函数与基本初等函数 章节总结（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第11讲：第二章函数与基本初等函数

章节总结

第一部分：典型例题讲解

题型一：函数的定义域

谷+的定义域为

1.(23-24高一上•河北石家庄•期末)函数/(力=）

A.B.w，lU（L+e）

【答案】C

【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数x的不等式组，即可解得函数的定义域.

【详解】由题意对于"x)=7二彳+得［二2：°,解得且xwl,故C正确.

\3x-21x-lwO3

故选：C.

2.(23-24高一上•云南昆明•期末)函数/'(无)=一^+ln(x-l)的定义域为()

x-2

A.(l,+oo)B.(l,2)u(2,+oo)

C.(—8,1)D.(0,2)u(2,+oo)

【答案】B

fx-l>0

【分析】由题可得。八，即可解出定义域.

［九一2w0

【详解】因为/(%)=」=+ln(x—1),

x-2

所以要使函数有意义，

fx-l>0

则<c八，解得%>1且工。2，

［x-2^0

所以〃无)的定义域为Q2)U(2,+8),

故选：B.

3.(23-24高一下•安徽安庆,开学考试)若函数的定义域为［-U］,则函数/(log4-l)

的定义域为

【答案】［72,4］

【分析】

由尤的取值范围求出2，-1的取值范围，再令-;VlogzX-lVl,求出尤的范围即可.

【详解】

当时2Z1,2,所以2「le

所以logzX-le-pl,BP-^-<log2x-l<l,贝I]J<log?%<2,

即log20VlogzXWlogzd,解得0W4，

所以函数/(log2%-1)的定义域为［3,4］.

故答案为：［夜,4］

4.(23-24高一上•江苏无锡•期末)已知函数〃x)=^/］肃4+ln(l-x),则〃2力的定义域

为.

【答案】-2。

【分析】先求出函数/'(尤)的定义域，进而根据复合函数的定义域，即可求解.

fx+4>0

【详解】由题意得，1八，解得-44x<l,

令"4W2x<l,则一

2

故/(2”的定义域为-2,1.

故答案为：-2,g］

5.(23-24高一上•湖北武汉•期末)已知函数八%)的定义域为(-5,4),则函数

g(x)=3/(2x+1)+logj|x+lj的定义域为.

【答案】］-2,|；

【分析】由抽象函数定义域以及复合型对数函数定义域的求法，列出不等式组即可求解.

【详解】由题意函数〃元)的定义域为(-5,4),所以要使函数g(x)有意义,

—5<2%+1<4

3

则<解得-2<x<—,

-x+l>0

12

即函数g(x)=3〃2x+l)+log2[x+l]的定义域为12,1

故答案为：，2,1]

题型二：函数的值域(最值)

1.(23-24高二上•广东广州•期末)函数/(x)=2尤+J4-Y的最大值是()

A.>/5B.275C.2+73D.4

【答案】B

【分析】

JTJT

设尤=2sina,ce,根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解.

【详解】由4--20,解得-2Wx<2,故的定义域为[-2,2].

设x=2sina,a£一方'，

则y=4sincr+A/4-4sin2cr=4sincr+2cosa=2«sin(a+°),

甘山275.y/5吟

其中，cos^=—,sin^=—,^>GI0,—I,

兀兀兀兀//兀

,/ae,则ri一万〈一5+夕(1+045+0〈兀，

当<7+0=、，即sine=sin[]-。]=cose=^^,cosa=cos]]-。)=sine=^^时，

y=2后sin(a+<p)取最大值2行，即函数的最大值是2节.

故选：B.

2.(多选)(23-24高一上•山东潍坊•期末)已知函数/⑴的定义域为R,值域为[-2,3],

则下列函数的值域也为[-2,3]的是()

A.y=/(x+l)B.y=/(x)+lC.y=f(-x)D.y=~f(x)

【答案】AC

【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案.

