算，掌握共线、共面问题。

2.能掌握线线角，线面角，与面面角问题。

4.会解空间中的动点问题，会解决空间中的动点含参问题。

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给几何体，求解夹角问题，与空间中的动点问题。

卜々•考点梳理•

知识点一.空间向量的有关概念考点一、空间向量加减数乘运算

1.共线向量定理考点二、空间向量基本定理

《考点四、共线问题

知识点二.空间向量的有关定理2.共面向量定理

3.空间向量基本定理考点五、共面问题

知识点三・空间向量的数量积及运算律2.空间信■的坐标表示及其应用考点三、空间向量数量积运算

空间向量及其应用1.直线的方向向量

知识点四.空间位置关系的向量表示＜2.平面的法向量

3.空间位置关系的向量表示

1.异面直线所成的角

考点六、线线、线面角问题

知识点五.夹角相关2.直线与平面所成的角

考点七、面面角问题

3.平面与平面的夹角

考点八、点面、线面、面面距

1.点到直线的距离

知识点六.距离相关考点九、点线、线线距

2•点到平面的距离

考点十、空间中的动点问题

知识讲解

知识点一.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量长度相等而方向相反的向量

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相壬任

共线向量（或平行向量）

或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

知识点二.空间向量的有关定理

1.共线向量定理：对任意两个空间向量“，的充要条件是存在实数九使“=肪.

2.共面向量定理：如果两个向量“，5不共线，那么向量p与向量a,&共面的充要条件是存在唯二的有序实

数对（尤，y）,使。=网+9.

3.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使得p=xa

+yb+zc,[a,b,c｝叫做空间的一个基底.

知识点三.空间向量的数量积及运算律

1.数量积

非零向量a,〜的数量积a3=|a||臼cos[a,b）.

2.空间向量的坐标表示及其应用

设。=（。1，。2,俏），b=（bi,岳，bi）.

向量表示坐标表示

数量积a-b〃回+a»2+a3b3

共线/leR)〃2=%62，

垂直a仍=0（a，0,万¥。）包―+。2岳+a3b3=Q

模\a\q裙+诏+曙

a，b,_____〃而1+。2—+。3人3

夹角余弦值cos〈a,b)—忸|(〃W0,万#0)c°\"'q届+层+曷々3+优+质

知识点四.空间位置关系的向量表示

1.直线的方向向量：如果表示非零向量”的有向线段所在直线与直线/平行或重合，则称此向量a为直线/

的方向向量.

2.平面的法向量：直线取直线/的方向向量a,则向量a为平面a的法向量.

3.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

h//hn\//敢=2〃2(/1£R)

直线/1，办的方向向量分别为“1，«2

/山2〃1_L〃2=〃1，〃2=O

直线/的方向向量为〃，平面a的法1//a〃•机=0

向量为m,/0al-Lan//=2/w(A£R)

a//pn//机=〃£R)

平面a,乃的法向量分别为“，m

a_L4〃_L/n=〃•帆=0

4.常用结论

1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线Q殖比（其中x+y=l）,O为平面内任意一点.

2.四点共面：在空间中尸，A,B,C四点共面=办=*次+y彷+z求（其中x+y+z=l）,。为空间中任意

~'点.

知识点五.夹角相关

1.异面直线所成的角

若异面直线Z1,/2所成的角为仇其方向向量分别是“，V,则cose=|cos〈〃，力尸黑.

2.直线与平面所成的角

如图，直线A2与平面a相交于点2,设直线A3与平面a所成的角为仇直线A2的方向向量为“，平面a

\u'n\

的法向量为“，则sin『=|cos〈“,”〉|=

|w||«l~\u\\n\'

3.平面与平面的夹角

如图，平面a与平面£相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90。的二面角称为平面a与平

面P的夹角.

若平面a,4的法向量分别是"1和"2，则平面a与平面4的夹角即为向量”1和”2的夹角或其补角.设平面

a与平面£的夹角为仇则cos0=|cos<ni，n2)|=黑湍.

