极化恒等式与等和（高）线定理（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点13极化恒等式与等和（高）线定理【四大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1利用极化恒等式求值】.................................................................3

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】......................................................4

【题型3利用等和线求基底系数和的值】........................................................4

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】..............................................5

►命题规律

1、极化恒等式与等和（高）线定理

极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型

和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量

中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.

►方法技巧总结

【知识点1极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

（1）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:

|Z+R「+|力2（内2+㈤2）.

证明：不妨设4B=a,AD=石,贝！J/C=Q+B,DB=a-b,

I>|2►2/—»—\2LP—»—

\AC\=AC=（a+6）=a+2a-b+斤①,

同=齿=（力）2叩+同2②,

①②两式相加得：

就『+丽『=2忖2+麻卜成时+时

（2）极化恒等式：

上面两式相减，得：a4=i[p+s）2-（a-s）2]-------极化恒等式

平行四边形模式：a-b=^\AC^-\DB^.

2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的’.

4

（1）平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

线长”平方差的L即：.刃=斗伍+盯一伍-同[（如图）.

（2）三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即

------>------->-------->2-------->2

AB-=儿©一出为3c的中点X如图）.

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

【知识点2等和（高）线定理】

1.等和（高）线定理

（1）由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若苏=/次+〃而（2,〃GR）,

则%+〃=1,由4OAB与/XOA'B'相似，必存在一个常数k,k^R,使得OP'=kOP,则

OP'—kOP—kXOA+k/LtOB,又。P=无0/+(x,yGR),.'.x+y=kX+k/n=k-,反之也成立.

（2）平面内一个基底｛53,而｝及任一向量而，OP'=XOA+//OSa,/zeR）,若点P在直线AS上或在

平行于的直线上，则4+〃=网定值）；反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和（高）

线.

①当等和线恰为直线N3时，Q1；

②当等和线在。点和直线Z8之间时，左e（O,l）；

③当直线N3在。点和等和线之间时，左e（l,+8）；

④当等和线过。点时，k=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值后1,左2互为相反数;

⑥定值k的变化与等和线到。点的距离成正比.

►举一反三

【题型1利用极化恒等式求值】

【例1】（2024•贵州毕节・三模）如图，在△ABC中，。是BC边的中点，E,尸是线段4D的两个三等分点,

若瓦=BE-CE=2,则前•方=（）

【变式1-1］（23-24高三上•福建厦门・期末）如图，BC、DE是半径为1的圆。的两条直径，BF=2FO,

则丽•朋=（）

【变式1-2］（2024高三•江苏•专题练习）如图，在平面四边形/BCD中，。为5。的中点，且。/=3,OC

【变式1-3］（23-24高二下•湖南长沙•开学考试）如图，在平行四边形/BCD中，AB=\,4D=2,点、E,

F,G,“分别是/瓦BC,CD,/D边上的中点，则前•丽+而•砥等于.

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】

【例2】（2024高三・全国•专题练习）半径为2的圆。上有三点4B、C满足+通+前=。，点P是圆内

一点，则同•前+两•定的取值范围为（）

A.[-4,14）B.[0,4）C.[4,14]D.[4,16]

【变式2-1]（23-24高一下•江苏南通•期中）正三角形力BC的边长为3,点。在边AB上，且丽=2瓦5,三

角形4BC的外接圆的一条弦MN过点。，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，两•丽的取值范围

是（）

A.[-1,5]B.[-1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【变式2-2]（2024•重庆•模拟预测）已知△04B的面积为1,AB=2,动点P,Q在线段4B上滑动，且|PQ|=1,

则胡•丽的最小值为.

【变式2-3]（23-24高三上•上海浦东新•阶段练习）在面积为2的平行四边形中4BCD中，点尸

6

是/D所在直线上的一个动点，则而2+玩2_丽.而的最小值为.

【题型3利用等和线求基底系数和的值】

【例3】（2024・四川成都•模拟预测）如图，在平行四边形48CD中,BE=DF=若而=AAB+fiAD,

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【变式3-1]（2023•河北沧州•模拟预测）在△ABC中露=g近，而=/京+近），点P为力E与8F的交点,

AP=AAB+iiAC,则％+“=（）

【变式3-2］（23-24高一上・江苏常州•期末）在平行四边形2BCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，

J.CF=2DF.若京=4荏+〃而，尢4均为实数，贝!M+4的值为.

【变式3-3］（23-24高一上・江苏苏州・期末）如图，在矩形A8CD中，M,N分别为线段BC,CD的中点，若

MN=入宿+%前，eR,则；li+也的值为.

