函数模型及其应用（7题型分类）-2025年高考数学一轮复习

专题10函数模型及其应用7题型分类

彩题如工总

题型1:二次函数模型

题型7：巳知函数模型的实际问题

题型2：分段函数模型

题型6：幕函数模型

专题10函数模型及其应用

7题型分类题型3：对勾函数模型

题型5：对数型函数

题型4：指数型函数

彩和也宝库

1、几种常见的函数模型:

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=cuc+b(a,Z?为常数且

反比例函数模型f(x)=-+b(k,b为常数且awO)

X

二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,。为常数且

指数函数模型/(x)=bax+c(6z,b,。为常数，bwO,tz>0,〃wl)

对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b^O,a>0,a^l)

幕函数模型f(x)=axn+b{a,/?为常数，

2、解函数应用问题的步骤：

（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;

（3）解模：求解数学模型，得出结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题.

彩他题秘籍

（_）

二次函数模型与分段函数模型

1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分

别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.

题型1：二次函数模型

1-1.（2024高二上•山东潍坊•期末）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,

一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40km/h的弯道上，

甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离

略超过6m,乙车的刹车距离略超过10m.已知甲车的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系为

5甲=看”一《丫，乙车的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系为5乙=募/-'y.请判断甲、乙两车哪

辆车有超速现象（）

A.甲、乙两车均超速B.甲车超速但乙车未超速

C.乙车超速但甲车未超速D.甲、乙两车均未超速

1-2.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）如图为某小区七人足球场的平面示意图，A3为球门，在某次小区居民友

谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的尸点处接球，止匕时tanNAPB=（,假设甲沿着平行边线的方向

向前带球，并准备在点。处射门，为获得最佳的射门角度（即-AQ8最大），则射门时甲离上方端线的距离

为（）

c.10V2D.10A/3

1-3.（2024.北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件

下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a,b,c是常数），如图记录了三次

实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为

/

6

O.0二

S7

一

5

O.

O345f

A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟

题型2:分段函数模型

2-1.（2024.云南.二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格:

一次购买件数5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件价格37元32元30元27元25元

张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（）

A.116件B.110件C.107件D.106件

2-2.（2024.四川绵阳•模拟预测）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用

电量划分为三挡：月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元

/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.

（1）求某户居民月用电费y（单位：元）关于月用电量无（单位：度）的函数解析式;

（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如

图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%,求a,匕的值.

2-3.（2024•全国）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出It该产品获利润500元，未售出的

产品，每It亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商

为下一个销售季度购进了130t该农产品.以无（单位：t,100WXW150）表示下一个销售季度内的市场需求量,

T（单位:元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（I）将T表示为x的函数;

（II）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.

2-4.（2024高一上•江西赣州•期中）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略,

开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展.为深入践行习

近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路.某乡镇为

全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量/（单位：kg）与肥料费用x（单位：元）

工(X2+43),0<X<3,

5

满足如下关系：,其它总成本为3%（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每

144

20-------,3<x<10,

5%

千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为/•（工）（单位：元）.

⑴求外力的函数关系式；

（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？

2-5.（2024高二下•四川眉山.阶段练习）某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x,

（10WxW20,单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获

利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销

售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为>元.

（1）求商店日利润y关于需求量X的函数表达式；

（2）估计日利润在区间［580,760］内的概率.

2-6.（2024•全国）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润V（单位：元）关于当天需求量”（单位：枝，nwN）的函

数解析式.

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求

14151617181920

量n

频数10201616151310

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差;

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

彩他题海籍

（二）

对勾函数模型

1、解决此类问题一定要注意函数定义域；

2、利用模型/（x）=«x+2求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.

X

题型3:对勾函数模型

3-1.（2024高三下•河北唐山•阶段练习）迷你K7V是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类

似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎.如图是某间迷你K7V的横截面示

3

意图，其中AB=AE=—,/A=/3=/E=90。，曲线段。是圆心角为90。的圆弧，设该迷你K7V横截面

2

的面积为S,周长为L,则器的最大值为.（本题中取万=3进行计算）

3-2.（2024高一下.浙江・期末）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵

生动、极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形08截去同心扇形所得部分.已知扇环周长

=300cm,大扇形半径OZ>=100cm,设小扇形半径。4=xcm,=e弧度，贝！|

①。关于x的函数关系式伙幻=.

