2024-2025学年广东省广州二中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

第1页（共1页）2024-2025学年广东省广州二中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分）1．（3分）中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．13个人中至少有两个人出生月份相同 C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D．冬天的某一天一定会下雪3．（3分）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定4．（3分）函数的图象，如何平移变换的图象（）A．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 C．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位5．（3分）关于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法错误的是（）A．开口方向向下 B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 C．对称轴是直线x＝﹣1 D．经过点（0，1）6．（3分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x（）A．2500（1+x）2＝3200 B．2500（1﹣x）2＝3200 C．3200（1﹣x）2＝2500 D．3200（1+x）2＝25007．（3分）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度（）A． B． C． D．8．（3分）如图，用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5，那么围成的圆锥的高度是（）A． B．5 C．4 D．39．（3分）如图，直线与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，﹣2），两点，如果（）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜4 C．x＞4 D．x＜﹣1或x＞410．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，且AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点）（）①平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则P1P2∥P3P4；②平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，平移后弦P1P2和P3P4间的距离为；③若点A，B都在直线上，则线段AB到⊙O的“平移距离”的最小值为；④若点A的坐标为，则线段AB到⊙O的“平移距离”的最小值为．A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分）11．（3分）若抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则x1x2＝．12．（3分）不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，则袋子中白球的个数约是．13．（3分）圆心角为120°，半径为2的扇形，则这个扇形的面积为．14．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，DC＝1，则OD的长为．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，交y轴于点P．将△OAP绕点O旋转，每次都是按顺时针方向旋转90°，点A的坐标为．16．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点C（﹣4，3），D（﹣2，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点F满足∠AFB＝90°，则DE+EF的最小值为．三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0．18．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，点D在AC上，将△ABD绕点B顺时针旋转90°后得到△CBE19．（6分）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．元元决定在“A．虾饺；B．马蹄糕；D．红米肠”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）．（1）如果只选其中一种茶点品尝，元元选到“红米肠”的概率是；（直接写出结果）（2）如果选择两种不同的茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求元元选到“马蹄糕”和“牛仔骨”的概率．20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）尺规作图：作一个圆，使圆心O在AC边上，且⊙O与AB、BC所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB＝5，BC＝4，求（1）中所作的⊙O的半径．21．（8分）中医药作为中华民族原创的医学科学，是中华文明的杰出代表，深刻反映了中华民族的世界观、价值观、生命观、健康观和方法论，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，用长为24米的篱笆，一面靠墙（墙的最大可用长度为9米），面积为y平方米．（1）直接写出y与x的函数关系式：，并写出x的取值范围：；（2）当AB边的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD交⊙O于点E，且C为弧BE的中点（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）F为⊙O上一点，连接AF，若AF∥CD，AF＝12，求⊙O的半径．