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文档简介

专题03导数的运算及几何意义3种常考题型归类

平均变化率和瞬时变化率

1.(22-23高二下•北京海淀•期末)下列四个函数中,在区间[0,1]上的平均变化率最大的为()

A.y=xB.y=eA

C.y=siwcD.y=—^—

x+1

【答案】B

【分析】

根据平均变化率的计算即可比较大小求解.

【详解】对于A,y=x在[0』上的平均变化率为梏=1,

对于B,y=e”在[0,1]上的平均变化率为芸=e-1,

对于c,y=Sinx在[0,1]上的平均变化率为平式2=sin1,

1—(J

1「■,Jl―1

对于D,y=—1在[0』上的平均变化率为2二1,

X+11-0-2

由于e-1>l>sinl>-1,故y=e,在[0,1]上的平均变化率最大,

故选:B

2.(21-22高二下•北京西城•期末)函数了(力=!在工=2处的瞬时变化率为()

X

A.—2B.—4C.—!D.——

24

【答案】D

【分析】对函数求导,将x=2代入导函数求值即可得瞬时变化率.

【详解】由题设r(x)=-],故((2)=-}

故选:D

3.(21-22高二下•北京房山.期末)已知函数〃无)=2x+l,则1由“2+尸)一八2)的值为()

-Ax

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】直接利用导数的定义求解即可.

[详解]由题意lira〃2+AX)-〃2)=HM[」(2+3+1]-§=?,

Ax——。Ax

故选:A.

4.(21-22高二下•北京丰台•期末)在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于

水面的高度场(单位:m)与起跳后的时间f(单位:s)存在函数关系力⑺=-4.9/+4.8f+ll.该运动

员在/=ls时的瞬时速度(单位:m/s)为()

A.10.9B.-10.9C.5D.-5

【答案】D

【分析】先对函数求导,然后把f=l代入即可求解.

【详解】解:因为以。=一4.9产+43+11,

所以为0)=-9&+4.8,

令t=l,得瞬时速度为-5.

故选:D.

5.(22-23高二下•北京房山•期末)已知函数〃x)=Vr+2,则lim“T十.)-"T=.

【答案】2

【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解.

【详解】因为/(x)=/—x+2,所以广(x)=3--1,则/(一1)=2,

所以1加止3二止D

=〃T)=2,

—Ax

故答案为:2.

InY

6.(21-22局二下•北京丰台•期末)函数/(*)=——在x=l处的瞬时变化率为.

x

【答案】1

【分析】先对函数求导,再利用导数的意义将X=1代入导函数中可求得结果

【详解】因为函数/⑴的图象上各点的瞬时变化率为小),八击千

所以函数/(*)=史在尤=1处的瞬时变化率为

X

故答案为:1

[题型02]导数及其几何意义

7.(22-23高二下・北京•期末)已知曲线y=〃x)在(5,〃5))处的切线方程是丁=-尤+5,则〃5)与

尸⑸分别为()

A.5,-1B.-1,5C.-1,0D.0,-1

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义得到f(5)等于直线的斜率-1,由切点横坐标为5,

得到纵坐标即f(5).

【详解】由题意得f(5)=-5+5=0,f(5)=-1.

故选D.

8.(22-23高二下•北京怀柔・期末)函数/(%)=%+[在%=2处的切线斜率为()

35

A.—3B.—C.—D.5

44

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义可求得所求切线的斜率.

iii3

【详解】因为了(%)=尤+;,贝u-(x)=i-*,所以,r(2)=i--=^.

13

因此,函数"x)=x+q在x=2处的切线斜率为1.

故选:B.

9.(21-22高二下•北京顺义•期末)已知函数y=/(x)的部分图象如图所示,其中

4(4/(再)),5(科/(%)),。(£,/(尤3))为图上三个不同的点,则下列结论正确的是()

A./'(再)>/'(苍)>/'(演)B./'(鼻)>/'(电)>/'(%)

C.广㈤>/㈤"㈤D.-(%)>,(£)>/缶)

【答案】B

【分析】结合函数图形及导数的几何意义判断即可;

【详解】解:由图可知函数在A点的切线斜率小于0,即(包)<0,

在。点的切线斜率等于0,即/(*2)=0,

在C点的切线斜率大于0,即/(毛)>0,

所以广(电)>/'伍)>广(国);

故选:B

10.(22-23高二下.北京东城•期末)如图,曲线y=〃x)在点(2,2)处的切线为直线/,直线/经过

原点0,则/(2)+/(2)=()

MV

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据导数的意义及直线的斜率公式求解即可.

【详解】由题意,"2)=2,且广⑵=~=1,

所以r(2)+〃2)=l+2=3.

故选:C.

11.(21-22高二下•北京通州・期末)已知定义在R上的函数y=/(x)的图象在点(L/⑴)处的切线方

程为x-y-5=0,则/'⑴等于()

A.-5B.-4C.-1D.1

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义即可得解.

【详解】由函数y=/(尤)的图象在点(L/⑴)处的切线方程为尤->-5=0知,

%=1=1⑴,

故选:D

12.(21-22高二下•北京西城•期末)若曲线>=胧"+"在>2处的切线方程为y=(e-l)x+4,则

"=一;b=_.