知识点六.距离相关

1.点到直线的距离

如图，已知直线/的单位方向向量为“，A是直线/上的定点，P是直线/外一点，设#=a,则向量力在直

线/上的投影向量殴=("•")”，在R3APQ中，由勾股定理，得尸0=｛油2_曲|2=,2_4/2.

AQ

2.点到平面的距离

如图，已知平面a的法向量为"，A是平面a内的定点，尸是平面a外一点.过点尸作平面a的垂线/,交

平面a于点Q,则n是直线I的方向向量,且点P到平面a的距离就是力在直线I上的投影向量办的长度，

考点一、空间向量加减数乘运算

典例引领

1.（2024高三.全国.专题练习）如图，在空间四边形2BCD中，E,尸分别是BC,CD的中点，则:就+（丽+育=

（）

A.BAB.AFC.ABD.EF

2.（23-24高二上•黑龙江哈尔滨•期中）如图，空间四边形。4BC中，耐=心砺=3,前=落点M在。4上,

且丽=：方I,点N为8C中点，则而等于（）

A.-a+-D——cB.——a+-b+-c

222322

242T2T2T1-»

C.-a+-b--cD.--a+-b--c

332332

即时检测

1.（2024・全国•模拟预测）在棱长为2的正方体ABCD中，已知而=屈+|而+］丽*,截面40*

与正方体侧面BCC14交于线段MN,则线段MN的长为（）

A.1B.夜C.芋D.2V2

2.（23-24高三上•江苏•阶段练习）若空间中四点4B,C,D满足4瓦5+前=4而，则粤=（）

\BC\

113

A.-B.3C.-D.-

344

3.（2024•内蒙古锡林郭勒盟.模拟预测）在空间直角坐标系中，己知4（0,3,0）,5（0,0,0）,C（4,0,0）,3（0,3,2）,

则四面体ABCD外接球的表面积为（）

A.29TTB.28兀C.321TD.30兀

4.（2024•浙江嘉兴•模拟预测）设x,yeR,a=（1,1,1）1=（l,y,z）,c=（%,-4,2）,且日1c,b||c,贝”22+同=

A.2V2B.0C.3D.3a

考点二、空间向量基本定理

典例引领

1.（20-21高三上.浙江宁波•阶段练习）己知。，A,B,C是空间中的点，则“耐，砺，击”不共面是“对于任意

的久,yeR,向量成+支而与向量4+y瓦都不共线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024高三・全国・专题练习）已知体积为百的正三棱锥P-4BC的外接球的球心为。，若满足瓦？+赤+

OC=0,则此三棱锥外接球的半径是（）

A.2B.V2C.V2D.V4

1.（2024•山东济南•一模）在三棱柱ABC-4/16中，AM=2MB,A^N=mA^_,且BN〃平面&CM,则机

的值为.

考点三、空间向量数量积运算

典例引领

1.（2024•全国•模拟预测）设A,B,C三点在棱长为2的正方体的表面上，则前•前的最小值为（）

934

A.--B.-2C,--D,--

2.（2024.江西赣州.二模）已知球O内切于正四棱锥P-ABC。，PA=AB^2,EF是球O的一条直径，点

Q为正四棱锥表面上的点，则诙•丽的取值范围为（）

A.[0,2]B.[4-2V3,2]C.[0,4-V3]D.[0,4-273]

即时便测

1.（2024・山东日照.二模）已知棱长为1的正方体4BCD-4/停1。1，以正方体中心为球心的球。与正方体的

各条棱相切，若点P在球。的正方体外部（含正方体表面）运动，则丽•丽的最大值为（）

731

A.2B.;C.;D.;

2.（2024.上海.三模）已知点C在以AB为直径的球面上，若BC=2,则荏•芯=_.

