考研笔记 《数学分析》笔记和考研真题详解

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及1.奇偶性(1)定义(2)性质函数，x||,cosx,secx,chx=(e²+e')/2(称为双曲余弦)是偶函数，而x²,1/x,sgnx,sinx,tanr,arcsinxarctanx是奇函数，注意arccosx不是偶函数.2.周期性3.单调性若f(x)在数集9上有定义，且Vxi,x₂∈9,则称f(x)于9上单调增加(严格单调增加),并简记作厂个(f严格↑).上述不等式若改为则称f(x)于上单调减少(严格单调减少),简记作f*(f严格1).4.有界性若f的值域(f是一个有界集，则称f是有界函数.即若3固定数M>0,使Vx∈D)有5.最值与极值(1)最值在(a,b>上的最大(小)值.使f取最大(小)值的自变量x的值称为最大(小)值点.函数的最大值与最小值统称为最值.(2)极值f(x)≤f(x),Vx∈O₂(xo),则称x为f的极大值点，而f(x称为极大值.则称x为f的极小值点，而f(x称为极小值.3.2名校考研真题详解一、选择题1.有下列几个命题(1)任何周期函数一定存在最小正周期.(3)sin√不是周期函数.(4)xcosx不是周期函数.其中正确的命题有()。[复旦大学研]【答案】B查看答案【解析】(1)错.比如f(x)=0.那么任何正实数都是它的周期，而无最小正实数.这与T为周期矛盾.∴m≠0.∴[x]不是周期函数.(3)对.∵若f(x)是定义域D上周期函数，那么存在函数T,f(x±D=f(x).这必须有x±T∈D.而本题定义域D=[0.+○),若是周期函数，则O∈D,必须-T∈D,但一TED.故不是周期函数.(4)对.用反证法，设f(x)=xcosx的周期为T>0,则即证xcosx不是周期函数.1.设f(x)在[a,b]上是连续函数，且f(x)在[a,b]内没有极值点，则f(x)是[a,b]上严格单调函数。[中南大学研](x,x₂)内有极值点，矛盾。不妨设f(a)<f(b),则对任意的a≤x₁<x₂<b,有f(x₁)<f(x₂)。若f(x₁)≥f(x₂),由f(x2.设a>0,f(x)在[a,b]上是连续的偶函数，则.[中科院数学研究所2006研]证明：令x=-t,则所以有再由f(x)的性质，可以得到结论。3.设-∞<x₁<x₂<…<x.<+○(n≥2).并设次数不超过n-1次的代数多项式C(x)(k=1.2.….n),满足条件：试证：CCx)+Cm(x)≥1.n≤x≤z(1≤k≤n-1).[中国科学院研]证明：由假设①式，可令C(x,)=a,(x-x₁)(x-x₂)…(x-x:)(x-)…(x-x(k=1.2.….n).②其中a(x-x)…(z-n)(x-)…(z-x)=1,(或其中h(x)=a(x-z)+a(x-z)=(a+a)x+(ax-a).④4.设函数f(x)定义在区间I上，如果对于任何x,x₂∈I,及λ∈(0,I).恒有fLax:+(1-λ)x₂]≤λf(x₁)+证明：在区间x的任何闭子区间上f(x)有界.[华中师范大学研]由①式有≤AM+(1-A)M=M.①其中M=max{f(a),f(b)}.Vx∈[a.b],令y由①,②两式可知m≤f(x)≤M.Vx∈(a,b),再由M的定义，可知f(x)≤M.Vx∈[a,b].则Vx∈[a.b].此即证f(x)在a.b]上有界.5.设f(x)在[a,b]上连续，对任意的x∈[a,b],定>,证明：m(x)证明：对任意的x₀∈[a,b]、E,由下确界的定义(上题),可得必存在5%∈[a,x。],使得7.(其中a,b,c是整数)是奇函数，且在(1,+o)上单调递增，f(1)=2.f(2)<3.(2)证明：f(x)在(0,1)上单调递减.[四川大学研]解：(1)由于f(x)是奇函数，∴c=0.再由f(1)=2,可得∴f(x)在(0,1)上单调递减.8.是否存在这样的函数，它在区间[0,1]上每点都取有限值，但在此区间的任何点的任何邻域内都无界.[上海师范大学研]解：存在，比如Vxo∈[0.1],.,对任意正数M而使f(x)>M.第4章函数极限和连续性4.1复习笔记1.相关定义(1)函数极限的相关概念If(x)-A|<e,则称f(x)或在x趋向于a时存在极限A,并记作f(x)→A(x→a).若则称f于a处连续.若f于(a,β)上每点都连续，则称f在开区间(a,β)上连续，或称f是(a,β)上的连续函数.(2)函数极限的性质①(唯一性)函数极限必惟一.②(局部有界性),A为有限，则30₄(a),使得f(x)于O₄(a)-la有界.换言之，3M>0及δ>0使得f(x)≤M,Vx∈O(a)-{al.2.