【详解】对于A,y=/(x+D的图象可看作由/(x)的图象向左平移一个单位得到的，故值

域不变，正确；

对于B,由y=/⑺目一2,3]可得y=/(x)+1W一1,4],即y=f(x)+1的值域为[一1,4],错误；

对于C,函数y=/(r)与函数y=〃x)的图象关于y轴对称，

故函数y=/(-X)的值域与函数y=/(x)的值域相同，为[-2,3],正确；

对于D,由y=〃x)e[-23]可得y=-F(x)e[-3,2],即y=-/(尤)的值域为卜3,2],错误.

故选：AC

3.（2023高三上•全国・专题练习）函数”x）=cc°sx的值域是_____________

2COSX+1

【答案】（-8,；]口口,+8）

【分析】

将y=/（x）=ccosx化为cosx=,利用余弦函数的有界性，即|cosx|〈l,解不等式

2cos无+1l-2y

即可得答案.

CQQX

【详解】由y=:可得（1-2y）cos%=y,

2COSX+1

11y

当>=彳时等式不成立，二yw彳，则有cosx=「1,

221一2y

,?|cosx|<l,；Wl,3y2-4y+l>0,或yNl,

函数/（X）=ccosx的值域是y,占31,+⑹，

故答案为：[1,+co）

4.（2024高三•全国•专题练习）求函数y=jx-l+j5-x的最大值.

【答案】2夜

【分析】通过将两个根式换元为机，"，函数即为〉=〃什"，利用加+”2=4,建立函数与

等式的关系即可求得其最大值.

【详解】不妨设=y/5-x=n>0,则>=〃7+〃，

因帚+川=4,由4=苏+”222加〃可得04帆区2,当且仅当切=”时等号成立，

由丁=（加+n）2=m2+n2+2mn=4+2mn<8,因y>0,

故得：y“2母,当且仅当x=3时函数取得最大值•

5.（23-24高一上・吉林•期末）已知函数〃同=]]一|（；,+左，XG[-1,0].

⑴％=-1时,求“X）的值域；

⑵若“X）的最小值为4,求％的值.

【答案】⑴[2,14]

⑵左=—3

【分析】（1）设可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得;

(2)设/=可将原函数转化为二次函数，对％的取值进行分类讨论，结合二次函数性质

计算即可得.

-x-|2x

【详解】⑴由题意得，/(%)=-+k,xe[-l,O],

令/=,re［1,3］,g(t)=t2-2kt+k,t&［L,3］,

当左=-1时,g(t)=r+2t-l,re［1,3］,g⑺在［1,3］上单调递增,

故gGL^g⑴=2,8(尤)喀=8(3)=14,

故g(x)的值域为［2,14］；

(2)由(1)得g(t)=r-2kt+k,16［1,3］,对称轴f=%,

①当左＜1时，g⑺在［1,3］上单调递增，

g(x)011n=g(l)=l—%=4,解得％=-3；

②当IV左＜3时，g⑺在［1囚上单调递减，在％3］上单调递增，

g(x)1mli=g(@=Z-F=4无解,舍去；

③当%＞3时，g⑺在［1,3］上单调递减，

g(x)1rali=g(3)=9-5A=4,解得左=1,舍去；

综上所述，k=-3.

6.(2023高三・全国・专题练习)求函数〃耳="^的值域.

rf.6-2A/36+2退一

［答案］—--，—;—

【分析】先分离常数，再分类讨论x=l与xwl,结合换元法与对勾函数的性质即可得解.

【详解】/（%）=户2=厂+心一（1）=1--

当尤=1时,/（x）=L

当XW1时，'⑴1X2+X+1,

x-1

令t=x-l,则,wO,x=/+l,

时、J（无）=『"+1）=1-7—9---7=1——\—

所以（，+1）+/+21+3+3，

由对勾函数的值域可知，当U0时，r+-+3e（-<»,3-2^]u[3+2V3,^）,

所以力+3

「6-2有八(6+2百

所以---1u1,---

,3JI3

综上所述，函数〃X）的值域为[生芋叵

7.（23-24高一上,重庆南岸■阶段练习）（1）已知函数/（无）=+-〃zx+m-l的定义

域为R,求实数，〃的取值范围；

（2）已知函数“无）=Jox，+2x+l的值域为[0,+8）,求实数。的取值范围.