3.（2024.贵州•模拟预测）已知正方体ABC。-ABiGDi的顶点均在半径为1的球。表面上，点P在正方体

ABC。表面上运动，MN为球。的一条直径，则正方体2BCD—A/iGA的体积是,

两•两的范围是.

考点四、共线问题

典例引领

1.（2024高三•全国•专题练习）已知向量江=（2m+1,3,血一1），b=（2,m,—m）,且五〃3,则实数m的值为

（）

A.-|B.-2C.0D.-1或-2

2.（2023•山东•模拟预测）已知三棱锥S-ABC,空间内一点M满足询=襦-3宓+4元，则三棱锥M-ABC

与S-4BC的体积之比为.

即时便测

1.（2023•河北•模拟预测）在空间直角坐标系中，2（1,—2,a）,B（0,3,l）,C（b,—1,2）,若4,B,C三点共线，则

ab=.

2.（2023高三・全国・专题练习）已知向量日=（1,0,爪），b=（2,0,-2V3）,若由/立则|团=.

考点五、共面问题

典例引领

1.（2024.河南.三模）在四面体28CD中，△BCD是边长为2的等边三角形，。是4鸟。。内一点，四面体48CD

的体积为2百，则对Vx,y€R,|为一x砺—y沆|的最小值是（）

A.2V6B.手C.V6D.6

2.（23-24高三上•辽宁沈阳•阶段练习）已知空间向量用=（1,2,4）,而=（5,—1,3）,丽=（瓶,上—1）,则

呼,48,。四点共面”是“10机+1771=-11”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

即时性测

1.（2024高三•全国・专题练习）在四面体。—2BC中，空间的一点M满足丽=

流共面，则九=.

2.（23-24高三上•上海宝山•期末）已知空间向量方=（1,2,4）,而=（5,-1,3）,PC=（m,n,-1）.若P,4B,C四

点共面，则10根+17?1=.

3.（23-24高三上•河北张家口•阶段练习）若向量江=（1,一2,-n）,另=&—（0,1,—|）共面，则

n=.

4.（2024高三・全国・专题练习）如图，在正三棱柱28。-4/1的中，4B=4,44】=3,M是4B的中点，AN=

2M点P在BJV上，且第=2瓦R（0W4W1）.是否存在实数人使C,M,P，4四点共面？若存在，求;I的

值；若不存在，请说明理由；

考点六、线线、线面角问题

典例引领

1.（2024•陕西咸阳•模拟预测）已知平行六面体4BCD-力iBiQDi中，棱44i，4B,4D两两的夹角均为60。,

AA±=2AB,AB=AD,E为aG中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

2.（24-25高三上•四川成都・开学考试）已知M,N分别是正四面体4BCD中棱AD,BC的中点，若点E是

棱CD的中点.则MN与AE所成角的余弦值为（）

A.—3B.在C.—渔D.在

3366

即时检测

I_________L__________

1.（2024•广东•一模）在正方体ABC。—a/iGA中，点P、Q分别在上，且&P=2PB1,C1Q=2QDr

则异面直线BP与DQ所成角的余弦值为

2.（2022・全国・高考真题）在四棱锥P—ABC。中，PDl^ABCD,CD||AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=

V3.

(1)证明：BD1PA；

(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

3.(2022•全国•高考真题)如图，四面体48C。中，AD1CD,AD=CD.^ADB=^BDC,E为AC的中点.

A

(1)证明：平面BED_L平面4CD；

(2)设AB=BD=2/ACB=60°,点F在8。上，当AAFC的面积最小时，求CF与平面4BD所成的角的正弦

值.

4.(2022・北京•高考真题)如图，在三棱柱ABC-&B1Q中，侧面BCC/i为正方形，平面BCC1/，平面

AB=BC=2,M,N分别为4/1，AC的中点.

C

(1)求证：MN〃平面BCC1%；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.

条件①：AB1MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

考点七、面面角问题

典例引领

1.（2024•河南郑州•模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，AABC=£,4。=CO,PA=PB=PC.