其他类型函数极限的定义(1)四种函数极限下函数极限的定义①当极限A有限时，极限定义为②当A=时更动为"VG>0,…,f(x)<-G".(2)五种极限过程下函数极限的定义①当极限过程为x→a(a有限)时的极限定义为：②当x→a+时更动为“…,38>0,V-8<x-a<0,…”;⑤当x→+时更动为“…,3M>0,Vx>M,…”.1.各种极限间的关系(1)双侧极限和单侧极限之间的关系是双向极限，f(a±)是单侧极限.则(有限或无穷(2)函数极限和数列极限之间的关系2.函数极限的四则运算法则且A,B均有限，则注：如果A,B中出现无穷大，则只要上述公式右端不是不定式，公式仍保持正确.3.函数极限的夹逼定理且则(有限或±0,○除外)4.两个重要的极限5.局部比较定理(1)局部比较定理设a是有限数且都存在(包括±00).若3O(a),使得Vx∈O(a)-|al,有反之，若有f(x)≥E6.复合函数的极限若f于点y=A连续(这时A必有限或A为无穷大)上存在(有限或无限),那么则必成立.三、无穷小量、无穷大量、有界量和等价量1.无穷小量、无穷大量和有界量(1)无穷小量(2)无穷大量,则称当x→a时f(x)是无穷大量(相应地，正、负无穷大量).注：极限过程x→a也不能省略.(3)有界量设a是有限数，若存在a的一个去心邻域O(a)-|a及数M>0,使得即f(x)于O₈(a)-lal有界，则称当x→a时f(x)是有界量，记f(x)=0(1)(x→a).2.等价量(1)等价量的定义设v≠0·则当极限时，称u与v是等价量，并记为u~v.(2)常用的等价量(3)等价量的性质①(自反性)u~u;②(对称性)若《～v,则v～u;③(传递性)若u~v,v~w,则“~w;⑤(等价量代换法)若a～v,则limu和limv同时存在(包括无穷大)或同时不存在，且当都存在时，有4.2名校考研真题详解一、选择题下列函数在开区间(0,1)内一致连续的是().[天津大学研]【答案】C查看答案及【解析】因为若f(x)在开区间(a,b)及都存在.在闭区向[0,1]上连续，因而一致收敛.因此答案选C.1.计算下列各题：[北京农业大学、南京农业大学、华南农业大学、浙江农业大学、华中农业大学研]2.已知,求a和b.[武汉大学2006研]解：,因为,要使极限存在且不为无穷大，则,所以a+b+1=0.再利用洛必达(L'Hospital)法则3.用Heine定理及数列极限和的运算性质证明函数极限和的运算性质：若极限,则存在且.[天津大学研]证明：因为极限由Heine定理知，对任意于是再由Heine定理可得4..[南京理工大学2006研]解：由于由等价无穷小量知故由夹逼法知(2).[浙江师范大学2004、2006研]6.,n为自然数，问在什么条件下，下列成立：(1)在x=0处连续?(2)在x=0处可导?(3)在x=0处导函数连续?[中国地质解：(1)若f(x)在x=0处连续，则,所以只要n>0即可(利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量).故,则的所有正周期没有正的下界。事实上若f(x)的所有正周期有正的下界，记下确界为a>0,都是f(x)的周期。从而由都是f(x)的周期。,故a是f(x)的周期，这与f(x)没有最小正周期矛盾。因此存在单调递减的非负数列{a}使的周期。由(1)的结论知对任何实数b,存在数列b∈P使得这与f(x)是非常数函数矛盾，得证。则E非空且有下界。由确界原理可记T₀=infE有则ToEE,,从而存在有f(x)-ffCO),仍用反证T。(0<T<28%),则总有k∈N,使,此时即有第5章连续函数和单调函数5.1复习笔记一、区间上的连续函数1.某点处连续和单侧连续(1)函数在一点的连续的定义函数f在点xo连续是指且f在xo和xo的某个邻域δ(xo)内有定义.(2)单侧连续的定义如果f(x)在x的某个右邻域0<x-xo<δ,左邻域(-δ<x-xo<0)中有定义，且f(x。+)=f(x)(f(x。-))=f(xo),则称f在点xo右(左)连续.(3)单侧连续和某点处连续的关系续又右连续.2.区间上的连续性(1)开区间上连续性的定义当a<b时，f(x)在(a,b)上每点都连续，则f(x)在开区间(a,b)上连续.(2)闭区间上连续性的定义f(x)在(a,b)连续且在点a右连续，在点b左连续，则f在闭区间[a,b]上连续.(3)连续函数类用记号C(I)表示由区间I上所有的连续函数所组成的集合.3.连续函数的四则运算及lfl也都属于C(I).若f∈C(I),则f∈C(1),并且有f∈C(1)(n是自然数).4.连续函数的复合运算为相同的单侧连续.5.不连续点(1)不连续点的定义设f(x)于xo的某个去心邻域O₂(x₀)-{xo}中有定义.