广东省东莞市2024-2025学年上学期九年级数学模拟试题（11月）含答案

2024年初三模拟考试（11月）

九年级数学试卷

（考试用时：120分钟，满分120分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.）

1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

A.糕n©D

2.用配方法解一元二次方程x2—8x+10=0配方后得到的方程是（)

A.(jc+8)2=54B.(x-8)2=54

C.(x+4)2=6D.(x-4)2=6

3.抛物线＞=3"-2）2-5的顶点坐标是（

A.（々5））B.(2,-5)C.(-2,-5)D.(2,5)

4.下列说法，正确的是（）

A.优弧大于劣弧B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.直径所对圆周角是直角

5.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设

平均每月降低的百分率为x,根据题意列出的方程是（）

A.2500(1+x)2=3200B.2500(1-x)2=3200

C.3200(1-x)2=2500D.3200(1+x)2=3200

6.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）

A.9人B.10人C.11人D.12人

7.三角形的外心是（）

A.三角形三条高线的交点B.三角形三条中线的交点

C.三角形三条内角角平分线的交点D.三角形三边垂直平分线的交点

8.已知抛物线了=-/+2_¥+4,下列说法正确的是（）

试卷第1页，共6页

A.图象与x轴有唯一交点B.图象的顶点坐标是0,3）

c.当x<i时，>随x的增大而减小D.图象的开口向下

9.如图，四边形48co内接于若48。。=100。，则/£。的度数是（）

C.60°D.65°

10.在同一平面直角坐标系中，函数V=»w+»^Dy=-m（x-l）2-i（加是常数，且加wo）

二、填空题（共5小题，每小题3分,共15分.）

11.将抛物线y=-2（尤+3『-1向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的

抛物线的解析式是—.

12.已知（m-1）x^+i-3x+l=0是关于x的一元二次方程，则m=_.

13.已知m,n是方程/-x-2=0的两个根，则代数式2加。-3m-〃的值是.

14.抛物线y=ox2+6x+c（存0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（-3,

0）,对称轴为x=-l,则当y<0时，x的取值范围是.

试卷第2页，共6页

15.已知二次函数V=办2+乐+。的图象如图所示，有以下结论：

①〃bc>0,

@a-b+c〈O,

③2“=b,

④4q+2b+c>0,

⑤若点(-2,%)和(-1,%)在该图象上，则%>为.其中正确的结论是—(填入

正确结论的序号).

三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.解方程：2X2-3X=1-2X.

17.已知二次函数y=/+Z>x+c的图象经过(0,-3),(1,0)

(1)求二次函数的表达式.

⑵将二次函数写成y=+k的形式，并求出顶点坐标.

18.如图，在平面直角坐标系中，△N8C的三个顶点坐标分别为/(1,4),2(4,2),C(3,5)

⑴请画出△44。，使△44G与A/BC关于原点成中心对称，并写出点4,4,。的坐标.

⑵求△44G的面积？

试卷第3页，共6页

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.已知关于x的一元二次方程尤2+2（m+l）x+w2-1=0.

（1）若方程有实数根，求实数加的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为不，x2,且满足（再72）2=16-2占匕，求实数加的值.

20.如图，是。。直径，弦CDL/3于点E,过点C作。3的垂线，交48的延长线于

⑴求证：AC=CG；

（2）若CD=EG=8,求。。的半径.

21.一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不

得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系,

对应关系如下表：

售价x（元/千克）・・・50607080・・・

销售量V（千克）・・・100908070・・・

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？

（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为

多少元？

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27

分.

22.思维启迪：（1）如图1,A,B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A,B

间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点

的点C,连接BC,取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CDIIAB

交AP的延长线于点D,此时测得CD=200米，那么A,B间的距离是米.

试卷第4页，共6页

思维探索：（2）在aABC和4ADE中，AC=BC,AE=DE,且AE<AC,ZACB=NAED=

90°,将4ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时4ADE的位置作为起始位置

（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为a,连接BD,点P是线段BD的中点，

连接PC,PE.

①如图2,当4ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；

②如图3,当a=90。时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并

证明你的结论；

③当a=150。时，若BC=3,DE=L请直接写出PCz的值.

23.九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一应用

——探究的过程

（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的

路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示

的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式

（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为

0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不

考虑两车之间的空隙）？

（3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，

提出了以下两个问题，请予解答：

①如图2,在抛物线内作矩形N5CD,使顶点C、。落在抛物线上，顶点/、8落在x轴上,

设矩形N3C。的周长为为/,求/的最大值

②如图3,过原点作一条直线y=x,交抛物线于M,交抛物线的对称轴于N,尸为直线。河

上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点0,问在直线0M上是否存在点尸，使以点

P、N、0为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说

明理由

试卷第5页，共6页

试卷第6页，共6页

1.B

【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直

线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形

绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对

称图形.据此进行逐项分析，即可作答.

