广西贺州某中学2023年1月高一期末考试数学试卷（含解析）

钟山中学2023年1月高一期末考试

数学试卷

（考试范围：北师大版必修一、必修二全册）

一、选择题（本题包括12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题5分,

共60分）

1.已知集合L11则（）

A.（1,+co）B.[-l,+oo）C.[-1,1]D.[-1,2]

【答案】B

【解析】

【分析】利用并集的定义，即可得答案；

【详解】A=1x|x-l>01=1x|x>l|,5=1%|-1<%<2},

A<JB={小2-1},

故选：B.

【点睛】本题考查并集的运算，属于基础题.

2.函数/（x）='+lnx的定义域是（）

x+1

A.[-l,+oo）B.（-1,+co）C.[0,+e）D.

（。,+8）

【答案】D

【解析】

【分析】

分母不等于零，对数真数大于零联解即可.

"X+1H0

详解】由题得1c：.X>O

%>0

所以函数的定义域为：（0,+8）

故选：D

3.圆（尤+l）2+（j—2）2=4的圆心坐标和半径分别为（）

A.(-1,2),2B.(1,-2),2

C.(-1,2),4D.(1,-2),4

【答案】A

【解析】

【详解】根据圆的标准方程可知，圆(x+iy+(y—2/=4的圆心坐标为(-1,2),半径r=

2,选A.

4.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为()

A.丫=尤+1B.y-2xC.y=-D.

x

y=xIx|

【答案】D

【解析】

【分析】对选项运用奇偶性和单调性的定义，结合常见函数的奇偶性和单调性，判断即可得

到结论

【详解】解：y=x+l定义域为A，因为/(—x)//(x),且/■(一乃彳一汽九)，所以此函数

为非奇非偶函数；

>=2£的定义域为r，因为/(—x)w/(x),且/(—x)w-/(x),所以此函数为非奇非偶函

数；

的定义域为｛如W。｝,因为/(-尤)=-/(x),所以y」为奇函数，但y」在(—8,0)

XkIJXX

和(0,+co)上为减函数，所以此函数不符合题意；

y=x|x|的定义域为R,因为/(-x)=-/Xx),所以y=x|x|为奇函数，因为当尤>0时，

丁=必为增函数，则y=x|x|在A上递增，符合题意，

故选：D

【点睛】此题考查函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题

5.已知直线4:or+2y=0与直线6：(a+l)x—y+a-1=0垂直，贝()

-2

A.—2或1B.-2C.1D.——

3

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线方程的一般式，直线垂直：+8避2=0即可求解.

［详解］由直线4：ox+2,=0与直线g:(a+l)x_y+q_l=0垂直，

所以a(a+l)-2=0,

解得a=—2或1.

故选：A

【点睛】本题主要考查两直线垂直根据系数之间的关系求参数，需熟记公式，属于基础题.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数解析式得出函数的奇偶性和x>0时，函数的符号，运用排除法得选项.

e~x-exeY-e~x

【详解】：/(x)=——,：.x^0,7(-%)=——=-/(x),/./(x)=一—为奇函

xXX

数，故排除A,B；

当尤>0时，/(x)=ejx>0,故排除D,

故选：C.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势;

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

7.若直线2x+y+J£=0被圆/+丁=4截得的弦长为2g■，则加=

A.旧B.5C.10D.25

【答案】B

【解析】

【分析】

圆的圆心坐标为(0,0)，半径r=2,根据弦长得到黑=1，

计算得到答案.

【详解】圆的圆心坐标为(0,0)，半径r=2，直线被圆截得的弦长为2班,

可得圆心到直线的距离为=1,则m=5.

故选：B

【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.

8.已知圆C的圆心(2,-3),一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程

为

A.犬2+>2-4%+6y=0B.I?+y一41+6y+8=0

C.x2y2-4x-6y=0D.炉+J-41+6,一8=0

【答案】A

【解析】

【详解】设直径的两个端点分别A(a,0)B(0,b).圆心C为点(2,-3),

由中点坐标公式得，a=4,b=-6,

.*.r=—|AB|=—V16+36=y/13,

则此圆的方程是(X-2)2+(y+3)2=13,

即x2+y2-4x+6y=0.

故选A.

1

9.三个数a=0.8=log080.6,c=log070.6之间的大小关系是

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性同时比较和1的大小，即可比较出它们的大小关

系.

详解a=0.8"<1

b=logns0.6=----------->c—log6n0770.6=------------>------------=1

log060.8-log0.60.7log0.60.6'

因此

故选：£).

【点睛】本题主要考查的是对数函数、指数函数的单调性，要熟记一些特殊点，是基础题.

10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()

4

D.

3

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据三棱锥的三视图得到直观图，再求其体积即可.

【详解】依题意可知，该三棱锥的直观图如下:

p

平面ABC,B4=l,BC=2,5C边上高为2,

,1112

故体积V=—S,PA=—x一x2x2xl=—

3ABC323

故选：C.