【答案】⑴]¥，+s（2）[0,1]

【分析】（1）由题意可知：（租+1）32-如+机-120在R上恒成立，分加=-1和加力-1两种

情况，结合△判别式运算求解；

（2）由题意可知：y=ar2+2x+i的值域包含[0,+e）,分。=0和a力0两种情况，结合二次

函数运算求解.

【详解】（1）由题意可知：（加+1）/一7"+相_120在R上恒成立，

当相+1=0,即机=一1时，x-2>0,即x>2,不合题意；

m+l>0?瓜

当m+1W。，即机W—1时，\\2//X7\，解得机N---，

A=（-m）-4（m+l）（m-l）<03

综上所述:加的取值范围是

(2)由题意可知：y=加+2x+l的值域包含［0,+8),

当a=0时，〃x)=J2x+1,因为2x+l»0,可得/'(x)=j2x+120,

所以〃尤）的值域为[。,+e），符合题意;

a>0

当。片0时，则解得0<aVl,

A=4-4tz>0

综上所述：实数。的取值范围是[0』.

题型三：求函数的解析式

1一/

1.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(l-x)=L『(x*0),贝lj/(x)=()

A.1\一1(尤N°)B.一至一1(尤片1)

(xT)(1)

44

c.7一万一g。)D.7—不一1(.1)

(x-1)(尤-1)

【答案】B

【分析】利用换元法令f=l-x,代入运算求解即可.

【详解】令/=1-1，贝!］兀=1一方,由于xwO,则，wl,

八/\1—(1—力1/、

可得〃。=^^=^^一1，徐1),

(1-)(I)

所以=

(1)

故选：B.

2.(23-24高一上•天津南开•期中)已知/卜-j=Y+*,则函数〃x+l)的表达式为()

B.〃川)++J

A./(^+1)=(%+1)2+—

(九+rd

C./(九+1)=X2+2x+3D./(x+l)=x2+2x+l

【答案】C

【分析】利用配凑法先求出函数/(%),再整体代入即可求出函数/(x+1)的表达式.

【详解】因为/［彳一一］=/+地=+2

所以/(x)=f+2

所以/(x+l)=(x+lp+2,BP/(X+1)=X2+2X+3.

故选：C.

3.(23-24高一上•山西太原•期中)已知函数/(«+l)=2x+«-1,则()

A."3)=9B./(x)=2x2—3x(x>l)

C.〃x)的最小值为-1D.〃尤)的图象与x轴有2个交点

【答案】ABC

【分析】B选项，换元法得到函数解析式；A选项，代入求解即可；C选项，配方求出函数

最值；D选项，解方程，求出答案.

【详解】B选项，令f=«+121,得«=.1,贝=

f^+l)=f(t)=2t2-3t,

故〃X)=2X2—3X,XG[1,+<»),B正确;

A选项，f(3)=9,A正确，

C选项，/(^)=2X2-3%=2^-|J-|,所以在[1,+8)上单调递增，

1

/Wm„=/()=-1-C正确；

3

D选项，令2炉_3%=0,解得x=s或0(舍去)，

故"X)的图象与x轴只有1个交点，D错误.

故选：ABC

4.(23-24高一上•湖北•期末)函数满足〃力+/(£|=0,请写出一个符合题意的函

数〃尤)的解析式.

【答案】/(x)=log2x(答案不唯一)

【详解】^/(x)=log2x,

贝(X)+/]：j=logzX+log2g=log?(X•=log?1=0,满足题意.

故答案为："X)=log2X(答案不唯一)

5.(2024高一•全国•专题练习)已知了⑶是二次函数且f(0)=2,f(x+l)-f(x)=x-l,求

f(x).

13

【答案】/(X)=-^2--X+2

【分析】

利用待定系数法即可得解.

