2024-2025学年高一上学期期末复习【第一章 集合与常用逻辑用语】九大题型归纳（拔尖篇）（含答案）

2023-2024学年高一上学期期末复习第一章九大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1集合中元素的个数问题题型1集合中元素的个数问题1．（2023下·湖北·高二统考期末）已知集合A=0,2，B=1,2,3，C=aba∈A,b∈B，则集合C中元素的个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2023·高一课时练习）由a2，2-a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

A．-1 B．1 C．3 D．23．（2023上·福建泉州·高一校考阶段练习）已知集合A=x∈(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围.4．（2023上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）已知集合An=x1,x2,⋯,xnxi∈-1,1i=1,2,⋯,n，x(1)若x=1,1,1,1，写出A4中与(2)令B=x⊙y|x,y∈An，若m∈B(3)若A⊆An，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，题型2题型2根据元素与集合的关系求参数1．（2023上·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知A是由0，m，m2-3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（

A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可2．（2023上·广东惠州·高三统考阶段练习）集合A=x∈Rx-a2x+1>0，若3∈A且-1∉AA．a<3 B．a≤-1 C．a≤3 D．-1<a<33．（2023·高一课时练习）已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．4．（2022·高一课时练习）（1）如果集合A={x|x=m+2n}(m,n∈Z)，（2）如果集合B=xx=m+2n，整数m,n互素，那么是否存在x，使得x和题型3题型3有限集合子集、真子集的确定1．（2023上·江苏镇江·高一校考阶段练习）若集合M=x∣m+1x2-mx+m-1=0A．-1 B．233 C．±2332．（2023上·湖北孝感·高一校联考阶段练习）定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合A=8,23,81,153,254,370，B={x∈A|x是自恋数}，则B的真子集个数为（

A．7 B．15 C．31 D．633．（2022上·陕西西安·高一校考阶段练习）已知集合A=a-3,2(1)求实数a的取值的集合M；(2)写出（1）中集合M的所有子集.4．（2022上·北京西城·高一校考阶段练习）设集合Sn={1,2,3,…,n}，若X是Sn的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X(1)写出S3(2)写出S4(3)求证：Sn题型4题型4根据集合间的关系求参数1．（2023上·甘肃白银·高一校考期末）已知集合A=x∈R2x-3-a≥0，集合B=y∈Ry=x2A．a≥-72 C．a≤-72 2．（2023上·浙江绍兴·高三统考期末）已知集合A={x∈N*∣x=y+2x-y,y≥0}，若B⊆AA．1 B．3 C．6 D．103．（2023上·山西太原·高一校考阶段练习）已知集合A={x|x2+4x=0}（1）若A⊆B，求a的值；（2）若B⊆A，求a的值.4．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）已知A=a1,a2,a3,a4(1)判断B=0,2,1,4是否为5-连续生成数组？是否为6-(2)若C=0,1,a,2为6-连续生成数组，求a(3)数组A=a1,题型5题型5交、并、补集的混合运算1．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）设全集U=R，集合A=xx<2，B=xx≤-2或x>6，则A．xx<2 B．C．x-2<x<2 D．2．（2023上·云南昆明·高一统考期末）图中U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分表示的集合是（

）A．A∩∁UBC．∁UA∩B 3．（2023下·山东滨州·高二校考期末）已知集合P=x|-1<x<1，Q=(1)P∪Q(2)P∩Q(3)((4)(4．（2022上·北京密云·高一统考期末）已知集合M=x|x2(1)当a=1时，求M∩N，M∪N；(2)当a=0时，求M∩C(3)当N⊆M时，求a的取值范围．题型6题型6集合混合运算中的求参问题1．（2023上·广西贵港·高一统考期末）若全集U=-1,2,4,5,19，集合∁U(A∩B)=A．4 B．-1,19C．-1,2,4 D．4,5,192．（2022上·山西朔州·高三统考期末）已知集合A={x|1<x<2}，B={x|x>m}，若A∩CRB=∅，则实数A．(-∞,1] B．(-∞,1) C．3．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知集合A=x∈R2a-3<x<a+1(1)若a=0，求A∩B；(2)若A∩CRB4．（2022上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知A=xx2(1)若a=1，求A∩∁(2)从①A∪∁RB=R；②问题：若，求实数a的所有取值构成的集合C.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.题型7题型7由充分条件、必要条件求参数1．（2023下·湖南长沙·高二校联考期末）已知p:x≥k,q:2-xx+1≤0，如果p是q的充分不必要条件，则实数kA．2,+∞ B．C．1,+∞ D．2．（2023下·浙江·高一期末）已知条件p:|x+1|>2，条件q:x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是（