【答案】2e

【分析】求出函数的导函数,依题意可得了匕2=(1-2)e"-2+b=e-l,且2仁-1)+4=2产2+劝,解

得即可.

【详解】解:因为y=xe"T+bx,所以y'=(l—x)e-+6,

又函数x=2处的切线方程为y=(e-l)x+4,

所以y'L=2=。-2-+b=e-l,且2(e-l)+4=2ea-2+2b,

解得b=e,a=2;

故答案为:2;e.

导数的运算

13.(21-22高二下•北京顺义•期末)设函数/(x)=则(⑴=()

X+1

A.0B.—C.1D.一

44

【答案】B

【分析】求出导函数,直接代入求解.

【详解】因为函数/。)=」二,所以((无)=一厂、,所以八1)=-"

故选:B

14.(22-23高二下・北京西城•期末)设函数f(x)=sinx,则r(兀)=()

A.1B.-1C.0D.Ji

【答案】B

【分析】求出析(%)后可求。(兀).

【详解】/'(x)=COSX,故/(7I)=COS7I=-1,

故选:B.

15.(22-23高二下•北京大兴•期末)设〃x)=(x+l)2,则(⑴=()

A.2B.4

C.6D.8

【答案】B

【分析】根据复合函数求导法则即可得到答案.

【详解】尸(x)=2(x+l)xl=2x+2,贝4/⑴=4,

故选:B.

16.(22-23高二下•北京通州・期末)已知函数〃x)=eT,则的导函数/(%)=()

A.—eB.—eC.eD.e

【答案】A

【分析】根据复合函数求导即可得到答案.

【详解】根据复合函数求导得尸(左)=一片"

故选:A.

17.(22-23高二下・北京海淀・期末)已知函数〃x)=asinx,则的值为()

22

A.0B.兀C.—D.

44

【答案】B

【分析】由基本函数的求导公式以及求导法则求导,即可代入求值.

【详解】/*(X)=2%-sinx+x2cosx,所以兀,

故选:B

18.(22-23高二下•北京房山•期末)函数/(彳)=2工+1在[-1,2]上的平均变化率是()

【答案】C

【分析】根据平均变化率概念直接计算即可.

/⑵-/㈠)22+1-2-'-17

【详解】由题意得平均变化率为

2-(-1)36

故选:C.

19.(22-23高二下•北京西城•期末)记函数的导函数为g(x),则g(x)()

A.是奇函数B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数

【答案】B

【分析】由题可得g(x),后由奇偶函数定义可得答案.

【详解】g(x)=/卜)=一4,则其定义域为(f,0)U(0,+8),

又注意到g(x)=g(-x),则g(x)是偶函数.

故选:B

20.(22-23高二下•北京怀柔・期末)已知函数/a)=sinx+cosxj'(x)为的导函数,则()

A./f(x)=sinx+cosxB./'(x)=sinx—cosx

C./r(x)=-sinx+cosxD.f(x)=-sinx-cosx

【答案】C

【分析】根据导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式,即可得答案.

【详解】由=sinx+cosx可得,/'(x)=cosx-sinx,

故选:C

21.(22-23高二下•北京顺义・期末)下列给出四个求导的运算:①(尤-1)②

IX)X

(ln(2x-l))'=7工;③俨门'=2泥,;@(log24=-^7.其中运算结果正确的个数是()

2x—1、)xln2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据题意,由导数的运算法则以及复合函数的求导运算,即可得到结果.

【详解】①故正确;

Vx)xx

1

②(ln(2x-l))=2x=n~~.>故正确;

2.X-12.X-1

③(x%")'=2xex+x2ex,故错误;

@(log2x/=—,故正确;

xln2

故选:C

22.(22-23高二下.北京密云.期末)已知函数〃尤)=尸(x)是〃x)的导函数,则下列结论

正确的是()

A.VxeR,f(-x)=/(x)B.VxeR,尸(x)<0

c.若0<X]<X2,则玉玉)D.若。<玉<々,则/(玉)+/(%)</(玉+々)

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性概念判断A,根据导函数的符号判断B,利用函数的单调性结合不等式

的性质即可判断C,利用特例法排除选项D.

【详解】对于A,函数定义域为R,/(-》)=与二1=二=-4匚,所以八-尤)=-/(尤),错误;

2-x+l1+2%2'+1

。龙一19?x?In?

对于B,因为〃x)=『=l一―,所以广。)=:;,由ln2>0知1(x)>0,错误;

Z+1Z+1十U

对于C,因为VxeR,((尤)>0,所以〃X)在(f,M)上递增,

x>0时,/(%)>/(0)=0,故对0<%<%,0</(&)</(%),

由不等式的性质可得。(风"%)<&/(9),正确;

2-1122-1332-14

对于D,7(1)=^-^=-/(2)=/(3)=^—

22+1532+15

取玉=1,9=2,则占+3=3,/(x1)+/(x2)=^|,/(x1+x2)=|,

此时,/(^)+/(x,)>/(^+x2),错误.

