《动态规划步骤》课件

动态规划步骤动态规划是一种解决优化问题的方法，它通过将问题分解成子问题，并存储子问题的解来避免重复计算。什么是动态规划分解问题将复杂问题分解成多个子问题。存储结果存储子问题的解，避免重复计算。逐步求解通过子问题的解逐步求解原问题。动态规划的基本原理最优子结构问题的最优解包含其子问题的最优解。问题可分解成更小的子问题，子问题的解可用于构建整体问题的解。重叠子问题在解决问题的过程中，会遇到相同的子问题多次。动态规划通过存储子问题的解来避免重复计算，提高效率。动态规划的适用场景最优化问题寻找最优解，例如最短路径、最大效益、最小成本等。组合问题从多个选项中选择最佳组合，例如背包问题、硬币找零问题等。决策问题在不同阶段做出最佳决策，例如游戏策略、资源分配等。动态规划的核心概念1最优子结构问题最优解包含其子问题的最优解。2重叠子问题多个子问题重复计算，导致效率低下。3动态规划方法通过存储子问题的解，避免重复计算。4递推关系子问题的解之间存在递推关系。确定问题的状态动态规划问题，本质上是将问题分解成一系列子问题。子问题的解法可以用于解决更大的问题。1状态问题的子问题2状态空间所有子问题的集合3状态转移子问题之间的关系要解决一个动态规划问题，首先需要确定问题的状态。状态表示的是子问题的定义，它是解决问题的基础。确定问题的基础情况1最小的子问题动态规划的核心思想是从最小的子问题开始逐步解决整个问题.2子问题的解对于最小的子问题，我们可以直接计算出它们的解.3明确边界这些基础情况就像是动态规划问题的起点，为后续的递推提供基础.建立递推公式1状态定义明确问题状态的定义2边界条件设置递推公式的初始值3递推关系描述状态之间的关系递推公式的关键在于找到当前状态和先前状态之间的关系。递推公式可以帮助我们以递归的方式计算每个状态的值。计算子问题的最优解自底向上从最小的子问题开始计算，逐步向上计算更大的子问题，直到计算出最终的解。存储结果将每个子问题的最优解存储在一个表格或数组中，避免重复计算。递推关系利用子问题之间的递推关系，通过已知的子问题解来计算新的子问题解。通过子问题解决原问题合并子问题将所有子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。动态规划表可以使用动态规划表来存储所有子问题的解，并根据状态转移方程逐步计算得出最终结果。最终结果通过合并所有子问题的最优解，最终获得原问题的最优解。几种常见的动态规划问题最长公共子序列问题寻找两个字符串中最长的公共子序列，例如"abcde"和"ace"的最长公共子序列为"ace"。最短路径问题在一个图中找到从起点到终点的最短路径，例如在地图中寻找两个地点之间的最短路线。背包问题给定一些物品，每个物品有重量和价值，在背包容量限制下，选择物品使得总价值最大化。硬币找零问题给定一些面值的硬币和一个目标金额，求最少使用多少个硬币来凑成目标金额。最长公共子序列问题问题描述给定两个字符串，找出它们的最长公共子序列。子序列的定义子序列是指一个字符串中按照顺序排列的字符组成的序列，可以不连续。应用场景例如，DNA序列比对、文本编辑器中的撤销操作、文件差异比较等。动态规划解法利用动态规划可以有效解决最长公共子序列问题。最短路径问题1寻找路径最短路径问题是找出图中两个节点之间最短路径的问题。2应用广泛广泛应用于导航、交通规划、网络路由等领域。3解决方法常用的解决方法包括Dijkstra算法和A*搜索算法。4示例例如，在导航地图中，寻找最佳路线就是最短路径问题。背包问题背包问题概述背包问题是一种经典的优化问题，旨在找到将一组物品放入容量有限的背包中的最佳方法，以最大化背包中物品的价值。背包问题分类背包问题主要分为两种类型:0/1背包问题和分数背包问题。在0/1背包问题中，每件物品只能选择放入或不放入背包，而在分数背包问题中，可以部分放入物品。硬币找零问题目标找出最少的硬币数量来凑成目标金额。约束可以使用不同面值的硬币，但每个硬币只能使用一次。策略使用动态规划来找到最优解，通过计算子问题的最优解来解决原问题。动态规划问题的一般步骤1分析问题理解问题要求，识别问题结构。2定义子问题将问题分解为更小的、相互独立的子问题。3状态转移方程建立子问题之间关系的递推公式。4计算解的过程从基础情况开始，逐步计算子问题的最优解。5优化解的效率通过备忘录技术或其他方法优化计算过程。第一步:分析问题动态规划是一种解决问题的方法，将复杂问题分解成子问题，并利用子问题的解来求解原问题。