高考数学专项复习：构造函数以及切线（解析版）

专题2・4构造函数以及切线归类

目录

题型01切线求参.................................................................................1

题型02求“过点”型切线方程......................................................................3

题型03“过点”切线求参...........................................................................5

题型04“过点”切线条数的判断.....................................................................7

题型05由切线条数求参..........................................................................8

题型06公切线.................................................................................10

题型07特殊构造：累积型构造....................................................................12

题型08特殊构造：暴商型构造....................................................................15

题型09特殊构造：ex的积型构造..................................................................16

题型10特殊构造：ex的商型构造..................................................................18

题型11特殊构造：对数型构造....................................................................21

题型12特殊构造：正弦型构造....................................................................23

题型13特殊构造：余弦型构造....................................................................26

题型14复合型构造.............................................................................28

高考练场.......................................................................................30

热点题型归纳

题型01切线求参

【解题攻略】

求曲线y=/u)在点P(xo,黄xo))处的切线方程:

⑴求出函数y=/(x)在点％=xo处的导数，即曲线y=/(x)在点尸(出,兀加))处切线的斜率.

(2)切线方程为：y=yo+f(xo)(x—xo).

1、设切点(或者给出了切点)：P(xg,yo)

2、yo=fixo)

3、y=f(x)=>k=f(xo)

4、切线方程：y-yo=k(x—xo)

【典例1-1】（2023春・重庆•高二校联考期中）若函数的图象在侬/⑷）处的切线与直线

尤+5y-5=0垂直，贝！I”的值为（）

A.1B.2或gC.2D.1或g

【答案】B

【分析】由两线垂直可知（。"（。））处切线的斜率为5,利用导数的几何意义有­（。）=5,即可求。的值.

【详解】由题意知：直线x+5y-5=0的斜率为一，则在伍/⑷）处切线的斜率为5,

29

又・.・/，（%）=2%+—,gpf（a）=2a+-=5,

xa

2a2—5a+2=0,解得a=2或；，故选：B.

【典例1-2】（山东省烟台市2021-2022学年高三数学试题）已知曲线>=/在点（0,1）处的切线与曲线

、=办2+3尤+3（。40）只有一个公共点，则实数。的值为（）

A.—B.1C.2D.—

22

【答案】A

【分析】先求出y=e'导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由切线与曲线y=ax2+3x+3只有一个公

共点，进而联立得到。的值.

【详解】>=靖的导数y'=e"曲线y=e，在无=0处切线斜率％=/=1,则曲线y=e，在x=0处切线方程为

y-l=无，即y=x+l由于切线与曲线y=^+3x+3只有一个公共点，

\y=x+l1

联立，。。，得加+2x+2=0即A=32-4xax3=0解得。=彳故选:A.

［y=ax+3x+32

【变式1-1］（河南省郑州市2021-2022学年高三考试数学（理科）试题）若曲线

>=（尤—3）（尤-1）x（尤+1）（尤+2）+41n（3x+l）］-41n4在点（1,0）处的切线与直线x=ay+2平行，则

【答案】］

【分析】令g（x）=（x—3）（无一1）x（尤+1）（尤+2）,利用导数的几何意义得出。的值.

【详解】令g（x）=（x-3）（%-1）x（%+1）（%+2）,

则g'(%)=(%一l)[(x一3)冗(x+l)(x+2)]+[(x-3)x(x+l)(x+2)](x-1)

所以，(1)=(1—3)(1+1)(1+2)=—12,g⑴=0

1212

y=g\x)+-~,当％=i时，y=^^(1)+---=-12+3=-9

3x+l3+1

又该函数在点(l,o)处的切线与直线x=-+2平行，所以工=-9,4=-《故答案为：

a99

【变式1-2](河南省许昌市2021-2022学年高三数学文科试题)已知曲线=谢，+lnx在点。"⑴)处

的切线方程为y=3x-"则〃.

【答案】2+e-1

【分析】根据导数的几何意义可得广⑴=3,根据切点坐标可得/(1)=3-6,列方程求解.

【详解】/(x)=axev+lnx,贝1]/(耳=々@+1)1+工

X

：“X)在点(L/⑴)处的切线方程为y=3x-6

•••可得f(1)=oe=3_女尸(1)=2oe+1=3,解得a=e-*=2则a+z,=2+e-1故答案为：2+e-1.

