高考数学专项复习：不等式与复数（解析版）

专题1.4不等式与复数

【新高考专用】

题型基础练

题型一不等式性质及其应用

1.（2024.青海西宁.一模）下列命题中，正确的是（）

A.若abH0且a<b,贝壮>工B.若a>b,则标>炉

ab

C.若Q〉b,c>d,则ac>bdD.若则a+c>b+c

【解题思路】利用特殊值法和不等式的性质即可求解.

【解答过程】对于A选项，令a=—1,6=1,则=<；,所以工〉〈不成立，故A错误；

-11ab

对于B选项，令a=—l,b=—2,贝lj（—I/<（―2/，所以。2>匕2不成立，故B错误；

对于C选项，令a=-1,6=—2,c=3,d=1,则（一1）x3<（—2）x1,所以ac>bd不成立，故C错误；

对于D选项，由a>b及不等式的可加性可得a+c>b+c,故D正确.

故选：D.

2.（2024•江苏南通•模拟预测）设x,y为实数，满足3Wxy238,4三日三9,则5的最大值为（）

A.27B.24C.12D.32

【解题思路】根据不等式的基本性质计算即可求解.

【解答过程】由3Wxy2<8,得!4奈<.

又4w±<9,所以16<弓<81,

yyz

所以2X16<--rxX81,即2〈今427,

8xy2y23y4

3

所以v氤的最大值为27.

故选：A.

3.（2024•黑龙江大庆•模拟预测）已知有三个条件：①ac2>be2；②士>-；③小>b2,中能成为a>b的

CC

充分条件的是①.（填序号）

【解题思路】根据充分条件的判定一一分析即可.

【解答过程】①由川2>可知C2>0,即Q>b,故“加2>尻2”是“Q>产的充分条件;

②当c<0时,a<b；

③当QV0,bV0时，满足Q2>£>2,有a<b；

故②、③不是a>b的充分条件.所以能成为、>b”的充分条件的只有①，

故答案为：①.

4.（24-25高一上•河北石家庄•阶段练习）已知实数％y满足一1<x+y<4且2<x-y<3,则久-3y的取

值范围是一[0,7].

【解题思路】由已知条件结合不等式的性质即可求解.

【解答过程】因为实数％y满足一1<x+y<4且2<x-y<3,

设％—3y=m(x+y)+n(x—y),贝“，1+：二g'

得Hi=-1,九=2,故％—3y=—(%+y)+2(%—y),

又因为-4<—(%+y)<1,4<2(%—y)<6,

所以0<一(％+y)+2(%-y)<7.

故答案为：[0,7].

题型二N基本不等式与最值

5.（2024・河北•模拟预测）己知x>l,y>0,且±+'=1,贝i|4x+y的最小值为（）

「15+5V5

A.13D.---------------C.14D.9+V65

2

【解题思路】由4%+y=4(%—1)+y+4=[4(%—1)+y]+4,利用基本不等式即可求.

【解答过程[,**%>1,%—1>0>又y>0,且—+工=1,

x-ly

/1]、y4(%—1)

4x+y=4(%—1)+y+4=[4(%—1)+y](------+-)+4=9-I--------H-------------

>9+2恪.13,

1,1«

------1—=1（_

1）,解得5时等号成立,故4%+y的最小值为13.

（口—-—y-

故选：A.

6.（2024・湖北黄冈•一模）若??1>0,几>0,且3m+2九—1=0,则三+三的最小值为（）

mn

A.20B.12C.16D.25

【解题思路】利用《+合《+，3爪+2办结合基本不等式可求和的最小值.

【解答过程】因为3巾+2n-1=0,所以3巾+2n=l,

所以之+-=(—+-)x1=(—+-)(3m+2n)=9+—+—+4

mnmnmnmn

>13+2p—=13+12=25,

vmxn

当且仅当浮竽即小小屋时取等号,

所以3+之的最小值为25.

mn

故选：D.

7.(2024・上海奉贤•三模)若a+b=1,则ab有最大值为工.

【解题思路】根据基本不等式即可求解.

【解答过程】因为a+b=1,显然当a,b>0时，ab取得最大值，所以a+b=l之

当且仅当a=b时等号成立，所以0<abW；,

4

所以ab有最大值为;.

故答案为：

4

8.(2024・吉林长春•模拟预测)设a,bN0且2a+b+2ab=1,则a+6的最小值为，.

【解题思路】根据已知条件得出(2a+l)(b+1)=2,再应用基本不等式求出最小值即可.

【解答过程】因为2a+b+2ab=l,所以(2a+l)(b+1)=2,

因为a,b20,所以a+b=*2a+l)+(b+l)—|22J](2a+l)(b+1)—|=2-|=%

当且仅当*2a+l)=6+1,即a=，b=0时取等号，所以a+b的最小值为去

故答案为：a

题型三N基本不等式中的恒成立问题

9.(24-25高一上•四川达州•期中)已知a>°」>0,若不等式看^曙恒成立，则实数优的最大值

为()

A.64B.25C.13D.12

【解题思路】将不等式变形为m<(誓)(a+b),利用基本不等式即可得出答案.

