2024-2025学年高一上学期期末复习【第二章 一元二次函数、方程和不等式】八大题型归纳（基础篇）（含答案）

2024-2025学年高一上学期期末复习【第二章一元二次函数、方程和不等式】八大题型归纳（基础篇）（含答案）高一上学期期末复习第二章八大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型1题型1不等关系的建立1．（2023上·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过72000cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（A．a+b+c<130且abc<72000 B．a+b+c>130且abc>72000C．a+b+c≤130且abc≤72000 D．a+b+c≥130且abc≥720002．（2023上·贵州遵义·高一统考阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km，其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60kmh，设需摩托车运送的路段平均速度为xkmA．4060+x>1 C．3560+53．（2023·全国·高一专题练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为4．（2023上·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am2，(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m(2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm题型2题型2利用不等式的性质判断正误1．（2023下·上海宝山·高一统考期末）如果a<b<0，那么下列式子中一定成立的是（

）A．1a<1b B．a2<2．（2023下·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．若a>b>0，则ac>bc B．若a>b，则aC．若a<b<0，则a2>ab D．若a>b>c3．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由：(1)若a>b，则ac(2)若ac2>b(3)若a>b，c>d，则ac>bd；(4)若a>b，则1a4．（2022·高一课时练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)如果c-a>c-b，那么a<b；(2)若ab>c，b>0，则a>c(3)若ac>bc，则a>b；(4)若a>b，c>d，则a-c>b-d．题型3题型3由基本不等式比较大小1．（2023下·安徽马鞍山·高一统考期中）若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，2ab，2ab，a2+A．a2+bC．2ab D．a+b2．（2023上·上海宝山·高一校考阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中0<q<p<1）（

）A．先提价p%，再提价q% B．先提价qC．分两次，都提价p2+q3．（2023·上海·高一专题练习）已知0<a<1，0<b<1，则a+b，2ab，a2+4．（2023·高一课时练习）已知a,b,c∈(0,+∞)且a+b+c=1，试比较a2+b2+题型4题型4利用基本不等式求最值（无条件）1．（2023下·广东揭阳·高一统考期末）设x>0，则函数y=x2+x+25A．6 B．7 C．11 D．122．（2022上·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）以下说法正确的是（

）A．x+1B．x2C．x2D．若正实数a，b满足a+b=1，则(a+13．（2023上·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知0<x<3，求：(1)x3-x(2)x3-2x4．（2023上·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）（1）已知0<x<1，求2x(1-2x)的最大值；（2）已知x>54，求题型5题型5利用基本不等式求最值（有条件）1．（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为（

A．25 B．16 C．372．（2023上·北京·高一校考期末）已知实数x，y满足x>0，y>0，且3x+1y=1A．8 B．10 C．12 D．143．（2023上·福建泉州·高一泉州五中校考期中）已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2(1)求1a(2)求a2＋4b2＋5ab的最大值.4．（2023上·浙江·高一校联考期中）已知x>0,y>0，且2x（1）求xy的最大值；

（2）求x1+题型6题型6一元二次不等式的解法1．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2}，则不等式2A．{x|-1<x<12} B．{x|x<-1或C．x|-2<x<1 D．x|x<-22．（2023上·山东菏泽·高一校考期末）若t>1，则关于x的不等式t-xx-1tA．x|1t<x<t B．x|x<1t或x>t C．x|x<t3．（2023上·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式：(1)2x(2)-3x(3)x+5x-3(4)x-14．（2023上·河北承德·高一校考期中）已知不等式ax(1)若a=-2，解不等式ax(2)当a≥0时，求关于x的不等式ax题型7题型7三个“二次”关系的应用1．（2023·全国·高一课堂例题）不等式ax2-bx+c>0的解集为x-2<x<1，则函数A．

B．

C．

D．

2．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2，-3，那么关于x的不等式A．x|x>3或x<-2 B．x|x>2或x<-3C．x-2<x<3 D．3．（2023上·山西临汾·高一校联考阶段练习）已知二次函数y=x2-a-1x-a-1的图象与x(1)当a=3时，求x1(2)求关于x的不等式y+1≥0的解集.4．（2023上·江西萍乡·高一统考期末）已知二次函数fx满足f①fx+2=fx+1+2x+1；②不等式(1)求fx(2)若fx在-1,m上的值域为-1,3，求实数m题型8题型8一元二次不等式的实际应用1．（2022上·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P（单位：元/件）与月销售量x（单位：件）之间的关系为P=160-2x，生产x件的成本（单位：元）R=500+30x.若每月获得的利润y（单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为（）A．20,45 B．20,45C．20,45 D．20,452．（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A．10,20 B．15,20 C．16,20 D．15,253．（2023上·陕西宝鸡·高一校考阶段练习）如图，在长为8m，宽为64．（2023上·重庆·高一统考期末）2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员xx>0户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为3.5a-19x(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．