【详解】解：A、这个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项是错误的；

B、这个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项是正确的；

C、这个图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项是错误的；

D、这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的；

故选：B

2.D

【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法.把常数项移到等式右边后，利用完全平方

公式配方得到结果，即可做出判断.

【详解】解：x2-8x+10=0,

移项得：x2-8x=-10,

配方得：X2-8X+16=-10+16,

整理得：（》-4）2=6,

故选：D.

3.B

【分析】本题考查了根据二次函数顶点式求抛物线的顶点坐标等知识，二次函数

了=。（工-犷+左的顶点坐标为伍,左），据此即可求解.

【详解】解：抛物线y=3（x-2）2-5的顶点坐标是（2,-5）.

故选：B

4.D

【分析】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键.根据圆的有

关概念进行逐项辨析即可得解.

【详解】A、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故该选项错误；

B、平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不垂直于弦，故该选项错误；

C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误；

答案第1页，共15页

D、直径所对圆周角是直角，故该选项正确；

故选：D.

5.C

【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据每部售价由3200元降到了2500元,

设平均每月降低的百分率为x,列式3200(1-才=2500,即可作答.

【详解】解：•••某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了

2500元，设平均每月降低的百分率为尤，

3200(1-x)2=2500

故选：C

6.C

【分析】设参加酒会的人数为X人，每人碰杯次数为三次，如果一共碰杯55次，列出一

元二次方程，解之即可得出答案.

【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：

—X(x-1)=55,

2

化简得：x2-x-110=0,

解得：肛=11,x?=-10(舍去)，

故答案为C

【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.

7.D

【分析】本题考查了三角形外心的概念，三角形的外心指三角形三边垂直平分线的交点，掌

握三角形外心的概念是解答本题的关键.

根据三角形外心的概念选择即可.

【详解】解：因为三角形的外心指三角形三边垂直平分线的交点，

故选：D.

8.D

【分析】根据一元二次方程--+2》+4=0根的个数、化为顶点式求出顶点坐标、抛物线的

对称轴和开口方向等知识，即可得到答案.

【详解】解：A.对于抛物线＞=-f+2》+4,

答案第2页，共15页

当y=°时，-/+2x+4=0,

VA=22-4X(-1)X4=20>0,

.••-/+2彳+4=0有两个不相等的实数根，即抛物线y=-f+2x+4与x轴有两个交点，故选

项错误，不合题意；

B.y——x?+2x+4=—(x—1)~+5,

••・抛物线^=-尤2+2苫+4的顶点是(1,5),故选项错误，不符合题意；

C.丁y=­x2+2x+4=-(x-1)+5,

••・抛物线y=-x2+2x+4的对称轴为x=1,

a--1<0,

抛物线开口向下，

.•.当x<i时，》随》的增大而增大，

故选项错误，不符合题意；

D.对于抛物线了=-x?+2x+4,a=-l<0,则图象的开口向下，故选项正确，符合题

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程-f+2x+4=0根的个

数、化为顶点式求出顶点坐标、抛物线的对称轴和开口方向等知识，是解题的关键.

9.A

【分析】本题考查院内接四边形的性质和圆周角定理，先根据圆周角定理得到

NBAD=；NBOD,然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到ZDCE=ZA解题即

可.

【详解】解：■:NBOD=100。,

ABAD=-ABOD=-xlOO°=5O°,

22

又•••四边形NB。内接于

.-.ZBCD+ZA=ISO°,

又•；2BCD+ZDCE=180°,

ZDCE=ZA=50°,

答案第3页，共15页

故选A.

10.B

【分析】由一次函数经过的象限判断加的符号，再根据二次函数的性质进行判断即可求

解.

【详解】解：人.由＞=-加得对称轴为直线X=l,与图象不符，故不符合题意；

8.由了=加工+〃7的图象得机＜0,；.一加＞0,抛物线的开口向上，对称轴在＞轴右侧，顶点在

第四象限，与图象相符合，故符合题意；

C.由y=wx+加的图象得机＞o,，一根＜0,抛物线的开口应向下，与图象不符，故不符合

题意；

口.由丁=-机(》-1)2-1得对称轴为直线工=：1,与图象不符，故不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，掌握二者的性质解题的关键.

11.y=-2(x+5)2+3

【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：左加右减，上

加下减即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键.

【详解】解：将抛物线y=-2(x+3『-l向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度,

得到的抛物线的解析式是＞=—2(x+3+2)—1+4=—2(x+5)+3,即y=—2(x+5)+3,

故答案为：y=-2(x+5『+3.

12.-1

【详解】•.•方程加+i-3x+l=0是关于x的一元二次方程，

,加一1#0,

解得：m=—\.