【解答过程】Q>o,Z）>0,则a+b>0,

不等式吃<丝詈恒成立，即血<（空誉）（。+力恒成立,

a+bab\ab/

"4a9bcl

（曙）（a+b）=（*）（a+b）=13+A登13+2-------=25,

ba

当且仅当千=?即b=|a时等号成立,

所以425,即实数机的最大值为25.

故选：B.

10.（24-25高一上•安徽池州•期中）已知久>0,y>0,且无+y=5,若士+——22m+1恒成立，则实

/，x+ly+2

数m的取值范围是（）

A.-8,可B.8,喜

仁（-8周D.（—8,4]

【解题思路】由已知条件得出（x+1）+Q+2）=8,将代数式/+嗫与巳［（久+1）+0+2）］相乘，展开

后利用基本不等式求出W+W的最小值，根据题意可得出关于小的不等式，解之即可.

【解答过程】因为％>0,y>0,且x+y=5,则x+l+y+2=8,

所以'4（W+专）口+D+（y+2）]=沿+4（y+2）+也4卜+24（y+2）x+l9

x+ly+2.x+ly+28

4（y+2）_x+l

当且仅当（x+l）+（y；2）=8时，即当x=I，'=|时，所以士+士的最小值为京

%>0,y>0

因为'—I——22m+1恒成立，所以26+142,解得小<—,

x+ly+2816

所以实数m的取值范围是（-8,京］.

故选：B.

11.（24-25高三上•上海•期中）若对任意正实数a、b,不等式小+4匕22kq/j恒成立，则实数k的取值范围

是（一8,4］.

【解题思路】变形可得上《蓝+?，利用基本不等式求得?+r的最小值即可.

【解答过程】因为Q、b为正实数，所以尤>0,

所以由a2+4b22kab,可得卜式立叱=?+竺，

abba

又"竺22除竺=4,当且仅当：=竺，即a=2b时取等号，

baybaba

因为对任意正实数a、b,不等式a?+4b2>kab恒成立，所以k<4,

所以实数k的取值范围是（-8,4].

故答案为：（-a>,4].

12.（2024•辽宁・模拟预测）若关于x的不等式登+-i->4对任意%>2恒成立，则正实数a的取值集合为

ax-2

{a|0Va44}.

【解题思路】分析可得原题意等价于生二2+三24-？对任意x>2恒成立，根据恒成立问题结合基本不等

ax-2a

式运算求解.

【解答过程】•••竺+吃24,则返卫+七24-々

ax-2ax-2a

原题意等价于小二2+—>4-2对任意x>2恒成立,

ax-2a

由a>0,x>2,则^^>0,工>0,

ax-2

可得3+」_22反互二

ax-27ax-2\/a

当且仅当竺El=工，即％=2+立时取得等号，

ax-22

_8

a-^L,解得0<aW4.

a>0

故正实数a的取值集合为{a[0<a<4}.

故答案为：{a[0<aW4}.

二次不等式及其参数问题。|

13.（2024・甘肃张掖•模拟预测）不等式|/一3幻<2-2%的解集是（）

A.（-词B.（-另）C.（-1,洛巧D.（亨-

【解题思路】按照/-3%正负分类讨论取绝对值，运算得解.

【解答过程】当％2-3x>0,即％>3或％<0时，

不等式|久2—3%|<2—2支等价于％2—3%<2—2%,即％2—%—2<0,

解得—1V%<2,所以—1<%40；

当/—3x<0,即0V%V3时，不等式I——3%|<2—2%等价于不等式3久—%2<2—2x,即/—5x+2>

0,

解得X>手或X<亨，所以0<乂<1.

综上，不等式|/一3幻<2-2”的解集是（-1,三）.

故选：C.

14.（2024•广东・一模）已知a,b,cER且a丰0,则“a/+bx+c>0的解集为｛x|x丰1｝”是“a+b+c=0”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.

【解答过程】由题意，二次不等式a/+bx+c>0的解集为｛%国41｝,

（a>0

则等价于1-^=1,即a=c>0,b=-2a,即a+b+c=0,

（△=川—4ac=0

当a+b+c=0时，不能推出<1=c>0,6=—2a,

所以“a/+bx+c>0的解集为｛x|x丰1｝”是“a+b+c=0”的充分不必要条件，

故选：A.

15.（24-25高一上•上海•阶段练习）若不等式a/+版+1>o的解集是（-；）,则b/十。久十】《的解

集为｛1｝.

【解题思路】由一元二次不等式的解集与方程根的关系可求出a,b,再根据一元二次不等式的解法求解即可.

【解答过程】不等式。/+6乂+1〉0的解集是（一31）,

则一1是方程a/+bx+1=0的两根，

「_三+1=_2_„

所以工一「所以仁:

V2a

由b/+ax+1<0,得/—2%+1<0,

即0-1）2W0,解得x=L

所以b/+3+1W0的解集为｛1｝.

