2024-2025学年高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练（含答案）

2024高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练【人教A版（2019）】1．（2023上·广东汕头·高一校考阶段练习）已知A={x∣2a-1<x≤a+1},B={x∣-1<x≤3}.(1)若a=-12，求(2)在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；②A∪B=B；③A∩B=∅；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.问题：若__________，求实数a的取值范围构成的集合P.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分.2．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期中）已知非空实数集S，T满足：任意x∈S，均有x-1x∈S；任意y∈T，均有(1)直接写出S中所有元素之积的所有可能值；(2)若T由四个元素组成，且所有元素之和为3，求T；(3)若S∩T非空，且由5个元素组成，求S∪T的元素个数的最小值．3．（2023下·北京密云·高一统考期末）已知集合S=1,2,⋯,n（n≥3且n∈N*），A=a1,a2,⋯,am，且A⊆S．若对任意ai∈A,(1)判断下列集合是否是S=1,2,3,4,5①A1=②A2(2)若A=a1,a24．（2023上·北京平谷·高一统考期末）设A是正整数集的非空子集，称集合B={|u-v||u,v∈A，且u≠v}为集合A的生成集．(1)当A=1,3,6时，写出集合A的生成集B(2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集B=2,3,5,6,10,165．（2023上·北京东城·高一统考期末）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为TA=M-m，若集合A中只有一个元素，则(1)若A={2,3,4,5}，求TA(2)若A={1,2,3,⋯,9},Ai=ai,b(3)若集合N*的非空真子集A1,A26．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知集合An=x1,x2,⋯,xnxi∈-1,1i=1,2,⋯,n，x(1)若x=1,1,1,1，写出A4中与(2)令B=x⊙y|x,y∈An，若m∈B(3)若A⊆An，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，7．（2023上·北京昌平·高一统考期末）设有限集合E=1,2,3,⋯,N，对于集合A⊆E①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj②对于集合A中任意两个元素xi，xji≠j，都有x(1)若N=20，集合A=1,2,4,6,8,10，B=x∣x=3k+1,k≤6,k∈N(2)若N=100，1∈A，100∈A，且集合A为(3)若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求8．（2023上·北京·高一校考阶段练习）设集合A为非空数集，定义A+(1)若集合A=-1,1,直接写出集合A+及(2)若集合A=x1,x2(3)若集合A⊆{x|0≤x≤2023,x∈N}且A+9．（2023上·浙江湖州·高一期末）已知函数f(x)=x-2，g(x)=x(1)若对任意x∈R，不等式g(x)>f(x)恒成立，求m的取值范围；(2)若对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得(3)若m=-1，对任意n∈R，总存在x0∈[-2,2]，使得不等式gx10．（2023上·浙江金华·高一校考阶段练习）（1）已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是x|x<-2（2）求关于x的不等式ax11．（2023·全国·模拟预测）已知x,y,z∈0,+∞，且(1)求证：yx(2)求x212．（2023上·江苏·高一阶段练习）设函数f(x)=ax（1）若关于x的不等式fx≥-2有实数解，求实数（2）若不等式fx≥-2对于实数a∈-1,1（3）解关于x的不等式：f(x)<a-1,(a∈R).13．（2023上·辽宁丹东·高一校考阶段练习）已知不等式2≤ax2(1)若a>0，求6b+5c的值；(2)若a>0，且不等式ax2+(3)若a≠0解关于x的不等式：ax14．（2023上·浙江台州·高一校考阶段练习）已知函数y=ax2-(1)y<3-2x恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a>0时，求不等式y≥0的解集；(3)若存在m>0使关于x的方程ax2-15．（2022上·福建厦门·高一校考阶段练习）已知函数fx=ax+(1)解关于x的不等式a(2)已知gx=mx+7-3m，若对任意的x1∈16．（2023上·江苏苏州·高二校考期中）已知一元二次不等式x2（1）若不等式的解集为(-∞,2)∪(3,+∞)，求不等式ax（2）当b=a-1时，求不等式x2（3）当b=1时，求不等式x217．（2023上·北京朝阳·高一统考期末）设全集U={1,2,⋯,n}n∈N*，集合A是U的真子集．设正整数t≤n，若集合A满足如下三个性质，则称A为U①t∈A；②∀a∈A,∀b∈∁UA，若ab∈U③∀a∈A,∀b∈∁UA，若a+b∈U(1)当n=6时，判断A={1,3,6}是否为U的R(3)子集，说明理由；(2)当n≥7时，若A为U的R(7)子集，求证：2∉A；(3)当n=23时，若A为U的R(7)子集，求集合A．18．（2023上·天津·高一校联考期中）设函数f(x)=ax（1）若不等式fx>0的解集为-1,3，求（2）若f(1)=4, b>-1，求（3）若b=-a-3,求不等式fx19．（2023上·上海闵行·高一校考阶段练习）已知二次函数fx(1)若等式ax-12+bx-1+c=2x2-3x-1恒成立，其中(2)证明：ac<0是方程fx(3)若对任意x∈R，不等式fx≥2ax+b恒成立，求20．（2023下·湖南·高二校联考期末）已知函数fx(1)若fx在定义域上单调递增，求a(2)若fx≤x21．（2023下·北京朝阳·高一统考期末）设m,n∈N*，已知由自然数组成的集合S=a1,a2,⋅⋅⋅,anaχ=x11x12⋅⋅⋅x1mx21x22⋅⋅⋅x(1)若m=3，S={1,2,3}，且χ=101011100(2)若S={1,2,⋅⋅⋅,n}，集合S1，S2，…，Sm中的元素个数均相同，若d(S)=3(3)若m=7，S={1,2,⋅⋅⋅,7}，集合S1，S2，…，S7中的元素个数均为3，且S22．（2023上·上海金山·高一统考期末）已知函数y=fx的定义域为D，区间M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且fx+t>fx，则称y=fx(1)已知fx=x，判断函数y=fx是否为区间-1,0(2)已知n>0，设gx=x2，且函数y=gx是区间-4,-2(3)如果函数y=hx是定义域为R的奇函数，当x≥0时，hx=x-a2-a223．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数f(x)=ax2+bx+cx(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)在(-2,2)上的单调性；(3)若存在实数x∈[-1,2]，使得不等式4[f(x)]2-f(x)+1≤m24．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）已知fx=4x-ax2+b是定义在R上的奇函数，其中(1)求a、b的值；(2)判断fx在2,+(3)设gx=mx2-2x+2-m，若对任意的x1∈25．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）已知fx=m（1）求m的值；（2）求函数gx=fx-2a-126．（2023下·四川泸州·高一统考期末）已知函数fx(1)判断函数fx(2)设函数gx=loga4x+4-x27．