故答案为T.

13.3

【分析】由m,n是方程x2・x-2=0的两个根知m+n=l,m2-m=2,代入到原式=2(m2-m)-

(m+n)计算可得.

【详解】解：丁!!!，n是方程x2-X-2=0的两个根，

••・m+n=1,m2-m=2，

答案第4页，共15页

则原式=2(m2-m)-(m+n)

=2x2-1

=4-1

=3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查根与系数的关系，Xi，X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的两根

,bC

n日寸，Xi+x=--,,X1X=—

2a2a'

14.-3<x<l

【分析】根据抛物线与X轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与X轴

的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y<0时，X的取值范围.

【详解】解：,••抛物线y=o%2+6x+c(。0)与x轴的一个交点为(-3,0),对称轴为工=

-1,

.•.抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),

由图象可知，当y<0时，x的取值范围是

故答案为：

【点睛】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关

键.

15.②④##④②

【分析】由图象可先判断。、b、c的符号，可判断①；由x=-l时函数的图象在x轴下方

可判断②；由对称轴方程可判断③；由对称性可知当x=2时，函数值大于0,可判断④;

结合二次函数的对称性可判断⑤；可得出答案.

【详解】解：.•・二次函数开口向下，且与>轴的交点在x轴上方，

/.(2<0,c>0,

•.・对称轴为X=1,

._±=1

2a'

b=-2a>0,

abc<0,

故①、③都不正确；

,当x=T时，y<0,

答案第5页，共15页

ci—Z?+c<0,

故②正确；

由抛物线的对称性可知抛物线与X轴的另一交点在2和3之间，

••.当x=2时，歹>。，

4。+2b+。>0,

故④正确；

••・抛物线开口向下，对称轴为X=l,

.,.当x<i时，y随x的增大而增大，

-2<--,

3

必<为，

故⑤不正确；

综上可知正确的为②④，

故答案为：②④.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的开口方向、对称轴、

增减性，注意数形结合.

【分析】整理后利用因式分解法求解即可.

【详解】原方程整理得：2/-x-l=0,

因式分解得：(2x+l)(x7)=0,

•••2%+1=0或工一1=0,

11

X]—-9%2=I.

【点睛】本题考查了解一元二次方程一因式分解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平

方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

17.(l)j?=x2+2x-3

(2)y=(x+l)2-4,顶点坐标为

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，正确求出函数解析

式是解题关键.

答案第6页，共15页

(1)将点(o,-3),(l,o)代入函数解析式，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式.

(2)利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.

【详解】(1)解：•二次函数歹=/+反+。的图象经过(0「3),(1,0),

Jc=-3

••,[l+b+c=(f

|c=—3

'[b=2'

・•・y=V+2%-3；

(2)解：y=x2+2x-3=x2+2x+l-l-3=(x+l)2-4,

二顶点坐标为(T,-4).

18.⑴见解析，4(-1-4),5.(-4,-2),C,(-3,-5)

(2)1

【分析】(1)首先确定A、B、C三点关于原点。成中心对称的对称点，再连接即可;

(2)利用长方形的面积减去周围多余三角形的面积即可.

【详解】(1)解：如图，△/4G即为所求；

1117

(2)解：△4月。]的面积为3x3—3x1—]X2x1—彳x3x2=5.

【点睛】本题主要考查了作图——中心对称变换，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关

键.

19.(I)w>-1

答案第7页，共15页

(2)1

【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当ANO时,

方程有实数根”；(2)根据根与系数的关系结合(占-%)2=16-2占马,找出关于“的一元二

次方程.

(1)根据方程的系数结合根的判别式ANO,即可得出关于心的一元一次不等式，解之即可

得出实数机的取值范围；

2

(2)根据根与系数的关系可得出再+x2=-2(m+l),%]-x2=m-1,结合(再-x?)?=16-2%1%2

可得出关于加的一元二次方程，解之即可得出冽的值，再结合(1)的结论即可确定加的

值.

【详解】(1)解：•.・关于x的一元二次方程/+2(切+1L+/一1=0有实数根，

A=[2(机+1)]~—4(加2—1)=8m+820,

解得：m>-L

当方程有实数根时，实数〃?的取值范围为网1；

(2)解：•.■方程两实数根分别为X1,%,

2

,+Xj=-2(机+1),■x2=m-I.

2

(%)-x2)=16-2x^2,

22

(%1—x2)=(%j+x2)-4x,-x2=16-2X1X2,

+l)]2-4(m2-l)=16-2(m2-l),

整理,得：m2+4m—5-0,

解得：叫=-5,m2=l.

m>-l,

，实数心的值为1.

