函数的方程与零点（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第10讲函数的方程与零点

（6类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

函数与方程的综合应用，根据函数零点的个数求参数范围，已知方程求双曲

2024年天津卷，第15题,5分

线的渐近线

2023年天津卷，第15题,5分根据函数零点的个数求参数范围

2022年天津卷，第15题,5分根据函数零点的个数求参数范围，根据二次函数零点的分布求参数的范围

2021年天津卷，第9题,5分根据函数零点的个数求参数范围

2020年天津卷，第9题,5分函数与方程的综合应用，根据函数零点的个数求参数范围

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度较高，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握函数的零点，能够理解函数的方程，函数的零点与交代你的含义

2.能掌握函数图像与性质

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像解决零点问题

4.理解并掌握二分法思想，会用零点的存在性定理判断零点的个数

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般难度系数较高，通常为判断零点的个数，或者已知

零点个数求取值范围。

「卜•考点梳理，

.函数零点概念

1考点四、函数零点及零点个数

2.零点存在性定理

厂知识占一零点J3.零点存在唯一性定理考点五、复合函数的零点

4.函数零点、方程的根与函数图像的关系考点六、二分法的应用

5.二次函数的零点{

函数的方程与零点I

1•函数的图像考点一、

函数图像的识别

2.描点法作图<考点二函、数的图像变换

{3.图象变换考点三、由函数图象确定解析式

知识讲解

知识点一.零点

1.函数零点概念

对函数y=/(%),把使=0的实数％叫做函数y=/(%)的零点

2.零点存在性定理：

如果函数y=/(x)在区间［a,加上的图象是连续不断一条曲线，并且有/(a)/(b)<Of,那么，函数y=/(%)在

区间(。,6)内有零点.即存在此(口方)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

3.零点存在唯一性定理：

如果函数y=/(久)在区间a,0上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)f(6)<0,且在［a,加上单调，那么

函数y=/(久)在区间(a,b)内有唯一的零点.即存在唯一的ce(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0

的根.

4.函数零点、方程的根与函数图像的关系

函数y=F(x)=f(x)-gQ)有零点

方程F(x)=f(x)-g(x)=0有实数根=>函数乃=/(%),y2=g(x)图像有交点

求函数y=/(久)零点的方法：

①直接解方程f(%)=0；

②利用图象求其与x轴的交点(交点的横坐标即是零点)；

③将方程外行=0变为两个函数，通过图象看它们的交点情况(同时可以知道零点的个数)；

④可通过二分法求函数的零点的近似值.

5.二次函数的零点：

二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)

(l)A>0,方程a/+版+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点

(2)△=0,方程a/+6%+c=0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个零点.

(3)△<0,方程a/+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点

知识点二.函数的图象

1.函数的图像

将自变量的一个值与作为横坐标，相应的函数值/(而)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，

当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为

{(x，y)ly=f(x),x^A],所有这些点组成的图形就是函数的图象.

2.描点法作图

方法步骤:

(1)确定函数的定义域；

⑵化简函数的解析式；

(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);

(4)描点连线，画出函数的图象.

3.图象变换

(1)平移变换

(2)对称变换y=f(x)+k

G=、关于x轴对称“、

①y=f(x)---------->y=-/(x)；上碇>0)

移个单位

®-、关于y轴对称f、左移右移

②y=f(x)---------->y=/-(x)y=f(x+h)*y=/(x)y=f(x-h)

〃个单位九个单位

自，,、关于原点对称乙、(h>0)下碗>0)(h>0)

③y=fO)---------->y=-/(-x)；移个单位

④>=〃(a>0J!L存1)关:)~x对邓y=]og/a>o且存1)y=f(x)-k

(3)伸缩变换

横坐标伸长到原来的!倍得y=f(a)x)(0<®<1)

①把函数y=/(x)图象的纵坐标不变,

w

②把函数y=/(久)图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的-倍得y=(®>1)

w

③把函数y=f(x)图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的w倍得y=(x)(0>1)

④把函数y=f(x)图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的w倍得y=&>/(%)(0<®<1)

(4)翻折变换

保留x轴上方图象

①y二/(©将x轴下方图象翻折上去y=，0川―

保留y轴右边图象，并作其

②y=/(%)―关于丁轴对称的图象、y=/(田).