（2023上·江苏扬州·高一统考期末）已知函数fx(1)若a=0，判断函数y=fx(2)若函数fx在R上是增函数，求实数a(3)若存在实数a∈-2,2，使得关于x的方程fx-tf28．（2023下·山西运城·高二统考期末）已知fx(1)证明：fx关于x=1(2)若fx（i）求a；（ii）不等式fmex29．（2023上·重庆永川·高一校考期末）已知函数fx对于任意实数x,y∈R恒有fx+y=fx+fy(1)判断fx(2)求fx在区间-4,4(3)解关于x的不等式：fa30．（2023上·安徽铜陵·高一统考期末）已知函数f(x)=|x-2a+1|, （1）若a=1，求函数φ(x)=f(x)+g(x)的最小值；（2）若g(x)≥f(x)对于任意x∈[a,+∞)恒成立，求a的取值范围；（3）若x∈[1,6]，求函数h(x)=max31．（2023上·北京·高一校考期末）已知函数fx(1)若函数Fx=fx+af-x(2)当a>0且x∈0,8时，不等式fx+1≥f(3)试求函数Gx=fx+1+af2x32．（2023上·辽宁大连·高一期末）已知函数fx=(1)直接写出x>0时，g(x)的最小值.(2)a=2时，Fx=fx(3)若g(2)=52，f(g(x))存在两个零点，求33．（2022上·福建泉州·高一泉州七中校考期中）已知定义在R的函数fx满足：①对∀x，y∈R，fx+y=fx+fy-1(1)求f0，判断并证明f(2)若∃x∈-1,1，使得fx≤m2(3)解关于x的不等式fa34．（2023上·上海·高一校考阶段练习）对于定义域在R上的函数y=f(x)，定义g(x)=f(x)-f(0)x．设区间I=(-∞,0)∪(0,+∞)，对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1、x2，当x1(1)判断函数y=-2x,x∈R(2)若非常值函数y=s(x),x∈R是奇函数，求证：y=s(x)存在“T函数”的充要条件是存在常数k，使得s(x)=kx；(3)若函数y=m⋅2x-2022x与函数y=-m⋅2-x+x的定义域都为35．（2023上·辽宁大连·高一期末）若函数f(x)在定义域R上满足f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时f(x)>0,定义域为-2,2的(1)求证：函数f(x)在定义域上单调递增.(2)若在区间-1,1上，f(x)+g(x)=-x2+x+1；g(x)（i）求函数f(x)和函数g(x)在区间-2,（ii）若关于x的不等式g(x1)-g(x2)af(x1)-af(x36．（2023上·吉林长春·高一校考期末）已知函数fx(1)求t的值；(2)求fx(3)若f42x+4-2x37．（2023下·浙江舟山·高二统考期末）已知函数fx=x2+2x(1)求fx的值域（用a(2)求a+b的取值范围；(3)若存在实数b，使得gfx-338．（2023下·云南保山·高一统考期末）已知函数fx=loga1-x+3，（a>0且(1)求函数fx(2)求函数Fx(3)若关于x的不等式m+log31+x1-x<f39．（2023下·浙江·高一台州中学校联考期中）已知函数fx(1)求m的值；(2)若gx=4fx，a>0，b∈R，不等式b⋅40．（2023上·浙江·高一校联考期末）已知函数fx=ln(1)若方程fx=ln(2)设a>0，若对任意b∈14,1，当x1，x241．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知函数fx=2sinωx+φω>0,(1)令gx=fx+(2)是否存在实数m满足对任意x1∈-1,1，任意x2∈R42．（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）函数f(x)=cos

(1)求fx(2)若∀x∈-π4,π(3)求实数a和正整数n，使得函数F(x)=f(x)-a在[0,nπ43．（2023下·江西上饶·高一统考期末）已知函数fx(1)求函数fx(2)若gx=fx+fx+π4-fx(3)若函数Fx=-f2x+π844．（2023下·四川成都·高一统考期末）已知函数fx=3sinxcosx+12(1)若fα=0，求(2)若对任意x2∈-π2,π45．（2023下·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知直角梯形ABCD，AD//BC，∠ABC=∠ADE=π2，AB=1，扇形圆心角∠BAE=x，x∈0,π2，如图，将

(1)写出px(2)用tanx2表示梯形ABCD的面积tx(3)设f(x)=p(x)s(x)，0<α<α+φ<π2，试用代数计算比较46．（2023下·江西抚州·高一校联考期中）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-1(ω>0,0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f(1)求fx(2)若对任意x∈0,π3，f(x)(3)若函数h(x)=2f(x)+3的图象在区间a,b（a,b∈R且a<b）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间a,b上，求b-a47．（2023上·吉林·高一统考期末）如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点Ax1,y1，将射线OA绕点O按逆时针方向旋转π(1)求fπ(2)若函数gx=f2x-(3)在（2）的条件下，函数hx=gx+λ-148．（2023下·上海闵行·高一闵行中学校考期末）定义在R上的函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0≤φ≤π2，已知其在x∈(1)求出此函数的解析式；(2)是否存在实数m，满足不等式Asinω-(3)若将函数fx的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的13得到函数gx，再将函数gx的图像向左平移φ0φ049．（2023上·陕西榆林·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为52米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h(1)写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式h(t)=Asin(ωt+φ)+B（其中A>0，ω>0，(2)若盛水筒P在t1，t2时刻距离水面的高度相等，求50．（2023上·云南昆明·高一统考期末）乐音中包含着正弦函数，平时我们听到的乐音是许多个音的结合，称为复合音，复合音的产生是因为发声体在全段震动，产生基音的同时，其余各部分，如二分之一部分也在震动．某乐音的函数是fx=sinx+12sin(1)求出fx的最小正周期并写出f(2)求使fx≥0成立的(3)判断x∈-2π,2

高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练【人教A版（2019）】1．（2023上·广东汕头·高一校考阶段练习）已知A={x∣2a-1<x≤a+1},B={x∣-1<x≤3}.(1)若a=-12，求(2)在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；②A∪B=B；③A∩B=∅；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.问题：若__________，求实数a的取值范围构成的集合P.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分.【解题思路】（1）利用集合补集和交集的概念求解即可；（2）根据集合的包含关系分情况讨论即可.