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C，点D与点C关于直线l对称．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标；（3）点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD24．（12分）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上一动点．（1）若点E不与点A、D重合，请直接写出∠AED的度数；（2）如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），EC，AE，EC，AE的数量关系并说明理由；（3）如图3，若点E在上运动，连接BE，MN，四边形BFNC与四边形BFN'C′关于直线BE对称，连接MC′，当正方形ABCD的边长为2时，求△MC'N'面积的最小值．25．（12分）已知抛物线过点A（x1，2）和点B（x2，2），且x1＜x2，直线l：y＝mx+n过点C（3，1）交线段AB于点D，记△CDA的周长为C1，△CDB的周长为C2，且C1＝C2+2．（1）求抛物线G的对称轴；（2）求直线l的解析式；（3）若直线l绕点C顺时针旋转15°后得到直线l′，直线l′交抛物线G于E，F两点，在直线l′的上方是否存在点P使得△PCE是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P坐标，请说明理由．

2024-2025学年广东省广州二中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析题号12345678910答案CBCDBCDCDD一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分）1．（3分）中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A：此图为轴对称图形，但不是中心对称图形；B：此图为中心对称图形，但不是轴对称图形；C：此图既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确；D：此图为轴对称图形，但不是中心对称图形；故选：C．2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．13个人中至少有两个人出生月份相同 C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D．冬天的某一天一定会下雪【解答】解：A、任意买一张电影票，是随机事件；B、13个人中至少有两个人出生月份相同，符合题意；C、车辆随机到达一个路口，是随机事件；D、冬天的某一天一定会下雪，不符合题意；故选：B．3．（3分）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，∴直线l与⊙O相离．故选：C．4．（3分）函数的图象，如何平移变换的图象（）A．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 C．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位【解答】解：抛物线y＝﹣x6的顶点坐标是（0，0）（ x﹣1）7+2的顶点坐标是（1，8），所以将顶点（0，0）向右平移7个单位，2），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移8个单位得到函数y＝﹣4+2的图象．故选：D．5．（3分）关于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法错误的是（）A．开口方向向下 B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 C．对称轴是直线x＝﹣1 D．经过点（0，1）【解答】解：A．∵﹣2＜0，∴抛物线开口向下，故A选项正确；C．由解析式可知，故C选项正确；B．∵抛物线开口向下，∴当x＜﹣7时，y随x的增大而增大，符合题意；D．令x＝0，∴抛物线经过点（0，7），不符合题意．故选：B．6．（3分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x（）A．2500（1+x）2＝3200 B．2500（1﹣x）2＝3200 C．3200（1﹣x）2＝2500 D．3200（1+x）2＝2500【解答】解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1﹣x）2＝2500，故选：C．7．（3分）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度（）A． B． C． D．【解答】解：设AD＝x，∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点，∴BD＝BE＝1，∴AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+3，在Rt△ABC中，（x+1）2+42＝（x+4）5，解得x＝，即AD的长度为．故选：D．8．（3分）如图，用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5，那么围成的圆锥的高度是（）A． B．5 C．4 D．3【解答】解：设底面圆的半径是r，则2πr＝6π，∴r＝7，∴圆锥的高＝＝4．故选：C．9．（3分）如图，直线与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，﹣2），两点，如果（）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜4 C．x＞4 D．x＜﹣1或x＞4【解答】解：．把A（﹣1得：，解得：，把代入，解得：n＝6．∵直线 与抛物线 6+bx+c交于A（﹣1，﹣2），，∴关于x的不等式的解集是：x＜﹣7或x＞4．