如果在点xo不满足连续性条件f(x₀+)=f(x₀-)=f(x₀),则xo称为f(x)的不连续点(亦称间断点).f(xo+)和f(xo⁻)均存在且有限.f(x。+)和f(x。一)至少有一个不存在.(无穷大属于不存在之列)(3)连续延拓原理二、区间上连续函数的基本性质1.零点存在定理(1)连续函数零点存在定理(2)定理的几何解释的零点.2.值域定理(1)值域定理 (2)推论①(连续有界定理)有界闭区间上的连续函数必有界；②(最值定理)有界闭区间上的连续函数必存在最大值与最小值；③(介值定理)对一切μ∈[m,M],必存在x'∈[a,b]使得f(x')=注意：如果f在[a,b]有一点不连续，那么f(x)的有界性、最值存在性均可能不成立.3.一致连续性(1)一致连续的定义①设f在<a,b)=I上有定义，如果极限则称f(x)在区间I上一致连续.②设f在<a,b)三I上有定义，若对Ve>0,38>0,满足时，有注意：若f在(a,b)上一致连续，则f必在(a,b)连续.(2)不一致连续定义①f在(a,b)上不一致连续→3e>0.V8>0,3x',x"∈(a,b),Ix'-x"I<8②f(x)于(a,b)上不一致连续→3eo>0注意：连续性一般推不出一致连续性.有界闭区间上的连续函数必一致连续.三、单调函数的性质1.不连续点的性质在区间(a,b)上定义的单调函数f于(a,b)的不连续点必是第一类不连续点.单调函数的不连续点至多为可列个.2.值域性质性质3如果f在<a,b>上单调，则f∈C(<a,b>)→值域f(<a,b>)是区间.3.反函数存在定理性质4(严格单调连续函数的反函数存在定理)设y=f(x)在<a,b〉上连续且严格单调增加，则值域I=f(<a,b>)是区间，反函数=f(y)是区间I上的连续且严格单调增加函数.4.有界变差函数(1)有界变差函数的定义(2)性质5(3)性质6(4)性质7af及f±g∈V[a,b]x+t<x-t,f(x+1)-f(x-)>0别有f(a)≥f(b).这与假设矛盾.存在c∈(a,b)使g(c)≥0.③(1)若g(a)=0,则(2)若g(a+α)=0,则/(a+a)+a]-f(a+a)=[f(a+2a)-f(4.设连续函数y=f(x),x∈[a,b],其值域R,≤[a.b],则一定存在x∈[a,b]使用反证法.若f(x)≠x那么f(b)>b.这与①式矛盾.则令F(x)=f(x)-x,由②知F(x₁)<0.F(x₂)>0,则存在E∈(z₁,x)C[a,b],若存在x∈[a,b],x:∈[a,b]使f(x₁)>x,f(x₂)<x,类似可得矛盾.则F(a)=f(a)-a>0;F(b)=f5.,试证明f(x)在(2,+)内有无穷多个零点.[南京大学研]若存在%使得f(x₀)≠A,不妨设f(x₀)>A(f(x₀)<A的证明完全类似)。因为从而有f(x₁)≥f(x),x∈(,+,即f(x)在(,+)上有最大值.7.证明：函在(0,1)内不一致连续，但在[1,2]与(2,+o)上均一致所以在(0,1)内不一致连续。x'、x"∈[2,A+1],|x'-x"<δ时，有即f(x)在(2,+0)上一致连续。8.设f(x)在[0,+～]上一致连续，且对任意的8>0,。证明：[华东师范大学2006研]对任意的x>N₈,存在n>N,0≤x₁<δ使得x=nIf(x)≤f(x)-f(n₁δ)|+|9.设f(x)在区间X上有定义，试证明：f(x)在区间X上一致连续⇔在区间X任意两,,义，则有If(x',)-f(x",)K<E6.1复习笔记一、导数概念1.导数的定义(1)可导的定义设函数y=f(x)于(a,b)上有定义，x∈(a,b)固定，则定义导数f"(x)为差商△y/△x如果f(x)存在且有限，则称f在点x可导。导数f(x)又常记为y'或dy/dx或df(x)/dx.。(2)定理可导点必连续，即若f在点x可导，则f在x连续。注：在函数f的连续点不一定可导。(3)切线方程①导数为有限时切线的定义若f在点x可导，故f在点x连续，此时过(x,f(x))的切线必存在且切线方程为其中X,Y为流动坐标，这里x是固定的。②导数为无穷时切线的定义为过点(x,f(x))注：若f"(x)=00,的切线。不定义切线。(4)法线方程过切点且与切线相垂直的直线称为法线。因此，与切线方程对应的法线方程是与X=x对应的法线方程是水平直线Y=f(x)。4.基本导数公式(1)C"=0(常数C的导数为0);(4)设函数u(x),v(x)可导，α,β是常数，则(5)(sinx)'=cosx,(cosx)'=-s(6)(a²)'=a²lna(a>0).f(a)=f(x)l设》=y(u),u=u(x)导数-(x)的导数(x-(x))称为n阶导数，记为"(x)或dy/dx":2.