【解答过程】（1）当a=-12时，A=x所以A∪B={x|-2<x≤3}，∁RB={x|x≤-1或A∩∁（2）选①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B若A=∅，此时2a-1≥a+1，解得a≥2；若A≠∅，此时a<2，只需2a-1≥-1a+1≤3解得0≤a<2，所以满足条件的实数a构成的集合P=a|a≥0选②A∪B=B，则A⊆B；若A=∅，此时2a-1≥a+1，解得a≥2；若A≠∅，此时a<2，只需2a-1≥-1a+1≤3，解得0≤a<2综上所述，满足条件的实数a构成的集合P=a|a≥0选③A∩B=∅，若A=∅，此时2a-1≥a+1，解得a≥2；若A≠∅，此时a<2，只需2a-1≥3或a+1≤-1，显然2a-1≥3即a≥2无解，解a+1≤-1得a≤-2；综上，满足条件的实数a构成的集合P=a|a≤-2或a≥22．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期中）已知非空实数集S，T满足：任意x∈S，均有x-1x∈S；任意y∈T，均有(1)直接写出S中所有元素之积的所有可能值；(2)若T由四个元素组成，且所有元素之和为3，求T；(3)若S∩T非空，且由5个元素组成，求S∪T的元素个数的最小值．【解题思路】（1）根据集合S中的元素构成可得集合S中的元素是以x,x-1（2）根据集合T中的元素构成可得集合T中的元素是以y,y-1（3）由（1）（2）可得集合S,T的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环，从而根据S∩T得元素个数，可确定S∪T的元素个数的最小值．【解答过程】（1）已知非空实数集S满足：任意x∈S，均有x-1x∈S，且x=x-1所以x-1x-1则集合S中的元素是以x,x-1x,又x⋅x-1x⋅11-x=-1，则（2）已知非空实数集T满足：任意y∈T，均有y-1y+1∈T所以y-1y+1-1y-1y+1则集合T中的元素是以y,y-1y+1,-若T由四个元素组成，则T=y,所以y+y-1y+1解得y=2±5或当y=2+5或y=2-5或y=-1+5综上，T=2+（3）由（1）（2）集合S,T的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环，且当x=y时，同一周期内其余元素不相等，因而3和4互素，所以S和T中的各组最多只能有一个公共元素，因为S∩T有五个元素，若要使S∪T的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，若x0,x0-1x0,11-x若T=y0,y0-1y0+1,-1所以S∪T的元素个数最小值为18.3．（2023下·北京密云·高一统考期末）已知集合S=1,2,⋯,n（n≥3且n∈N*），A=a1,a2,⋯,am，且A⊆S．若对任意ai∈A,(1)判断下列集合是否是S=1,2,3,4,5①A1=②A2(2)若A=a1,a2【解题思路】（1）理解3元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义；（2）分别设a1=1，a1即可求解.【解答过程】（1）①因为2+2=4<5，且4∉A所以A1不是S②因为2+2=4<5，且4∈A而5+5>4+5>4+4>2+5>2+4>5，∴A2是（2）不妨设a1若a1=1，则a1则集合A的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾；若a1=2，则a1此时a1=2,a此时a1若a1≥3，则a1+a则a1+a1=a3综上，a14．（2023上·北京平谷·高一统考期末）设A是正整数集的非空子集，称集合B={|u-v||u,v∈A，且u≠v}为集合A的生成集．(1)当A=1,3,6时，写出集合A的生成集B(2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集B=2,3,5,6,10,16【解题思路】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设A=a1,（3）假设存在集合A=a,b,c,d，可得d-a>c-a>b-a，d-a>d-b>d-c，c-a>c-b，d-a=16【解答过程】（1）因为A=1,3,6，所以1-3所以B=2,3,5（2）设A=a1,因为a2所以B中元素个数大于等于4个，又A=1,2,3,4,5，则B=1,2,3,4，此时所以生成集B中元素个数的最小值为4；（3）不存在，理由如下：假设存在4个正整数构成的集合A=a,b,c,d，使其生成集B=不妨设0<a<b<c<d，则集合A的生成集B由b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c组成，又d-a>c-a>b-a,d-a>d-b>d-c,c-a>c-b，所以d-a=16，若b-a=2，又d-a=16，则d-b=14∉B，故b-a≠2，若d-c=2，又d-a=16，则c-a=14∉B，故d-c≠2，所以c-b=2，又d-a=16，则d-b+c-a=18，而d-b,c-a∈3,5,6,10所以d-b+c-a=18不成立，所以假设不成立，故不存在4个正整数构成的集合A，使其生成集B=2,3,5,6,10,165．（2023上·北京东城·高一统考期末）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为TA=M-m，若集合A中只有一个元素，则(1)若A={2,3,4,5}，求TA(2)若A={1,2,3,⋯,9},Ai=ai,b(3)若集合N*的非空真子集A1,A2【解题思路】（1）根据新定义即可求出；（2）由Ai=ai,bi（3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且A1,A2,【解答过程】（1）由集合A={2,3,4,5}知，M=5,m=2，所以TA（2）因为A={1,2,3,⋯,9},Ai=由此可知集合A1根据定义要让TA则只需TA4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以TA1+所以有一组A1（3）要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为1,2，因为A1,A不妨设A1是集合N*中只有一个元素的非空真子集，此时TA则A2是集合N*中有两个元素的非空真子集，且TA同理A3是集合N*中有三个元素的非空真子集，且TA⋯⋯An是集合N*中有n个元素的非空真子集，且TA所以TA1+解得n=11或n=-10（舍去），所以n的最大值为11.6．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知集合An=x1,x2,⋯,xnxi∈-1,1i=1,2,⋯,n，x(1)若x=1,1,1,1，写出A4中与(2)令B=x⊙y|x,y∈An，若m∈B(3)若A⊆An，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，【解题思路】（1）由定义可写出A4中与x（2）令δi=1,xi=yi,0,xi≠yi（3）先考虑n=4时，共有四种互相正交的情况，设这4种情况的排列为z1则按x=z1,z2当n=14时，不妨设y1=(1,1,⋯1)（有14个1），y2=(-1,-1,⋯,-1,1,1,⋯1)（有7个-1，7个1），则y1,y2正交，再令a=(a1,【解答过程】（1）A4中所有与x正交的元素为-1,-1,1,1,1,1,-1,-1（2）证明：对于m∈B，存在x=x1,x2令δi=1,当xi≠yi时，xi那么m=x⊙y=i=1所以m+n=2k为偶数．（3）n=8时，不妨设x1再考虑n=4时，共有四种互相正交的情况，即1111-11则按x1即x=zx'=-所以n=8时，A中最多可以有8个元素．n=14时，不妨设yy则y1与y假设a=a设a，b，c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外．a，b相应位置数字都相同的共有m个，b，c相应位置数字都相同的共有n个，则a⊙b=m+k-14-m-k所以m+k=7，同理n+k=7．可得n=m．由于a⊙c=-m-m+k+14-k-2m可得2m=7,m=7所以除y1综上，n=14时，A中最多可以有2个元素．7．