湖南省邵东市某中学2025届高三年级上册第三次月考数学试卷（含答案）

湖南省邵东市第一中学2025届高三上学期第三次月考数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.设集合A={x|m-3<x<2m+6},5={%|1082%<2},若AB=A,则实数机的取值范

围是（）

A.0B.[-3,-l]C.（-l,3）D.[-l,3]

2."logi〉。”是"（。-1）（m-1）>0”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

3.若a>0，/?>0，aZ?=4a+6+12,则的取值范围是（）

A.1%|0<x<18}B.1%|0<%<36}C.1%|%>18jD.36}

4.设等差数列{%}的前n项和为S„，且满足4<0,S,=席，则当S〃取得最小值时,〃的值

为（）

A.10B.12C.15D.24

5.已知2cos（2夕+/7）-3cos/?=0,则tancrtan（a+0=（）

A.5B.lC.-5D.-1

6.已知函数/（x）=xsinx-1与g（x）=q（x2+l）的图象恰有一个交点，则”=（）

A.-1B.-±

2

7.已知函数/（》）=25垣]0》一看〉11110%+1}0〉0）,若函数8（%）=/（》）+正在0,5

上只有三个零点，则co的取值范围为（）

A•%BN4与D[鸿）

8.已知函数7■（x）=e，——-—6x（a/eR）没有极值点，则―也的最大值为（）

2(«+1)

A.显

2

二、多项选择题

9.已知函数/(x)=Asin(s:+|A>0,口>0J同<]的部分图象如图所示，则下列说法

B.函数”力的图象关于直线犬=一齐对称

2兀

C.函数/%--是偶函数

71

D.将函数“力图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y=2sin|x+—的图象

3

10.数列｛见｝满足%+2%%-%=0(〃eN*),q=l,则下列结论正确的是()

A•若包=3巳则也｝为等比数列

1A11]\

B.若%=[±+±+...+±，则｛*｝为等差数列

"(q%an)

C.an=2〃-1

一1112〃-1

D.1--------F•••H-------―-------

a

%a22n-l&n

11.已知f(x)=2o?+3axz+g—iQ+b,则下列结论正确的是()

A.当Q=1时，若/(x)有三个零点，则》的取值范围是(-1,0)

B.当a=1且xe(0,兀)时,/(sinx)<f(sin2x)

C.对于任意小eR满足了(%-1)+/(—%)=2b+1

D.若/(x)存在极值点演”且/伍)=/(%)淇中/wX],则2x0+X]=-1

三、填空题

12.设｛4｝是等比数列，且q=3,%+%=18,则an=.

13.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且

a2+b2-c2=«Z?sinC，acosB+Z?sinA=c，a=^/io，则万=--------

14.若函数〃力=卜「a|-alnx有两个零点,则实数a的取值范围为.

四、解答题

15.如图,在平面四边形A3CD中,AB=AD=4，BC=6-

(1)若A=@^,C=巴，求sinZlBDC的值；

33

⑵若CD=2,cosA=3cosC，求四边形ABC。的面积.

16.记r为数列｛4｝的前〃项和，已知囚=1,]&]是公差为工的等差数列.

Van)3

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)证明:工+工++—<2

17.已知锐角△ABC中，角A、B、C所对边为a、b、c,且tanB+tanC+6

tanBtanC

(1)求角A；

(2)若q=4,求b+c的取值范围.

18.已知函数/(x)=ln(x+l).

(1)求曲线y=/(x)在％=3处的切线方程.

(2)讨论函数E(x)=x-(a+l)〃x-1)的单调性;

设函数g(x)=(x+l)/[-/

(3).证明:存在实数办使得曲线y=g(x)关于直

线工二机对称.

19.若数列｛q｝的各项均为正数,且对任意的相邻三项,都满足。一0+1<a；,则

称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项%,%,%,都满足%+的V2%则称

该数列为“凸数列”.

（1）已知正项数列｛%｝是一个“凸数列”，且a“=e。"，（其中e为自然常数,〃eN*），证明：

数列｛4｝是一个“对数性凸数列”；

（2）若关于x的函数/（7=4+3+32+33有三个零点，其中4>O«=I,2,3,4）.证明:

数列内也也也是一个‘对数性凸数列”；

（3）设正项数列旬,%…4是一个“对数性凸数列”证

(1n、1n-1/in-1Yi

明:>

J+1为2%

z=07n—1J=I八/

参考答案

1.答案：D

解析：因为AB=A,所以3口4

则由3={x[0<x<4},

—r/日[rn-3<0

可得！=^>-l<m<3,

2m+6>4

故选:D.

2.答案：A

解析：若log/〉。,则当o<a<l时,0〈加<1；当Q>1时，m>1；故

当。=机=0时,（“一1）（加一1）>0成立，但log.m>0无意义；

所以“log.m〉0"是"（。-1）（加-1）〉0”的充分不必要条件.