莱布尼兹公式设u(x),v(x)存在n阶导数，则3.隐函数求导法设方程F(x,y)=0确定了隐函数=y(x).对恒等式可求出y"(假定y"存在),类似地，从可求出”(假定x存在).x=x(t),y=y(t)1.微分的定义称为y(x)在点x的微分dy:注：将改记为dx.dx(=△z)称为自变量x的微分。(1)设y(x)在点x可导.根据导数定义△y=y'(x)△x+o(△x)=dy+0(△x4.高阶微分d²y=d(dy)=d(y'(x)dx)=(y'(x)dx),'dd"y=d(d¹y)=(ydx¹)'dx=y(x)dx".dx"=(dx)".证明：(1)由于(2)由于2.问函数3.设f(x)是定义在R上的函数，且对任意的、x₂ER,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)f(x₂)。若f'(0)=1,证明：对任意的x∈R,都有f(x)=f(x)。[江苏大学2006研]不恒为零，故有f(0)=1。由导数的定义和f(x₁+x₂)=f(x₁)f(x₂)可得解：对方程两边关于x求导可所以对上述的两边再关于x求导得,代入的表o解：,因为方程组中第二个方程是y关于t的一个隐函数，则对第二个方程关于t求导可得3y²y,+3y+3ty',=0,所以下求当t=0时，易知y(0)=-1,故6.设(0).[华东师范大学研]7.求出函数的导函数f"(x),讨论f"(x)的连续性(若有间断点，须指出其类别).[内蒙古大学研]不存在.不存在，因此x=0是f"(x)的惟一间断点，它是第二类间断点.8.椭圆上任意两点联结成的线段，称为此椭圆的弦.证明：椭的任意两条平行弦之中点联线必经过原点(即椭圆中心).[上海化工学院研]证明：设两条平行弦分别为AB与CD,这4点的坐标分别为A(x,y),B(x₂·y₂),CCx₃,y₃),D(x,y),AB(1)若AB与CD都平行于x轴(或y轴),则结论显然成立.两弦AB与CD两弦中点分别为.再设EO和FO(2)推论2①将②,③代入①得②③④⑤由④,⑤得k=kz,从而E、O、F在一条直线上，即两弦中点联线过原点.第7章微分学基本定理及应用7.1复习笔记一、微分中值定理(2)在函数的极值点处，或者不可导或者导数等于零，无其他可能.(3)函数的极值点必是极值可疑点.注：使得导数f(x)=0的点x称为f的驻点，驻点及不可导点(指f(x)定义域内部点)统称为f的极值可疑点.2.Rolle定理(1)Rolle定理若函数f在[a,b]上连续，并在(a,b)上可微且f(a)=f(b),则必存在E∈(a,b).满足f(e)=0.即上述f在(a,b)中必存在驻点.(2)几何意义在具有水平弦AB的可微曲线ACB上，必存在水平切线.(3)推论f的两个零点xi,x之间必有导数厂(x)的零点(若f在[x₁,x₂]上连续，在(x₁,x₂)上可微).3.Lagrange中值定理 (1)推论1f(x)=g(x)+C.x∈(a,b).(3)推论3若f在(a,b>上连续，在(a,b)上可微且了(x)|≤L(L是某个正数),则Vxi,x∈(a,b).有(1)定理(2)推论这个展开式称为在a点的Taylor展开式(带Peano余项o((x-a)")).(4)①当a≠0时，③当α=-1得3.Lagrange型余项若f在点a的邻域O(a)上n+1次可微，则对每个x∈O(a),存在E∈(a,x),使得上述形式的余项称为Lagrange型余项.它又可写成1.洛必达法则至可不存在)时，有以下求极限法则.设存在(或±0,o),则注：条件(2)成立蕴含f(x),g(x)在点a的某个邻域(a本身除外)上可微且g'(x)≠0.,将法则中的x→a改为x→a±,→±∞,→∞后仍适用.2.使用洛必达法则的注意事项(1)不型极限，不可贸然用洛必达法则.(2)不存在(也不是±0,o)时，洛必达法则失效，但此可能存在.(3)只有当lim(f/g)比lim(f/g)简单时，用洛必达法则才有价值.出现相反情形，只有另找求极限的途径.(4)洛必达法则与等价量法则适当地交替使用可避免由于求导而带来的复杂化现象，简化求极限过程.3.其他类型的未定型极限F'(c)=0.g"(c)≠0即有①②③f(x)|.1f'(x)|,!f"(x)|在(0,+0内的证明：(1)Vx∈(0.+)和Vh>0.由泰勒公式有解得再由x的任意性，有②由上面(1)知，在(N+)上由①,②有类似可证在(-∞,-N)上有f'(x)I<e,∴4.用微分中值定理证明：分别在[0.1],[1.2],……,[n-1,n],[n,n+1]上对f(x)应用拉格朗日中值定理，有2+¹-1*¹=(s+1)ξz,₂∈(1,2).…(n+1)+¹-n¹=(s+1)Et.E₁∈(n,n+1).