（2023上·北京昌平·高一统考期末）设有限集合E=1,2,3,⋯,N，对于集合A⊆E①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj②对于集合A中任意两个元素xi，xji≠j，都有x(1)若N=20，集合A=1,2,4,6,8,10，B=x∣x=3k+1,k≤6,k∈N(2)若N=100，1∈A，100∈A，且集合A为(3)若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求【解题思路】对于（1），利用封闭子集，开放子集定义可得答案；对于（2），A=1,x2因集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xji≤j，使得xk=xi+对于（3），因N∈N*，且N为奇数，当N=1时，得当N≥3，将E=1,2,3,⋯,N里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且m=【解答过程】（1）对于A，因2=1+1，且A⊆E，则A为E的封闭子集；对于B，由题可得B=4,7,10,13,16,19，注意到其中任意两个元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他两个元素之和，且B⊆E，故B为E（2）由题：A=1,设1<x因集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj得x2=2，3≤x7≤x7≤64.因7≤若m=8，则x8=100，则在A中存在元素xi又1<x2<x3得x8=2x7⇒x7又当i<j时，xi+xj≤x6+x5≤48<50，得x7=2x6⇒x6=25，则在A当m=9，取A=1,2,4,8,16,32,64,96,100，易得其符合E的封闭子集的定义，故m（3）因N∈N*，且N为奇数，当N=1时，得当N≥3，将E=1,2,3,⋯,N里面的奇数组成集合A，则A=因A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且A⊆E，则A为E开放子集，此时集合A元素个数为N+12.下面说明N+12为N=1时，显然成立；当N≥3，若m>N+12，则A中至少有一个属于E=1,2,3,⋯,N的偶数，设为at，则2≤at≤N-1，得a综上：m的最大值为N+128．（2023上·北京·高一校考阶段练习）设集合A为非空数集，定义A+(1)若集合A=-1,1,直接写出集合A+及(2)若集合A=x1,x2(3)若集合A⊆{x|0≤x≤2023,x∈N}且A+【解题思路】（1）根据定义写出集合A+及A（2）由题设得A-={0,x（3）由定义可得A+≥2k-1,|A-|≥k，根据已知及容斥原理有A+∪A-=A++【解答过程】（1）由A=-1,1-1-1=-2,-1+1=0,1+1=2，故A+|-1-(-1)|=|1-1|=0,|-1-1|=|1-(-1)|=2，故A-（2）由于集合A=x1,所以A-中也只包含四个元素，即剩下的x3-x（3）设A=a12a1a1-a因为A+∩A+∪所以A+∪A-≤2当A={675,676,677,...设A={m,m+1,m+2,...,2023}且m∈N，则A依题意有2023-m<2m⇒m>67413，故于是当m=675时A中元素最多，即A={675,676,677,...综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1349.9．（2023上·浙江湖州·高一期末）已知函数f(x)=x-2，g(x)=x(1)若对任意x∈R，不等式g(x)>f(x)恒成立，求m的取值范围；(2)若对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得(3)若m=-1，对任意n∈R，总存在x0∈[-2,2]，使得不等式gx【解题思路】（1）将不等式g(x)>f(x)恒成立转化为x2-(2m+1)x+6>0恒成立，再根据Δ<0（2）将题中条件转化为gx1的值域包含于fx2的值域，再根据区间[1,2]的两端点的函数值g(1),g(2)可得到y=g(x)的对称轴x=m在区间[1,2]之间，从而可得到（3）将不等式gx0-x02+n≥k成立化简得到不等式2x【解答过程】（1）由题意得x2得x2-(2m+1)x+6>0解得m∈-（2）当x1∈[1,2],gx由题意得D⊆[2,3]∴2≤g(1)=1-2m+4≤32≤g(2)=4-4m+4≤3得5此时y=g(x)对称轴为x=m∈[1,2]，故g(x)min=g(m)∈[2,3]，即2≤g(m)=m2综上可得m∈5（3）由题意得对任意n∈R，总存在x0∈[-2,2]，使得不等式令hx0=而hx设φ(n)=maxn,而φ(n)=max易得φ(n)min=φ(-4)=4≥k10．（2023上·浙江金华·高一校考阶段练习）（1）已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是x|x<-2（2）求关于x的不等式ax【解题思路】（1）利用韦达定理得b=5（2）分类讨论即可.【解答过程】（1）由题意知-2+13代入不等式cx得-2即-2x2-5x+3≤0,解得x≤-3所以所求不等式的解集为x∣x≤-3或（2）①当a=0时，不等式为-2x<0，解得x>0，则此时解集为0,+∞②当a>0时，令ax2-2x+a=0（i）若Δ=4-4a2≤0，即（ii）若Δ=4-4a2>0，即解得1-1-a2③当a<0时，（i）若Δ=4-4a2<0，即（ii）若Δ=4-4a2=0，即解集为-∞（iii）若Δ=4-4a2>0，即综上所述，a<-1时，不等式解集为R；-1≤a<0时，则不等式解集为-∞a=0时，则不等式解集为0,+∞0<a<1时，则不等式解集为1-1-a≥1时，此时不等式解集为∅.11．（2023·全国·模拟预测）已知x,y,z∈0,+∞，且(1)求证：yx(2)求x2【解题思路】（1）通过yx+x≥2yyx+x+z再根据0<x<1，0<y<1，∴x>x，y>y，且（2）先用公式x+y+z2=x1+3xy+2yz+2xz，再用x+y2≥4xy和x+y+z=1进行消元，转化为【解答过程】（1）因为x,y,z∈0,+所以yx以上三式相加得yx所以yx+z因为x,y,z∈0,+∞，且x+y+z=1，所以0<x<1，0<y<1，所以所以yx故yx（2）x23xy+2yz+2xz=3xy+2z=3当且仅当x=y=25，x2+y12．（2023上·江苏·高一阶段练习）设函数f(x)=ax（1）若关于x的不等式fx≥-2有实数解，求实数（2）若不等式fx≥-2对于实数a∈-1,1（3）解关于x的不等式：f(x)<a-1,(a∈R).【解题思路】(1)将给定的不等式等价转化成ax2+(1-a)x+a≥0，按a=0(2)将给定的不等式等价转化成(x(3)将不等式化为ax【解答过程】(1)依题意，fx≥-2有实数解，即不等式当a=0时，x≥0有实数解，则a=0，当a>0时，取x=0，则ax2+(1-a)x+a=a>0成立，即a当a<0时，二次函数y=ax2+(1-a)x+a的图象开口向下，要y≥0有解，当且仅当Δ=综上，a≥-1，所以实数a的取值范围是a≥-1；(2)不等式fx≥-2对于实数a∈-1,1显然x2-x+1>0，函数g(a)=(x2-x+1)a+x在a∈-1,1上递增，从而得所以实数x的取值范围是{1}；(3)不等式f(x)<a-1⇔ax当a=0时，x<1，当a>0时，不等式可化为(x+1a)(x-1)<0，而-当a<0时，不等式可化为(x+1当-1a=1，即a=-1当-1a<1，即a<-1时，x<-当-1a>1，即-1<a<0时，x<1所以，当a=0时，原不等式的解集为(-∞,1)，当a>0时，原不等式的解集为(-1当-1≤a<0时，原不等式的解集为(-∞,1)∪(-1当a<-1时，原不等式的解集为(-∞,-113．（2023上·辽宁丹东·高一校考阶段练习）已知不等式2≤ax2(1)若a>0，求6b+5c的值；(2)若a>0，且不等式ax2+(3)若a≠0解关于x的不等式：ax【解题思路】（1）由题意可得不等式ax2+bx+c≤3的解集为x2≤x≤3，且不等式ax2+bx+c≥2的解集为R（2）结合（1）可得ax2-5ax+6a+1≥0恒成立，可得0<a≤4，再由不等式ax2（3）当a>0时，结合（1）得(ax-1)(x-5)<0，然后分0<a<15，a=15和15<a≤4三种情况求解，当a<0时，由（1）的方法可得b=-5a,c=6a+2，再由ax【解答过程】（1）因为a>0，不等式2≤ax2+bx+c≤3所以不等式ax2+bx+c≤3的解集为x2≤x≤3，且不等式所以方程ax所以2+3=-ba2×3=c-3a所以6b+5c=6×(-5a)+5(6a+3)=15，（2）由（1）可知b=-5a，c=6a+3，所以不等式ax2+bx+c≥2由（1）知等式ax2+bx+c≥2所以ax所以a>0Δ=25a不等式ax2+所以[ax-(6a+3)](x+1)≤0，得-1≤x≤6+3因为不等式ax所以7≤6+3a<8综上，a的取值范围为32（3）若a>0，则由（1）可知ax2+即(ax-1)(x-5)<0，当0<a<15时，5<x<1当a=15时，不等式的解集为当15<a≤4时，1a若a<0，则不等式ax2+bx+c≥2的解集为x2≤x≤3，所以方程ax所以2+3=-ba2×3=所以不等式ax2+bx+c=a所以ax所以a<0Δ=25a所以所求不等式为ax解得x<1a或x>5，即不等式的解集为当a=0,b>0时，2b+c=2,3b+c=3，得b=1,c=0，所以所求不等式ax当a=0,b<0时，2b+c=3,3b+c=2，得b=-1,c=5，所以所求不等式为ax2+综上，当-4≤a<0时，不等式的解集为-∞当a=0,b>0时，不等式的解集为∅，当a=0,b<0时，不等式的解集为52当0<a<15时，不等式的解集为当a=15时，不等式的解集为当15<a≤4时，不等式的解集为14．