）A．a≤1 B．a≥1 C．a≥-1 D．a≤-33．（2023上·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）已知p:x2-5x-6<0(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．4．（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合A=x∣a-1≤x≤2a+1,B=x∣-2≤x≤4.在①A∪B=B；②“x∈A”是“x∈B(1)当a=3时，求∁R(2)若______，求实数a的取值范围.题型8题型8充要条件的证明1．（2023上·贵州黔东南·高二统考期末）已知x,y都是非零实数，且x>y，求证：1x<12．（2022上·江苏苏州·高一校考阶段练习）求证：方程mx2-23．（2023·高一课时练习）设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a⩽b⩽c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么a2+b2=c2(勾股定理).反过来,如果a2+b2=c2,那么4．（2023·全国·高一专题练习）当m,n∈Z时，定义运算⊗：当m,n>0时，m⊗n=m+n；当m,n<0时，m⊗n=m⋅n；当m>0,n<0或m<0,n>0时，m⊗n=m+n；当m=0时，m⊗n=n；当n=0时，(1)计算-2⊗(2)证明，“a=0,b=-2或a=-2,b=0”是“a⊗b=-2”的充要条件．题型9题型9全称量词与存在量词中的含参问题1．（2023上·山西太原·高二统考期末）已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3>0是真命题，那么实数aA．a<13 C．a>13 2．（2023上·河北保定·高二统考期末）若命题“∃x0∈R，x02A．2,6 B．2,6C．-∞,2∪6,+∞ 3．（2023上·安徽淮北·高二校考期末）已知，命题p:∀x∈R,x2+ax+2≥0，命题q:∃x∈（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围．4．（2023上·重庆渝中·高一校考阶段练习）已知命题p：∃x∈R，x2+m-2x+1=0(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围：(2)若命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，求实数m的取值范围

2023-2024学年高一上学期期末复习第一章九大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型题型1集合中元素的个数问题1．（2023下·湖北·高二统考期末）已知集合A=0,2，B=1,2,3，C=aba∈A,b∈B，则集合A．6 B．5 C．4 D．3【解题思路】由列举法列出集合C的所有元素，即可得答案.【解答过程】因为A=0,2，a∈A,b∈B，所以ab=0或ab=2或ab=4或ab=6故C=aba∈A,b∈B=0,2,4,6，即集合故选：C.2．（2023·高一课时练习）由a2，2-a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