D,_________________C

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】

【例4】（2024・山东烟台・三模）如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,P为圆。上任一点，若方=%荏+

yAC,则2x+2y的最大值为（）

【变式4-1］（23-24高三上•河北沧州•期中）如图，△BCD与△ABC的面积之比为2,点P是区域4BCD内

任意一点（含边界），且屁=4万+〃前（4,〃eR）,贝。+〃的取值范围是（）

/D

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[0,4]

【变式4-2］（23-24高一下•福建泉州•阶段练习）在△4BC中，M为8C边上任意一点，N为线段上任

意一点，若前=4荏+〃前（A,4€R）,则4+〃的取值范围是.

【变式4-31（23-24高一下•广西桂林•期末）已知。为△ABC内一点，且40A+805+50C=0,点时在aOBC

内（不含边界），若宿=4同+〃就，贝！M+”的取值范围是

►过关测试

一、单选题

1.（2024•四川绵阳•三模）如图，在△力BC中，AF=BF=6,EF=5,则丽・丽=（）

2.（2024•陕西西安•一模）在△ABC中，点。是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且丽=万=：荏+

AAC,贝奴=（）

A.-B.-C.-D.-

6336

3.（2024高三•全国•专题练习）在△ABC中，D是BC边上的中点，且荏=：而，AF=2AE,AB-AC=6,

丽•元=-2,则丽•前=（）

1

A.-1B.2C.--D.1

2

4.（2024・陕西榆林•三模）在△ABC中，E在边BC上，且EC=3BE,D是边48上任意一点，AE与CD交于点P,

若而=xCA+yCB,则3%+4y=（）

33

A.-B.--C.3D.-3

44

5.（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和

对角线，，与“差对角线，，平方差的四分之一，即如图所示，人。=3（|而『—|就『），我们称为极化恒等式.已

知在中，M是中点，AM=3,BC=10,则荏•尼=（）

A.-16B.16C.-8D.8

6.（2024•全国•模拟预测）如图，在△ABC中，AN-tNCQt>0）,前=4丽（4>0）,若丽=：尼一]近,

则4+t的值为（）

7.（23-24高三上•山东潍坊・期末）已知正方形N2CZ）的边长为2,是它的内切圆的一条弦，点尸为正

方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，两•前的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,V2]

C.[1,2]D.[-1,1]

8.（2024•河北沧州•三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分

支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB=2,以三条边为直径向外作三

个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若丽=4屈+〃而，则2+〃的最大值为（）

二、多选题

9.（23-24高一下•江苏南京•期中）在△力BC中，点。是线段BC上任意一点，点M是线段AD的中点，若存在

尢〃eR使丽=XAB+说,则;I,〃的取值可能是（）

一3

B.4=1,〃=--

c1_9_2c173

C.A=--,fi=-D.A=---,u=-

10T5

10.（23-24高一下•四川成都•阶段练习）如图，正方形ABC。中，E为ZB中点，M为线段ZD上的动点，若前=

ABE+fiBD,则2+〃的值可以是（）

11.（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）（多选）如图，在四边形4BCD中，48=60。，48=3,BC=6,

且而=4阮(46R),AD-AB=-1,贝!|(

B.实数4的值为:

O

C.四边形A8CD是梯形D.若M,N是线段8C上的动点，且|而|=1,则丽•丽的

最小值为当

三、填空题

12.（2024・新疆・二模）在等腰梯形4BCD中，荏=2DC,点E是线段BC的中点，若族=XAB+/^AD,则4+〃=

13.⑵-24高一下•黑龙江大庆•期末）如图，在△力BC中，D是BC的中点,E,F是4。上的两个三等分点瓦？=

14.（23-24高三・广东阳江•阶段练习）在面积为2的平行四边形4BCD中，点P为直线AD上的动点，则两•PC+

阮2的最小值是.

四、解答题

15.(23-24高一下•甘肃白银•阶段练习)如图，在平行四边形48CD中，AC与8。相交于点。.E是线段。。

的中点，AE的延长线与CD交于点F.

(1)用拔，前方表示荏；

⑵若赤=4万+屈，求4+〃的值.

16.(23-24高一下•江苏苏州•期中)阅读一下一段文字：(a+b)2=a2+2a.-b+b2,(a-bf=a2-2a-fo+

b2,两式相减得①+b)2-(a-m2=4万石n万石=；［(a+b)2-(a-b)2］我们把这个等式称作“极化恒等

式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下

问题：如图，在△/