（2023上·浙江台州·高一校考阶段练习）已知函数y=ax2-(1)y<3-2x恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a>0时，求不等式y≥0的解集；(3)若存在m>0使关于x的方程ax2-【解题思路】（1）将不等式化为ax2-ax-1<0；当a=0（2）分别在a=2、a>2和0<a<2三种情况下，解一元二次不等式求得结果；（3）由基本不等式可求解得t=m+1m+1≥3，根据题意，将题中条件转化为au2【解答过程】（1）由y<3-2x得ax2-当a=0时，-1<0恒成立，符合题意；当a≠0时，则a<0Δ=a综上所述：实数a的取值范围为-4,0.（2）当a>0时，y=ax令ax-2x-1=0，解得：x1当2a=1，即a=2时，y=2x-12≥0恒成立，∴当0<2a<1，即a>2时，不等式y≥0当2a>1，即0<a<2时，不等式y≥0的解集为综上所述：当a=2时，不等式的解集为R；当a>2时，不等式的解集为-∞当0<a<2时，不等式的解集为-∞（3）当m>0时，令t=m+1当且仅当m=1时取等号，依题意可得关于x的方程a|x|令u=|x|，则转化为存在t≥3使得关于u的方程，即au则Δ=a+22由Δ>0知，存在t≥3使不等式4at+把t看成主元代入t=3，故4a×3+(a+2)2-8a>0解得a<-4-23或a>-4+23，综合可得故实数a的取值范围是aa<-4-215．（2022上·福建厦门·高一校考阶段练习）已知函数fx=ax+(1)解关于x的不等式a(2)已知gx=mx+7-3m，若对任意的x1∈【解题思路】（1）先由题意得到ax2-3x+2<0解集为x1<x<b，根据不等式解集的特点可求得a,b（2）由题意可知y=xfx的值域是gx的值域的子集，故先利用二次函数的图像性质求得y=xfx的值域，再对gx分类讨论【解答过程】（1）因为fx所以xfx<4可化为ax因为不等式xfx<4的解集为x1<x<将x=1代入ax2-3x再由韦达定理得1×b=2所以ax2-ac+当c>2时，不等式解得2<x<当c=2时，不等式为x-22当c<2时，不等式解得c<x综上：当c>2时，不等式解集为x当c=2时，不等式解集为∅当c<2时，不等式解集为x（2）因为对任意的x1∈2,3，总存在x2∈所以y=xfx由（1）得xfx所以y=xfx开口向上，对称轴为x=3当x=2时，y=xfx=22-3×2+6=4；当当m>0时，gx在1,4上单调递增，故g1所以由数轴法可得7-2m<4m+7≥6，解得当m=0时，g当m>0时，gx在1,4上单调递减，故g4所以由数轴法可得m+7≤47-2m>6，解得综上：m>32或m16．（2023上·江苏苏州·高二校考期中）已知一元二次不等式x2（1）若不等式的解集为(-∞,2)∪(3,+∞)，求不等式ax（2）当b=a-1时，求不等式x2（3）当b=1时，求不等式x2【解题思路】（1）依据题意可知2,3是方程x2-ax+b=0的根可得（2）将b=a-1代入不等式，然后对a的范围进行讨论计算即可.（3）把b=1代入，然后转为函数动轴定区间的问题，进行计算.【解答过程】（1）4-2a+b=09-3a+b=0，所以a=5,b=6所以不等式ax2-bx+1<0为5（2）当b=a-1时，不等式x2-ax+a-1>0当a=2时，不等式x2-ax+a-1>0的解集为当a>2时，不等式x2-ax+a-1>0的解集为当a<2时，不等式x2-ax+a-1>0的解集为（3）当b=1时，不等式x2-ax+bx-1令f(x)=x当a2<1时，即a<2，f(x)=x又f(1)=2-a>0，所以x2-ax+1>0x>1当a2=1时，即a=2，f(x)=x又f(1)=0，所以x2-ax+1>0x>1当a2>1时，即a>2，f(x)=x2-ax+1在(1,a2)上单调递减，在所以x2-ax+1>0x>1综上：当a≤2时，不等式组的解集为(1,+∞)；当a>2时，不等式组的解集为(a+17．（2023上·北京朝阳·高一统考期末）设全集U={1,2,⋯,n}n∈N*，集合A是U的真子集．设正整数t≤n，若集合A满足如下三个性质，则称A为U①t∈A；②∀a∈A,∀b∈∁UA，若ab∈U③∀a∈A,∀b∈∁UA，若a+b∈U(1)当n=6时，判断A={1,3,6}是否为U的R(3)子集，说明理由；(2)当n≥7时，若A为U的R(7)子集，求证：2∉A；(3)当n=23时，若A为U的R(7)子集，求集合A．【解题思路】（1）取a=1,b=2，由ab=2∉A不满足性质②可得A不是U的R(3)子集；（2）通过反证法，分别假设1∈A，2∈A的情况，由不满足R(7)子集的性质，可证明出2∉A；（3）由（2）得，1∈∁UA，2∈∁UA，7∈A，再分别假设3∈A，4∈A，5∈A，【解答过程】（1）当n=6时，U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，∁U取a=1,b=2，则ab=2∈U，但ab=2∉A，不满足性质②，所以A={1,3,6}不是U的R(3)子集.（2）当n≥7时，A为U的R(7)子集，则7∈A；假设1∈A，设x∈∁U取a=1,b=x，则ab=x∈U，但ab=x∉A，不满足性质②，所以1∉A，1∈∁假设2∈A，取a=2,b=1，a+b=3∈U，且a+b=3∉A，则3∈∁再取a=2,b=3，ab=6∈U，则ab=6∈A，再取a=6,b=1，a+b=7∈U，且a+b=7∉A，但与性质①7∈A矛盾，所以2∉A.（3）由（2）得，当n≥7时，若A为U的R(7)子集，1∈∁UA，2∈所以当n=23时，U={1,2,⋯,23}，若A为U的R(7)子集，1∈∁UA，2∈若3∈A，取a=3,b=1，a+b=4∈U，则4∉A，4∈∁再取a=3,b=4，a+b=7∈U，则7∉A，与7∈A矛盾，则3∉A，3∈∁若4∈A，取a=4,b=3，a+b=7∈U，则7∉A，与7∈A矛盾，则4∉A，4∈∁若5∈A，取a=5,b=2，a+b=7∈U，则7∉A，与7∈A矛盾，则5∉A，5∈∁若6∈A，取a=6,b=1，a+b=7∈U，则7∉A，与7∈A矛盾，则6∉A，6∈∁取a=7,b=1,2,3,4,5,6，a+b=8,9,10,11,12,13∈U，则8,9,10,11,12,13∉A，8,9,10,11,12,13∈∁取a=7,b=2，ab=14∈U，则14∈A；取a=14,b=1,2,3,4,5,6，a+b=15,16,17,18,19,20∈U，则15,16,17,18,19,20∉A，15,16,17,18,19,20∈∁取a=7,b=3，ab=21∈U，则21∈A；取a=21,b=1,2，a+b=22,23∈U，则22,23∉A，22,23∈∁综上所述，集合A=7,14,2118．（2023上·天津·高一校联考期中）设函数f(x)=ax（1）若不等式fx>0的解集为-1,3，求（2）若f(1)=4, b>-1，求（3）若b=-a-3,求不等式fx【解题思路】（1）根据不等式与相应的方程之间的关系得出关于a,b的方程组，求解可得出2a+b的值；（2）由f1=4,得a+b+1（3）由已知将不等式f(x)<-4x+2化为ax2-(a+1)x+1<0，即x-1ax-1<0，对a分①a<0，②0<a<1【解答过程】（1）由不等式fx>0的解集为-1,3可得：方程ax2+由根与系数的关系可得：a=-1   所以2a+b=2（2）由已知得f11a当a>0时，aa=1，所以1a当a<0时，aa=-1，所以1a所以1a+a（3）由f(x)<-4x+2得ax又因为b=-a-3,所以不等式f(x)<-4x+2化为ax2-(a+1)x+1<0当a<0时，1a<1，原不等式⇔(x-若a>0，原不等式⇔(x-1a)(x-1)<0.