【变式1-3】已知函数〃x)=2xlnx-〃比，函数g(x)=qi(”>0且分1)的图象过定点A,若曲线y=

在x=l处的切线经过点A,则实数加的值为.

【答案】1##0.5

【分析】先求出g(x)=a-2(。>0且所经过的定点A的坐标，然后根据导数的几何意义求出在

x=l处的切线方程，最后把点A的坐标代入切线方程，即可得加值.

【详解】函数g(x)=a"2">0且"1)的图象恒过点4(2,1),

因为/'(x)=21nx+2-根，

则“X)在x=l处的切线的斜率为/")=2-祖，又=

所以切线方程为y+"/=(2-加)口-1),因为切线经过点A(2,l),

所以1+机=(2-〃*2-1),解得机=：.故答案为：!

22

题型02求“过点”型切线方程

【解题攻略】

1、设切点(或者给出了切点)：P(XO,yo)

2、yo=fixo)

3、尸了(尤)nk=f(xo)

4、切线方程：y-yo=k(x—xo)

5、过(。力)，代入y-yo=Hx—xo),得6-%=左(。一瓦)二>尤0

【典例1-1】(2023下•上海嘉定•高三上海市嘉定区第一中学校考)已知曲线/(力=2/—3x,过点(0,0)作

曲线的切线，则切线方程.

【答案】y=-3x

【分析】设切点坐标为(x0,2片-3%),求出切线方程，代入点(0,0)求出％,从而可得切线方程.

【详解】设切点坐标为(天,2片-3%)，由“*=2三一3了，得尸(不)=6片一3,

所以曲线/(x)在点(%,2片-3%)处的切线方程为y-(2•一3%)=(6片-3)(x-x0).

因为切线过点(。,0),所以-2片+3%=(6%；-3)(-/)，解得x0=0.

所以切线方程为＞=-3x.故答案为:y=-3x.

【典例1-2](2023下•上海浦东新•高三上海市实验学校校考开学考试)已知曲线/(司=2J一3天，过点

M(0,32)作曲线的切线，则切线的方程为.

【答案】21x-y+32=0

【分析】设切点坐标为N(x。,2舅-3%),根据切线所过的点得到％的方程，解出％后可得所求的切线方程.

【详解】设切点坐标为N(X0,2X：-3XO),尸(尤)=6x?—3,则切线的斜率左=/8。)=6需一3,

故切线方程为丁=(6君-3)x+32,又因为点N(x0,2君-3%)在切线上，所以2只-3%=(6尺-3)%+32,整

理得到片=-8,

解得须=-2,所以切线方程为y=21x+32.故答案为：2卜-＞+32=0.

【变式1-1])(云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学(理)试题)函数/Q)=e2'过原点

的切线方程是.

【答案】2ex-y=0.

【分析】设切点为(为32乐)，根据导数的几何意义求出函数切点为(%,的切线方程，再根据切线过原点

求出％,即可得解.

【详解】解：设切点为(飞工2%)，/V)=2e2\则/(x°)=2e2*,,故切点为(七,e?』)的切线方程为

22

y-e^=2e^(x-x0),

又因此切线过原点，所以-e?*。=_2x°e2%,解得所以函数/(x)=e2x过原点的切线方程是

y-e=2e(x-g),即2ex-y=0.故答案为：2ex-y=0.

【变式1-2](2023春•河北邢台・高三统考)过点(1,0)作曲线y=ei的切线，则该切线的斜率为()

A.1B.e-C.eD.e+1

【答案】C

【分析】设切点为(毛,%),然后表示出切线方程，再将。,0)代入可求出％,然后将七代入导函数中可求得

结果.

【详解】设切点为(方,%),由〉=二一|,得y'=e、i

所以切线方程为y—%=y'(x—$),即y-e5=e^(x-^),

将(1,0)代入得—e&T=e&T(l-x0),解得4=2,

所以切线的斜率为e2—=e.故选：C

【变式1-3]((天津市北京师范大学天津附属中学2022-2023学年高三线上检测数学试题))过点尸(0,-e)

作曲线＞=xlnx的切线，则切线方程是.

【答案】y=2x-e

【分析】求解导函数，设切点坐标，求解/'(x0),从而设出切线方程，代入点尸(0,-e)计算，即可求出答案.