故选:A.

3.答案：D

解析：因为。〉0，/?>0,由基本不等式可得岫=4a+6+1222^^+12=4旅+12,

即ab——1220，解得26或<—2（舍去），即a/?236，

当且仅当F=4a,即2=3时，等号成立，

ab=36[b=12

故ab的取值范围是{x|x'36}.

故选:D.

4.答案：B

解析：因为S[=S亶，则/+。9---1-%7=0，

又因为数列{a“}为等差数列，则/+。17=%+"16=…=a\1+a13，

可得5（42+&）=°，即％2+。13=°，

且q<0,可知&<0,q>0，

即当“W12时,。“<0；当”213时以〉0；

所以当S,取得最小值时.的值为12.

故选:B.

5.答案：D

解析：2cos(2a+0=3cos6则2cos(a+/?+a)=3cos(a+/?-a)

则2cosacos(a+/?)—2sin(a+月)sina=3cos(a+月)cosa+3sin(a+分)sin*,

即-5sin(a+月)sina=cos(a+月)coso，所以-5tan(a+尸)tana=1,

/.tan(cr+/?)tancif=9

故选:D

6.答案：A

解析：令函数丸⑴=/(%)—g(x)=xsinx-1—<2(x2+1),其定义域为R,

2

//(-%)=—xsin(一力―]—Q(―%)+1=xsinx-l-tz^x+1)=/(%),函数/z(%)为偶函数,

由函数/(x)=xsinx-l与g(x)=a(/+1)的图象恰有一个交点，得〃(x)有唯一零点,

因此h(0)=0,即—1—Q=0,解得〃=—1,h(x)=xsinx+x2,

当%>0时,〃(x)=sinj:+xcosx+2x=sinx+Mcosx+2)>sinx+x,

令函数(p{x}=sinx+x,x>0,d(x)=cosx+120,函数(p{x)在(0,+oo)上单调递增,

(p(x)>0(0)=0,贝!j当％>0时,h'(x)>0,函数/z(元)在(0,+oo)上递增，在(-oo,0)上递减,

所以函数/九)有唯一零点，〃二—1.

故选:A

7.答案：A

71717171

解析：因为/(%)=2sincox—sinCOXH----=2sincox--cos—cox----

63I623

71

=2sina)x--coscox—=sinIcox--

I66I3

所以g(x)=y(x)+2=sin2cox--]+旦

I3~1'

+生。得V3

令sin2a)x--sin2a)x--=------，

I3I32

所以2口九一色二一三+2左兀或20x—巴=一圆+2左》(kGZ),

3333v7

即cox—kn^cox-­—+kn(keZ)，贝U%=或尤=---GZ),

6CD6a)CD

则非负根中较小的有：0,至，二，也；

6a)co6co

因为函数g(x)=/(x)+岑在上只有三个零点,

所以M<2〈生，解得2<°<U.

。26。3

故选:A

8.答案：B

解析：函数/(x)=e\一法没有极值点，

2(Q+1)

f\x)=e---x-b>o,或f\x)vo恒成立，

<2+1

由y=e"指数爆炸的增长性，广(%)不可能恒小于等于0,

f\x)=ex—x-b>Q恒成立.

a+1

令/z(x)=e%---则/(％)=ex----------

当a+l<0时,〃(力>0恒成立,力⑴为R上的增函数,

因为e%(O,y)是增函数,-9x-b^(-oo,+oo)也是增函数,

所以，此时/l(x)£(ro,+oo),不合题意；

②当a+l>0时，〃(x)=ex--彳为增函数，由"(x)=0得x=-ln(a+l),

令//(%)>0ox>-ln(Q+l),”(%)vOo%<-ln(Q+l),

/z(x)在(fo,-ln(a+l))上单调递减，在(-In(a+1),+oo)上单调递增，

1ln(6z+l),八

当X=-In(〃+1)时，依题意有=%(一皿〃+1))=——+—L-b>0^

a+1a+1

即+蚂”D

。+1a+1

<2+1(0+1)2，

令a+1=x(x>0),沅(x)=也?(%>0),

x

x-(lnx+l)-2x-(21n%+1)

则/(x)=------A----------------------，

x4x3

令/(x)〉0=0<x<十，令M(x)<0,解得x>亍,

e

所以当X=^^时,“(%)取最大值〃

2

故当"+1=+/=半'即°=当一12=当时b取得最大%.

。+1

综上,若函数入⑴没有极值点，则b的最大值为士.

6Z+12

故选：B.