【详解】依题意，设〃司=加+区+。(-0),所以〃0)=c=2,

而尤+1)=++h(1+l)+c=OX?+2ax+.+陵+人+c,

所以/(x+l)-/(x)=2ox+a+b=x-l,

1

CL———

[2a=l2

有待定系数可知71，解得<

[a+b=-l

b=--

13

所以=一5元+2.

6.(23-24高一上•河北•阶段练习)⑴已知/(«+1)=尤+26，求的解析式；

(2)/(x)-2/(-x)=9x+2,求〃尤)的解析式.

【答案】(1)/(x)=x2-l(^>l)；(2)〃x)=3x-2

【分析】(1)根据整体法即可结合换元法求解，

(2)联立方程即可求解

【详解】⑴+=x+2-Jx=(y[x+1j—1,

令t=«+121,所以/•⑺=/一1,

(2)由/'(尤)一2/(—x)=9x+2可得—2/(尤)=—9x+2,

联立可得/(x)=3x-2,

故〃x)=3x-2

题型四：分段函数问题

I-y*_-y'1

1.(23-24高三上•安徽六安•期末)函数/(x)=一’，若/("+l)v〃-10a)-"5),

1ILX,冗11

则实数。的取值范围是()

A.{-1}B.(-℃,-1]

C.D.

【答案】A

【分析】

原不等式变形为/[5(/+i)]v/(T0a),再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出

即可.

【详解】

当x<l时，/(x)=e*+x-4,因为y=e，,y=x-4在(-双1)上单调递增，此时〃x)单调递

增，

当时，易知/(x)=lnx单调递增，且当尤=1时，e1+l-4=e-3<0=lnl,

则/(无)在R上单调递增，

因为片+121,贝U/(a2+l)+/(5)=ln(a2+l)+ln5=ln5(«2+l)=/[5(a2+1)],

所以由/（«2+1）</（-10a）-/（5）得小（4+川</（-10«）,

所以5（1+1）W_10p,解得q=T.

故选：A.

2.（2024•广东深圳•模拟预测）已知函数/（%）=：一,若现eR,使得

log3x,x>3

a+4”成立，则实数机的取值范围为（）

911「51

A.B.--,0

44J2

.9]「1'（5]「八、

C.I3-—ID.Iu[0,+<»）

【答案】C

【分析】

先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.

【详解】因为函数y=d-3x在区间1-巴|上单调递减，在区间（|，3）上单调递增，

3Q

所以当x=/时，函数>-3尤,xV3取得最小值-“

又因为函数y=logsX在区间（3,+力）上单调递增，

所以当x>3时，log3x>1.

综上可得函数〃尤）=[：的最小值为一苫.

[log3x,x>34

因为丸eR,使得了（%O）W1O7〃+4序成立，

9Q1

所以——<10m+4m2,解得：m<——或加之——.

444

故选：C.

3.（2024高三・全国•专题练习）定义域为R的函数/（%）满足〃x+2）=2〃x）,当％40,2）

XG[0,1)

时，/(%)=V,若xe[-4,-2）时，f^>L-L恒成立，则实数f的取值

,XG[1,2)

范围是（

f(x)=xa[-2,0)u[1,+«>)

(y,—2Mo,1]卜2』

【答案】C

【分析】根据/（x+2）=2〃x）得到了（尤）=；/（x+4）,再根据二次函数和指数函数性质求出

xe[T,-2）时，/'（"的最小值为-；，则得到不等式，解出即可.

【详解】当xe[-4,-2）时，x+4e[0,2）.

因为〃x+2)=2/(x),所以〃x+4)=2/(x+2)=4/(x),gpf(x)=jf(x+4).

xe[0，l）时，函数最小值为了%

3

xe[l,2）时,函数最小值为了-1，

故在区间[0,2）上，函数最小值为了-1

131

当工4-2,0）时，最小值为了

22

51

同理，当％4T-2）时，最小值为了

24"

即：1+2yT）go,解得/《十，一句"。』.

故选：C.

4.（23.24高一下•广西•开学考试）已知小）=]，"3）:2加+1»<]是R上的单调函数,

则机的取值范围是.