高一上学期期末复习第二章八大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型1题型1不等关系的建立1．（2023上·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过72000cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（A．a+b+c<130且abc<72000 B．a+b+c>130且abc>72000C．a+b+c≤130且abc≤72000 D．a+b+c≥130且abc≥72000【解题思路】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.【解答过程】由长、宽、高之和不超过130cm得a+b+c≤130，由体积不超过72000cm3得故选：C.2．（2023上·贵州遵义·高一统考阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km，其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60kmh，设需摩托车运送的路段平均速度为xkmA．4060+x>1 C．3560+5【解题思路】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得．【解答过程】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即3560故选：D．3．（2023·全国·高一专题练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为【解题思路】根据题意结合矩形菜园的边长和面积列出不等关系即可.【解答过程】解：因为矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0<x≤18，则菜园的另一条边长为30-x2所以菜园面积S=x⋅(15-x根据题意有S≥216，即x⋅(15-x故不等关系可用不等式表示为0<x≤18x(15-4．（2023上·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am2，(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m(2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm【解题思路】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm2（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积，再比较a+nb+n和a【解答过程】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,b所以b≤a10%=10a，所以所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：0<a<b,n>0，则a+nb+n因为b>0,n>0，所以b(b+n)>0.又因为a<b，所以n(b-a)>0.因此a+nb+n-a所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.题型2题型2利用不等式的性质判断正误1．（2023下·上海宝山·高一统考期末）如果a<b<0，那么下列式子中一定成立的是（

）A．1a<1b B．a2<【解题思路】根据不等式的性质判断即可.【解答过程】因为a<b<0，所以1a因为a<b<0，所以a>b，所以因为a<b<0，所以ab因为a<b<0，所以a2故选：D.2．（2023下·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．若a>b>0，则ac>bc B．若a>b，则aC．若a<b<0，则a2>ab D．若a>b>c【解题思路】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【解答过程】对于A，若c=0，则ac=bc，故A错误；对于B，若a=1，b=-2，则a<对于C，若a<b<0，a<0，可得a对于D，若a=3，b=2，c=-1，则ab故选：C．3．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由：(1)若a>b，则ac(2)若ac2>b(3)若a>b，c>d，则ac>bd；(4)若a>b，则1a【解题思路】（1）取c=0即可判断，（2）根据不等式的性质即可求解，（3）（4）举反例即可求解.【解答过程】（1）若a>b，当c=0时，则ac2（2）由于ac2>bc2，故c2（3）若a=2,b=1，c=-2,d=-3，则ac=-4,bd=-3，此时满足a>b，c>d，但是无法得到ac>bd，故为假命题；（4）若a>b，不妨取a=1,b=0，则1b无意义，故无法得到1a4．（2022·高一课时练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)如果c-a>c-b，那么a<b；(2)若ab>c，b>0，则a>c(3)若ac>bc，则a>b；(4)若a>b，c>d，则a-c>b-d．【解题思路】由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.【解答过程】（1）∵c-a>c-b，∴-a>-b，∴a<b，故成立.（2）∵ab>c，b>0,∴ab⋅1即a>c（3）取a=1,b=2,c=-1时，满足ac>bc，但是a>b不成立.（4）取a=1,b=0,c=3,d=-1，满足a>b，c>d，但是a-c>b-d不成立.题型3题型3由基本不等式比较大小1．（2023下·安徽马鞍山·高一统考期中）若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，2ab，2ab，a2+A．a2+bC．2ab D．a+b【解题思路】首先利用均值不等式比较a2+b2与2ab的大小和【解答过程】∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2+b2>2ab，∴a+b>a故选：D.2．（2023上·上海宝山·高一校考阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中0<q<p<1）（