9.答案：ABD

解析：由图可得,A=2--£=!><0，解得口=2,故A正确；

3124。

又函数图象经过点W，则2si“2x^+、|=2Wsin^+Qp,

因时<(,故(+<=(，解得夕='，故/(x)=2sin(2x+■).

对于B,当x=-』兀时,2%+二=」，此时函数取得最小值，故B正确；

1232

对于C，dxT1=2si“2x*+£j=-2sin2x,是奇函数，故C错误；

对于D,将函数/(%)=2sin^2x+^图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,

将得到函数y=2sin\的图象，故D正确.

故选:ABD.

10.答案：ABD

解析：由an+l+-=0,q=1,两边同除anan+l,

得:工+2——=0,BP—-------=2,J1—=1,

aa

44+1n+ln«1

所以J_是公差为2,首项为1的等差数列,

所以，=l+（〃一l）x2=2〃一1,所以贝U可知C错误；

4〃2〃一1

1hp+i

因为匕=3%-32n-19b〃+i=32〃+:所以=3?=9，且4=3，

'j_、

所以3工是等比数歹U,则可知A正确；

对于B:--2n-l,Cn」(1+3+5+…+2〃_1)」“0+2〃T):“,

annn2

故数列｛%｝为等差数列,则可知B正确；

对于口:l+工+工+…+^—=1+3+5++(4“—3)=(1+4“―3)(2〃T)

4«2。3a2n-\2

2勿一1

=(2〃—1)2=——，则可知D正确.

an

故选:ABD.

11.答案：ACD

解析：对于A:当q=1时,/(x)=2x3+3x2+b,f(x)=6x2+6x=6x(x+1),

由/'(x)=6x(x+l)>0,可得尤>0或％<—1,

由/'(%)=6尤(尤+1)<0,可得一l<x<0，

所以/(x)=2d+3/+匕的增区间为(-oo,-l)和(0,+oo卜减区间为(-1,0),

所以/(x)在x=-1处取到极大值，在x=0处取到极小值，

若/(x)有三个零点，则|f>°解得-1<。<0,故正确；

对于B:当％£(0,兀),0<sinx«l，O<sin2xKl，同时sin%之sin?%,结合A函数的单调性得

/(sinx)>/^sin2x),故错误；

对于

C:/(x-1)+/(-%)

=2Q(九一Ip+3Q(尤—I)2+(a—1)(%—1)+Z?+2^z(—x)3+3tz(—x)2+(tz—1)(—x)-\-b-2Z?+1,故正

确；

对于D:若/(x)=a%3+加+c%+dJ(x)=3ax2+2bx+c,

由“%）=/（%），得一片）+6储一片）+c（为一%o）=。，

则+玉%0+x：）+Z?（xl+xo）+c=O,

其中c=-3ax1-26%代入，得a（x；+毛/。+%：）+/?（玉+xo）-3axg—2bx0=0,

整理得+为/0-2%：）+〃（玉—/o）=O,即—九0）（再+2%o）+/?（%—%）=（）,

结合题设。（再一/）］%+2%0+。］=0=＞再+2x0=_2=_。,故正确，

Ia）a2

故选:ACD

12.答案：3又2"1或3、（-3尸

解析：设等比数列｛%｝的公比为以

因为Q］=3,%+/=18,

所以%+392=18，解得q=-3,或q=2,

当q=—3时,%=3x（—3）“T；

当4=2时,4=3X2〃T.

故答案为：3X2〃T或3X（-3尸

13.答案：3直

解析：a?+〃一/="sinC，即2他cosC=a/?sinC,「.tanC=2,

「sinC

tanC=------=2f2有

cosCsinC=-----

由《225

sinC+cosC=1,解得,/T

v5

sinC>0cosrC=——

15

acos5+加inA=c,由正弦定理得

sinAcosB+sinAsin5=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

sinAsinB=cosAsinB•

0<B<7i,sinB>0tanA=L0<A<TI^.A=—,

4

=^（cosCsinC）=^.

/.sinB=sin（A+C）=sin:+c+

3厢

由正弦定理得上=3,得6=竺电0=理X-----------

=3亚.

sinBsinAsinA也

~2~

故答案为:30.

14.答案：a>e

解析：当。=0时,/(x)=e，(x>0>无零点;

当a<0时,/(x)=e*-a-alnx在(0,+co)上单增,/(%)至多一个零点，不合题意;

设g⑺=卜工-人(尤)=film-,

当0<aWe时,g(x)与/心)的图象大致如图1所示,

当尤21时/(%)=e*-a-alnx,尸(x)=e*-，在(1,+oo)单调递增,/,(x)>/,(l)=e-a>0,

X

则“力在a,y)上单增,/(X)2/⑴=e-a»0,故"尤)至多一个零点，不合题意;