【答案】[2,+co）

【分析】

函数分单调递增和单调递减两种情况结合分段函数单调性列不等式求解.

5m-3>0,

【详解】若〃%)在R上单调递增，贝IJ根〉1,解得机>2.

5加-3-2/+l«logJ

5m-3<0,

i3

若/(%)在R上单调递减，贝IJ0<机<1,解得金(加

2

5m-3-2m+1>logml,

故加的取值范围是［2,+8).

故答案为：；，|)［2,+8)

5.(23-24高一下•上海,阶段练习)若函数〃x)='无最大值，则实数。

I2|X-6Z|-2,XG(1,3］

的取值范围_________.

【答案】(|,舟)

【分析】

分类讨论a的取值范围，脱掉绝对值符号，结合函数的单调性以及〃无)无最大值，列出相应

不等式，即可求得答案.

2

【详解】由题意知当无时，/(X)=A/1-XG［0,1］，

当aVI时，在x《1,3］上，f(x)=2\x-a\-2=2x-2a-2,

此时f(x)在(1,3］上单调递增,且"3)=4-2a12,

故a<l时，“幻有最大值"3)=4-2%不合题意；

当1<々<3时，在时，/(%)=—2x+2〃—2,/(九)在(1,a］上单调递减,

在工£(a,3］时，f(x)=2x-2a-2f/(幻在33］上单调递增,

1,1一%2,XG[—1,1]

此时要使得函数〃x)=

12,-同一2,x£(1,3]无最大值,需满足〃1)>/(3)且。⑴>〃0)=1,

2a—4〉4—2a55

即2“-4>1,解得"5,结合5<3,则大”3；

当a23时，在xe(l,3]上，/(x)=-2x+2a-2,/(元)在(1,3]上单调递减,

fJl-x2,xe

此时要使得函数/(x)=无最大值,需满足/⑴>/(。)=1,

[2|x-a|-2,xe(l,3]

即2。-4>1,即a>g,结合。23,可得a23,

综合以上，实数，的取值范围为g,+8),

故答案为：(―,+°°)

2

题型五：函数的单调性

1.(2024•陕西西安•二模)已知函数/'(无)=：尤2-2x+lnx.若/(a+l)2/(2a-l),则。的取

值范围是()

A.(―°°,—1]B.(—1,2]C.[2,+co)D.f-,2

【答案】D

【分析】

利用导数判断出函数在定义域上单调递增，根据已知转化出再解出结果.

【详解】因为/(x)=-2x+lnx,xe(0,+oo),

所以尸(X)=X_2+L，2X+1=3LO,

XXX

所以/⑺是(0,+8)上的增函数，所以若/(«+D>/(2a-1)

则a+122a-l>0,解得LaV2.

2

故选：D

2.(2024•广东•一模)已知((x)=2»2,若/⑷<3,则()

A.ae(1,+oo)B.4?e(-l,l)C.fle(^»,l)D.ae(0,l)

【答案】B

【分析】

根据函数为偶函数及函数在O+s)单调递增即可求解.

【详解】因为f(x)=2M+x2的定义域为R,且/(-x)=2T+(-x)2=2国+Y=/⑺,

所以/(x)为偶函数，

又当xNO时，/(x)=2'+f单调递增，且/⑴=3,

所以由/(«)<3可得/刎)<3=/(I),即时<1,

解得一1<a<1,

故选：B

3.(2024•云南贵州二模)若函数“X)的定义域为R且图象关于y轴对称，在[0,+?)上

是增函数，且〃-3)=0,则不等式/(“<0的解是()

A.(-oo,-3)B.(3,+oo)

C.(-3,3)D.(-oo,-3)u(3,+oo)

【答案】C

【分析】

先分析不等式在［0,+8)上的解，再根据对称性得出不等式在上(-8,0)的解即可.

【详解】因为“X)在［0,+8)上是增函数且/(-3)=0,所以/(x)<0在［0,+8)范围内的解

为［0,3).