11.若圆(x—3y+(y+5)2=/上有且仅有两个点到直线4x—3y—2=0的距离为1,则半

径r的取值范围是()

A.[4,6)B.(4,6)C.[4,6]D,(4,6]

【答案】B

【解析】

【分析】

因为(x—3)2+(y+5)2=/,可得洪圆心为M(3,—5),"(3,—5)到4x—3y—2=0距离为:

1=5,设4x—3y+C=0与直线4x_3y_2=0距离是1,解得与直线4x_3y_2=0距离

是1的直线有两条：4%—3y—7=0和4x—3y+3=0，讨论两条：4x—3y—7=0和

4x—3y+3=0与圆的位置关系，即可求得答案.

【详解】(x-3)2+3+5)2=/

可得:其圆心为“(3,-5)

根据点到直线距离公式可得知(3,-5)到4x-3y-2=0距离为：

,112+15-21

a=-----1—=5

J16+9

设4x—3y+C=0与直线4x—3y—2=0距离是1.

,|C+2|

根据平行线间距离公式可得:1=r—^

V16+9

解得:C=—7或C=3

，与直线4x—3y—2=0距离是1的直线有两条：4x—3y—7=0和4x—3y+3=0

|12+15-7|

又圆心M(3,—5)到4x—3y—7=0距离:=4

J16+9

|12+15+3|

圆心M(3,—5)到4x—3y+3=0距离:=6

V16+9

如果圆与4x—3y+3=0相交，那么圆也肯定与4%—3y—7=0相交,交点个数多于两个,

于是圆上点到4x-3y-2=。的距离等于1的点不止两个.

圆与4x—3y+3=0不相交，

「如果圆与4尤—3y—7=0的距离小于等于1,那么圆与4x—3y—7=0和4x—3y+3=0

交点个数和至多为1个，

圆只能与4x—3y—7=0相交，与4x—3y+3=0相离

■-4<r<6.

故选:B.

【点睛】本题考查了根据圆上点与直线的距离求圆的半径范围,解题关键掌握求直线与圆位

置关系解法，数形结合，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

12.若/(x)=2+lnx(lW%We2)(e为自然对数的底数)，则函数y=[/(力了+/(/)的

最大值为()

A.6B.13C.22D.33

【答案】B

【解析】

【分析】

先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上的最大值即可.

【详解】由IVxWe?及/(J)知iw/we?,故定义域为

又y=+/(炉)=(2+lnx)2+2+In%2=(lnx)-+61nx+6(l<x<e)

令t=lnxe[0,l],则y=r+6t+6,易见y在上单调递增，

故当,=1时，即X=e时，Wax=1+6+6=13.

故选：B.

【点睛】易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.

二.填空题(本题包括4题，共20分.)

13.已知函数/(x+l)=f—1,则/(一2)=.

【答案】8

【解析】

【分析】根据换元法，令t=x+l得x=/—1,进而得/(x)=Y—2%,再算了(—2)即可.

【详解】解：令尤+1=八贝壮=-1,/(z)=(z-l)2-l=r-2r,

所以/(x)=x2-2x.

所以，/(-2)=(-2)2-2X(-2)=8

故答案为：8.

14.直线区-丁-％+2=。经过的定点坐标是.

【答案】(1,2)

【解析】

【分析】将直线方程化为点斜式方程判断即可.

［详解］解：将依一y—左+2=0化点斜式方程得,―2=左(1_1),

所以，直线依-y-左+2=。经过的定点坐标为(1,2)

故答案为：(1,2)

15.若函数/(x)=|2*-2卜人有两个零点，则实数6的取值范围是.

【答案】0<b<2

【解析】

【详解】函数/'(盼二口工―2卜人有两个零点，

•.二-二|和j二:，的图象有两个交点，

画出：二卜和；=b的图象，如图，要有两个交点，那么6:u21

16.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳

马”,现有一“阳马”如图所示，上4,平面ABCD,PA=4,AB=6，AD=1,则该“阳

马”外接球的表面积为.

【答案】20万

【解析】

【分析】

以B4=4,ABf,AO=1为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求

出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.

【详解】由题意，以R4=4,AB=6,AD=1为棱作长方体，长方体的对角线即为外接

球的直径，

设外接球的半径为R,则j42+（班）+仔=

—2-

故5=4万尺2=20%.

故答案为：20万

【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.

三、解答题（本题包括6题，第17题10分，第18题至22题每小题12分，共

70分）

17.分别求满足下列条件的直线方程.

（I）过点（0,1）,且平行于4：4x+2y—1=0的直线；

（2）与3x+y+l=0垂直，且过点？（—1,0）的直线.