⑴证明：0Pl平面ABC；

（2）若PA==E是棱BC上一点且2BE=EC,求平面P4E与平面P4C的夹角公

2.（2024•江苏镇江•三模）如图，三棱锥P-ABC中，/LABC=^,AB=BC=2,P4=PB,D是棱AB的

（1）下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取

并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；

①平面P4B_L平面4BC；

@DE1AC；

@PE1AC.

（2）若三棱锥P-ABC的体积为I，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面PDE与平面P8C所成二面角

的大小.

即时检测

1.（24-25高三上•山东荷泽•开学考试）如图，在三棱柱48C—2/16中，A4i1平面4BC,ABi14C,AB1

BC,AB=BC=2.

⑴求证：平面ABiG1平面&BC；

⑵设点P为aC的中点，求平面4BP与平面8CP夹角的余弦值.

2.(2023•北京•高考真题)如图，在三棱锥P—A8C中，PA1平面ABC,PA=AB=BC1,PC=瓜

⑴求证：BC_L平面PAB；

(2)求二面角4-PC-B的大小.

3.(2023•全国•高考真题)如图，在正四棱柱力BCD中，4B=2,441=4.点醺为，C2,“分别在

棱441，BB],CCi，DZ)i上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)证明：B2C2||A2D2-,

(2)点P在棱8%上，当二面角P—42c2-。2为150°时，求82P.

4.(2023•全国•高考真题)如图，三棱锥4—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,^ADB=^ADC=60°,E

为BC的中点.

AF

(1)证明：BCIDA；

(2)点F满足丽=瓦?，求二面角0—48—F的正弦值.

考点八、点面、线面、面面距

典例引领

1.(24-25高三上•广东•开学考试)如图，四边形48CD是圆柱0E的轴截面，点尸在底面圆。上，0A=BF=

聒AD=3,点G是线段8尸的中点，点H是师的中点.

(1)证明：EG〃平面小4尸；

(2)求点H到平面ZMF的距离.

2.(2021・广西柳州・一模)如图AdBC的外接圆。的直径4B=2,CE垂直于圆。所在的平面,BD〃CE,CE=2,

BC=BD=1,M为。E上的点.

⑴证明：BMLAC；

(2)当“为DE的中点时，求点M到平面ZCD的距离.

即时期I

1.(2024・天津和平・二模)如图，三棱台ABC-4tBic1中，△ABC为等边三角形，AB=2A1B1=4,AA1，平

面ABC,点M,N,D分别为AB,AC,BC的中点，ArB1AQ.

(1)证明：CCi〃平面4MN；

(2)求直线&D与平面&MN所成角的正弦值；

⑶求点D到平面&MN的距离.

2.(24-25高三上•福建・开学考试)如图所示，在四棱锥U-4BCD中，底面4BCD为直角梯形,4B〃CD,乙4BC=

90°,侧面UBC底面4BCD且KB=VC=BC=AB=2CD=2,E为V4中点.

(1)求证：EBLAD；

(2)求二面角B-VD-4的正弦值；

⑶求点C到平面匕4。的距离.

3.(2024•黑龙江•二模)如图，已知正三棱柱力BC-的侧棱长和底面边长均为2,M是BC的中点，N

是AB】的中点，P是81G的中点.

(1)证明：MN//平面41cP；

(2)求点P到直线MN的距离.

4.(2024・贵州・模拟预测)在三棱锥4BCD中，AC1平面BCD,P是4B上一点，且3AB=4BP,连接CP与OP,

Q为DP中点.

B

(1)过Q点的平面平行于平面AC。且与8C交于点M,求翳；

(2)若平面PCD_L平面ABC,且AC=2BC=2CO=4,求点P到平面BCQ的距离.

考点九、点线、线线距

典例引领

1.(2024•吉林•模拟预测)如图所示，半圆柱。。1与四棱锥4-BCDE拼接而成的组合体中，F是半圆弧上

(不含B,C)的动点，FG为圆柱的一条母线，点4在半圆柱下底面所在平面内，0B=2。。1=2,48=2。=

2A/2.

