人教版九年级数学上册圆《圆 单元整 理复习》示范公开课教学课件

第24章

圆

整理与复习请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！

1．圆的位置及大小由哪些要素确定？如何从点的集合的角度理解圆的概念？

2．垂直于弦的直径有什么性质？在同圆或等圆中，两个圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？

3．同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？你能举出一些它们的实际应用吗？请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！

4．点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？你能举出这些位置关系的一些实例吗？你能用哪些方法刻画这些位置关系？

5．你能用直尺和圆规作出一个三角形的外接圆和内切圆吗？圆的内接四边形有什么性质？正多边形和圆有什么关系？

6．怎样由圆的周长和面积公式得到弧长公式和扇形面积公式？由题意，知

OA＝OD＝1

m，EA＝0.6

m，根据勾股定理，得

OE＝0.8

m．

∵EF＝0.2

m，∴OF＝0.6

m．在

Rt△ODF中，FD＝

＝0.8

m，

∴CD＝1.6

m．

例1

一条排水管的截面如图，已知排水管的半径

OA为

1

m，水面宽

AB为1.2

m，某天下雨后，水管水面上升了

0.2

m，则此时排水管水面宽

CD等于_______m．考点一垂径定理及其推论DBACFEO

解析：如图，连接

OD，作

OE⊥AB，垂足为

E，与

CD交于点

F．

1.6考点一垂径定理及其推论常用的辅助线：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算，在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．M考点一垂径定理及其推论

1．如图，在

⊙O中，AB为

⊙O的弦，C，D是直线

AB上的两点，且

AC＝BD．求证：△OCD是等腰三角形．

证明：如图，过点

O作

OM⊥AB，垂足为

M．DACOB

∵OM⊥AB，∴AM＝BM．

∵AC＝BD，∴CM＝DM．又∵OM⊥AB，

∴OC＝OD，

∴△OCD为等腰三角形．垂径定理及其推论的四个应用（1）计算线段的长度：常构造直角三角形，结合勾股定理进行计算；（2）证明线段相等：根据垂径定理平分线段推导线段相等；（3）证明等弧；（4）证明垂直：根据垂径定理的推论证明线段互相垂直．考点一垂径定理及其推论考点二与圆心角、圆周角有关的计算

例2

如图，AB是⊙O

的直径，点

C，D，E

在⊙O

上，若∠AED＝20°，求∠BCD的大小．

分析：进行与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解．DACBEO考点二与圆心角、圆周角有关的计算

解：连接

AC，则∠ACD＝∠E＝20°．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB

＝20°＋90°＝110°．见到直径，构造直径所对的圆周角，这是圆中重要的辅助线作法．DACBEO考点二与圆心角、圆周角有关的计算

例3

如图，圆内接四边形

ABCD两组对边的延长线分别相交于点

E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝_______．

解析：∵四边形

ABCD是圆内接四边形，

∴∠ECD＝∠A＝55°．

∵∠E＝30°，

∴∠EDC＝180°－∠E－∠ECD＝95°，

∴∠CBA＝∠EDC＝95°．又∵∠BCF＝∠ECD＝55°（对顶角相等），

∴∠F＝∠CBA－∠BCF＝40°．40°DACBEOF利用圆周角定理及其推论证明时常用的思路（1）在同圆或等圆中，要证明弧相等，考虑证明这两条孤所对的圆周角相等．（2）在同圆或等圆中，要证明圆周角相等，考虑证明这两个圆周角所对的弧相等．（3）当有直径时，常利用直径所对的圆周角为直角解决问题．（4）涉及圆的外部的角时，可利用圆内接四边形转到圆的内部处理．考点二与圆心角、圆周角有关的计算考点二与圆心角、圆周角有关的计算

2．如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D＝32°，则∠OAC等于（）．

A．64°

B．58°

C．72°

D．55°

解析：方法

1：∵∠D＝32°，∴∠AOC＝2∠D＝64°．∵OA＝OC，∴∠OAC＝(180°－64°)＝58°．DACBO考点二与圆心角、圆周角有关的计算

2．如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D＝32°，则∠OAC等于（）．

A．64°

B．58°

C．72°

D．55°

解析：方法

2：如图，连接

AB，则∠B＝∠D＝32°，DACBO

∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，

∴∠B＋∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝58°．

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB＝58°．考点二与圆心角、圆周角有关的计算

2．如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D＝32°，则∠OAC等于（）．

A．64°

B．58°

C．72°

D．55°

解析：方法

3：如图，延长

AO交⊙O于点

E．DACBOBE

∵∠D＝32°，∴

所对的圆心角为

64°，

∵AE为⊙O的直径，

∴

所对的圆心角为180°，

∴

所对的圆心角为116°，

∴∠OAC＝58°．考点三切线的性质和判定

例4

小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅的直径（锅沿所形成的圆的直径），而小红家只有一把长为

20

cm的直尺，怎么办呢？小红想了想，采取了以下办法：如图，首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得