A．-1 B．1 C．3 D．2【解题思路】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.【解答过程】由题意由a2，2-a，3组成的一个集合A，A因为a2=2-a=3无解，故由a2，2-a故a2≠2-a≠3，即a≠-2,a≠1,a≠-1,a≠±3即A，B，C错误，D正确，故选：D.3．（2023上·福建泉州·高一校考阶段练习）已知集合A=x∈(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围.【解题思路】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；（2）（3）讨论a=0、a≠0，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围.【解答过程】（1）A是空集，∴a≠0且Δ<0，∴9-8a<0，解得a>∴a的取值范围为：（9（2）当a=0时，集合A={x|-3x+2=0}=2当a≠0时，Δ=0，∴9-8a=0，解得a=98综上所求，a的值为0或98，当a=0时，元素为23，当a=9（3）当a=0时，A=2当a≠0时，要使关于x的方程ax2-3x+2=0有实数根，则Δ综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为-∞4．（2023上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）已知集合An=x1,x2,⋯,xnxi∈-1,1i=1,2,⋯,n，x(1)若x=1,1,1,1，写出A4中与(2)令B=x⊙y|x,y∈An，若m∈B(3)若A⊆An，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，【解题思路】（1）由定义可写出A4中与x（2）令δi=1,xi=yi,0,xi≠yi（3）先考虑n=4时，共有四种互相正交的情况，设这4种情况的排列为z1则按x=z1,z2当n=14时，不妨设y1=(1,1,⋯1)（有14个1），y2=(-1,-1,⋯,-1,1,1,⋯1)（有7个-1，7个1），则y1,y2正交，再令a=(a1,【解答过程】（1）A4中所有与x正交的元素为-1,-1,1,1,1,1,-1,-1（2）证明：对于m∈B，存在x=x1,x2令δi=1,当xi≠yi时，xi那么m=x⊙y=i=1所以m+n=2k为偶数．（3）n=8时，不妨设x1再考虑n=4时，共有四种互相正交的情况，即1111-11则按x1即x=zx'=-所以n=8时，A中最多可以有8个元素．n=14时，不妨设yy则y1与y假设a=a设a，b，c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外．a，b相应位置数字都相同的共有m个，b，c相应位置数字都相同的共有n个，则a⊙b=m+k-14-m-k所以m+k=7，同理n+k=7．可得n=m．由于a⊙c=-m-m+k+14-k-2m可得2m=7,m=7所以除y1综上，n=14时，A中最多可以有2个元素．题型2题型2根据元素与集合的关系求参数1．（2023上·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知A是由0，m，m2-3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【解题思路】由2∈A，可得m=2或m2-3m+2=2【解答过程】因为集合A是由0，m，m2所以A=0,m,m2所以m=2或m2-3m+2=2，解方程可得m=2或m=0或当m=2时，A=0,2当m=0时，A=0,2当m=3时，A=0,3,2，满足题意，∴m=3故选：B.2．（2023上·广东惠州·高三统考阶段练习）集合A=x∈Rx-a2x+1>0，若3∈A且-1∉AA．a<3 B．a≤-1 C．a≤3 D．-1<a<3【解题思路】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案.【解答过程】因为3∈A且-1∉A，所以3-a6+1>0且-1-a-2+1故选：B.3．（2023·高一课时练习）已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．【解题思路】（1）由-3∈A，得-3=a-3或-3=2a-1，再利用集合中元素的互异性能求出满足题意的实数a的值；（2）由a∈A，得a=a-3或a=2a-1，再利用集合中元素的互异性能求出满足题意的实数a的值.【解答过程】(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为1.4．（2022·高一课时练习）（1）如果集合A={x|x=m+2n}(m,n∈Z)，（2）如果集合B=xx=m+2n，整数m,n互素，那么是否存在x，使得x和【解题思路】(1)设，x1=a(2)设x=m+2n（整数m，n互素），则有1x=mm2-2n2+【解答过程】解:（1）证明：因为x1所以可设x1=a1+2b1，x2则x1由a1，a2，b1，b2∈Z因此x1（2）设x∈B，则x=m+2n（整数m，所以1x若1x∈B，则mm又m与n互素，所以m2所以当m，n互素，且m2-2n2=±1如取m=3，n=2，得x=3+22，1综上，存在x，使得x与1x都属于集合B，如x=3+22．（注：题型3题型3有限集合子集、真子集的确定1．（2023上·江苏镇江·高一校考阶段练习）若集合M=x∣m+1x2-mx+m-1=0A．-1 B．233 C．±233【解题思路】根据题意，由条件可得集合M有且只有一个元素，然后分m+1=0与m+1≠0讨论，即可得到结果.【解答过程】因为集合M=x∣m+1x当m+1=0时，即m=-1，则M=x当m+1≠0时，即m≠-1，则关于x的方程m+1x则Δ=m2综上所述，m=-1或m=±2故选：D.2．（2023上·湖北孝感·高一校联考阶段练习）定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合A=8,23,81,153,254,370，B={x∈A|x是自恋数}，则B的真子集个数为（