代入上面n+1个式子得(s+1)0'<1+¹-0+¹<(s+1)(s+1)(n-1)<n'+¹-(n-1将上面前n+1个式子的左边相加得再将上面前n个式子右边相加得由①,②即证.①②5.设f(x)在(-o,+oo)上具有二阶导数，且"证明：由于f(x)在(-00,0)上有二阶导数，所以f'(x).f(x)在(-00,+oo)上连续.f(x)=f(c)+f'e)(x-c),e∈(c,x)①程f(x)=0在(-00,+oo)内至少有两个实根.再证方程f(x)=0在(-o,+)内实根个数不可能超过两个，用反证法.若方程f(x)=0有三个(或以上)实根设为x₁<x₂<xs.在[xx₂],Lx₂,x]上应用罗尔定理有6.证明：当x≥0时，存在0(x)∈(0,1),使得解：由,则由Lagrange中值定理知当x≥0时，存在0(x)∈(0,1),使得,证明数列8.设函数f在[0,1]上连续，在[0,1]上可导且存在正常数α∈(0,1),使行故由Cauchy收敛准则知存在，并定),则f在[0,1]上连续，所以f在[0,1]上一致连续，故f在(0,1)上一致连续。9..[华东师范大学研]解：由等价无穷小量和L'Hospital法则知故+0)时，有(x)≤1。证明:.[北京交通大学研]证明：要证,即要证明对任意的ε>0,存在A>0,当x>A时有If(x)ke。利用Taylor公式，对任意的h>0,有f'(x)=-2(I+x)⁻³,(x)=(-1)²3!(1+x)⁴,…,f"(x)=(-1)°(n+1)!(+x)+=1-2x+…+(-1)"(n+1)x"+(-1)"'(n+2)(1+第8章导数的应用1.定理2.推论(1)判别法1(2)判别法2若f∈C[a,b],a,b有限，则有界闭区间[a,b]上的连续函数必存在最大(小)值.(2)最值的可能点①设xo是f的最值点，如果x。∈(a,b),则必是它的极值可疑点，否则x。就是区间的端minf3.任意区间上的函数最值求法(1)在任意区间<a,b〉(开的或闭的，有界的或无界的)上，f的最值不一定存在，如果f在(a,b)上的确界能被f取到时，则确界就是最值.(2)设f在<a,b)上连续，有极值可疑点<x₁<…<xn,且f(a+)和f(b一)存在(有限或±0).当a=-时，这里的f(a+)由f(-o)来代替.同样，当b=+时，f(b一)改为f(+○),记则inff(<a,b))=minA.(1)凸函数定义①设f在<a,b)上有定义，如果对一切1,x₂∈<a,b),x₁≠²及0<λ<1,成立不等式f(ax₁+(1-λ)x:)≤Af(x₁)则称f是<a,b〉上的下凸函数，简称为凸函数.如果不等式严格成立，则称f是<a,b)上的严格凸函数.②若-f是下凸函数，则称f是上凸函数.(2)凸函数的判别法设f于<a,b〉上可微，则f严格下凸→严格个b.若f在<a,b>上二阶可微且f(x)<0,,则f于(a,b)上严格上凸.2.凸函数的性质(1)性质1(a,b)上的凸函数f(x)必连续且点点存在有限左右导数f(x).设f在<a,b〉凸，则过任意点(x₁,f(x₁))(x₁∈(a,b))必存在直线使得f(x)的图形在该直线上方f(x)≥f(x₁)+k(x₁)(x-x),Vx∈(a,b).若f(x)严格凸，则上述不等式当且仅当x=x₁时等号成立.式如果f严格凸，则上述不等式当且仅当x=x₂=…三不时变成等式.3.0.618方法(黄金分割搜索法)(1)黄金分割法的用途0.618方法适用于求凸函数的最小值的数值解，同时对函数没有可微性要求.f(x₁)≥f(x:)则最小值点ξ必在[x₁,b]之中.(3)黄金分割法求[a,b]上的严格下凸连续函数f的近似最小值点的算法：①取=b-0.618(b-a),x₂=a+0.618(b-a)并求出f(x₁)及f(x₂);②a.若f(x₁)≤f(x₂),则取新区间为[a,x₂].,为进一步提高精度，可取反复以上过程，直到将最小值点定位在指定小的区间上为止.注：每次定位，区间长度缩短到原来的0.618倍，因此n次定位可将最小值点ξ定在长度为0.618"(b-a)的区间之中.1.渐近线(1)垂直渐近线为o,则称x=a为f的垂直渐近线.(2)斜渐进线和水平渐近线设f在(a,+)上有定义，如果存在直线Y=kx+b,满足称该直线为f(x)在x→+o时的渐近线.若,则称渐近线为水平渐近线，否则是斜渐近线.(3)渐近线的求法有两个求f在x→±○的渐近线方法.①方法1十(或x→-o)时的渐近线.②方法2Y=kx+b是f在x→+c的渐近线一下列极限均存在2.y=f(X)作图的一般步骤作f(x)图形的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域、奇偶性及周期性.