【详解】函数定义域为(0,+s),f,(x)=lnx+l,

设切点为(x(),XolnXo),,

所以切线方程为=(ln%+1)(%-/),

代入P(0,-e),得-e-/In%=(in%+1)(0—玄),

解得：％=e,所以切线方程为V-e=2(x-e),

整理得：y=2x-e.故答案为：y=2x-e

题型03“过点”切线求参

【典例1-1］（2023上•辽宁锦州•高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知曲线y=x+lnx过点（0,-1）处

的切线与曲线y=a^+（a+2）x+l相切，贝1］。=

【答案】8

【分析】设切点（%,尤°+lnx。），并应用导数几何意义求可得切线为y+l=（l+'）x,将切点代入求得％=1得

%0

切线方程，再由切线与曲线y=ox2+g+2）x+l相切，讨论参数小联立方程有A=0求参数.

【详解】设过点（0T）处的切线在曲线>=》+比无上的切点为（无。,天+山天），

而；/=1+L故切线斜率为&=1+',所以切线方程为y+l=（l+,）x,故Xo+lnxo+l=（l+'）尤。,

xXoXoXo

所以不=1,故切线方程为y=2x-l,又切线与曲线丁=加+（。+2）尤+1相切，

联立方程，得ox?+6+2=0有且仅有一个解，

当。=0时上述方程无解；当。彳0时，A=a2-8a=0,可得a=8.综上，a=8.故答案为：8

【典例1-2】（2023下•吉林长春・高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数/（x）=eG（a>0）,过点A（a,O）

作与y轴平行的直线交函数/（X）的图象于点P,过点尸作了（X）的切线交X轴于点8,则△4PB面积的最小

值______.

【答案】且

2

【分析】求出了（尤）的导数，令x=a,求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程,

令y=0,可得8的坐标，再由三角形的面积公式可得AABP面积S,求出导数，利用导数求最值，即可得到

所求值.

【详解】函/（x）=eRa>0）的导数为/。）=如产，

由题意可令无=。，解得y=e/,可得尸（。』），

即有切线的斜率为左=ae/，切线的方程为=cefl2（x-a）,

令k0,可得x=-』+a,BPB|--+a,0|,

a\a）

在直角三角形PAB中，=|AP|=ea\

1112

则"BP面积为Sg)=^A即=，(a>0),

S0)=g/2am：+2

S'(a)<0,S（a）单调递减;S'(a)>0,S(a)单调递增,

即有a=正处S取得极小值，且为最小值叵.故答案为：叵.

222

【变式1-1］（2023•河北保定•统考二模）已知函数/（x）=alnx（a>0）,过点/且平行于x轴的直线与

曲线c：y=/（x）的交点为N,曲线c过点N的切线交y轴于点尸，则面积的最小值为（）

A.1B.-C.—D.且

242

【答案】D

【分析】由已知求得N点坐标，利用导数求出过N点的切线方程，再求出P点坐标，写出三角形MNP的面

积，再由导数求最值得答案.

【详解】把yj弋入,可得＞加,*=

则N（e/，）,

1

由/(%)=，lnx,得尸(%)=@,贝1」-(学2)=丹,

X

1a占

曲线。过点N的切线方程为丁一1二W5-^）,取％=0,得尸(0,----a).

a

1-y

SMNP=]〃,/•

i1i11-i-|12,

]—

g[a^=—a-ea2则g，(a)=—e02+(--)-err=ea2(―--)=e1•；.

则g[a）=。，可得“=应或。=一0（舍），

.,.ae（0,@时，g,（a）＜0,函数g（a）单调递减,ae（五,+ao）时，g'（a）＞0,函数g（a）单调递增,

二当a=应时，g（a-g（6）=浮.故选：D.

【变式1-2]（2023上•贵州贵阳•高三贵阳一中校考阶段练习）已知曲线y=xe"过点（3,0）作该曲线的两

条切线，切点分别为（外,%）,（%,%）,则为+々=（）

A.-3B.—y/3C.y/3D.3

【答案】D

【分析】求得切线方程为y-x°e厢=（%0+1）6^（%-%0）,根据题意，转化为关于%的方程-年+3/+3=0有两

个不同的解不，%,结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】由函数y=xe"可得y'=（x+l）e*,

设切点坐标为（品,尤产。），所以y'L』=（%+l）e-，

所以切线方程为y-5e*=（%+l）e"（无-5）,

所以一/2”=（毛+1/均（3-/）,即（一考+3、+3卜M=0,

因为过点（3,0）作该曲线的两条切线，

所以关于%的方程（-需+3/+3）3=0有两个不同的解占,马,

即关于％的方程-x：+3x（,+3=0有两个不同的解为,工，所以网+%=3.故选：D.