A．7 B．15 C．31 D．63【解题思路】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得.【解答过程】812282132333所以集合B=8,153,370所以真子集个数：23故选：A.3．（2022上·陕西西安·高一校考阶段练习）已知集合A=a-3,2(1)求实数a的取值的集合M；(2)写出（1）中集合M的所有子集.【解题思路】（1）利用-3∈A可求出a，再验证合理性，进一步确定a（2）利用子集的概念作答即可【解答过程】（1）因为-3∈A，且A所以a-3=-3或2a2+5a=-3，解得当a=0时，2当a=-1时，A当a=-32∴实数a的取值的集合M（2）因为M=-1,-32，所以集合M的子集有：∅,-1,4．（2022上·北京西城·高一校考阶段练习）设集合Sn={1,2,3,…,n}，若X是Sn的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X(1)写出S3(2)写出S4(3)求证：Sn【解题思路】（1）根据子集的定义,以及对应题目中偶子集的定义,即可得S3（2）根据题意,分析S4的子集,对应奇子集的定义,即可得S（3）设S为Sn的奇子集,根据奇子集和偶子集的定义,按1是否属于S【解答过程】（1）S3={1,2,3}，则S3的所有子集为：∅、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}S3的所有偶子集为：∅、{2}、{1,3}、{1,2,3}（2）由题意可知,当n=4时,S4∵X的容量为奇数,则X为Sn∴.所有的奇子集应为为{1}、{3}、{1,2}、{1,4}、{3,4}、2,3、{1,2,4}、{2,3,4}.（3）对于Sn的每个奇子集A当1∈A时,取B=∁当1∉A时,取B=A∪{1},则B为Sn反之，若B为Sn当1∈B时,取A=∁当1∉B时,取A=B∪{1},则A为SnSn所以Sn题型4题型4根据集合间的关系求参数1．（2023上·甘肃白银·高一校考期末）已知集合A=x∈R2x-3-a≥0，集合B=y∈Ry=xA．a≥-72 C．a≤-72 【解题思路】根据一元一次不等式的解法化简集合A，根据二次函数值域求解集合B，然后利用集合关系列不等式求解.【解答过程】集合A=x∈集合B=y∈因为A⊆B，所以3+a2≥-1故选：A.2．（2023上·浙江绍兴·高三统考期末）已知集合A={x∈N*∣x=y+2x-y,y≥0}，若B⊆AA．1 B．3 C．6 D．10【解题思路】将方程平方整理得4y2-8xy+x2(x-2)2【解答过程】解:根据题意将x=y+2x-y继续平方整理得：4y所以Δ=64x2-16x2因为x∈N*，故当x=1时，22xy-y2=x当x=3时，4y当x=4时，y2故A={2,3,4}，因为B⊆A且集合B中恰有2个元素，所以B集合可以是{2,3}，{2,4}，{3,4}.故选：B.3．（2023上·山西太原·高一校考阶段练习）已知集合A={x|x2+4x=0}（1）若A⊆B，求a的值；（2）若B⊆A，求a的值.【解题思路】（1）由题A={-4,0}，集合B最多两个元素，A⊆B，则A=B，所以集合B中的方程两根为-4,0，即可求解；（2）分类讨论：B为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可.【解答过程】（1）由题集合B最多两个元素，A={-4,0}，A⊆B，则A=B，所以集合B中的方程两根为-4,0，△=4(a+1)2-4(a2-1)>0，即（2）由题B⊆A，B中最多两个元素，对于方程x当集合B=∅时：△=4(a+1)2-4(a2当集合B中只有一个元素时：△=4(a+1)2-4(a2-1)=0，即当B中有两个元素时：△=4(a+1)2-4(a2此时则A=B，所以集合B中的方程两根为x1=-4,x2=0综上所述：a≤-1或a=1.4．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）已知A=a1,a2,a3,a4(1)判断B=0,2,1,4是否为5-连续生成数组？是否为6-(2)若C=0,1,a,2为6-连续生成数组，求a(3)数组A=a1,【解题思路】（1）根据m-连续生成数组的定义，结合子集的概念求解；（2）根据题意，得出PC（3）根据题意PA=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，从而a1,【解答过程】（1）B=0,2,1,4，P∵1,2,3,4,5⊆PB，∴B=0,2,1,4∵1,2,3,4,5,6不是PB的子集，∴B=0,2,1,4不是（2）C=0,1,a,2，PC中元素可能取值为若C=0,1,a,2为6-连续生成数组，即1,2,3,4,5,6则a=3.（3）若A=a1,a2又PA则PA=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10∴a1+a即4(a∵a1,a而55为奇数，4(a∴数组A=a1,题型5题型5交、并、补集的混合运算1．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）设全集U=R，集合A=xx<2，B=xx≤-2或x>6，则A．xx<2 B．C．x-2<x<2 D．【解题思路】先求出∁UB，再求【解答过程】∁U所以A∩∁故选：C.2．（2023上·云南昆明·高一统考期末）图中U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分表示的集合是（