(2)求出f所有的极值可疑点(包括不连续点),记为O<x₁<x₂<…<ri<,这里xo,x是f(x)的定义域的两个端点.(3)求出f(x,±)(在连续点Xi,即为f(x,)),(x1,x是f的单调区间，这是因为f在(x₁-1,x)内不变号.若f(x₁±)与f(x₁-i±)不全存在，则可从f(x)的符号来确定f的单调情况.(4)求出它的渐近线.(5)求f的凸性区间.3.极坐标方程r=r(θ)的作图设r(θ)是周期函数，周期为T=απ且α是有理数.由于极坐标关于0是以2π为周期进行循环的，故要得到r=r(0)的完整图形，θ应取在[0,2nπ]上，这里区间[0,2nπ]恰由整数个长为απ且互不重叠的子区间构成，即2n/α是整数.4.隐函数及参数方程的作图要作由F(x,y)=0所决定的隐函数的图形，一般是先将方程F(x,y)=0化成参数方程或极坐标方程的形式后再来作图的.五、向量值函数1.向量值函数(1)向量值函数的定义参数方程x=x(t),y=y(t),t∈<α,β〉可写成向量形式：dr=r'(t)dt=(x'dr,y'dt)=(dx,dy).(c₁r(t)+c₂r₂(t))'=c₁(r₁(t)r₂(t))=r(t)r:(t(2)点r(t)处的切线方程(1)定义4.注意b],解：由于φ(x)=v²x°(1x)yox,令(x)=0可求得稳定点,所以最大值为。因为和f(3)取到。又因为√2²<√3,所以1,√2²,3,….,2-2004中最大的数为√3²4.求平面曲线t=1₀点的法线方程，并讨论曲线在t∈(0,π)段的凹凸性。[中山大学2007研]解：由于x(1)=atcost,y(1)=atsint,所以对应于1=1点的法线方程为cost/(x-alcost₀+/sin)]+sin/F'(x)=f(x)-f(x₀),所以F(x₀)=0。当x≥xo时，因为厂(x)>0,(1),(0<x<1,n为正整数):证明：(1)(2)只需讨论0<x、y<1时的情形。令y=tx,讨论0<t≤1时的情形。因为有g(t)在(0,1)上递增，g(0)=1,则x⁸+y⁸>1.x、y>1同样可证明。解：因为的极大值点，极大值的极大值点，极大值又因,所以(0,0)为V=x-2arctanx的拐点。设渐近线为y=kx+c,则,则,9.1复习笔记一、不定积分1.原函数与不定积分(1)原函数的定义设f是区间I上定义的一个函数.如果存在一个在区间I上可微的函数F,其导数则称F为f在区间I上的一个原函数，原函数必定是连续函数.(2)原函数族定理如果F是f的一个原函数，则F+C表示了f的全部原函数，其中C是任意常数.(3)不定积分的定义f的原函数全体F+C记,即这里C是任意常数，称为f的不定积分，f称为被积函数，x称为积分变量.2.基本不定积分表在以上公式中，C是任意常数，数a>0.3.线性运算公式是常数，当α,β同时为零时，等式右边应自动添上一个任意常数.二、不定积分的换元法和分部积分法1.换元法1——凑微分法设是可微函数，则等式左边的积分是2.三角函数积分的例子三角函数的积分常用以下代换：积分故仍可设“=tanx来达到化简的目的.3.换元法2——代入法时，可考虑用代换x=asint;x²+a或³-a时，可分别考虑用代换(3)在被积函数中含vax³+bx+c时，可先行配方化为上述三种情形之一.4.分部积分法移到等式右边，并将任意常数并入到此积分中即得分部积分公式：三、定积分1.[a,b]的分划的定义(1)分划的定义在有界闭区间[a,b]中插入分点a=xo<x₁<…<这些分点将[a,b]分成n个子区间子区间[x,x]的长为△x=-xH.分点集合P=|x,xr,…·xl称为[a,b]的一个分划.(2)分划长度的定义分划的长度|PⅡ是指子区间的最大长度，即IPlI=max(△x₁,△x₂,…,△z).(3)等距分划如,则分划P称为等距分划，这时分点为x₁=a+i°n,i=0,1,…,n.,对等距分划来说2.Riemann积分的定义(1)Riemann和的定义称为(对应分划P的)Riemann和(简称为(R)和),这里∈[x,x,].(2)Riemann积分定义①若f在[a,b]上的Riemann存在与&∈[x,x选取无关的极限，则称f在[a,b]上Riemann可积(简称(R)可积或可积),极限称为f在[a,b]上的Riemann积分或(R)积分，并记作②-σ语言Ve>0,38>0,VI|PI<8,,不等式对VE∈[x-1,x]都成立.(R)可积函数必定是有界函数.注：①定积分表示一个数，不管积分变量用什么记号，它都表示同一个数；积分是自然的.在这样的定义下，如不存在，则面积S也不存在了.(1)原函数概念的推广则仍称F为f在I上的原函数.(2)N.L.