【变式1-3].直线V=履是曲线y=x+lnx的切线，则左=.

【答案】1+-

e

【分析】设切点坐标为（，J+lnt）,利用导数写出切线的方程，与直线方程卫=履对比，可出关于人七的方

程，解之即可.

【详解】设切点坐标为（，J+ln。，其中f＞0,对函数y=x+lnx求导得了=1+!，

X

所以，切线斜率为左=1+；,所以，曲线y=x+lnx在x=/处的切线方程为yT-lnf=（l+W（xT）,即

（左=1+1，=e

y=1+-%+山”1,所以，t,解得711.故答案为：1+L

It）11ck=l+-e

题型04“过点”切线条数的判断

【解题攻略】

”过点型“切线条数判断:

1.有几个切点横坐标，就有几条切线。

2.切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。

【典例1-1】•（湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学试题）己知/（x）=+（々-2）--3x是

奇函数，则过点尸（7,2）向曲线y=/（x）可作的切线条数是（）

A.1B.2C.3D.不确定

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出。，再求出函数f（x）的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求

解作答.

【详解】因函数人处是奇函数，则由/（-x）+f（x）=0得2（a-2）f=o恒成立，则。=2,

即有/（x）=2/-3x,f\x）=6%2-3,

设过点尸（T,2）向曲线y=/（X）所作切线与曲线y=/（X）相切的切点为。（%,24-3x0）,

而点尸（一1,2）不在曲线y=/（元）上，则6%-3=2石-3x一2,整理得4石+6君-1=0,

无o+l

即（2%+1）（2君+2%-1）=0,解得不=［或无。=土走，即符合条件的切点有3个，

所以过点P（-l,2）向曲线y=/（X）可作的切线条数是3.故选：C

【典例1-2】已知曲线S:y=3x-d,则过点尸（2,2）可向S引切线，其切线条数为（）

A.1B.2C.3D.0

【答案】C

【分析】设切点为«,3/-户），利用导数求出曲线S在切点。,3/处的切线方程，再将点尸的坐标代入切线

方程，可得出关于f的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求.

【详解】设在曲线S上的切点为卜9-户），,y=3x-x3,则y=3-3d,

所以，曲线S在点«,3"打处的切线方程为y-⑶一可=（3_3/乂XT）,

将点尸（2,2）的坐标代入切线方程得/_3产+2=0,即t-D（产一2/—2）=0,解得％=1,q=1+6，4=1一⑺・

因此，过点P（2,2）可向S引切线，有三条.故选：C.

【变式1-1】（湖南省长沙市长郡中学2021届高三第一次暑假作业检测数学试题）已知函数/a）=lnx+2x,

过点（2,5）可作曲线3；=/（尤）切线的条数为

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义及切线所过点求出切点个数，从而可得答案.

1In777+2帆一52

【详解】设切点为（％lnm+2的,所以％,尸（m）=±+2=m〃,整理得ln〃2+*—2=O,（加>0）；

mm—2m

217m-2

令gO）=ln根+——2,由/（»=--------=一］=。，得根=2,当机>2时，g'O）>0,gO）为单调递增函

mmmm

数；

当0<m<2时，gO）<0,g（m）为单调递减函数；所以g（㈤Ng（2）=1口2-1；

又g（2）=ln2—IvO,^（e2）=lne2+—-2=—>0,g⑴=0

ee

所以g（加）=0有两个不同的根，即切线的条数为2,故选：C.

【变式1-2](2021-2022学年广东省东莞市高三数学A卷)已知函数/(力=-/+6/—9x+8,则过点(0,

0)可作曲线y=〃x)的切线的条数为()

A.3B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】分析可得(0,0)不是切点，设切点尸-石+6焦-9%+8),根据导数的几何意义，求得切线的斜

率氏，根据点尸和点(。,0)坐标，可求得切线斜率比联立即可得答案.

【详解】•••点(0,0)不在函数y=的图象上，.••点(0,0)不是切点，设切点为尸(%,-£+6*-9%+8)

(%w0),

由/(%)=—/+6d—9x+8,可得/*'(x)=—3Y+12%—9,贝ij切线的斜率k==—3%；+12/一9,

+12%—9=一4+6匹一9%+8,解得%=_]或%=2,故切线有2条.故选:D.