（1）当a=1时，不等式(x-1a)(x-1)<0（2）当a>1时，1a<1，不等式(x-1（3）当0<a<1时，1a>1，不等式(x-1综上所述，不等式的解集为：①当a<0时，xx<1a②当0<a<1时，x1<x<③当a=1时，∅；④当a>1时，x1故得解.19．（2023上·上海闵行·高一校考阶段练习）已知二次函数fx(1)若等式ax-12+bx-1+c=2x2-3x-1恒成立，其中(2)证明：ac<0是方程fx(3)若对任意x∈R，不等式fx≥2ax+b恒成立，求【解题思路】（1）解法1：由ax-12+b解法2：在ax-12+b（2）根据充要条件的定义证明．证明必要性和充分性．（3）由二次不等式恒成立，转化参数关系，代入b2【解答过程】（1）解法1：2x由ax-12+b故a-b+c=2-1-2=-1.解法2：在ax-12+bx-1+c=2（2）证明必要性：由于方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0∴Δ=b2-4ac>0，且充分性：由ac<0可推出Δ=b2-4ac>0，从而元二次方程ax则x1x2=c∴方程ax2+bx+c=0（a，b，c因此ac<0是方程fx（3）若对任意x∈R，不等式f(x)≥2ax+b恒成立，整理得：ax2+所以a>0Δ=(b-2a)所以b2令t=ca-1，因为0≤若t=0时，此时b2若t>0时，b2当且仅当t=2时，即c=综上：b24a20．（2023下·湖南·高二校联考期末）已知函数fx(1)若fx在定义域上单调递增，求a(2)若fx≤x【解题思路】（1）根据导数与单调性的关系，建立不等式，利用参数分离的解题方法，将不等式恒成立问题转化为，函数求最值问题，可得答案；（2）根据不等式构造函数，并明确函数的最值，利用最值与极值的关系，求得参数的值，得到具体函数，并利用导数验证最值的真假，可得答案.【解答过程】（1）依题意可知，f'x=-e1-x设hx=xe1-x,h'x=则hx在0,1上单调递增，在1,+故hx≤h1（2）设gx=fx-x3=由g'下证明当a=4时，恒有gx注意到g'x=-e1-x由（1）可知xe因此u'当0<x≤4时，6x3-x+4≥6x3因此∀x>0,6x3-x+4>0，故u'x因此x∈0,1时，g'x>0,gx即gx21．（2023下·北京朝阳·高一统考期末）设m,n∈N*，已知由自然数组成的集合S=a1,a2,⋅⋅⋅,anaχ=x11x12⋅⋅⋅x1mx21x22⋅⋅⋅x(1)若m=3，S={1,2,3}，且χ=101011100(2)若S={1,2,⋅⋅⋅,n}，集合S1，S2，…，Sm中的元素个数均相同，若d(S)=3(3)若m=7，S={1,2,⋅⋅⋅,7}，集合S1，S2，…，S7中的元素个数均为3，且S【解题思路】（1）根据χ=101（2）将问题转化为S={1,2,⋯,n}至少有3个元素个数相同的非空子集．分别对S中的元素个数进行列举讨论，即可求解，（3）由dai=xi1+xi2+⋅⋅⋅+xim【解答过程】（1）根据χ=10101110（2）设ai∈S使得则d(ai)=所以S={1,2,⋯,n}至少有3个元素个数相同的非空子集．当n=1时，S={1}，其非空子集只有自身，不符题意．当n=2时，S={1,2}，其非空子集只有{1},{2},{1,2}，不符题意．当n=3时，S={1,2,3}，元素个数为1的非空子集有{1},{2},{3}，元素个数为2的非空子集有{1,2},{2,3},{1,3}．当{S1,当{S1,当n=4时，S={1,2,3,4}，令S1则χ=111所以n的最小值为4（3）由题可知，Sj={i|xij=1,1≤i≤7}则|Sj|=x1j因为d(i)=xi1+xi2所以d(1)+d(2)+⋯+d(7)=|S因为d(i)≤d(S)(i=1,2,⋯,7)，所以21=d(1)+d(2)+⋯+d(7)≤7d(S)．所以d(S)≥3．当S1S5χ=1d(S)=3．所以d(S)的最小值为3.22．（2023上·上海金山·高一统考期末）已知函数y=fx的定义域为D，区间M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且fx+t>fx，则称y=fx(1)已知fx=x，判断函数y=fx是否为区间-1,0(2)已知n>0，设gx=x2，且函数y=gx是区间-4,-2(3)如果函数y=hx是定义域为R的奇函数，当x≥0时，hx=x-a2-a2【解题思路】（1）根据题意结合函数单调性分析运算；（2）根据题意整理可得2nx+n2>0（3）根据函数的单调性，先取特值x=-a2，可求得-1<a<1，再证明当-1<a<1时，对任意x∈R，均有【解答过程】（1）数y=fx为区间-1,0上的3由题意可知：fx=x在对∀x∈-1,0，则x+32故函数y=fx为区间-1,0上的3（2）若函数gx=x2是区间可得对∀x∈-4,-2，则gx+n>g可得2nx+n2>0则-8n+n2>0故实数n的取值范围为8,+∞（3）由题意可得：hx∵函数y=hx是定义域为R当x<0时，则hx故hx可得hx在-∞,-注意到h-故当x∈-∞,3a2时，h若函数y=hx为R上的4-增长函数，则对∀x∈R，均有h取x=-a2，即h-a2+4>h若a2<1，即①当x∈-∞,-a2-4时，则故hx+4②当x∈-a2-4,-3a∵hx在-a2则hx+4且hx在-a2故hx+4③当x∈-3a2可得hx注意到hx在a故hx④当x∈-a2注意到hx在-a2可得hx⑤当x∈a2,+∞时，则x+4>x≥a可得hx综上所述：当a∈-1,1时，对∀x∈R，均有h故实数a的取值范围为-1,1.23．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数f(x)=ax2+bx+cx(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)在(-2,2)上的单调性；(3)若存在实数x∈[-1,2]，使得不等式4[f(x)]2-f(x)+1≤m【解题思路】（1）根据奇函数的性质求出函数的解析式，再利用奇函数的定义进行验证即可；（2）利用函数单调性的定义进行判断证明即可；（3）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】（1）∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)=0，则有c由f(-x)+f(x)=0得ax2-bxx又f(2)=14，∴2b8=1（2）任取-2<x1<∵-2<x1<x2<2，∴x2∴(x2-x1)(x（3）由（2）知f(x)在[-1,2]上单调递增，∴f(-1)≤f(x)≤f(2)，f(x)∈[-1令f(x)=t，则有m≥令h(t)=4t2-t+1=4t-18224．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）已知fx=4x-ax2+b是定义在R上的奇函数，其中(1)求a、b的值；(2)判断fx在2,+(3)设gx=mx2-2x+2-m，若对任意的x1∈【解题思路】（1）利用奇函数的性质可得出f0=0，再结合f2=1可求得a、（2）判断出函数fx在2,+∞上为减函数，然后任取x1、x2∈2,+∞（3）记fx在区间2,4内的值域为A，gx在区间0,1内的值域为B，将问题转化为A⊆B时求实数m的取值范围，利用单调性求出f(x)的值域，分m=0、0<m≤1、1<m≤2和m>2四种情况讨论，结合单调性求出【解答过程】（1）解：因为函数fx=4x-ax2+b是定义在则fx=4xx2+b，则f2对任意的x∈R，x2+4≥4，故函数fx则f-x=-4x因此，a=0，b=4.（2）解：函数fx在2,+任取x1、x2∈2,+∞且x1>则fx所以，fx1<fx2（3）解：若对任意的x1∈2,4，总存在x则函数fx在2,4上的值域为函数gx在因为函数fx在2,4则当x∈2,4时，fxmax所以，记fx在区间2,4内的值域为A=①当m=0时，gx=-2x+2在则gxmax=g0=2，gxmin因为A⊆B，所以对任意的x1∈2,4，总存在x②当0<m≤1时，1m≥1，gx在0,1则gxmax=g0=2-m，gxmin因为A⊆B，所以对任意的x1∈2,4，总存在x③当1<m≤2时，12≤1m<1，g则gxmax=g0=2-m，gB=-1m④当m>2时，0<1m<12，g则gxmax=g1=0，gxmin综上，实数m的取值范围为0,1.25．