【答案】（1）2x+y—1=。

（2）x-y+l=0

【解析】

【分析】（1）根据两条直线平行斜率相等，再结合点斜式方程求解即可；

（2）根据两条直线垂直斜率乘积为T得所求直线斜率，再结合点斜式方程求解即可;

【小问1详解】

解：所求直线行于心心4x+2y-1=0的斜率为—2

所求直线的斜率为-2,又过点为（0』），

由点斜式可得直线方程为y-l=-2（x-0）,即2x+y—1=0；

/.所求直线方程为2x+y-1=0

【小问2详解】

解：因为所求直线与4垂直，4：%+丁+1=。的斜率为-1，

所以，所求直线的斜率为1,

因为所求直线过点P（-1,0）

所以，所求直线方程为y—O=lx（%+1）,即x—y+l=。

所以，所求直线方程为％-y+i=o.

18.己知函数/（x）=a-（a>0,且存1）的图象经过点（2,；）.

（1）求。的值；

（2）设不等式/（x）<3的解集为A,求函数y=/（%）（%eA）的值域.

【答案】⑴（2）（0,3],

【解析】

【分析】

（1）根据函数/（x）=a"i的图象经过点（2,；）,由层」=；求解.

（2）由＜3=（；尸，利用指数函数的单调性求得xNO,再利用指数函数的单

调性求解.

【详解】（1）因为函数图象过点

所以。2-1=',

3

解得a=-.

(2)Ax)=(1r-1<3=

所以x~lN—1,

解得x>0,故A=[0,+oo),

因为无NO,

所以尤-G-1,

所以函数的值域为（0,3].

19.已知偶函数/（X）,当xNO时，/（x）=x2-4x+3.

（1）请在下图中做出了（x）的图像，并写出了（九）的解析式;

（2）若关于x的不等式/（x+a）＞8恒成立，求实数。的取值范围.

x2-4x+3(x>0)

【答案】（1）作图见解析；/（%）=＜

x2+4x+3(x<0)

(2)(YO,-3)D(2,4<O)

【解析】

【分析】（1）根据题意，作出尤20的函数图像，再关于>轴对称即可，再根据偶函数性质

求解解析式即可；

（2）结合/（5）=8,根据偶函数性质求解即可.

【小问1详解】

所以/(--X)=(-%)"-4(-%)+3=%2+4%+3；

•••/(X)是偶函数,f(-x)=f(x),

所以当x<0时，/(x)=x2+4x+3.

x2-4x+3(x>0)

综上/(x)=<

x2+4x4-3(x<0)

【小问2详解】

解：由题设知/（5）=8,所以，/（2a+l）>8=/（5）,

又“可是偶函数,

所以2a+1>5或2a+1<—5,得a>2或av—3.

所以，实数a的取值范围为（T,—3）D（2,+8）

20.如图所示的四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA,平面ABCD,E为PC的中

点，求证:

（1）PA〃平面BDE；

（2）平面PAC_L平面PBD.

【答案】详见解析

【解析】

【详解】试题分析：（1）连接XC交3D于。点，连接OE,根据线面平行的判定定理，证

Pj0E即可；（2）根据面面垂直的判定定理，找线面垂直，所以主要证明

BD_AC3D_PA.

试题解析：证明：（1）连结AC交BD于点O,连结OE.

,四边形ABCD是菱形，AO=CO.

为PC的中点，；.EO〃PA.

,/PA二平面BDE,EOa平面BDE,

；.PA〃平面BDE.

（2）：PA_L平面ABCD,BD<X平面ABCD,；.PA_LBD,

:四边形ABCD是菱形，Z.BD1AC.

：ACCPA=A,BDJ_平面PAC,

：BD<Z平面PBD,平面PAC_L平面PBD.

考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理

21.已知圆〃过C(l,-1),。(-1,1)两点，且圆心M在x+y-2=0上.

(1)求圆M的方程；

(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,8为切点，求四边

形面积的最小值.

【答案】(1)(x-l)2+(y-l)2=4；(2)2行.

【解析】

【分析】(1)设圆M的方程为：(尤一a)2+(y—bp=/(厂>0),由已知列出方程组，解

之可得圆的方程；

(2)由已知得四边形的面积为5=5刈+SPBM，即有S=2|K4],又有

S=2、PM『T.因此要求S的最小值,只需求的最小值即可，根据点到直线的距离

公式可求得答案.

【详解】解：(1)设圆M的方程为：(％—a)?+(y—b『=/(r>0),

(1-tz)2+(-1-/?)2=r~<7=1

根据题意得,(一1一。)2+(1—6)2=,=<6=1,

〃+/?-2=0r=2

故所求圆M方程为:(X-1)2+(y-1)2=4；

(2)如图,

四边形上4VB的面积为$=5.+S.，即S=g（|AM|PA|+忸闾户用）

^\AM\=\BM\=2,\P^=\PB\,所以S=2|K4|,

而|P4|=Jp闾2—4,即s=2,14

因此要求S的