故选：D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，且AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点）（）①平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则P1P2∥P3P4；②平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，平移后弦P1P2和P3P4间的距离为；③若点A，B都在直线上，则线段AB到⊙O的“平移距离”的最小值为；④若点A的坐标为，则线段AB到⊙O的“平移距离”的最小值为．A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③【解答】解：①如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P4P2∥P3P2；故①正确；②设P3P4与y轴交于C，连接OP3，∵P3P4＝5，∴CP3＝，OP3＝1，∴OC＝，∴平移后弦P1P2和P5P4间的距离为；故②正确；如图1中，作等边△OEF，OE＝EF＝OF＝1，设直线交x轴于M．则M（﹣7，N（0，2），过点E作EH⊥MN于H，∵OM＝2，ON＝2，∴tan∠NMO＝，∴∠NMO＝60°，∴EH＝EM•sin60°＝，观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为；故③正确；④如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，等边△OB′A′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，当点A′与M重合时，AA′的值最小﹣1＝，故选：D．二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分）11．（3分）若抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则x1x2＝﹣5．【解答】解：令y＝0，则x2﹣7x﹣5＝0，解得x7＝﹣1，x2＝3，∴x1x2＝﹣5×5＝﹣5，故答案为：﹣5．12．（3分）不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，则袋子中白球的个数约是2个．【解答】解：根据题意，袋子中白球的个数约是8×0.25＝7（个），故答案为：2个．13．（3分）圆心角为120°，半径为2的扇形，则这个扇形的面积为．【解答】解：∵n＝120°，R＝2，∴S＝＝．故答案为：．14．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，DC＝1，则OD的长为4．【解答】解；连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝7，设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣1，在Rt△AOD中，R2＝32+（R﹣1）4，解得R＝5，∴OD＝5﹣4＝4．故答案为：4．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，交y轴于点P．将△OAP绕点O旋转，每次都是按顺时针方向旋转90°，点A的坐标为．【解答】解：∵正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，∴AP＝1，AO＝5，∴，∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，第2次旋转结束时，点A的坐标为，第3次旋转结束时，点A的坐标为，第4次旋转结束时，点A的坐标为，∴4次一个循环，∵101÷4＝25⋯⋯2，∴第101次旋转结束时，点A的坐标为．故答案为：．16．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点C（﹣4，3），D（﹣2，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点F满足∠AFB＝90°，则DE+EF的最小值为﹣2．【解答】解：∵y＝﹣x2+bx+c过点C（﹣4，7），3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x5﹣6x﹣5，当y＝8时，﹣x2﹣6x﹣6＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣5，∴点A的坐标为（﹣4，0），0），∵∠AFB＝90°，∴点F在以AB为直径的圆上，圆心M为（﹣8，半径为2，作点D关于y轴的对称点D′（2，7），交⊙M于点F．∴D′M＝＝，∴D′F＝﹣2，∴DE+EF的最小值为﹣2．故答案为：﹣3．三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0．【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2＝8，（x﹣2）（x+1）＝5，x﹣2＝0，x+6＝0，∴x1＝7，x2＝﹣1．18．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，点D在AC上，将△ABD绕点B顺时针旋转90°后得到△CBE【解答】解：在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∴∠A＝∠BCA＝45°，点D在AC上，将△ABD绕点B顺时针旋转90°后得到△CBE，∴AB与CB重合，△ABD≌△CBE，∴∠A＝∠BCE＝45°，∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝45°+45°＝90°，∴∠DCE的度数为90°．19．（6分）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．元元决定在“A．虾饺；B．马蹄糕；D．红米肠”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）．（1）如果只选其中一种茶点品尝，元元选到“红米肠”的概率是；（直接写出结果）（2）如果选择两种不同的茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求元元选到“马蹄糕”和“牛仔骨”的概率．【解答】解：（1）∵共有四种茶点，∴如果只选其中一种茶点品尝，元元选到“红米肠”的概率是：，故答案为：；（2）画树状图如图所示：由树状图知，共有12种可能出现的结果，其中选到“马蹄糕”和“牛仔骨”的结果有2种，∴P（元元选到“马蹄糕”和“牛仔骨”）＝．