考点一、函数图像的识别

典例目阚

1.(2024.全国.高考真题)函数/(%)=-/+(留一e-%)sin%在区间[一2.8,2.8]的图象大致为()

2.（2022.全国.高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是（）

2.（2024・山东•模拟预测）函数/（x）=指系的图象大致为（）

考点二、函数的图像变换

典例引领

2x—1/-I\%

©的图象，只需将指数函数y=Q的图象()

A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位

C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位

2.(22-23高三•全国•对口高考)把函数y=log3(x-1)的图象向右平移之个单位，再把横坐标缩小为原来的点

所得图象的函数解析式是.

即时检测

4______________

1.(22-23高三・全国•对口高考)利用函数/(%)=2支的图象，作出下列各函数的图象.

⑴丫=/(一式)；

(2)y=/(|%|)

(3)y=f。)-i；

(4)y=l/(x)-1|；

(5)y=-7(x)；

(6)y=-1).

2.(2024・辽宁•三模)已知对数函数f(>)=logax,函数/(久)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原

来的3倍，得到函数。(久)的图象，再将或久)的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f(x)的图

象重合，贝必的值是()

3r>2「遮TA/o'

AA.—B.—C.—D.V3

233

3.(2023・河北•模拟预测)已知函数/(久)=甘翳，则下列函数为奇函数的是()

A./(x)-1B.f(%)-2C./(%-2)D.f(x+2)

1％2%>Q

4.(2023•新疆阿勒泰・三模)已知函数则函数/(%)=1'二；g(%)=/(-%),则函数g(%)的图象大致是()

一，％<u,

考点三、由函数图象确定解析式

典例引领

1.(2024.内蒙古呼和浩特.二模)函数f(x)的部分图象大致如图所示，则f(x)的解析式可能为()

C./(%)=启D./(%)=ex—e~x+sinx

2.(23-24高三下.天津.阶段练习)已知函数/(£)的部分图象如下图所示，则/(%)的解析式可能是()

**

A.f(x)=二坐B.9=芸

仁川)=奏D.f(x)=W­­COSX

♦♦即时检测

1.(2024.上海奉贤.二模)已知函数y=/(：%），其中y=/+i,y-5（x）,其中g（%）=4sin%,则图象如图

所示的函数可能是().

-幽

AyvD.y——

--fWgM

c.y=f(x)+g(x)_1D.y=/(x)—g(x)—1

2.(2024・湖南•二模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为()

3.(2024・广东江门.二模)若函数/(x)的图象与圆C:/+必=4恰有4个公共点，则/(%)的解析式可以为()

A./(%)=||%|—2|B./(%)=x2—2\x\

C./(x)=|2^-2|D./(%)=|lg%2|

考点四、函数零点及零点个数

典例引领

1.(22-23高三上•江西鹰潭•阶段练习)函数/(X)=(3尢—27)ln(x—1)的零点为()

A.2,3B.2C.(2,0)D.(2,0),(3,0)

2.(2023高三・全国•专题练习)已知指数函数为f(x)=43则函数y=/(x)—2，+i的零点为()

A.-1B.0

C.1D.2

即时检测

1.(22-23高三・全国•对口高考)已知a=$方程。团=Ilog。久|的实根个数为.

2.(2023•全国•模拟预测)已知函数/(X)满足/(X+|)=/(无一习,当％6［。，3)时，/(x)=2x3-llx2+14x,

则/(x)在［-120,120］上的零点个数为.

考点五、复合函数的零点

典例引领

|lg（-x）|+1,%<0

1.（23-24高三上.河北张家口.阶段练习）已知函数f（x）=小x,则函数丫=产（%）-3/0）+2

U+1/2。

的零点个数是（）

A.6B.5C.4D.3

2.（2022高三上.河南.专题练习）已知函数/（x）=\二31>0,则丫=/（/⑼_1的零点个数为（）

（久十三

NI1.）tXU,

A.4B.5C.6D.7

即时检测

1.（23-24高三上•天津•期中）已知函数/（%）=/+2%+皿m€R,若函数/（/（%））有且只有一个零点，则

（）

A.m>1B.m<0

C.0<m<1D.—1<m<0

-%2+2%%>0

{in（_%）+11o‘则函数y=/，（%）一1]的零点个数

是（）.