公式的上确界和下确界，称差值=M-m为f(x)在[xH,x]上的振幅，而(2)引理1S≥S',S≤S',IS-S'≤2M|(3)引理2(4)定理f(x)于[a,b]上(R)可积5.一个重要的推论1.零测度集的定义如果对Ve>0,3一列开区间I₁,I₂,…,它们的总长,并且覆盖了集合A,即ACUT,则称集A为零测度集或零集.即零测度集是能被总长度任意指定小、个数至多为可列个的开区间所覆盖的集合.2.几乎处处连续的函数(1)定义设f定义在有界闭区间[a,b]上，如果f的不连续点的全体是零测度集，则称f为[a,b]上的几乎处处连续的函数(或称a.e.连续函数).设f定义在有界闭区间[a,b]上，则f∈R[a,b]一f是[a,b]上的有界a.e.连续函数.(3)推论1有界闭区间[a,b]上的连续函数、不连续点仅为有限或可列个的有界函数都在[a,b]上可积.有界闭区间[a,b]上的单调函数必可积.af.fg.及f都在[a,b]上可积.五、定积分性质1.基本运算性质(1)性质1(线性性)设f,g∈R[a,b],则这里α,β是常数.(2)性质2(区间可加性)f=fr+[f.注：在定积分的定义中，总假定a<b.这个限制是可以去掉的，只须约定(3)性质3(比较性)注：性质3中的条件a≤b的作用，如果不是a≤b而是a>b,将得到相反不等式=-≥-r=f.b→b,b<b就是左极限b'→b—；2.换元公式(2)收敛发散的定义若上述极限存在且有限，则称广义积收敛；反之，称为发散.(3)非负函数的广义积分关于b'∈[a,b]单调增加.因此，极限必存在(有限或+).就是说，2.线性运算公式均收敛，则对一切数a,β有若f(x)在(a,b)除去有限个奇点外几乎处处连续，又因为它在(a,b)上存在原函数F(3)当F(a+)或F(b一)之一或两个都不存在时，广义积分必发散.这里的原函数F在(a,b)连续，且除有限点外，F'(x)=f(x).七、定积分与广义积分的计算1.分部积分公式除有限点外，u(x),v'(x)在(a,b)存在且连续，则同时收敛(发散),在收敛时成立分部积分公式：(1)常义情形设u=u(x)于有界闭区间[a,b]上连续可微，f(u)在u(x)的值域上连续，则(2)广义情形设u(x)于(a,b)(可能无界)上单调且连续可微，f(u)于u(x)的值域<u(a+),u(b一)〉上连续(a<b),则广义积同时收敛同时发散，收敛时成立等式八、若干初等可积函数类1.有理函数的积分(1)有理函数的积分的定义Q(x)/R(x)称为有理函数，这里Q(x)和R(x)是互质多项式.(2)求有理函数的积分的步骤①先作除法(当分子次数大于分母时)其中Q₁<0R,这时Q(x)/R(x)称为有理真分式.②拆分真分式Q(x)/R(x)可分解为一些简单分式的和：a.分母R(x)中的每一个k重实根a对应其中C₁,C,…,C是待定系数.b.分母R(x)中的每一对k重虚根a±is(β≠0a,β实)对应(2)在积分中，设x-a=1/t,可化归为上一种情形.(3)积分(凑成x"幂次),再设“=√a+c便可积出.3.有理三角函数的积分为有理三角函数积分.(2)步骤通过万能代换化为有理函数的积分，用初等函数来表出.事实上，将这些表达式代入I,即得这是有理函数积分.4.对称性在积分中的应用(1)奇(偶)函数定义设f(x)在区间[xo-a,x₀+a]有定义，这里a>0,①Vx∈[-a,a],f(x₀+x)=f(xo-x)则②如果Vx∈[-a.a1.f(x₀+x)=-f(x₀-x),则称f为xo奇函数.显然，xo偶函数的函数图形关于直线x=xo对称，而xo奇函数的函数图形关于坐标点(xo,0)中心对称.(2)奇(偶)函数在积分中的应用若f,g∈R[z₀-a,zo+a](或广义可积),又f为xo的偶函数，g为xo的奇函数，则显然，两个xo奇(偶)函数相乘(除，若分母不等于零)必得xo偶函数；xo奇函数与xo偶函数相乘(除)必得xo奇函数.9.2名校考研真题详解一、判断题1.若f(x)在I上有原函数且单调，则f(x)在I上连续.()[南京师范大学2006【答案】对查看答案均不存在.首先有第一类间断点的函数不可能有原函数，若有，假设F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则成立，因此F(x)不可导，与F(x)为f(x)在I上的一个原函数矛盾.同理有第二类间断点更不可能有原函数.所以f(x)在I上不可能有间断点，所以f(x)在I上连续.二、解答题解：,则有F'(x)=-f(x),所以因为g(-x)=g(x),所以故,而当L∈0,z)时tant>t,所以广'②<0,,即,从而可知当注意到β>1,所以收敛，从为一常数，记为a,则敛.对于Bn,作变换U=π-之后可作类似推理，可收敛.,证明：,证明：则存在.