②若雕刻费用关于尤的解析式为以幻=Wx+1700,则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为.

3-3.（2024高三.全国•专题练习）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此

外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增

加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）

A.8B.10C.12D.13

彩他题秘籍（二）

指数型函数、对数型函数、幕函数模型

1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增

长率、银行利率有关的问题都属于指数模型.

2、在解决指数型函数、对数型函数、塞函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借

助函数图像求解最值问题.

题型4:指数型函数

4-1.（2024高三下•云南•阶段练习）近年来，天然气表观消费量从2006年的不到600xK）8m3激增到2021年

的3726xl08m3.从2000年开始统计，记忆表示从2000年开始的第几年，ov—%eN.经计算机拟合后发

现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合匕=%。+%丫，其中匕是从2000年后第4年天然气消费量，

力是2000年的天然气消费量，心是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为900x1（）8n?,

2018年的天然气消费量为2880xl（）8m3,根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为（）

222

（参考数据:2.8812~2.02,3.2）a2.17,4心2.52

A.5817.6xl0sm*3B.6249.6xlO8m3

C.6928.2xlO8m3D.7257.6xl08m3

4-2.（2024.山东）基本再生数&与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传

染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：

/⑺=e”描述累计感染病例数/⑺随时间小单位:天）的变化规律，指数增长率r与Ro,T近似满足Ro=l+rT.

有学者基于已有数据估计出&=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要

的时间约为（In2ao.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

4-3.（2024•浙江・二模）提丢斯一波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一种经验规

贝（它是在1766年德国的一位中学教师戴维・提丢斯发现的.后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个如下

经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1,若某行星的编号为“，则该行星到太阳的平均距离表示为

a+bxT1,那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于（）

行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星

编号12345678

公式推得值0.711.62.85.21019.638.8

实测值0.7211.522.95.29.5419.1830.06

A.（30,50）B.（50,60）C.（60,70）D.（70,80）

题型5：对数型函数

5-L（2024.陕西咸阳.模拟预测）血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红

蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般情况

下不低于96%,否则为供养不足.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:S（f）=S°e”描述血氧饱

和度S（r）（单位％）随机给氧时间f（单位:时）的变化规律，其中S。为初始血氧饱和度，上为参数.已知跖=60,

给氧1小时后，血氧饱和度为70,若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（）小时.（参

考数据：In5=1.61,In6=1.79,In7=1.95,In8=2.07）

A.1.525B.1.675C.1.725D.1.875

52（2024.全国•二模）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之

间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、

追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等.人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤

其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用.研究发现，某昆虫释放信息素f秒后，在距释放处无米

的地方测得的信息素浓度y满足111>=-5山/-,炉+a,其中％,a为非零常数.已知释放信息素1秒后，在

距释放处2米的地方测得信息素浓度为相；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为

贝Ub=（）

A.3B.4C.5D.6

53（2024.四川绵阳•二模）经研究发现：某昆虫释放信息素/秒后，在距释放处x米的地方测得信息素浓

度y满足函数lny=-gln-（&,长为非零常数）.已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信

息素浓度为。，则释放信息素4秒后，信息素浓度为二。的位置距释放处的距离为（）米.

2

A.2及B.2C.72D.4

题型6:卷函数模型

6-1.（2024高三上.安徽亳州•阶段练习）“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花

如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽毫州的诗句，毫州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.毫州自商

汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了毫州医

药的发展，到明、清时期毫州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.毫州建有全球规模最大、设施

最好、档次最高的“中国（毫州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.

某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现:该中药材在2021

年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价M（x）（单位：元/千克）与第x天

（l<x<3O,xe7V*）的函数关系满足M（x）=±+20（左为正常数）.该中药材的日销售量N（x）（单位：

千克）与x的部分数据如下表所示：

X4102030

N(x)149155165155

已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价x日销售量）

（1）求上的值；

（2）给出以下四种函数模型：①N（x）=a*+b,@N（x）=a（x-2O）2+b,③N（x）=a|尤-20|+b,④

N（x）=elog/,请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日

销售量N（x）与x的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入/（X）（单位：元）的最小值.