20.⑴见解析

(2)5

【分析】(1)根据垂直定义、三角形内角和定理、圆周角定理等知识得到乙4=/G,由等

角对等边即可得到结论；

答案第8页，共15页

(2)连接OC,设OO的半径为八则CM=OC=r,得到/£=EG=8,

EC=ED=gcD=4,得至！JOE=ZE—CM=8——，在Rt2\O£C中，由勾股定理得到

222

r=(8-r)+4,解得r=5即可.

【详解】(1)证明：尸，CG,CDLAB,

ZDEB=ZBFG=90°,

•:/DBE=/GBF,

/D=/G,

NA=ND,

ZA=ZG,

:.AC=CG,

(2)解：如图，连接OC,

设OO的半径为r,则OA=OC=r,

•;CA=CG,CD1AB,CD=EG=8,

AE=EG=8,EC=ED=—CD=4,

2

/.OE=AE—OA=8—/，

在RtAOEC中，OC?=OE2+EC2,

即r=(8一疗+不，解得r=5,

的半径为5.

【点睛】此题考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、三角形

内角和定理等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的关键.

21.(1)j=-x+150;(2)70；(3)该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w

(元)最大，此时的最大利润为4225元.

【分析】(1)根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y

与x的关系式；

答案第9页，共15页

(2)根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；

(3)根据批发商获得的总利润w(元)=售量/每件利润可表示出w与x之间的函数表达式,

再利用二次函数的最值可得出利润最大值.

50左+6=100

【详解】(1)设y与x的函数关系式为了=h+6(左片0),根据题意得:

60左+6=90

故y与x的函数关系式为v=f+150；

(2)根据题意得：(-x+150)(x-20)=4000,解得占=70,x2=100>90(不合题意，舍

去)，

故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；

22

(3)w与x的函数关系式为：w=(-x+150)(%-20)=-x+170%-3000=-(x-85)+4225,

v-1<0,

.,.当x=85时，w值最大，w最大值是4225,

该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w(元)最大，此时的最大利润为4225

元.

22.(1)200；(2)①PC=PE,PC1PE；②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=

PE,PC1PE,见解析；③PC占1°彳代.

【分析】(1)由CDIIAB,可得NC=NB,根据ZAPB=NDPC即可证明4ABP三4DCP,即可

得AB=CD,即可解题.

(2)①延长EP交BC于F,易证4FBP三AEDP(SAS)可得aEFC是等腰直角三角形，即

可证明PC=PE,PC1PE.

②作BFIIDE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,易证4FBP三AEDP(SAS),结合已知

得BF=DE=AE,再证明△FBCmZ\EAC(SAS),可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明

PC=PE,PC1PE.

③作BFIIDE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH1AC交CA延长线于H点,

由旋转旋转可知，NCAE=150。，DE与BC所成夹角的锐角为30。，得NFBC=NEAC,同②

可证可得PC=PE,PC1PE,再由己知解三角形得，EC2=CH2+HE2=10+36，即可求出

答案第10页，共15页

PC2=-EC2=10+3^

22

【详解】(1)解：••・CDIIAB,.・ZC=NB,

在4ABP和4DCP中，

'BP=CP

<AAPB=NDPC,

NB=NC

•••△ABP^ADCP(SAS),

.•.DC=AB.

•••AB=200米.

.•.CD=200米，

故答案为200.

(2)①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE,PC1PE.

理由如下：如解图1,延长EP交BC于F,

同(1)理，可知.,.△FBPmAEDP(AAS),

••.PF=PE,BF=DE,

又•••AC=BC,AE=DE,

•••FC=EC,

又•.•z_ACB=90°,

••.△EFC是等腰直角三角形，

•；EP=FP,

••.PC=PE,PC1PE.

②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE,PC1PE.

理由如下：如解图2,作BFIIDE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,

同①理，可知4FBPmAEDP(SAS),

•••BF=DE,PE=PF」跖，

2

vDE=AE,

・・・BF=AE,

•••当a=90。时,ZEAC=9O°,

.-.EDHAC,EAIIBC

答案第H页，共15页

vFBIIAC,4FBC=90,

.-.ZCBF=ZCAE,

SAFBC和4EAC中，

BF=AE

<ZCBE=ZCAE,

BC=AC

.-.△FBC^AEAC(SAS),

••.CF=CE,ZFCB=ZECA,

vzACB=90°,

.・ZFCE=9O。，

・•.△FCE是等腰直角三角形，

•・・EP=FP,

.-.CP1EP,CP=EP」跖.

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③如解图3,作BFIIDE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH1AC交CA延

长线于H点，

当a=150。时，由旋转旋转可知，ZCAE=15O°,DE与BC所成夹角的锐角为30。，

.-.ZFBC=ZEAC=a=150°

同②可得△FBPwZkEDP(SAS),

同②4FCE是等腰直角三角形，CP1EP,CP=EP=^C£,

在Rt^AHE中，ZEAH=3O°,