【变式1-3](北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020学年高三年级考试数学试题)己知过点

尸(L0)且与曲线y=V相切的直线的条数有()条.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】设出切点的坐标，然后根据导数的几何意义求出曲线>=丁的切线，根据切线过点尸(1,0),结合关

于切点横坐标的方程解的个数进行求解即可.

【详解】设曲线y=/的切点的坐标为(如毛3),由=3/,

因此该曲线切线的斜率为％=3%2,

32

所以该曲线切线的方程为：y-x0=3x0(x-x0))该切线过点P(L0),

3

3232

所以有O-xo=3X0(1-X0)=>2X0-3X0=0,解得毛=。或％/，

因此过点Pd,0)且与曲线y=d相切的直线的条数有2条.故选：C

题型05由切线条数求参

【典例1-D若过点尸(II)可作出曲线>=尤3的三条切线，则实数f的取值范围是

【答案】(0,1)

【分析】根据函数切线的求解方法，设切点求切线方程，代入点P,根据方程与函数的关系，将问题转化

为两个函数求交点问题，利用导数，作图，可得答案.

【详解】由已知，曲线y即令/(x)=v,则广(尤)=3f,

设切点为(看,甯)，切线方程的斜率为尸(%)=3/2,

3232

所以切线方程为：^-%0=3X0(X-X0),将点尸(1J)代入方程得：r-x0=3%0(l-x0),整理得/=3嫣_2无；，

设函数g(x)=3元2一2/，过点尸(1J)可作出曲线>的三条切线，

可知两个函数图像'=与g(x)=3Y-2/有三个不同的交点，

又因为g'(x)=6x-6x2=6x(1-x),由g'(x)=0,可得x=0或x=l,

则当x<0或x>l时，g'(x)<0；当0<x<l时，g'(x)>0,

所以函数g。)在(-8,0),(1,y)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

所以函数g。)的极大值为g⑴=3-2=1,函数g(x)的极小值为g(0)=0-0=0,

当fe(O,l)时，两个函数图像有三个不同的交点.故

【典例1-2](福建省福州华侨中学2023届高三上学期第二次考试数学试题)若曲线y=(x-a)e”有两条过

坐标原点的切线，则。的取值范围为.

【答案】a<0或a>4.

【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义得到―=(毛-。+1)寸，再根据曲线y=(x-a)e£有两

条过坐标原点的切线得到方程*-%+。=。有两个解，让△>(),解不等式即可.

【详解】由y=(x-a)e-r得y'=(x-o+l)e*,设切点坐标为-。人而)，则(％=(3_q+l)e莅,

整理得X：-讣。+a=0,因为曲线y=a-a)e*有两条过坐标原点的切线，所以方程片-ax0+a=0有两个解，

feA=a2-4a>0,解得a<0或。>4.故答案为：。<0或。>4.

【变式1-1]过点尸(l,a)作曲线y=的切线，若切线有且只有两条，则实数。的取值范围是.

[答案]a<0

【2•析】利用导数几何意义，求得切线方程，根据该方程过点尸，且方程有两个根，再构造函数，利用导

数研究函数的性质，即得.

【详解】因为/(力=才1比，则/'O)=lnx+1,设切点为(尤0,%),/V0)=lnx0+l,

所以切线方程为>-%In%=(In/+l)(x-x0),代入P(l,a),得a-％In%=(Inx0+1)(1-x0),

11_x

即。=111%-飞+1这个关于％的方程有两个解，令gO)=lnx-x+l(x>0),g'{x)=--1=------,

X

故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+®)上单调递减，所以当X=1时，函数g(x)有最大值，g⑴=0,

且无f+co,g(x)->-00,x->0,g(x)f-oo,所以a<0.故答案为：a<0.

【变式1-2】若曲线y=(x+a)e，有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

【答案】(e,T)(0,+s)

【分析】设出切点横坐标％,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于％的方程，

根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】：丁=(苫+。把工，y'=(x+l+a)e',设切点为(M,%),则为=(%+a)e加，切线斜率％=(/+l+a)e*,

切线方程为：y-^x0+a)e°=(%0+1+«)6^[x-x^),

•切线过原点，.二—(天+a)e"=(/+l+a)e"(一/),整理得：Xg+ax0-a=0,

..•切线有两条，；.A=a2+4<7>0,解得<2<-4或。>0.