A.2B.3C.4D.5

3.（23-24高三上•河北•阶段练习）已知函数/（久）=[（:则函数g（x）=[f（x）K-的所有

零点之和为（）

A.2B.3C.0D.1

x

（e

4.（2024.全国.模拟预测）已知函数/（X）=/">1,若函数4久）=[f（x）]2-好（%）有两个不同的零点，

vxex,x<1

则实数a的取值范围为（）

A,[-?0）U[pe）B.[o,?）u{e}

C

-{一仙球加小收）D.{-；}u（0,^）

考点六、二分法的应用

典迪。

1.（2023高三•全国•专题练习）用二分法求函数f（x）=ln（x+l）+x—1在区间（0,1）上的零点，要求精确度

为0.01时，所需二分区间的次数最少为()

A.5B.6C.7D.8

2.(22-23高三.全国.对口高考)函数/(%)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01,则对

区间(1,2)至少二等分()

A.5次B.6次C.7次D.8次

♦♦即时检测

1.(2023・辽宁大连•一模)牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数f(x)在X。附近

一点的函数值可用人久)=f(x0)+尸(殉)0-&)代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可

快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程产―3x+l=0,选取初始值久o=%在下面四个

选项中最佳近似解为()

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

2.(2023・广西•模拟预测)人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，

给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方

程第3+2x2+3汽+3=0的近似解，先用函数零点存在定理，令/(%)=%3+2x2+3%+3,/(-2)=-3<0,

/(-1)=1>0,得(—2,—1)上存在零点，取出=-1,牛顿用公式马=0-1—点嗯反复迭代，以作为

JVXn-i)

/(%)=0的近似解，迭代两次后计箕得到的近似解为;以(-2,-1)为初始区间，用二分法计算两次后，

以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为.

3.(23-24高三下•北京.阶段练习)函数/(乃=ln(2x)—i的一个零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

ML好题冲关・

基础过关

1.(2019高三•全国・专题练习)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()

2.(23-24高三下•福建厦门・强基计划)/(%)=tanxsinx—sin%—tanx+1在［0,2兀］上的零点个数()

A.1B.2C.3D.4

3.(2024.陕西安康.模拟预测)函数/(%)=1口%+%2-2的零点所在区间是()

A.(o,y)B.(y,l)c.(1,V2)D.(V2,2)

4.(2024・江苏盐城•模拟预测)函数y=cos%与y=lg|%］的图象的交点个数是()

A.2B.3C.4D.6

5.(23-24高三下•江西•阶段练习)设函数/(%)=sin(23%+g)(3>0)在(0*)上有且仅有1个极值点和1个

36

零点，/(今=0，则3=()

A.-B.-C.-D.-

3366

6.(22-23高三上•甘肃定西•阶段练习)已知函数f(x)=17久>°,若关于久的方程f(久)=a恰有

12%2+4%+1,%<0

三个实数根，贝!Ja的取值范围为.

7.(2024・河南・二模)已知函数/(%)是偶函数，对任意％eR,均有/(%)=/(%+2),当%E［0,1］时,/(%)=1-%,

则函数g(%)=f(x)-log5(x+1)的零点有个.

能力提升

1.(2024高三・全国•专题练习)方程等1+x2-4=。的实根个数为()

V4

A.4B.3C.2D.1

2.(2024•福建泉州•模拟预测)已知函数〃久)=已,若不等式“X)-a(x+2)>0的解集中有且仅有一个整

数，则实数a的取值范围是()

A•层田13.层卷)C.搂，用口.居福)

3.(2024•全国•高考真题)曲线y=/一3久与y=-0-1)2+a在(0,+8)上有两个不同的交点，贝ija的取值

范围为•

4.(2024高三•全国•专题练习)若方程c