1理解问题准确理解问题的目标和约束条件。2识别子问题将原问题分解成更小的、相互关联的子问题。3确定状态定义子问题的状态，并找出状态之间的关系。通过分析问题，我们可以更好地理解问题的本质，并为接下来的步骤打下基础。第二步:定义子问题1将问题分解将原问题分解成多个子问题2子问题互不重叠子问题之间互相独立3子问题具有最优子结构原问题的最优解由子问题的最优解构成定义子问题是动态规划的核心步骤，它将复杂问题分解成更小的、更容易解决的子问题。第三步:建立状态转移方程状态转移方程的核心描述了当前状态的最优解是如何基于前一个状态的最优解得到的。状态转移方程的作用明确了子问题之间的依赖关系，为动态规划算法提供了递推公式。建立状态转移方程的步骤仔细分析问题，找到当前状态和前一个状态之间的关系，并根据这种关系建立递推公式。第四步:计算解的过程1初始化初始化状态矩阵或数组。2递推计算根据状态转移方程，自底向上逐步计算每个子问题的最优解。3最终解最终解即为最后一个子问题的最优解。此步骤涉及将子问题的结果存储到一个状态矩阵或数组中，并根据递推关系，通过一系列的计算，从最小的子问题开始逐步推导出最终问题的最优解。第五步:优化解的效率1减少重复计算动态规划中，许多子问题会被重复计算，浪费时间和资源。2空间优化可以尝试使用滚动数组或其他技巧，减少存储空间。3算法复杂度最终目标是降低算法复杂度，提升运行效率。实现动态规划的常用技巧使用数组存储子问题的解用数组保存已经计算过的子问题的解，避免重复计算。例如，在计算斐波那契数列时，可以将每个斐波那契数保存到数组中，以便后续需要时直接访问。从小到大地计算子问题从最小的子问题开始计算，并逐步递推到更大的子问题，可以保证在计算每个子问题时，其所依赖的子问题已经计算完成。利用备忘录技术备忘录技术可以帮助我们有效地减少重复计算。它使用一个字典或哈希表来存储已经计算过的子问题的解，当遇到相同子问题时，可以直接从备忘录中获取结果。剪枝优化计算过程通过分析问题特点，可以对搜索空间进行剪枝，减少无效计算。例如，在背包问题中，可以根据物品的价值和重量，提前剪枝一些不可能出现在最优解中的物品组合。使用数组存储子问题的解优化性能使用数组存储子问题的解可以避免重复计算，从而显著提高动态规划算法的效率。高效访问数组的随机访问特性允许快速检索和更新子问题的结果，简化了算法的实现。代码组织使用数组可以清晰地组织和管理子问题的结果，使代码更易于理解和维护。从小到大地计算子问题递推关系动态规划算法通常依赖于子问题的递推关系，从最小的子问题开始计算，逐步解决更大的子问题。避免重复计算通过从小到大计算子问题，可以确保在计算某个子问题时，其所有依赖的子问题都已经被计算过，避免重复计算。高效存储由于从小到大地计算，可以将子问题的解存储在一个数组或表格中，方便后续使用。利用备忘录技术避免重复计算备忘录技术使用一个数据结构，例如哈希表或数组，存储已计算过的子问题的解。当遇到重复的子问题时，直接从备忘录中读取结果，避免重新计算。提高效率备忘录技术可以显著提高动态规划算法的效率，特别是在存在大量重复子问题的情况下。它可以将算法的时间复杂度从指数级降低到多项式级。剪枝优化计算过程避免重复计算动态规划中，许多子问题可能被重复计算多次，剪枝可以避免这种重复。减少时间复杂度剪枝通过消除重复计算，有效地降低算法的时间复杂度。提高算法效率通过优化计算过程，剪枝可以显著提升动态规划算法的性能。动态规划的典型应用案例斐波那契数列动态规划可以有效地计算斐波那契数列的第n项，避免重复计算。最长上升子序列动态规划可以找到给定序列的最长上升子序列，并确定其长度。编辑距离动态规划可以计算两个字符串之间的编辑距离，用于文本相似度比较。斐波那契数列公式定义斐波那契数列的每个数字都是前两个数字的总和，以0和1开始。自然现象斐波那契数列在自然界中广泛存在，例如松果的螺旋排列、向日葵的种子排列等。应用场景斐波那契数列在计算机科学、数学等领域都有广泛应用，例如算法设计、数据结构等。最长上升子序列1定义在一个给定的数字序列中，找出最长的递增子序列。2应用在数据分析、生物信息学、金融建模等领域都有广泛的应用。3例子例如，在序列[1,3,2,4,5]中，最长的上升子序列为[1,2,4,5]。4挑战找出最长的上升子序列需要考虑所有可能的子序列组合，这可能是一个很复杂的计算过程。编辑距离字符串相似性编辑距离是衡量两个字符串之间差异的度