）A．A∩∁UBC．∁UA∩B 【解题思路】由阴影部分的元素特点可直接得到结果.【解答过程】由Venn图知，阴影部分的元素既不属于集合A，也不属于集合B，所以阴影部分表示的集合是∁U故选：D.3．（2023下·山东滨州·高二校考期末）已知集合P=x|-1<x<1，Q=(1)P∪Q(2)P∩Q(3)((4)(【解题思路】（1）根据并集的定义计算可得；（2）根据交集的定义计算可得；（3）根据补集、交集的定义计算可得；（4）根据补集、并集的定义计算可得.【解答过程】（1）因为P=x|-1<x<1，Q=所以P∪Q=x|-1<x<2（2）因为P=x|-1<x<1，Q=所以P∩Q=x|0<x<1（3）因为P=x|-1<x<1，Q=所以∁RP={x|x≤-1或所以(∁（4）因为P=x|-1<x<1，Q=所以∁RP={x|x≤-1或x≥1}，∁R所以(∁RP)∪(4．（2022上·北京密云·高一统考期末）已知集合M=x|x2(1)当a=1时，求M∩N，M∪N；(2)当a=0时，求M∩C(3)当N⊆M时，求a的取值范围．【解题思路】（1）化简集合M，即可得到M∩N，M∪N（2）化简集合M，求出CRN（3）化简集合M，根据N⊆M，即可求出a的取值范围【解答过程】（1）由题意，在M=x|x2≥a和∴M=x|x≥2∴M∩N=x|2≤x<4，M∪N=（2）由题意及（1）得，在M=x|x2≥a和∴M=x|x≥0∴CR∴M∩C（3）由题意及（1）（2）得，在M=x|x2≥a和∵N⊆M，∴2a≤-1，解得：a≤-1∴a的取值范围为-∞题型6题型6集合混合运算中的求参问题1．（2023上·广西贵港·高一统考期末）若全集U=-1,2,4,5,19，集合∁U(A∩B)=A．4 B．-1,19C．-1,2,4 D．4,5,19【解题思路】先由已知条件求出A∩B，则可求得集合A中的元素，从而可判断集合A.【解答过程】因为全集U=-1,2,4,5,19，集合∁所以A∩B=-1,4所以-1,4∈A，所以只有选项C的集合-1,2,4符合条件，故选：C.2．（2022上·山西朔州·高三统考期末）已知集合A={x|1<x<2}，B={x|x>m}，若A∩CRB=∅，则实数A．(-∞,1] B．(-∞,1) C．【解题思路】由题可得A⊆B，再利用集合的包含关系即求.【解答过程】解：由题知A∩∁得A⊆B，则m≤1，故选：A．3．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知集合A=x∈R2a-3<x<a+1(1)若a=0，求A∩B；(2)若A∩CRB【解题思路】（1）根据交集的定义，即可求得本题答案；（2）由A∩CRB=A，得A⊆CRB【解答过程】（1）若a=0，则A=x∈因为B=x∈R-1<x<3（2）由题，得CRB=xx≤-1,若A=∅，则2a-3≥a+1，得a≥4，若A≠∅，即a<4时，则有a+1≤-1，或2a-3≥3，得a≤-2或3≤a<4，综上，a∈-4．（2022上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知A=xx2(1)若a=1，求A∩∁(2)从①A∪∁RB=R；②问题：若，求实数a的所有取值构成的集合C.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解题思路】（1）当a=1时，求出集合B、A，利用补集和交集的定义可求得集合A∩∁（2）选①，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a，根据A∪∁RB选②，分析可知B⊆A，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a，根据B⊆A可得出关于a的等式，综合可得出集合选③，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a，根据B∩∁RA【解答过程】（1）解：当a=1时，B=x又因为A=xx2（2）解：若选①，当a=0时，B=∅，则∁RB=R，满足当a≠0时，B=1a，若A∪∁RB=R，则1a综上所述，C=0,若选②，∵A∩B=B，则B⊆A.当a=0时，B=∅，满足B⊆A；当a≠0时，B=1a，因为B⊆A，则1a=1或5，解得综上所述，C=0,若选③，当a=0时，B=∅，满足B∩∁当a≠0时，则B=1a，因为B∩∁RA=∅，则1a综上所述，C=0,题型7题型7由充分条件、必要条件求参数1．（2023下·湖南长沙·高二校联考期末）已知p:x≥k,q:2-xx+1≤0，如果p是q的充分不必要条件，则实数kA．2,+∞ B．C．1,+∞ D．【解题思路】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解.【解答过程】q:2-xx+1≤0，即q:x<-1或x≥2，又p:x≥k,p所以k≥2，即k的取值范围是2,+∞故选:A.2．（2023下·浙江·高一期末）已知条件p:|x+1|>2，条件q:x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是（