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）已知fx=m（1）求m的值；（2）求函数gx=fx-2a-1【解题思路】（1）根据函数是幂函数知m2-2m-7=1，求解后根据函数在0,+∞上单调递增即可求m（2）化简gx【解答过程】（1）fx∴m2-2m-7=1，解得m=4或又fx在0,+∞∴m-2>0，∴m的值为4；（2）函数gx当a<52时，gx在区间2,4当52≤a≤92时，gx当a>92时，gx在区间2,426．（2023下·四川泸州·高一统考期末）已知函数fx(1)判断函数fx(2)设函数gx=loga4x+4-x【解题思路】（1）根据奇函数的定义可求得m=-1，再结合单调性的定义分析证明；（2）利用换元t=fx，根据对数函数的性质分析可得：t2-at+4>0当t∈0,8【解答过程】（1）因为函数fx=2即2x+m⋅2又因为2x>0,2所以1+m=0，解得m=-1，即fx可知函数fx任取x1,x因为y=2x在定义域内单调递增，则可得12x1则2x1-所以函数fx（2）令t=fx，由（1）可知fx在0,log即t=fx∈0,可得4x由题意可知：t2-at+4>0当当t=0时，则4>0，符合题意，所以a∈R；当t≠0时，则t+4t>a因为t+4t≥2t×4所以0<a<4且a≠1；综上所述：0<a<4且a≠1.当0<a<1，则y=t2-at+4可知当t=83时，y=t且y=log则loga1009-8a当1<a<4时，则y=t2-at+4可知当t=a2时，y=t且y=log则loga4-a24=1，可得综上所述：a的值为2527．（2023上·江苏扬州·高一统考期末）已知函数fx(1)若a=0，判断函数y=fx(2)若函数fx在R上是增函数，求实数a(3)若存在实数a∈-2,2，使得关于x的方程fx-tf【解题思路】（1）根据函数奇偶性的定义进行求解证明即可；（2）根据绝对值的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可；（3）根据（2）的结论，运用分类讨论法，根据函数的单调性进行求解即可.【解答过程】（1）当a=0时，fx=xx所以f-x所以函数y=fx（2）fx=x2+2-2ax,当x<2a时，y=fx的对称轴为x=a+1所以当a-1≤2a≤a+1时，y=fx在R即-1≤a≤1时，函数y=fx在R（3）方程fx-tf2a①当-1≤a≤1时，函数y=fx在R上是增函数，关于x的方程f②当a>1时，即2a>a+1>a-1时，y=fx在-∞,a+1上单调递增，在a+1,2a上单调递减，在2a,+∞上单调递增，则当f2a<tf2a<fa+1时，关于x设ha=14a+1a+2，因为存在实数a∈-2,2，使得关于x的方程fx=tf③当a<-1时，即2a<a-1<a+1，y=fx在-∞,2a上单调递增，在2a,a-1上单调递减，在a-1,+∞上单调递增，则当fa+1<tf2a<f2a时，关于x的方程fx=tf2a有三个不相等的实数根；即-a-12<t⋅4a<4a，因为a<-1，所以1<t<-14a+1综上：1<t<928．（2023下·山西运城·高二统考期末）已知fx(1)证明：fx关于x=1(2)若fx（i）求a；（ii）不等式fmex【解题思路】（1）代入验证f(x)=f(2-x)即可求解，（2）利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a=2，分离参数，将恒成立问题转化为m>ex【解答过程】（1）证明：因为fx所以f(2-x)=e所以f(x)=f(2-x)，所以f(x)关于x=1对称.（2）（ⅰ）任取x1,f==(∵1<x1<x∴f(x所以f(x)在1,+∞上单调递增，又f(x)关于x=1对称，则在-所以f(x)所以a=2.（单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明）（ⅱ）不等式f(m(e等价于(m(ex即m>e令F(x)=ex-令ex+2=n,n∈2,+∞，则因为n∈2,+∞,n-4+5n所以gn所以m>5229．（2023上·重庆永川·高一校考期末）已知函数fx对于任意实数x,y∈R恒有fx+y=fx+fy(1)判断fx(2)求fx在区间-4,4(3)解关于x的不等式：fa【解题思路】(1)令x=y=0,得f0=0，再令(2)先证明单调性，利用单调性求解即可；(3)先化为fax2【解答过程】（1）fx函数fx的定义域为R令x=y=0得f0=2f0令y=-x得fx+f-x=f0=0所以（2）任取x1,x2∈-∞,+∞，且xfx2-fx1=fx所以fx在区间-4,4的最小值为f因为f1=1，令x=y=1得令x=2，y=2得f4fx在区间-4,4的最小值为f（3）由fa得fa由f2=2得由fx在R上单调递增得ax2+2>2x+ax整理得当a=0时，-2x+2>0，解得x<1；当a≠0时，ax-当a<0时，x-2ax-1<0，当a>0时，x-2当a=2时，(x-1)2>0，解集为当0<a<2时，2a>1，解集为当a>2时，0<2a<1综上所述：当a=0时，解集为-∞,1；当a<0时，解集为当a=2时，解集为x|x≠1；当0<a<2时，解集为-∞当a>2时，解集为-∞30．（2023上·安徽铜陵·高一统考期末）已知函数f(x)=|x-2a+1|, （1）若a=1，求函数φ(x)=f(x)+g(x)的最小值；（2）若g(x)≥f(x)对于任意x∈[a,+∞)恒成立，求a的取值范围；（3）若x∈[1,6]，求函数h(x)=max【解题思路】（1）a=1时φ(x)=2|x-1|+1，当x=1时取得最小值（2）将不等式g(x)≥f(x)平方得2ax≥3a（3）f(x),g(x)图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点的开口向上的V型线，且两条射线的斜率为±1，然后分7种情况讨论这两个函数的位置关系【解答过程】（1）因为a=1，所以φ(x)=f(x)+g(x)=2|x-1|+1，所以当x=1时，φ(x)的最小值为1；（2）因为g(x)≥f(x)对任意x∈[a,+∞)恒成立，所以x-a+1≥|x-2a+1|对任意x∈[a,+∞)恒成立，所以(x-a+1)2即2ax≥3a2-2a所以{a≥02a所以a∈[0,2]；（3）h(x)={ef(x),g(x)图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点的开口向上的V型线，且两条射线的斜率为±1，当1≤2a-1≤6时，即1≤a≤72，所以此时令f(a)=g(a)，所以a=2.若a∈[1,2)，|1-a|<1，此时f(x)<g(x)恒成立，所以h(x)min=对应如下图：

若a∈[2,72],|1-a|>1即2a-x-1=x-a+1，所以x=3a所以h(x)此时h(x)为图中红色部分图象，对应如下图：

当2a-1<1时，即a<1，所以2a-1<a<1，此时令f(a)=g(a)，所以a=0，若a∈(-∞,0)时，|1-a|>1，令|x-2a+1|=|x-a|+1，即x-2a+1=a-x+1，所以x=3a所以h(x)此时h(x)为图中红色部分图象，对应如下图：

若a∈[0,1)时，|1-a|≤1，此时f(x)<g(x)恒成立，所以h(x)min=对应如下图：

当2a-1>6时，则a>72，所以2a-1>a，所以令|x-2a+1|=|x-a|+1，即2a-x-1=x-a+1，所以x=3a当x=6时，a=14若a∈(72,所以h(x)min=对应如下图：

若a∈[143,6)所以h(x)min=对应如下图：

若a∈[6,+∞)，则2a-1>a≥6，所以h(x)min=对应如下图：