的取值范围是(口,-4)(0,"),故答案为：(F,-4)(0,+»)

【变式1-3](2023•全国•高三专题练习)已知过点A(”,0)作曲线>=比工的切线有且仅有两条，则实数。的

取值可能为()

A.-2B.-3C.-4D.-5

【答案】D

【分析】设切线切点为(%,尤°e%)，后由切线几何意义可得切线方程，代入(a,0),可得%-ax0-a=0,则

过点A(a,0)作曲线y=xe*的切线有且仅有两条，等价于关于%的方程需-"。-a=0有两个不同实根，即可

得答案.

【详解】设切线切点为(无。,无。叫，因2'=(x+l)e『,

则切线方程为：>=(%0+l)e须(彳-/)+/6须，代入(a,0),

x

得0=(x0+1)e°a-尤;e%,因e&>0,则片-%-a=0.

因过点A(a,O)作曲线y=xe*的切线有且仅有两条，则/-%=0有且仅有两个不等实根，则

/=/+4q>ona>o或〃v-4.则1=-5符合题意.故选：D

题型06公切线

【解题攻略】

交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点(切点)

对函数f(x)与g(x),如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：

讨(%)=/'(%)(尤-X))和y-g(%)=g'(>2)(九一了2)

再令I、；“、(、,‘、，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。

(x)=g(x2)-x2g(x2)

但在这里需要注意41和X2的范围，例如，若/(X)=lnx,则要求％1>0

【典例1-1】已知直线/：>=履+匕是函数〃司=加(。>0)与函数g(x)=e*的公切线，若是直线/与

函数“X)相切的切点，则匕=.

12

【答案】--e2

2

【分析】求出导函数/'(x),g'(x),由『(1)"'⑴得切线方程，=h+〃，设g(无)图象上的切点为(国,％),由

导数几何意义得切线方程，两直线重合求得毛，从而得值.

【详解】f'(x)=2ax,r(l)=2a,又于①=a,

所以切线/的方程为丁-。=2”(尤T),即y=2办一”，

设直线/与g(x)相切的切点为(西，必)，g'(x)=e',

xx

所以切线方程为>一切=e*(x-Xi),即y=e'x+e'(l-x1),

'_3

e*=2。"21-12

所以、，解得3,所以b=-a='e2.故答案为：--e2.

e"(lF=—a1I22

、a=—e2

I2

【典例1-2】(2023春•高三课时练习)已知直线/：x+my+〃=0既是曲线y=lnx的切线，又是曲线y=e>2

的切线，则〃7+〃=()

A.0B.-2C.0或eD.一2或一e

【答案】D

【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为x+my+〃=0,通过等量关系可得

到加，”的取值.

【详解】/(x)=lnX,g(x)=e>2,：.f'(x)=-,g(x)=ex2,设切点分别为M(匕,%),N(x,y),

X22

111

则曲线/(x)=lnx的切线方程为：y-lnxj=-(x-x),化简得，.1丁=111%+—(尤-玉)=—・x+ln^-1,

l%X]

22

曲线g(x)=e-的切线方程为：y-e—=e—(%_々)，化简得，j=e^.x+(l-x2)e^,

x.21

二—1

.J再，故(不一D(ln%—1)=0,解得玉二。或西=1.当西二。，切线方程为％—ey=0,故

22

(l-x2)e'-=10^-1a

m=-e,n=0,故m+n=-e.

当为=1,切线方程为y=x-i,故机="=-1,则根+“=-2.

故加+”的取值为-e或一2.故选：D

【变式1-1](2023•全国•高三专题练习)若直线》=区+万是曲线y=e"+i的切线，也是y=e*+2的切线，则上=

()

A.In2B.-In2C.2D.-2

【答案】C

【分析】设直线>=云+方与尸e，.+2和尸尸的切点分别为(x”e3+2),(无2，e*+)

分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到上的值.

【详解】设直线>=米+6与y=/+2和丁=1.的切点分别为(x”e%+2),小力)，

+1+

则切线方程分别为，y-(e"+2)=e%(x-xj,y-^=^\x-x2),化简得，y=e,x+ef+2-尤村

+1+1

y=-x2e^+e^依题意上述两直线与y=H+b是同一条直线，

)e%i_e"+i

j.."i，解得X]=ln2,所以上=/'=e'n2=2.故选：C.

xX1AX2+,1

e+2-元2七=~x2e+e-

【变式1-2】(2022•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测)曲线y=%+ln龙过点(-2,0)的切线也是曲线

y=e”的切线，则利=；若此公切线恒在函数〃x)=ae1+1-3卜+，1的图象上方，则”的

取值范围是.