6-2.（2024.四川泸州.模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大

胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动.该

企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元.若要实现2024年

初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：<82«1.22,<73«1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

6-3.（2024.广西•模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以哥

函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率）与其体重尤满足丁=依"，其中左和。为正常数，该类动物某

一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则

a为（）

彩他题祕籍

（四）

已知函数模型的实际问题

求解已知函数模型解决实际问题的关键

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

题型7:已知函数模型的实际问题

7-L（2024高三・全国・专题练习）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，=（〃-4）1“+，，其中f

为时间（单位：min）,4为环境温度，4为物体初始温度，。为冷却后温度），假设在室内温度为20。（2的

情况下，一桶咖啡由100C降低到60C需要20min.则k的值为.

7-2.（2024高二下•浙江宁波•学业考试）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建

造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期

研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度人（单位：厘米）满足

关系："㈤=W10）.经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10

万元.设尸伍）为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使尸伍）达到最小值的隔热层的

厚度h=_____厘米.

7-3.（2024・四川宜宾・模拟预测）当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730

年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式

=嬴，（其中照为生物死亡之初体内的碳14含量，，为死亡时间（单位：年），通过测定发现某

古生物遗体中碳14含量为:品，则该生物的死亡时间大约是年前.

74（2024高一上.福建三明•阶段练习）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释

放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间/（小时）成正比；药物释放完毕后，y与/的

函数关系式为y=（。为常数）.根据图所提供的信息，回答下列问题：

|近毫克）

1--1

o\0.1小时）

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间/（小时）之间的函数关系式为；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，

至少需要经过小时后，学生才能回到教室.

7-5.（2024•江西南昌•二模）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主

要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模

式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式

x=3-2.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的

售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是一

万元.

76（2024•福建福州三模）某地在20年间经济高质量增长，G。尸的值P（单位，亿元）与时间f（单位：

年）之间的关系为P⑺=《（1+10%）',其中4为f=0时的P值.假定片=2,那么在f=10时，尸增长的速

度大约是.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：11°。2.59,当x取很小的正数时，ln（l+x）ax

法习与置升

一、单选题

1.（2024高三上•广东深圳•期末）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该

产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本。（x）万元.其中

x2+10x,0<x<40

。（尤）=10000，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每

71X+----------945,%>40

、x

年利润的最大值为（）

A.720万元B.800万元

C.875万元D.900万元

2.（2024•浙江・二模）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120。的等腰梯形

（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面

积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为（）（参考数

据：6“732）

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

3.（2024高三下.北京・开学考试）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少

50%,若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤（）

（参考数据：1g2«0.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

4.（2024全国）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业

取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解

决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.4点是平衡点,

位于地月连线的延长线上.设地球质量为M,，月球质量为"?，地月距离为R,4点到月球的距离为r，根

据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：京了+黄=（”+»言•

yQzyQzy4ixy

设。蓝,由于，的值很小，因此在近似计算中（S"则r的近似值为

A.B.

3M2nD

C.3—ZR-■R

VM

5.（2024・全国）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由

于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500

份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，

为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

6.（2024•河南郑州•模拟预测）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、

保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量4（单位：L/min）计算公式为q=K师和保护对象的水雾喷

头数量N计算公式为N=——计算确定，其中尸为水雾喷头的工作压力（单位：MPa）,K为水雾喷头的流

q

量系数（其值由喷头制造商提供），s为保护对象的保护面积，w为保护对象的设计喷雾强度（单位：

L/min-m2）.水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的

数量.当水雾喷头的工作压力尸为0.35MPa,水雾喷头的流量系数K为24.96,保护对象的保护面积S为14m?,

保护对象的设计喷雾强度W为20L/min.m2时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据：7^5«1.87）

（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

7.（2024.四川成都.三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果

物体的初始温度是4,环境温度是4,则经过fmin物体的温度。将满足夕=%+（4-4）丁如，其中％是一个

随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有90。（2的物体，若放在KTC的空气中冷却，经过lOmin物体

的温度为5（TC,则若使物体的温度为2（TC,需要冷却（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

8.（2024.福建福州.模拟预测）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，

银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x（单位：

-0.9680+日

万元）的Logistic,模型：P（x）=］；e«968o+「已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.