综上所述：h(x)=maxh(x)31．（2023上·北京·高一校考期末）已知函数fx(1)若函数Fx=fx+af-x(2)当a>0且x∈0,8时，不等式fx+1≥f(3)试求函数Gx=fx+1+af2x【解题思路】（1）根据函数的奇偶性的定义计算即得.（2）根据已知结合单调性得∀x∈[0,8]，x+1≥(x+a)（3）令t=2x，把问题转化为二次函数φ(t)=at【解答过程】（1）依题意，F(x)=2x+a⋅2-x，x∈即∀x∈R，2-x+a⋅2x=2若函数F(x)是奇函数，则F(-x)=-F(x)，即∀x∈R，2整理得(a-1)(2x+2-x所以F(x)是偶函数，a=1，F(x)是奇函数，a=-1.（2）函数f(x)=2x在定义域不等式f(x+1)≥f[(x+a)依题意，∀x∈[0,8]，g(x)=x2+(2a-1)x+a2显然无解，所以a的取值集合是∅.（3）函数G(x)=2x+1+a⋅22x当a=0时，函数φ(t)在(0,1]上单调递增，φ(t)当a≠0时，φ(t)=at2+2t=a当a>0或-1≤a<0时，函数φ(t)在(0,1]上单调递增，φ(t)当a<-1时，则当t=-1a时，φ(t)取得最大值，即所以H(a)=1+a,a≥-132．（2023上·辽宁大连·高一期末）已知函数fx=(1)直接写出x>0时，g(x)的最小值.(2)a=2时，Fx=fx(3)若g(2)=52，f(g(x))存在两个零点，求【解题思路】（1）根据基本不等式可以判断g(x)的最小值，直接写出答案即可；（2）判断Fx（3）由题意，求出α的值，将f(g(x))存在两个个零点转化为f(t)在t∈（-∞，-2)∪(2,+∞）【解答过程】（1）因为x>0，所以xα所以g(x)=x当且仅当xα=1所以当x>0时，g(x)=x（2）a=2时，Fx=fx当a=2时，fx令t=2x所以函数t在1,32上单调递增，又因为y=log所以Fx=log所以F1=log所以F1又F32=log3则F3所以F1Fx=log所以F(x)在x∈1,（3）由g(2)=2α+则g(x)=x+1f(g(x))存在两个零点等价于f(t)在t∈（-∞，-2)∪(2,+∞）令G(x)=ax则G(x)=ax2-x+a2-4在（i）零点为-2和2，代入解得a∈∅，（ii）当a>0，对称轴x=1则只需G(2)=4a+a解得a∈(6（iii）a=0，G(x)=-x-4，满足题意，（iv）a<0，对称轴x=1则只需G(2)=4a+a解得a∈(-2-10综上所述，a∈(-2-1033．（2022上·福建泉州·高一泉州七中校考期中）已知定义在R的函数fx满足：①对∀x，y∈R，fx+y=fx+fy-1(1)求f0，判断并证明f(2)若∃x∈-1,1，使得fx≤m2(3)解关于x的不等式fa【解题思路】（1）利用赋值法令x=y=0，求得f0；由函数单调性的定义结合作差法即可得到f（2）利用单调性得到fx在-1,1上的最值，结合不等式的存在性问题得到对∀a∈-1,1，看成关于a的一次函数恒成立问题即可求解；（3）利用赋值法得到f-2=7，结合题目的定义对原不等式转换得到由单调性得到ax-2x-1【解答过程】（1）令x=y=0，得f0=f0令x1<x则fx因为x>0时，fx<1，所以x1所以fx在R故fx单调递减区间为R（2）由（1）知，x∈-1,1时，f又f1=-2，则x∈-1,1因为∃x∈-1,1，使得fx≤所以fxmin≤即对∀a∈-1,1，m设ga=-2am+m则对∀a∈-1,1，g即g-1=m2+2m-3≥0,故实数m的取值范围为-∞（3）令y=-x，得f0又知f0=1，即fx因为f1=-2，所以f-1不等式fax2即fax2-2-f又因为fx+y=fx故fax2因为fx在R上单调递减，所以a即ax2-a+2x+2>0①a>2时，0<2a<1，解得x>1②0<a<2时，2a>1，解得x>2③a=0时，解得x<1；④a<0时，2a<0<1，解得综上所述：不等式faa>2时，解集为-∞0<a<2时，解集为-∞a=0时，解集为-∞a<0时，解集为2a34．（2023上·上海·高一校考阶段练习）对于定义域在R上的函数y=f(x)，定义g(x)=f(x)-f(0)x．设区间I=(-∞,0)∪(0,+∞)，对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1、x2，当x1(1)判断函数y=-2x,x∈R(2)若非常值函数y=s(x),x∈R是奇函数，求证：y=s(x)存在“T函数”的充要条件是存在常数k，使得s(x)=kx；(3)若函数y=m⋅2x-2022x与函数y=-m⋅2-x+x的定义域都为【解题思路】（1）根据题意，由g1（2）根据题意，由“T函数”的定义，分别验证其充分性以及必要性，即可证明；（3）根据题意，由“T函数”的定义可得，若y=fx，y=gx均存在“T函数”，则y=fx【解答过程】（1）gx=fx-f0x=1-因此g1>g2（2）充分性：若sx=kx，则任取x1<x2，gx必要性：因为y=sx是奇函数，则s0=0因为y=sx，x∈R是一个“T所以gx=s当x1<x2时，则所以s-x1所以-sx1-x1即sxx是一个常数，设为k，则（3）假设y=fx，y=gx均存在“T函数”，任取则fx1-f则fx则y=fx+gx因此y=m2x-令hx=m2且h-x则hx是定义在R由（2）可知，存在k使得m2x-又m=0时，若函数y=-2022x与函数y=x均为“T函数”，符合题意.综上可知，m=0.35．（2023上·辽宁大连·高一期末）若函数f(x)在定义域R上满足f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时f(x)>0,定义域为-2,2的(1)求证：函数f(x)在定义域上单调递增.(2)若在区间-1,1上，f(x)+g(x)=-x2+x+1；g(x)（i）求函数f(x)和函数g(x)在区间-2,（ii）若关于x的不等式g(x1)-g(x2)af(x1)-af(x【解题思路】（1）令x1>x（2）（i）由题设函数f(x)为奇函数，且-f(x)+g(x)=-x2-x+1，即可求x∈[-1,1]上f(x),g(x)（ii）根据题设可得h(x)=g(x)-af(x)在-2≤x<t上单调递减，写出h(x)的分段形式，结合二次函数性质，讨论0<a≤2、2<a<4求t的最大值关于a的函数关系.【解答过程】（1）任取x1,xf(x因为x1>x2，所以x所以函数f(x)在定义域上单调递增.（2）（i）令f(x)+f(y)=f(x+y)中x=y=0，则2f(0)=f(0)，f(0)=0.令y=-x，f(x)+f(-x)=f(0)，即f(-x)=-f(x)且函数f(x)定义域为R，所以函数f(x)为奇函数.由f(x)+g(x)=-x2+x+1联立两式，可得f(x)=x,g(x)=-x所以g(x)=-x2+1，且x∈[-1,1]令1<x≤2，则0≤2-x<1，故g(x)=-g(2-x)=(2-x)令-2≤x<-1，则1<-x≤2，故g(x)=g(-x)=(2+x)综上，g(x)=(x+2)对f(x)在-2,-1)∪1,2的部分，存在则f(x)=a+b=f(a+b)，所以f(x)=x对x∈-2（ii）g(x1)-g(则h(x)=g(x)-af(x)在-2≤x<t上单调递减，h(x)=x若-2≤-4-a2<-1，即0<a≤2，此时h(x)在-2≤x≤-若-1≤-4-a2<0，即2<a<4，此时-a即h(x)在定义域x∈-2,2综上所述，t=a-436．（2023上·吉林长春·高一校考期末）已知函数fx(1)求t的值；(2)求fx(3)若f42x+4-2x【解题思路】（1）运用偶函数的定义和对数的运算性质，结合恒等式的性质可得所求值；（2）运用对数运算性质及均值不等式即可得到结果；（3）先证明函数的单调性，化抽象不等式为具体不等式，转求函数的最值即可.【解答过程】（1）因为fx所以f-x=fx所以4tx=log91+因为x不恒为0，所以4t+1=0，故t=-1（2）由（1）得，f=log因为3x>0，则3x+1所以log93x+1（3）因为fx任取x1,x所以3x因为x1,x2∈所以3x1-所以log93x1+又因为fx为偶函数，f所以42x当x=0时，2≥0恒成立，则m∈R；当x≠0时，4x-4设ux当且仅当4x-4由复合函数的单调性易得y=4x-且当x=0时，y=0<2，当x=1时，y=4-所以4x-4所以u(x)min=22，故综上，-2237．（2023下·浙江舟山·高二统考期末）已知函数fx=x2+2x(1)求fx的值域（用a(2)求a+b的取值范围；(3)若存在实数b，使得gfx-3【解题思路】（1）利用函数的单调性即可得出结论；（2）由题意可得2-log2b>0b>0且b≠1，得出（3）由gfx-3logba≥3可推出gfx≥g3，再由【解答过程】（1）因为fx=x当x→0+时，fx→1+a；当所以fx的值域为1+a,+（2）因为2-log2b>0b>0且由（1）知，flog所以a+b=b+4b∈4,5∪（3）gfx-3logb此时2fx-4>0和f2x①当1<b<4时，令x→+∞，则g所以gfx≥g②当0<b<1时，logb因为fx>1+a>5，所以此时gx=log所以gfx≥g3⇒f综上所述，a的取值范围是1,4．②解法二：当0<b<1时，fx所以log2此