故选:C

23.(21-22高二下•北京丰台•期末)已知函数/(x)=cosx,则r(J)=()

A.昱B.-且C.1D.--

2222

【答案】D

【分析】直接求导可得.

TT7T1

【详解】因为/'(x)=-sinx,所以/(,=_5皿7=-彳

662

故选:D

24.(21-22高二下•北京西城.期末)已知函数/(x)=sinx+cosx,/⑴为〃%)的导函数,贝!J()

A.f(^)+fr(x)=2sinxB./(^)+/z(x)=2cosx

C./(x)-/r(x)=-2sinxD./(x)-/'(x)=-2cosx

【答案】B

【分析】根据基本初等函数的求导公式结合导数的加法运算法则即可得出答案.

【详解】解:因为/(尤)=sinx+cos九,

所以r(x)=cosx—sinx,

所以/(x)+/'(x)=2cosx,/(%)-尸(x)=2sin光.

故选:B.

25.(21-22高二下・北京大兴.期末)函数〃x)=«在x=l处的导数广⑴等于()

A.—B.­-C.1D.2

22

【答案】B

【分析】对〃x)求导,将1代入川(x)求值即可.

【详解】由:(“=击,故广(1)=(

故选:B

26.(21-22高二下・北京昌平.期末)已知函数/(x)=ln2x,其导函数为/'(x),则-(e)=

【答案】-

e

【分析】利用导数求得正确答案.

【详解】/'(x)=2x:l=l,/1(e)=-.

2xxe

故答案为:—

e

27.(22-23高二下•北京怀柔・期末)设函数/(司=7,贝ij广⑴=.

【答案】0

【分析】由导数的求导法则求解导数,即可代入求解.

【详解】尸(同=子,所以广⑴=0,

故答案为:。

28.(22-23高二下•北京房山•期末)函数/(x)=ln(l—x)+6—l,若/'(-2)=-2,则”

52

【答案】--/-I—

【分析】求出函数"X)的导数,再由给定导数值求出〃值作答.

【详解】函数解x)=ln(l—力+依一1,求导得八尤)=三+。,而尸(—2)=2

即广(一2)=-:+〃=一2,解得八一;,

所以

故答案为:-g

29.(21-22高二下.北京.期末)已知函数〃x)=ln(l—x),则/'(%)=.

【答案】上

x-1

【解析】利用复合函数的求导法则可求得((无).

【详解】f(x)=ln(l-x),因此,尸(X)=,(1)’=1.

故答案为:.

x-1

30.(22-23高二下•北京房山•期末)〃x)=sinx,则/(。)=.

【答案】1

【分析】先求导,再代入计算即可.

【详解】函数/(x)=sin无,则尸(x)=cosx,则,'(0)=cos0=l,

故答案为:1

31.(21-22高二下.北京通州・期末)若函数/⑺在(0,+8)上可导,且满足F(x)-9'(x)>。,则3/⑴

/(3).(填“>”或“=”或“<”)

【答案】>

【分析】构造函数8(尤)=/詈,利用导数法结合/(尤)-9'。)>0判断其单调性,再利用单调性判

断.

【详解】令g(x)=△乃,

X

因为f(x)在(0,+oo)上可导,且满足/(x)-4(x)>0,

所以/(司=才。)了。)<0,

X

所以g(x)在(0,+功上递减,

所以g⑴〉g(3),即牛〉号,

所以3/(1)>/(3).

故答案为:>

优选提升题

32.(22-23高二下・北京大兴•期末)己知函数/(x)=lnx,且/(尤)在x=x0处的瞬时变化率为L

e

①与=;

f(x),O<x<a

②令g(x)=a,若函数g。)的图象与直线y=q有且只有一个公共点,则实数。的取值

—,x>ae

.尤

范围是•

【答案】e(0,e]

【分析】根据导数的概念及于是即可得%的值;分类讨论确定函数g(M的图象,满足其与直线y=2

e

有且只有一个公共点,列不等式即可求得实数。的取值范围.

【详解】因为/(x)=lnx,所以八x)=L

X

__1”、11

由/(X)在彳=尤0处的瞬时变化率为一得/'(%)=—=一,所以Xo=e;

e%oe

Inx,0<%<a

因为g(尤)=4a

—,x>a

①当0<〃《l时,函数g(x)的图象如下图所示:

要使得函数g(x)的图象与直线1有且只有一个公共点,贝I]°丁<1,所以0<。(1;

LO<6Z<1

②当Ivave时,函数g(x)的图象如下图所示:

1<62<e

要使得函数g(x)的图象与直线y=g有且只有一个公共点,则,a,,

eIn6?<—<1

、e

不妨令飘x)=lnx-2,当l<x<e,1=曰>0恒成立,所以〃(乃单调递增,

exeex

即6(x)<〃(e)=0,所以lna<9恒成立,故此时不等式解得l<a<e;

e

③当a=e时,函数g(x)的图象如下图所示:

a-Q

要使得函数g(x)的图象与直线y=人有且只有一个公共点,贝IJ

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