当a〉e时,g(%)与/z(x)的图象大致如图2所示，此时显然有两个交点，

故/(%)有两个零点;综上,a〉e,

故答案为：a>e

15.答案：(1)-

4

⑵16叵+8有

一3

解析：(1)在△ABD中,AB=AD=4，A=2^，则NAD3=二，

36

BD=2ADcosZADB=2x4xcos—=4百,

在△5。中'由正弦定理得一而=黑

E>人■「6sin一0

•/DMBCsinC33.

sinNBDC=----------=---=一

BD4V34

（2）在和ABCD中,由余弦定理得

BD2=AB?+AD--2AB•ADcosA=4?+4?—2x4x4xcosA=32—32cosA，

BD2=CB2+CD2-2CBC£>COSC=62+22-2X6X2XCOSC=40-24COSC，

1

得4cosA-3cosc=一1,又cosA=3cosC,得cosA=-一,cosC=—

39

则sinA=半,sinC二警,

四边形A3CD的面积S=S初"+SE”=LAB-AD-sinA+LcB-CD-sinC

_ADL）.BLD22

1,“2后，1vc16A/2+8A/5

23293

16.答案：（1）4="（,）

（2）见解析

解析：（1）,Oy=1,Sj=Oy=1=1,

又之是公差为』的等差数列，

laJ3

.工1+%_1）=".S—（〃+2”“

册3、）3■』-3

二当时,S“T=（"+；""T，

..%二»-dn-l=~~，

整理得：（〃一1M=（〃+l）%T，

即上J〃+1

a„-ln-l

/.an=qx」x=x...x-^-x—^~

a\?an-2an-\

134nn+ln(n+l)

=lx—X—X...X-----X-----=--------

I2n—2n—l2

显然对于"=l也成立，

・•.{4}的通项公式。="(;1);

2

(2)—==2|---—

\nH+1

111

/.——十—+<2

2n+v

17.答案:⑴A=f

(2)(473,8]

解析：(1)因为tan3+tanC+G=Q，所以tanB+tanC+G=^tanBtanC，

tanBtanC

所以tan3+tanC=g(tanBtanC-1),从而詈?震二一G'

即tan(B+C)=—君,

所以tanA="因为Aw（。,兀），所以A=5.

（2）因为q=4,A=C，由正弦定理，有上c_a_8石

3sinBsinCsinA3

所以

b="inB，

3

c=^sinC=^sin(^-B)

33I3J

所以6+c=4百sin5+4cos3=8sin[_B+£

又因为△ABC为锐角三角形,

0<B<-

2

所以，即乌<3〈二,所以二<3+四〈生,

0<0-5<乌62363

32

11

所以~~<s,(8+£)<1,从而b+c的取值范围为(46,8].

18.答案：(1)x—4y+81n2—3=0；

(2)答案见解析

(3)证明见解析

解析：⑴r(x)=-^，r(3)=|,

又/(3)=ln4=21n2,

故产/⑴在x=3处的切线方程为y-21n2=[(x-3),

即x—4y+81n2—3=0；

(2)/(x)=x—0-+=X一色-(«+1)111%,定义域为(0,+00),

2

zAaa+1x~(a+l)x+a(x-l)(x-a)

卜(x)=l+=------=--------；-------=-------j-----5

XXX"X

当。40时,令尸(力>0得兀>1,令尸(“<0得0<%<1,

故歹(力在(0,1)上单调递减，在(l,+oo)上单调递增；

当0<。<1时，令尸(1)>0得0<%<。或%>1,令F'(x)<0Wa<x<l,

故厂(％)在(0,a)和(1,+8)上单调递增，在侬1)上单调递减；

当a=1时,/力=(%-2丁>0恒成立，故F(x)在(0,转)上单调递增；

当a>1时，令F'(%)>0得0<%<1或x>a，令F'(x)<0得l<x<a,

故厂(％)在(0,1)和(a,+oo)上单调递增，在(1,a)上单调递减；

综上，当aW0时，/(％)在(0,1)上单调递减，在(1,内)上单调递增；

当0<a<l时,歹(%)在(0,a)和(1,+°°)上单调递增在上单调递减；

当a=1时,网力在(0,转)上单调递增.

当a>1时，/％）在（0,1）和（。,转）上单调递增，在（l,a）上单调递减;

（3）证明:函数8（%）=（》+1）1«1+^-，2+工：

函数g（x）的定义域为（―00,—l）U（0,+OO）.

若存在办使得曲线y=g（X）关于直线X=相对称，

贝U（0,+8）关于直线x=m对称,所以相

由g(-l-x)=(-x)ln1+土I

1x12x+l1x+112x+lx+1]x+12x+l

=-xln--------In--------=xln---------In--------(l+x)ln--------In------

x+1x+1xx+1xxx+1

人%+l[2元+1

=(l+x)ln--------In-=---g--(-x-).