）A．先提价p%，再提价q% B．先提价qC．分两次，都提价p2+q【解题思路】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项.【解答过程】设原来的水价为a，AB选项中，两次提价后的水价为a1+pC选项中，两次提价后的水价为a1+D选项中，两次提价后的水价为a1+因为0<q<p<1，则p2+q所以，p2+q即a1+由基本不等式可得a1+p所以，a1+故选：C.3．（2023·上海·高一专题练习）已知0<a<1，0<b<1，则a+b，2ab，a2+【解题思路】先利用基本不等式判断最大数为a+b或a2【解答过程】因为a>0，b>0，所以a+b≥2ab，a所以四个数中最大的数应为a+b或a2又因为0<a<1，0<b<1，所以a所以a2+b4．（2023·高一课时练习）已知a,b,c∈(0,+∞)且a+b+c=1，试比较a2+b2+【解题思路】首先利用综合法，结合基本不等式，证得2a2+b2+c2⩾2ab+2ac+2bc【解答过程】∵a2+b∴a2+b①式两边分别加上a2+b2+②式两边分别加上2ab+2ac+2bc，得3(ab+bc+ca)⩽a2+综上，a2+b题型4题型4利用基本不等式求最值（无条件）1．（2023下·广东揭阳·高一统考期末）设x>0，则函数y=x2+x+25A．6 B．7 C．11 D．12【解题思路】先化简为y=x【解答过程】∵x>0，∴y=x当且仅当x=25x，即所以函数y=x2+x+25故选：C.2．（2022上·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）以下说法正确的是（

）A．x+1B．x2C．x2D．若正实数a，b满足a+b=1，则(a+1【解题思路】利用基本不等式可判断BD的正误，根据反例及取等条件可判断AC的正误.【解答过程】对于A，取x=-1，则x+1x=-2对于B，x2+1对于C，x2+2+1故x2对于D，(a+1若(a+1a)(b+1b即ab+1ab=2而a+b=1，故1≥2ab即ab≤14故ab=1不成立即(a+1故选：B.3．（2023上·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知0<x<3，求：(1)x3-x(2)x3-2x【解题思路】利用基本不等式计算即可.【解答过程】（1）∵0<x<3，∴x3-x当且仅当x=3-x，即x=3所以x3-x的最大值为9（2）∵0<x<3，∴x3-2x当且仅当2x=3-2x，即x=3所以x3-2x的最大值为94．（2023上·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）（1）已知0<x<1，求2x(1-2x)的最大值；（2）已知x>54，求【解题思路】（1）利用二次函数的性质即可求解最大值；（2）对4x-2+1【解答过程】（1）记fx=2x(1-2x)，则fx所以当x=14时，函数fx所以2x(1-2x)的最大值为14（2）因为x>54，所以所以4x-2+1当且仅当4x-5=14x-5即x=32时等号成立，所以题型5题型5利用基本不等式求最值（有条件）1．（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为（

A．25 B．16 C．37【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【解答过程】∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,∴x+y=∴2故选:D.2．（2023上·北京·高一校考期末）已知实数x，y满足x>0，y>0，且3x+1y=1A．8 B．10 C．12 D．14【解题思路】利用1的妙用，结合基本不等式求解最值即可．【解答过程】因为x>0，y>0，且3x所以x+3y=x+3y当且仅当9yx=x则x+3y的最小值为12．故选：C．3．（2023上·福建泉州·高一泉州五中校考期中）已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2(1)求1a(2)求a2＋4b2＋5ab的最大值.【解题思路】(1)利用1a(2)a2+4b2+5ab=(a+2b)2【解答过程】（1）1∵a>0,b>0，∴12当且仅当2ba=2a∴1a+2（2）∵a2又a+2b=2≥22ab，∴ab≤12当且仅当a=2b，即a=1,b=1故a2+4b4．（2023上·浙江·高一校联考期中）已知x>0,y>0，且2x（1）求xy的最大值；