若银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入为（）（精确到0.01万元，参考数据：In3«1.0986,

ln2«0.6931）

A.4.65万元B.5.63万元C.6.40万元D.10.00万元

9.（2024•江苏南通•模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某

造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良

工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.25g/m3,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为

2.21g/m3,第几次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量r„满足函数模型

々=“+6-％）SBSikeR,〃eN*）,其中“为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，4为首次改

良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，”为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过

0.25g/n?时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考

数据：lg2«0.30,lg3®0.48）

A.14次B.15次C.16次D.17次

10.（2024•江西•二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草

莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依

次分为4个等级，其等级x（尤=1,2,3,4）与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关

系式y=e"+L若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，贝|3

级草莓的市场销售单价最接近（）（参考数据：次。1.26,孤司.59）

A.30.24元/千克B.33.84元/千克C.38.16元/千克D.42.64元/千克

11.（2024・重庆•模拟预测）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲

醛的最高容许浓度为：一类建筑0.08mg/m3,二类建筑O.lmg/n?.二类建筑室内甲醛浓度小于等于

O.lmg/n?为安全范围，已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境

下时，竣工2周后室内甲醛浓度为2.25mg/n?,4周后室内甲醛浓度为0.36mg/n?,且室内甲醛浓度凶）（单

位：mg/nP）与竣工后保持良好通风的时间（feN*）（单位：周）近似满足函数关系式。⑺=e"+",则该

教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（）

A.5周B.6周C.7周D.8周

12.（2024•山西朔州•模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅

楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数尤与每平米平均建筑成本y（单位：万元）的数据整理

成如图所示的散点图：

I每平米平均建筑成本/万元

20-

15-

10-.

5-,

01020*3040楼层数/层

则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用y和楼层数x的回归方程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+btx

b2

C.y=a+—D.y=a+b1x

x

13.（2024・全国）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小

数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足乙=5+lgV.已知某同学视力的五

分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（啊。1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

14.（2024高二•全国•课后作业）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为Li=5.06x

—0.15尤2和L2=2X,其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润

为

A.45.606B.45.6C.45.56D.45.51

15.（2024高三上.北京东城•开学考试）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微

生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化

碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化

碳的浓度为了%,且y随时间/（单位：分钟）的变化规律可以用函数了=0.05+加得（2eR）描述，则该教室

内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间r（单位：分钟）的最小整数值为（）

（参考数据In2aO.693,ln321.098）

A.5B.7C.9D.10

16.（2024.四川）某食品的保鲜时间义单位：小时）与储藏温度耳（单位：。0满足函数关系〉=产〃（6=2.718.

为自然对数的底数，匕》为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，

则该食品在33℃的保鲜时间是

A.16小时B.20小时C.24小时D.21小时

17.（2024・四川成都.模拟预测）某程序研发员开发的小程序在发布时已有1000名初始用户，经过t天后,

用户人数。（r）ame“，其中左和，"均为常数.已知小程序发布经过10天后有4000名用户，则用户超过2

万名至少经过的天数为（）（天数按整数算，取lg2=0.30）.

A.20B.21C.22D.23

18.（2024•海南省直辖县级单位•模拟预测）英光定量尸CR是一种通过化学物质的英光信号，对在PCR扩增

进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，

0M4的数量X与扩增次数〃满足lgX“="lg（l+p）+lgX0,其中X。为。乂4的初始数量，。为扩增效率.已知

某被测标本OVA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率P约为（）（参考数据：

£

10J2.1543»1.778）

A.56.2%B.77.8%C.115.4%D.118.4%

19.（2024.湖南）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为P,第二年的增长率为心则该市这两

年生产总值的年平均增长率为

Ap+q口（p+D（q+i）T

22

C.y[pqD.J（p+l）（q+l）―l

20.（2024高一上.青海西宁・期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件

加密，有一种加密密钥密码系统（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理为：发送方由明文一密文（加]