因为函数“X)在定义域R上图象关于y轴对称，所以/(x)<0在(-双。)内的解为(-3,0),

所以不等式/(x)<o在R内的解为(-3,3).

故选：C

4.(2024高一•全国•专题练习)定义R上单调递减的奇函数Ax)满足对任意作R,若

fit2-20+。(2(一6)<0恒成立,求上的范围____.

【答案】卜巴一.

【分析】根据/⑺为R上的奇函数且为减函数，可得出发<3/一2,对任意的feR恒成立，

这样求出y=3/-2/的最小值，从而便可得出％的取值范围.

【详解】因为了。)是定义R上的奇函数，所以

f(t2-2t)+f(2t2-k)<0of(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),

又因/(X)在R上的单调递减，

所以心-21>左-2/对任意feR恒成立，

所以上<3/一2t对任意reR恒成立，所以左<(3/一2。.,

\/min

设y=3〃-2f,对称轴f=

所以当f时，ymn=3xfn-2x-=-l,

3mn⑶33

所以/<.

故答案为：

5.(2024・四川成都•二模)己知函数/(x)=3x-siiu,/(a)+/(a2-2)>0,则实数。的

取值范围为.

【答案】(F,—2)L(L+8)

【分析】

首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，最后根据奇偶性与单调性将函数不

等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】函数〃x)=3x-sinx的定义域为R,且/(-x)=-3x+sinx=-/(x),

所以/(%)=3x-sinx为奇函数，

又y,(x)=3-cosx>0,所以/(x)=3x-sinx在R上单调递增，

不等式/■)+/(—―2)>0,BP/(a2-2)>-/(«)«,/(-a),

等价于〃一2>-a,解得a>1或。<-2,

所以实数。的取值范围为(-8,-2).(1,2).

故答案为：(-8,-2)-.(1,田)

题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用

1.(2024・山东烟台•一模)已知定义在R上的奇函数Ax)满足/■-同寸⑺，当时，

x

f(x)=2-l,®/(log212)=()

111i

A.—B.—C.—D.-

3432

【答案】A

【分析】

根据给定条件，探讨函数/(x)的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.

【详解】在R上的奇函数的x)满足f(2-x)=/(x),则f(x)=-/(x-2),

于是Ax)=-/(x-2)=-[-/(x-4)]=/(无一4),即函数f(x)的周期为4,

X

而8<12<16,则3<k>g212<4,-1<log212-4<0,又当OVxVl时,/(x)=2-1,

l0S

所以/(叫,⑵=/(log212-4)=/(log21)=-/(log,|)=-(2^-D=-1.

故选：A

2.(2024.河北沧州•一模)已知定义在R上的函数/(%)满足：

2024

/(x)+/(2-x)=2,/(x)-/(4-x)=0,且〃0)=2.若他N*,则卜阿=()

Z=1

A.506B.1012C.2024D.4048

【答案】C

【分析】根据条件得到函数/(X)是周期为4的函数，再根据条件得出

/(1))/(2)，/(3),/(4),即可求出结果.

【详解】/(x)+/(2-x)=2,①

.-./(l+x)+/(2-(l+x))=2,

即〃l+x)+〃l—x)=2,所以+=,

所以函数的图象关于(1,1)对称，

令x=l，则〃1)+/。)=2,所以7•⑴=1,

令x=2,/(2)+/(0)=2,又"0)=2,所以"2)=0,

又./(x)-/(4-x)=0,.../(2—尤)=/(4一(2—力)=/(2+尤),②

即函数/(x)的图象关于直线x=2对称，

/(3)=/(1)=1

且由①和②，^/(x)+/(2+%)=2=>f(2+x)+f(4+%)=2,

所以〃x)=〃4+x),则函数〃x)的一个周期为4,

贝k(4)=/(0)=2,

2024

所以£/(0=506［/(l)+/(2)+/(3)+/(4)］=506x(l+0+l+2)=2024.