(1)求证：CG1BF；

(2)若DF〃平面ABE,求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值；

(3)求点G到直线。。距离的最大值.

2.(2024・江苏无锡・模拟预测)如图，在棱长为4的正方体48CD中，点E在棱44］上，且4E=1.

⑴求四棱锥久—EABBi的表面积

(2)若点P在棱DiQ上，且P到平面B/E的距离为学，求点P到直线EE1的距离.

包即

1.(2024.天津河西•模拟预测)如图，在棱长为a的正方体。ABC-O7T夕厂中，民F分别是棱48,BC上的动

点，且4E=BF.

(1)求证：A'F1C'Ei

(2)当三棱锥次-BEF的体积取得最大值时，求平面9EF与平面BEF夹角的正切值及点。到直线BN的距离.

2.(2024・广东广州•模拟预测)如图所示的空间几何体是以4。为轴的工圆柱与以4BCD为轴截面的半圆柱拼接

4

而成，其中AD为半圆柱的母线，点G为弧CD的中点.

(1)求证：平面BDF_L平面BCG；

(2)当4B=4,平面BDF与平面力BG夹角的余弦值为平时，求点E到直线BG的距离.

3.(23-24高三下•天津南开•阶段练习)如图，棱柱力BCD-4/1Ci。1的底面是菱形，^DAB=60°,所有棱

长都为2,ACQBD=0,&。1平面ABCD,F为DC1的中点.

AB

(1)证明：OF〃平面BCG/；

(2)求二面角D-A4i-C的余弦值；

(3)求点F到直线D&的距离.

4.(2024・山西吕梁•一模)如图，在四棱锥P—4BCD中，已知P41平面4BCD,且四边形4BCD为直角梯形,

^ABC=^BAD^,PA=3,AD=2,AB=BC=1.

(1)线段PB上是否存在一点Q使得QC1CD,若存在，求出BQ的长，若不存在，说明理由；

(2)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，求异面直线

PB与CD之间的距离.

考点十、空间中的动点问题

1.(24-25高三上•四川达州•开学考试)如图，在三棱柱ABC—a/iG中，AA11^ABC,AB11ArC,AB1

⑴求证：AB11平面4BC；

⑵设点P满足中=4碇(0W4W1),若平面48P与平面8CP的夹角为以求实数人

2.(22-23高三下•江苏连云港•阶段练习)如图，在正四棱柱ABC。—&B1GD1中，44=248=2,E,F分

别为棱441,CG的中点，G为棱上的动点.

(1)求正四棱柱4BCD-&B1QD1过点B,E,F的截面的面积;

(2)是否存在点G,使得二面角G-EF-B的大小为60°?若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理由.

即时检测

1.(24-25高三上•江苏扬州•开学考试)在四棱锥P-4BCD中，24，平面力BCD,底面ABC。为正方形，P4=

AB,E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，BF=ABC(O<A<1).

(2)求实数4的值，使得平面4EF与平面PDC所成角的余弦值最大.

2.(2025・浙江・模拟预测)在正四面体ABCD中,P是△4BC内部或边界上一点,满足而=%荏+〃尼,4+〃=

1

2,

(1)证明：当|DP|取最小值时，DP1BC；

⑵设加=茄1+)/砺+Z反，求/+y2+z2的取值范围.

3.(2024.贵州贵阳•二模)由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台4BCD-4/1G4中，分别

为4D,48的中点，AB=2A/1=4,侧面BBiQC与底面48CD所成角为45。.

AFB

(1)求证：8必〃平面&EF；

(2)线段48上是否存在点M,使得直线与平面4EF所成的角的正弦值为管，若存在，求出线段AM的长；

若不存在，请说明理由.