密）,接收方由密文一明文.现在加密密钥为y=kx\如“4”通过加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“工”,

256

则解密后得到的明文是（）

A.-B.—C.2D.-

248

21.（2024高一上.全国•课后作业）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据.现准备

用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）

X1.953.003.945.106.12

y0.971.591.982.352.61

22.（2024高一•全国•课后作业）四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是工（力=/，力（x）=4x,

^（x）=log3x,力（尤）=2，，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是（）

A.工（x）=尤-B.力（x）=4xC.f3（x）=\og3xD.£（%）=2工

二、多选题

23.（2024・辽宁大连•三模）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型:

（e'+e-^E值（ex-e-J!）X

y⑺=1—一？-Jy-10其中正实数X。,不分别为甲、乙两方初始实力，1为比赛时间；

2Vb2

x=\[abt

x（t）,y（。分别为甲、乙两方r时刻的实力；正实数a,b分别为甲对乙、乙对甲的比赛效果系数.规定当甲、乙两

方任何一方实力为。时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为T.则下列结论正确的是（）

A.若X°＞乂且。=6,则x（f）＞y（0gWT）

B.若X（）＞%且a=6,贝！|T=，ln

a

Xb

C.若”n＞一,则甲比赛胜利

%a

24.（2024高一上•山东德州•阶段练习）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象,

假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（）

[面积（m?）

3

0

1

1234时间（月）

A.野生水葫芦的面积每月增长量相等

B.野生水葫芦从9m2蔓延到36mz历时超过1个月

C.设野生水葫芦蔓延到9m2,20m2,40m之所需的时间分别为1,t2,t3,贝|有4+/3＜2与

D.野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均

速度

25.（2024高一上•山东德州•期末）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度

是为（单位：。C）,环境温度是q（单位：℃）,其中4＞4、则经过f分钟后物体的温度e将满足

e="f）=a+（%-a）.e*（左eR且左＞0）.现有一杯100C的热红茶置于10C的房间里，根据这一模型研究

红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值

A.若/（3）=40C,则/⑹=20C

B.若发=木，则红茶下降到55c所需时间大约为6分钟

C.5分钟后物体的温度是4（TC,%约为0.22

D.红茶温度从80c下降到60c所需的时间比从60c下降到4（TC所需的时间多

26.（2024・广东•模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状

态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测

得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间/（单位：分）之间满足函

数关系y=f⑺,其中嘿=R（R为常数）.若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm,人就可以安全进入车

库了，则下列说法正确的是（）

1

A-R=e^

B.尺3

4

C.排气12分钟后，人可以安全进入车库

D.排气32分钟后，人可以安全进入车库

27.（2024.全国）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L.=20xlgj,

其中常数为（为＞0）是听觉下限阈值，。是实际声压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车105060

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为P”P2，P3,则（）.

A.P\NP?B.p2>10p3

C.P3=10°PoD.Pi<100/J2

三、填空题

28.（2024高三.全国•专题练习）某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间x（小时）变

5420<x<l

化的规律近似满足表达式/（x）=3门丫《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶

[5⑴

员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车.（精确到1小时）

29.（2024•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值

钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x,

x+y+z=100,

z,则

30.（2024.北京朝阳.一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化

x(1)=Xocosh

遵循兰彻斯特模型：,其中正实数X。，匕分别为红、蓝两方初始

y⑺=4cosh—Xasinh

兵力，/为战斗时间；x«）,y（f）分别为红、蓝两方f时刻的兵力;正实数a,b分别为红方对蓝方、蓝方对

红方的战斗效果系数；coshx=W二和sinh*：—?二分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝

两方任何一方兵力为。时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为■给出下列四个

结论：

①若x°>4且a=则M/）>y«）（owT）；

②若X。〉为且则T=—In4

…4X。b

③若”>一，则红方获得战斗演习胜利；

Yoa

④若学〉口，则红方获得战斗演习胜利.

Yo\a

其中所有正确结论的序号是.

31.（2024高二上.广东深圳•期末）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条

长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段

分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过"次这样的操作后，去掉的

所有线段的长度总和大于荒，则〃的最小值为.（参考数据：lg2“0.301,lg3。0.477）

----------第1次操作

———