MA的长，即可求出锅的直径，请你说明她这样做的理由．AMB考点三切线的性质和判定

解：假设圆心为O，如图，连接

OA，OB．

∵MA，MB与⊙O分别相切于点

A，B，

∴∠OAM＝∠OBM＝90°．又∵∠BMA＝90°，OA＝OB，

∴四边形

AOBM为正方形．

∴先量得

MA的长，再乘

2就是锅的直径．AMBO切线在现实生活中是大量存在的，运用切线的性质解决实际问题时，关键是作出过切点的半径，从而构造出直角三角形、正方形等，进而结合相关知识解决问题．考点三切线的性质和判定

例5

如图，在

Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交

BC于点

D，以

D为圆心，DB的长为半径作

⊙D．

求证：AC与

⊙D相切．

证明：如图，过点

D作DF⊥AC于点

F．ACBD

∵∠B＝90°，

∴DB⊥AB．

∵AD平分∠BAC，

∴BD＝DF，

∴AC与⊙D相切．F考点三切线的性质和判定证明一条直线是圆的切线的方法（1）当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；（2）当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．考点三切线的性质和判定

3．如图，AB是⊙O的直径，点

C，D在圆上，且四边形

AOCD是平行四边形，过点

D作

⊙O的切线，分别交

OA延长线与

OC延长线于点

E，F，连接

BF．

（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）已知圆的半径为

1，求

EF的长．

解：（1）连接OD．∵四边形AOCD是平行四边形，∴AD∥OC．∴∠FOB＝∠DAO，∠FOD＝∠ODA．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠FOB＝∠FOD．又∵OB＝OD，OF＝OF，∴△FOB≌△FOD，∴∠FBO＝∠FDO．∵EF是⊙O的切线，∴∠FDO＝90°，∴∠FBO＝∠FDO＝90°．∵OB是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线；考点三切线的性质和判定

∵∠EDO＝90°，∠DOA＝60°，∴∠FEB＝30°，∴EF＝2BF＝2．

解：（2）∵OA＝OC，四边形AOCD是平行四边形，∴▱AOCD是菱形．∴AD＝AO＝OD，∴∠DAO＝∠DOA＝60°，∴∠FOB＝60°．在Rt△OBF

中，∵OB＝1，∠FBO＝90°，∠BFO＝30°，∴OF＝2OB＝2，∴BF＝＝＝．考点三切线的性质和判定考点四正多边形和圆

例6已知圆的半径是2

，则该圆的内接正六边形的面积是（）．A．3

B．9

C．18

D．36

解析：如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF，⊙O的半径为2．

连接OA，OB，过点O作OG⊥AB，垂足为点G．

∵OA＝OB＝2

，∠AOB＝

＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB＝2．GOFEDCABC

∵OG⊥AB，∴AG＝

AB＝

．在

Rt△AOG中，根据勾股定理，得考点四正多边形和圆GOFEDCAB

OG＝

＝3，

∴S△AOB＝

AB·OG＝×2×3＝3．

∴S正六边形ABCDEF＝6S△AOB＝6×3＝18．考点四正多边形和圆

在进行正多边形的有关计算时，关键要明确正多边形的边长、半径、边心距之间的关系及正多边形的内角和中心角的求法．往往将正n

边形的一边与圆的半径组成一个等腰三角形，再过圆心作该边的垂线，从而得到两个全等的直角三角形，最后应用勾股定理解决问题．考点四正多边形和圆

4．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）．

A．1

B．C．2

D．2

解析：如图，由正六边形的性质，知△AOB为等边三角形，

∴OA＝OB＝AB＝2，AC＝1，由勾股定理，得内切圆半径

OC＝．B

解析：连接

BC．考点五与圆有关的计算

例7

如图，从一块直径为

24

cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为

90°的扇形

ABC，使点

A，B，C在圆周上，则剪下的扇形的弧长是________cm（结果保留

π）．ACBO

∵∠BAC＝90°，

∴BC是直径．

∵AB＝AC，BC＝24

cm，

∴AB＝AC＝12

cm，

∴

的长＝

＝6

π

cm．6

π考点五与圆有关的计算

例8

如图，AB是半圆

O的直径，C，D是半圆

O的三等分点，若弦

CD＝2，则图中阴影部分的面积为________．

解析：如图，连接

OC，OD，BD．

∵C，D是半圆

O的三等分点，

∴∠1＝∠2＝∠3＝60°．

∴△OCD与△OBD都是等边三角形，∴∠4＝60°，OB＝CD＝2．

∵∠3＝∠4＝60°，∴CD∥AB，∴S△OBD＝S△OCD＝S△BCD，

∴S阴影＝S△BCD＋S弓形＝S△OBD＋S弓形＝S扇形OBD＝

＝

π．ODCAB3214

π考点五与圆有关的计算与圆有关的计算问题包括圆的面积和周长、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积等．求弧长及扇形面积时，一要准确记忆相关公式；二要会合理转化图形，即化立体图形为平面图形，化不规则图形为规则图形．考点五与圆有关的计算

5．如图，分别以五边形

ABCDE的顶点为圆心，1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（）．A．π

B．3π

C．π

D．2π

解析：∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