20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）尺规作图：作一个圆，使圆心O在AC边上，且⊙O与AB、BC所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB＝5，BC＝4，求（1）中所作的⊙O的半径．【解答】解：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交AB、E，分别以点D、E为圆心长为半径画弧，作射线BF交AC于点O，以O为半径，以OC长为半径画圆，⊙O即为所求作；（2）过点O作OH⊥AB于点H，∵∠C＝90°，∴AC⊥OC，∴BC是⊙O的切线，∵BO平分∠ABC，∴OH＝OC，∴点H在⊙O上，AB是⊙O的切线，在Rt△ABC中，AB＝4，∴AC＝＝6，∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO，∴，∴3×4＝2OH+4OC，∴．故⊙O的半径为．21．（8分）中医药作为中华民族原创的医学科学，是中华文明的杰出代表，深刻反映了中华民族的世界观、价值观、生命观、健康观和方法论，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，用长为24米的篱笆，一面靠墙（墙的最大可用长度为9米），面积为y平方米．（1）直接写出y与x的函数关系式：y＝24x﹣3x2，并写出x的取值范围：5≤x＜8；（2）当AB边的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？【解答】解：（1）由题意得，BC＝24﹣3AB＝（24﹣3x）米，∴y＝AB•BC＝x（24﹣7x）＝24x﹣3x2，∴y＝24x﹣3x2，∵墙的最大可用长度为9米，∴，∴4≤x＜8，故答案为：y＝24x﹣3x3，5≤x＜8；（2）y＝24x﹣8x2＝﹣3（x﹣5）2+48，∵﹣3＜4，5≤x＜8，∴当x＞3时，y随着x的增大而减小，∴当x＝5时有最大值，最大值为45，∴最大面积是45m2．22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD交⊙O于点E，且C为弧BE的中点（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）F为⊙O上一点，连接AF，若AF∥CD，AF＝12，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连OC，∵C为弧BE的中点，∴BC＝CE，∴∠EAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AD，∴∠OCD+∠D＝180°，∵AD⊥CD，∴∠D＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：如图，延长CO交AF于G点，∵AF∥CD，∴∠CGF＝∠OCD＝90°∴OG⊥AF，，∵AC＝10，∴，在Rt△AOG中，根据勾股定理得：OG2+AG2＝OA2，设半径为r，则OG＝CG﹣OC＝8﹣r，∴（8﹣r）4+62＝r3，∴∴⊙O的半径为．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C，点D与点C关于直线l对称．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标；（3）点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD【解答】解：（1）将A（﹣1，0），4）代入y＝ax2+bx﹣5得：，解得，∴y＝x2﹣4x﹣4；（2）∵y＝x2﹣4x﹣3＝y＝（x﹣2）2﹣7，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，当x＝0时，y＝﹣3，∴点C（0，﹣5），∵A，B关于对称轴x＝8对称，如图1，连接BC，此时，MA+MC取最小值，设直线BC的解析式为y＝mx+n，将B，解得：，直线BC的解析式为y＝x﹣5，设点M的坐标为（2，a）a＝5﹣5＝﹣3；∴点M的坐标为（8，﹣3）；（3）∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线x＝2，∴D（4，﹣5），∵A（﹣1，8），∴设直线AD：y＝kx+d，则，解得：，∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣2，设P（m，m2﹣4m﹣6），作PH∥y轴交直线AD于H，如图2：∴H（m，﹣m﹣1），∴PH＝﹣m﹣5﹣（m2﹣4m﹣7）＝﹣m2+3m+6，∴S△APD＝PH×7＝8+3m+4）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣6＜0，∴当m＝时，S△APD最大为．∴△PAD面积的最大值是．24．（12分）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上一动点．（1）若点E不与点A、D重合，请直接写出∠AED的度数；（2）如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），EC，AE，EC，AE的数量关系并说明理由；（3）如图3，若点E在上运动，连接BE，MN，四边形BFNC与四边形BFN'C′关于直线BE对称，连接MC′，当正方形ABCD的边长为2时，求△MC'N'面积的最小值．【解答】解：（1）连接AC，∵正方形ABCD，∴∠ACD＝45°，当点E在优弧AD上时，∠AED＝∠ACD＝45°，当点E在劣弧AD上时，∠AED＝180°﹣45°＝135°，综上，∠AED的度数为45°或35°；（2），理由如下，在AE上截取AG＝CE，连接BG，∵AB＝CB，∠GAB＝∠ECB，∴△GAB≌△ECB（SAS），∴BG＝BE，∠ABG＝∠CBE，∴∠GBE＝∠CBE+∠GBC＝∠ABG+∠GBC＝∠ABC＝90°，∴△BGE是等腰直角三角形，∴，∴；（3）∵正方形ABCD的边长为2，点M、CD的中点，∴，∵四边形BFNC与四边形BFN'C'关于直线对称，∴BC'＝BC＝BA＝3，C'N'＝CN＝2，∴当C′N'边上的高最小时，△MC′N′面积取得最小值，∴当点C'与点A重合，此时点E与点D重合，∴CN边上的高就是AM的长，∴△MC'N'面积的最小值为．25．（12分）已知抛物线过点A（x1，2）和点B（x2，2），且x1＜x2，直线l：y＝mx+n过点C（