（2）求x1+【解题思路】（1）利用基本不等式求xy的最大值；（2）首先构造∵x1+【解答过程】（1）∵2∴xy≤当且仅当x=3∴xy的最大值是32（2）∵x当且仅当2x2=1+∴x1+y2题型6题型6一元二次不等式的解法1．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2}，则不等式2A．{x|-1<x<12} B．{x|x<-1或C．x|-2<x<1 D．x|x<-2【解题思路】根据不等式ax2+bx+2>0的解集求出a【解答过程】解：因为不等式ax2+bx+2>0ax2+bx+2=0的两根为-1，2，且a<0，即-1+2=-ba，(-1)×2=则不等式可化为2x2+x-1<0，解得-1<x<12故选：A.2．（2023上·山东菏泽·高一校考期末）若t>1，则关于x的不等式t-xx-1tA．x|1t<x<t B．x|x<1t或x>t C．x|x<t【解题思路】首先根据不等式的性质可得1t<t，进而将不等式转化为【解答过程】因为t-1t=t+1t-1t，原不等式t-xx-1t>0可化为所以所以，不等式t-xx-1t故选：A.3．（2023上·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式：(1)2x(2)-3x(3)x+5x-3(4)x-1【解题思路】（1）先因式分解，然后直接求解即可；（2）利用求根公式即可求解不等式；（3）分类讨论，将分式不等式变为整式不等式求解；（4）先整理，然后直接求解即可.【解答过程】（1）∵2x∴2x-1∴-3<x<1即不等式的解集为-3,1（2）∵-3x∴3x解得x≤1-33或即不等式的解集为-∞（3）∵x+5∴x+5≤1解得-13≤x<3，即不等式的解集为-13,3；（4）∵x-1整理得x2解得x≠1，即不等式的解集为-∞4．（2023上·河北承德·高一校考期中）已知不等式ax(1)若a=-2，解不等式ax(2)当a≥0时，求关于x的不等式ax【解题思路】根据十字相乘，对不等式进行因式分解，计算对应方程的根，通过根的大小比较，确定解的范围即可.【解答过程】（1）当a=-2时，代入不等式得-2x整理式子-2x+1x所以不等式的解集为：-∞（2）当a=0时，代入不等式得x+2<0，解得当a>0时，不等式整理得ax+1x+2<0，对应得方程ax+1x+2所以对两根大小进行讨论：当-2<-1a，即a>1当-2=-1a，即a=1当-2>-1a，即0<a<1综上所述：当a=0时，不等式的解集为：-∞当0<a<12时，不等式的解集为：当a=12时，不等式的解集为：当a>12时，不等式的解集为：题型7题型7三个“二次”关系的应用1．（2023·全国·高一课堂例题）不等式ax2-bx+c>0的解集为x-2<x<1，则函数A．

B．

C．

D．

【解题思路】根据题意，可得方程ax2-bx+c=0的两个根为x=-2和x=1，且a<0，结合二次方程根与系数的关系得到a、【解答过程】因为ax2-bx+c>0所以方程ax2-bx+c=0的两根分别为-2则-2+1=ba故函数y=ax且与x轴的交点坐标为1,0和-2,0，故A选项的图象符合.故选：A.2．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2，-3，那么关于x的不等式A．x|x>3或x<-2 B．x|x>2或x<-3C．x-2<x<3 D．【解题思路】根据a>0，确定二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向，再由二次方程a【解答过程】因为二次方程ax2+bx+c=0又二次函数y=ax所以不等式ax2+bx+c>0的解集为x|x>2故选：B.3．（2023上·山西临汾·高一校联考阶段练习）已知二次函数y=x2-a-1x-a-1的图象与x(1)当a=3时，求x1(2)求关于x的不等式y+1≥0的解集.【解题思路】（1）根据根与系数的关系得x1+x（2）讨论两根大小求解一元二次不等式.【解答过程】（1）当a=3时，y=x由题意可知x1,x2是方程x2故x1（2）不等式y+1≥0可转化为x-ax+1当a>-1时，不等式y≥1的解集是xx≤-1当a=-1时，不等式y≥1的解集是xx∈当a<-1时，不等式y≥1的解集是xx≤a4．（2023上·江西萍乡·高一统考期末）已知二次函数fx满足f①fx+2=fx+1+2x+1；②不等式(1)求fx(2)若fx在-1,m上的值域为-1,3，求实数m【解题思路】（1）若选择①，设fx=ax（2）由二次函数的性质求解即可.【解答过程】（1）设fx=ax2+bx+ca≠0，由若选择①：则ax+2即2ax+3a+b=2x+1，则2a=2，3a+b=1，解得a=1，b=-2，即fx若选择②：则不等式ax2+b-1x-4<0的解集为-1,4，即a>0则-1+4=-b-1a，-1×4=-4a，解得（2）由（1）知，函数fx对称轴为直线x=1，且f1=-1，若fx在-1,m上的值域为-1,3，则m≥1令x2-2x=3，解得x=-1综上所述：实数m的取值范围为1,3.题型8题型8一元二次不等式的实际应用1．（2022上·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P（单位：元/件）与月销售量x（单位：件）之间的关系为P=160-2x，生产x件的成本（单位：元）R=500+30x.若每月获得的利润y（单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为（）A．20,45 B．20,45C．20,45 D．20,45【解题思路】根据题意，建立利润函数，列出不等式，可得答案.【解答过程】由题意，得y=xP-R=x160-2x-500+30x令y≥1300，得-2x2+130x-500≥1300∴x-20x-45≤0故选：D.2．（2023上·山西吕梁·高