4.(2025•广东深圳•一模)如图，PD1平面ABCD,AD1CD,AB//CD,PQ//CD,AD=CD=DP=2PQ=

24B=2,点E,F,M分别为AP,CD,BQ的中点.

(1)求证：EF〃平面CPM；

(2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为3求QMNC的值.

6

IN.好题冲关

A基础过关

1.(23-24高三上.广东东莞•阶段练习)如图，AB是圆的直径，平面PAC1面ACB,且AP1AC.

(1)求证：BC，平面P4C；

(2)若=2,AC=1,AP=1,求直线AC与面PBC所成角的正弦值.

2.(2024.天津红桥.二模)在如图所示的几何体中，P4_L平面48CD,PA//QD,四边形A8CD为平行四边形,

AB=PA=1,PQ=2V2.

(1)求证：直线PB//平面DCQ；

(2)求直线P8与平面PCQ所成角的正弦值;

(3)求平面PCQ与平面DCQ夹角的正弦值.

3.(2024.天津•二模)如图，在直三棱柱ABC-4/1的中，AC1BC,AC=BC=2,CCr=3,F为名的的

中点，点、D,E分别在棱和棱CQ上，且4。=1,CE=2.

⑴求证：&F//平面BDE；

(2)求平面4CC14与平面BDE夹角的余弦值；

⑶求点4到平面8DE的距离.

4.(2024•天津•二模)如图，DAJ_平面力8C,AB1AC,AD||CE,ABAC=CE=1,AD=2,M为4。的

(2)求平面D8C与平面48C夹角的余弦值；

(3)设N是棱BC上的点，若EN与CD所成角的余弦值为察，求BN的长.

5.(23-24高三下・天津•阶段练习)已知四棱台4BCD-4/传1。1，下底面48CD为正方形,AB=2,44=1,

侧棱A4i_L平面4BCD,且=2,E为CD中点.

⑴求证：&E//平面BCC/i；

(2)求平面4BC1A与平面BCQB］所成角的余弦值；

(3)求E到平面力BQDi的距离.

6.(2024•天津河西•一模)已知三棱锥P—A8C中，PA1平面力8C,AB1AC,AB=2PA=2AC=4,N为AB

上一点且满足3丽=而，M,S分别为PB,BC的中点.

(1)求证：CM1SN；

(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小;

⑶求点P到平面CMN的距离.

B能力提升

1.（24-25高三上・天津蓟州•开学考试）如图，PD1平面1CD,AB//CD,PQ//CD,AD=CD=DP=

(1)求证：EF〃平面CPM；

(2)求平面QPM与平面CPM夹角的正弦值；

(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为士求N到平面CPM的距离.

2.(23-24高三上•天津•期中)如图，PD垂直于梯形4BCD所在平面，N4DC=N瓦W=90。,尸为P力的中点,

PD=41,AB=AD=1,四边形PDCE为矩形.

(1)求证：4C〃平面OEF；

(2)求平面4BCD与平面BCP的夹角的余弦值;

⑶求点尸到平面BCP的距离.

3.(2024・天津蓟州•模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱4P两两垂直，长度分别为1,2,

C

⑴求实数九值；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)求平面P8D与平面PCD夹角的余弦值.

4.(23-24高三下•天津•阶段练习)如图，已知多面体4BC—a/iG，A±A,BrB,均垂直于平面ABC,

/.ABC=120°,A1A=4,CtC=1,AB=BC=BrB=2.

B

(1)求证:ABr1平面A/iQ；

(2)求直线4C1与平面4BB1所成角的正弦值；

(3)求点a到平面A/IG的距离.

5.(2024・天津・模拟预测)四棱锥P—4BCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD为矩形，且=4,=3,

PA=5,E、F分别为PD、PB中点，CM=|c?.

(1)求平面EFM与平面力BCD夹角余弦值；

(2)求平面EFM与直线PB夹角正弦值；

⑶平面EFM与PA交于N点，求AN的长.

6.(23-24高三下