）A．a≤1 B．a≥1 C．a≥-1 D．a≤-3【解题思路】解不等式得到p:x<-3或x>1，根据题意得到q是p的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案.【解答过程】由条件p:x+1>2，解得x<-3或因为¬p是¬q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，故A=xx>a是B=x则a的取值范围是a≥1，故选：B．3．（2023上·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）已知p:x2-5x-6<0(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）先化简条件p，再利用p是q的充分条件列出关于实数m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围；（2）按实数m分类讨论，利用p是q的必要条件列出关于实数m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.【解答过程】（1）由x2-5x-6<0，可得-1<x<6又q:1-m≤x≤3+m，且p是q的充分条件，可得1-m≤-16≤3+m，解之得m≥3，则实数m的取值范围为3,+（2）由（1）得p:-1<x<6，q:1-m≤x≤3+m当m<-1时，1-m>3+m，q:x∈∅，此时，p是q的必要条件，符合要求；当m≥-1时，由p是q的必要条件，可得1-m>-16>3+mm≥-1，解之得综上，实数m的取值范围为-∞4．（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合A=x∣a-1≤x≤2a+1,B=x∣-2≤x≤4.在①A∪B=B；②“x∈A”是“x∈B(1)当a=3时，求∁R(2)若______，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）利用集合的交并补运算即可得解；（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解.【解答过程】（1）当a=3时，A=x∣2≤x≤7，而B=所以A∩B=x∣2≤x≤4，则∁RA∩B（2）选①：因为A∪B=B，所以A⊆B，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A⊆B，则a<-2；当A≠∅时，a≥-2，由A⊆B得a-1≥-22a+1≤4，解得-1≤a≤综上：a<-2或-1≤a≤32，即实数a的取值范围为选②：因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足题意，则a<-2；当A≠∅时，a≥-2，则a-1≥-22a+1≤4，且不能同时取等号，解得-1≤a≤综上：a<-2或-1≤a≤32，即实数a的取值范围为选③：因为A∩B=∅，所以当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A∩B=∅，则a<-2；当A≠∅时，a≥-2，由A∩B=∅得2a+1<-2或a-1>4，解得a<-32或又a≥-2，所以-2≤a<-32或综上：a<-32或a>5，实数a的取值范围为题型8题型8充要条件的证明1．（2023上·贵州黔东南·高二统考期末）已知x,y都是非零实数，且x>y，求证：1x<1【解题思路】根据充要条件的定义进行证明即可．【解答过程】（1）必要性：由1x<1y，得又由x>y，得y-x<0，所以xy>0.（2）充分性：由xy>0及x>y，得xxy>y综上所述，1x<12．（2022上·江苏苏州·高一校考阶段练习）求证：方程mx2-2【解题思路】先证明充分性，即当0<m<13时，方程mx【解答过程】先证明充分性：若0<m<13，设方程的两个实根为则x1+x2=故方程mx再证明必要性：若方程mx令f(当m>0时，其图象是开口方向朝上，且以x若关于x的方程mx则必有两个不等的正根，则函数f(则2m>03当m<0时，其图象是开口方向朝下，且以x若关于x的方程mx则必有两个不等的负根，则函数f(则2m故关于x的方程mx2-2x+3=0∴方程mx2-23．（2023·高一课时练习）设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a⩽b⩽c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么a2+b2=c2(勾股定理).反过来,如果a2+b2=c2,那么【解题思路】根据勾股定理易得△ABC为锐角三角形的充要条件是a2+b2>【解答过程】解:(1)设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c,△ABC为锐角三角形的充要条件是a2证明如下:必要性:在△ABC中,∠C是锐角,作AD⊥BC,D为垂足,如图(1).显然A=AC2+C充分性:在△ABC中,a2+b假设∠C为钝角,如图(2).作AD⊥BC,交BC延长线于点D.则A=AC即c2>b故∠C为锐角,即△ABC为锐角三角形.

(2)设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c,△ABC为钝角三角形的充要条件是a2证明如下:必要性:在△ABC中,∠C为钝角,如图(2),显然:AB2=AD2充分性:在△ABC中,a2∴∠C不是直角,假设∠C为锐角,如图(1),则A=AC2-CD2+CB2+C4．（2023·全国·高一专题练习）当m,n∈Z时，定义运算⊗：当m,n>0时，m⊗n=m+n；当m,n<0时，m⊗n=m⋅n；当m>0,n<0或m<0,n>0时，m⊗n=m+n；当m=0时，m⊗n=n