i=l

故选：C

3.(23-24高三下•江苏苏州•阶段练习)已知定义在R上的偶函数/(幻，其周期为4,当xe［0,2］

时，f(x)=2x-2,则()

A./(2023)=0B./⑺的值域为［T2］

C.Ax)在［4,6］上单调递减D./⑺在［-6,6］上有8个零点

【答案】AB

【分析】

对于A选项，利用函数的周期性与奇偶性，计算函数值；对于B选项，利用函数的解析式

求得函数值范围，再利用奇偶性，得出函数的值域；对于C选项，利用函数解析式和周期性，

推得函数的单调性；对于D选项，利用函数的周期性和奇偶性，得出零点个数。

【详解】

对于A,/(2023)=/(506x4-1)=/(-I)=/(I)=0,所以A正确；

对于B,当xe［0,2］时，/(x)=2,-2单调递增，

所以当xe［0,2］时，了⑺的值域为［—1,2］,

由于函数是偶函数，fW在［-2,0］上的值域也为［-1,2］,

又Ax)是周期为4的周期函数，所以/(x)的值域为［-1,2］,所以B正确；

对于C,当xe［0,2］时，y（x）=2'-2单调递增，

又了（无）的周期是4,所以Ax）在［4,6］上单调递增，所以C错误；

对于D,令/。）=2'-2=0,得x=l,所以/⑴=/（-1）=。，

由于/（X）的周期为4,所以/（5）=/（-5）=0,/（3）=/（-3）=0,

所以在［-6,6］上有6个零点，所以D错误，

故选：AB.

4.（23-24高一下•江西•开学考试）已知"%）是定义在R上的奇函数，且〃4-x）=/（x）,

若对于任意的再,x,e［2,4］,都有（占一一“尤2）］＜0,则（）

A.〃尤）的图象关于点（-2,0）中心对称B.〃尤）=〃x+8）

C.〃x）在区间［-2,2］上单调递增D.“X）在x=66处取得最大值

【答案】BCD

【分析】

根据函数奇偶性、对称性、周期性、单调性的定义和性质，对每个选项进行逐一分析，即可

判断和选择.

【详解】

对A：由〃4r）=〃x）,得的图象关于直线x=2对称；

又/（x）是定义在R上的奇函数，所以函数〃x）的图象关于原点对称；

由对称性可知，函数/'（X）的图象关于点（4,0）中心对称，

再根据/（x）是奇函数可得，函数/（x）的图象关于点（T,0）中心对称，A错误；

对B：由/=与〃4一力=/（力，

得〃4+X）=/（T）=—/⑴，所以/（8+无）=—"4+尤）=〃x）,B正确;

对C：因为对于任意的占，赴耳2,4］,都有（凡一马）"（占）一/（无2）］＜。，所以〃x）在［2,4］

上单调递减，

又函数〃x）的图象关于点（4,0）中心对称，则在［4,6］上单调递减，

因为“X）的图像关于直线户2对称，则在区间［-2,2］上单调递增，C正确；

对D：由C可知，"X）在尤=2处取得最大值，f（66）=/（8x8+2）=/（2）,

则/（x）在x=66处取得最大值，D正确.

故选：BCD.

5.（2024•吉林白山二模）已知函数〃尤）的定义域为R,其图象关于（1,2）中心对称，若

"""x)=2_x,则()

4

A.”2—3x)+/(3x)=4B./(A：)=/(X-4)

20

c.7(2025)=T046D.^/(z)=-340

Z=1

【答案】ACD

【分析】

根据对称性即可判断A,根据"1)=2,/(3)=-2,/(-1)=6的值即可排除B,根据

/(x+4)-/(x)=-8可求解C,根据/(D+/(2)+/(3)+/(4)=-4,即可求解D.