[上海8.f(x)在[0,1]上单调，且广义积分存在.[上海大学2006研]证明：不妨设f(x)在(0,1)上单调递增，则由而故由夹逼法知9.设无穷积收敛且极限证明：A=0.[陕西师范大学研]证明：反证法.若A≠0,不妨设A>0.由知，存在N>0,使得收敛矛盾.[南京农业大学研]第10章定积分的应用10.1复习笔记一、平面图形的面积设f∈R[a,b],a≤b.如图10-1所示的情形，(1)在[a,x₁]上f(x)≥0,积).(2)在x,b]上f(x)≥0,积).(2)如果在[a,b]上f(x)≥g(x),则上r=r(t)=(x(t),y(t)),是[a,β]的一个分划，记M=r(z.).M₀M…M构成曲线T的一条内接折线(图10-5),F这里M-M:表示线段M-1M的长.如果s存在且为有限，则称T为可求长曲线.2.弧长公式(1)设y(x)在[a,b]上可微且导数y"(x)可积，则曲线y=y(x),a≤x≤b的弧长s是(3)空间曲线r(t)=(x(t),y(t),z(t)),a≤t≤β的弧长s是其中x(t),y(t),z(t)在(α,β)中没有自交点.(1)弧长微分(α,β)中没有自交点.从r(α)到r(t)的弧长s(t)是②在y=y(x)情形，上式可简化为ds=√1+y"dx.(2)自然参数方程①如果取弧长s为新的参变量，则r=r(t)可改写成r=r(t(s))=r(s),这个方程称为自然参数方程.②在自然参数方程下，切向量是单位向量(即a|(s)|=1),事实上5.平面曲线的曲率(1)曲率定义曲率是用来描述曲线的弯曲程度的.当弧长从s增加到s+△s时，切向量从r"(s)变成r"(s+△s),用△φ表示r"(s)与r"(s+△s)之间的夹角(取O≤φ≤π).比值的绝对值称为平均曲率.极限称为曲线r=r(s)在s处的曲率.(2)曲率公式①公式1设y=y(x)二阶可微，则于点x曲率为②公式2设r=(x(t),y(t))是光滑曲线且(x(t),y(t))二阶可微，则曲率为三、旋转体的体积和侧面积1.一般体积公式设一几何体夹在x=a和x=b(a<b)这两个平行平面之间(图10-6),用垂直于x轴并与x轴交点的坐标为x的平面去截这个几何体，所得的截面面积为S(x),如果S(x)是[a,b]上的(R)可积函数，则该几何体的体积V等于图10-62.旋转体的体积1.质量2.质心(3)①(Guldin第一定理)质量均匀分布的平面图形9的质心(x,x)又称为形心.设平1.近似求积公式(1)矩形求积公式其中c∈[a,b].(2)梯形求积公式1.在Oxy平面上，光滑曲线L过(1,0)点，并且曲线L上任意一点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(a>0为常数).(1)求曲线L的方程；(2)如果L与直线y=ax所围成的平面图形的面积为8,确定a的值.[中山大学2007研]解：(1)设曲线L的方程为y=y(x),则由题设条件知.解此微分方程并注意(2)L与直线y=ax的交点为(2,a),于是解得a=6.解：由于√x"(1)+y²(1)=√1-cost²+sin²t=√2(2)求级的和.[河北大学2006研]解：(1)两条抛物线的交点.从而5.求曲线x=acos't,y=asin³t(a>0)绕直线y=x旋转所成的曲面的表面积.[中国科学院2006研]利用对称性，并做旋转，即得所求旋转曲面表面积6.设V(t)是曲：在x∈[0.上的弧段绕x轴旋转所得的体积，试求常数c,使.[东南大学研]解：由旋转体体积公式可得所以第11章极限论及实数理论的补充11.1复习笔记1.基本数列(1)基本数列的定义若。,即对每个e>0,都能找到一个自然数N,对一切n,m≥N成立不等式称{xn}为(Cauchy)基本数列.若{xn}收敛，则{xn}必是基本数列.2.数列极限的Cauchy收敛准则基本数列必有界.(2)Cauchy收敛准则f(x)-f(x")|<e.取x。∈[a,b],递推式为+1=φ(x),n=0,1,2,…,设一切z.∈[a、b],如果是连若1.上(下)极限的定义(不包括不定号无穷大),则称为a数列{xn}的一个极限点.数列{xn}的最大(最小)极限2.上(下)极限的存在性3.上(下)极限和极限的关系(1)根据上(下)极限的定义，1.有限开覆盖定理(1)覆盖的定义(2)有限开覆盖定理2.实数系基本定理小结(6)有限开覆盖定理.3.实数系的一种引进法(1)QD10函数(称为有理数),它们可与有理数r等同起来.是指≤阻a≠β.显然Va,β∈R,关系式α<β,α=β,a>β有且仅有一个成立.(2)确界存在定理|(x|≤C,x∈[e,d],n=1,2,…[南京理工大学2006研]f(x)>1.证明：用确界原理证