2

【答案】-6/<-e2

e

【分析】根据导数的几何意义可求出加；将此公切线恒在函数〃同=3'-尤2+[：-34+，1的图象上方，

转化为"小恒成立，再构造函数g(小『，利用导数求出最小值即可得解.

【详解】由y=m+lnx得y=•!■,

X

设曲线y=〃2+lnx过点(-2,0)的切线的切点为(Xo，Mi+lnXo),

1,1

则切线的斜率为一，切线方程为y-〃2inxo=—(x-x0),

%%

,2,

由于该切线过点(-2,0),所以f-lnx0=——1,

不

设该切线与曲线广^切于(%,%),因为y=e1所以y=e。，所以该切线的斜率为e』,

所以切线方程为y-e”=9(尤-尤J,将以2,0)代入得0-峭ne气一2-%),得看=-1,

112?

所以十户二，所以％=e,所以-机-12-厂,所以机=>

ii12

由以上可知该公切线方程为y-±=±(X+1),即y=L+—,

eeee

若此公切线恒在函数〃同=温_/+[/-31+:-1的图象上方,

则1尤+2>碇工一/+(]__3)尤+2-1,即.<三±至以恒成立,

eeeeex

令g(x)=—I±1,贝I]g'(x)=(2x+3)♦e，-(/+3x+1).e"-x^—x+2

e*

令g'(x)>。，得一炉-x+2>0,得一2<x<l,

令g'(x)<0,得_/_工+2>0,得x<—2或x>l,

所以g(x)在(-应-2)上单调递减，在(-2,1)上单调递增，在。,内)上单调递减，

因为x>0时，g(x)>0,所以当x=—2时，g(x)取得最小值8(-2)=-62.所以0<-62.

【变式1-3】若曲线G：y=/与曲线C2：y=ae、(a>0)存在2条公共切线，则a的值是

【答案】丁

【分析】设公切线在y=f上的切点为(占,无：)，在〉=4/(°>0)上的切点为(尤2，次产)，利用导数的几何意

义求出对应的切线方程，有J'?1整理得色〃=立二1匚，构造函数g(无)=心匚，利用导

3%2x

-2^=ae(l-%2)27e刍e

数研究g(x)的单调性，结合图像即可得出结果.

【详解】设公切线在y=d上的切点为(西,占3),在、=恁*(。>0)上的切点为(马,。9)，

则曲线在切点的切线方程的斜率分别为/=3x；,/=ad,

X1

对应的切线方程分别为=3无：(x-X1)、y-ae也=ae(x-x2),

X2

即y=3尤：x-2尤：、y=ae^x+ae(l-x2),所以3,得有

2

[一2占'=ae(l-x2)x2-l2

则ae*=313(尤2-1)/，整理，得汽ah(.T)：，

227”

设g(x)=^^,贝|g(x)>。，gV)=~(%~T~3)>

exe

令8'(%)>0=1<%<3,令g'(%)<On%<l或%>3,

所以函数g(x)在(1，3)上单调递减，在(-8,1)和(3,+8)上单调递增，

4

因为两条曲线有2条公共切线，所以函数y=五。与y=gQ)图像有两个交点，

4442727

又g⑴=0,^(3)=-,且gQ)>0,如图，所以而。=不，解得〃==.故答案为：—.

e27eee

题型07特殊构造：幕积型构造

【解题攻略】

事函数积形式构造：

1.对于靖(XH/(x)>0(<0)，构造g(x)=x./(x)

2.对于靖(x)+V(x)>0(<0)，构造g(x)=f•/(%)

【典例1-D设定义在(。,+")的函数〃x)的导函数为了'(%),且满足V'(x)+3〃x)>0,则关于x的不等

式g-1)⑶<0的解集为()

A.(3,6)B.(0,3)C.(0,6)D.(6,+8)

【答案】A

【分析】

构造函数g⑺=三〃力，再根据题意分析g(x)的单调性，

再化简「-1]/"-3)-〃3)<0可得8(*-3)<8(3),再利用函数的单调性与定义域求解即可.

解：令8(力=6/'(力