【详解】因为〃尤)的图象关于(L2)中心对称，则/(2-x)+/(x)=4,故A正确；

由一;(4r)=27,可得/(x)—/(4—x)=8—4x,贝〃2—“一〃2+x)=4x,取x=l

得了⑴一"3)=4,

在/(2-力+/(力=4中取*=1可得，⑴=2,则〃3)=-2,

由/(—1)+/(3)=4,得/(—l)=6w/(3),故B错误；

由/(2-x)-/(2+x)=4x,得4-7(x)-〃2+x)=4x,

r.y'(x)+/(x+2)=4-4x(J)/(x+2)+f(^x+4^=—4--4x(2),

②-①得“x+4)—〃x)=-8,又

2025=l+4x506,r"(2025)=/■⑴-8x506=2-8x506=-4046,故C正确；

又由①/(2)+/(4)=-4,:.f(l)+/(2)+/(3)+/(4)=-4,

205X4

..£f(i)=-4x5+—x(-32)=-340,故D正确.

i=l2

故选：ACD.

6.(23-24高三下•陕西,开学考试)已知定义在R上的函数/(x+1)为奇函数，/(尤+2)为偶

函数，当xe［0,l］时，f(x)=3x3-3x,则方程在［0,99］上的实根个数为.

【答案】98

【分析】

根据条件确定函数周期性，画出函数在区间［0,4］上的图象，根据图象可得实根个数.

【详解】函数/(x+1)为奇函数，即/(x+l)=—/(-x+l),对称中心为(1,0),

函数/(x+2)为偶函数，即/(x+2)=/(—x+2),对称轴为x=2,

又由〃龙)=+2)=-/(x+2)=〃尤+4)可得

函数/（X）是周期函数，且周期为4,

当x«O,l］时，f（x）=3d-3x,则小）=9/-3,

令r（x）>o,得当<彳<1,单调递增,

令广（力<0,得0<x考,/（X）单调递减，

所以小L171g,3x］gj-3x］?=-与

作出函数“X）在区间［0,4］上的图象如下：

即在区间［0,4］上，方程/（力=-1有4个实根，

又99=4x24+3,

则方程〃力=T在［0,99］上的实根个数为4x24+2=98.

故答案为：98.

题型七：不等式中的恒成立问题

4

1.（23-24高一上■重庆•阶段练习）已知函数/（x）=x+j,g（x）=2*+a.若

%e［1,3］，叫目2,3］,使得/&）*（%）成立，则实数。的范围是（）

A.tz<4B.a<3C.a<0D.a<\

【答案】C

【分析】

先根据基本不等式及函数的单调性求得/（X）1mn,g（x）面”，结合题意知/（“1nmNg（冷.，解

出即可.

【详解】因为/（x）=x+：22d=4,

4

当且仅当％=—,且l>0,即1=2时等号成立，

x

所以〃xU=4,

又函数8（力=2，+。在［2,3］上单调递增，

2

所以g(x)1nin=2+«=4+fl,

由题意可知/(X)向n2gGKn，

即424+a,所以。40,

故选：C.

2.(23-24高一上•江苏扬州•阶段练习)已知正实数工，＞满足2x+3y=l,且於-丁“一对

任意恒成立，则实数f的最小值是.

17

【答案】v

O

【分析】利用分离常数法，结合二次函数的性质求得正确答案.

x>0

【详解】依题意，]-2x八，解得0<%<—,贝！J—>2

y=----->02x

3

,2

由£_y22x-'得/2

X

l-2xfl-2x?

其中x-y+y?x―一二+

x2x2

15-2+4/

97

11

则当工=-号='时①式取得最大值一

X_4491419498

9

所以f的最小值是十.

O

17

故答案为：—.

O

3.(23-24高一下•上海金山•阶段练习)定义域为R的函数/(x)满足/(x+2)=2/(x),当

”1

xe[0,2)时,若当xe[Y,-2)时，不等式“xjNjT+q恒成

立，则实数/的取值范围是.

【答案】[1,3]

【分析】

求函数在xe[0,2)上的最小值，再由递推关系得出函数在xe[-4,-2)最小值，即可转化为

1*I

—_L»L—/+_L求解即可.

442

【详解】

当xe[O,l）时，〃尤）=尤2-无€[_；,0]；

当xe[l,2）时，/⑴二一出"^[一1,-*