故答案为：口｝.

16.（24-25高一上•天津津南•期中）关于x的不等式/-（nr+2）久+2mW0恰有三个整数解，则实数小的

取值范围是（―l,0]U[4,5）.

【解题思路】由题可得不等式的解集为[2,巾]或[巾,2],由不等式有3个整数解可得答案.

【解答过程】%2—(m+2)x+2m<0=>(x—m)(x—2)<0.

若m=2,贝ij(x-2)2<0=>%=2不合题意；

若m>2,不等式解集为[2,巾],因恰有三个整数解，则三个整数为2,3,4,贝|4<小<5；

若加<2,不等式解集为[zn,2],因恰有三个整数解，则三个整数为0,1,2,则-

故答案为：(-1,0]U[4,5).

题型五N一元二次不等式恒成立、有解问题

17.(24-25高一上•安徽宿州•期中)已知Vxe[0,+8),如+aX+4i0恒成立,则实数a的取值范围为()

A.[—4,4]B.[—4,+oo)

C.(—8,4]D.(—8,—4)U(4,+8)

【解题思路】利用分离常数法，结合基本不等式来求得a的取值范围.

【解答过程】当x=0时，42。恒成立；当xe(0,+8)时，aN-(x+;)恒成立，

又x+士22「2=4,当且仅当%=即x=2时取等号，

xyXX

所以一(％+£)——4,所以a2—4.

故选：B.

18.(24-25高一上•广东佛山•阶段练习)若存在％6悖,3],使不等式/一Q%+120成立，则实数〃取值

范围是()

A.-2<a<2B.aW-

2

cC.a-<—1°Dc.-2o£aw/一1°

33

【解题思路】令f(x)=x2-ax+l,将问题等价转化为启ax。)>0,%e[|,3],然后讨论f(x)的最大值，从

而求出a的取值范围.

2

【解答过程】令/(%)=x-ax+lf对称轴方程为第=1,

若存在%G住用，使不等式/一a%+120成立,

等价于/(X)maxN0,xe[|,3],

当牌弓=：时，即时，/(x)=f(3)=10-3a>0,解得aW多

ZZ4Zmaxj

因为(一8,3n(-00,y］=(-00,y］,所以QG(-00,y］；

当|>部即a>涧，/(x)max=解)=；-j>0,解得a<I，

因为G，+8)A(—OO,|］=0,所以aw0；

因为(-8号］u0=(-8,学,所以aE(—8潦］.

故选:C.

19.(24-25高一上•上海•阶段练习)已知％2+(2-a)x+4-2a>0对任意％e(一2,+8)恒成立，则实数Q的

取值范围为aW2.

【解题思路】变形得到立竽Za在无€(-2,+8)上恒成立，由基本不等式求出立宇=(%+2)+2一

x+2x+2x+2

2>2,得到Q42.

【解答过程】x24-(2—a)x+4—2a>0=>x2+2x+4>a(%+2),

因为x6(-2,+oo),所以问题等价于胃尹>a在xe(一2,+8)上恒成立，

其中年=(X+2)：普+2)+4=Q+2)+瞑一222.+2).e-2=2,

当且仅当第+2=/-,即％=0时，等号成立，

x+2

故a<2.

故答案为：aW2.

20.(24-25高一上•江苏苏州•阶段练习)已知关于x的不等式/-(a+2)x+a+5<0在久6(1,4］上有解，

则实数a的取值范围是『4,+8).

【解题思路】把关于x的不等式/-(a+2)x+a+5W。在xC(1,4］上有解的问题，利用分离参数求最值转

化为a2片竽，在x6(1,4］上有解，再求”¥；：的，%6(1,4］的最小值即可.

【解答过程】要使不等式/一(a+2)x+a+5so在xC(1,4］上有解，

则a>立言生，在xe(1,4］上有解，

令”百二"x6(1,4］,

X-1

当且仅当X—1=<，即x=3时等号成立，

故％=3时，tmin=4,

因此要使不等式％2-(a+2)x+a+5<0在久G(1,4］上有解,

则Q>4,

故答案为：［4,+8).

题型六复数的四贝福篇

21.(2024・四川・一模)已知i为虚数单位，则(1+。2+2(1-。的值为()

A.4B.2C.0D.4i

【解题思路】根据条件，利用复数运算法则及虚数单位的性质，即可求解.

【解答过程】因为(1+i)2+2(1-i)=1+2i+i2+2-2i=2

故选：B.

22.(2024.安徽安庆.三模)若复数z的实部大于0,且2(z+l)=言，贝归=()

A.l-2iB.2-iC.2+iD.l+2i

【解题思路】根据复数的运算和复数相等计算即可.

【解答过程】令2=a+bi,且a>0,bER,

贝吃(z+1)=(a—&i)(a+1+hi)=a2+a+62—bi

因为券=3=6—2i

根据复数相等有｛层+:=6,解得：a=Lb=2.

所以z=l+2i.

故选：D.

23.(2。24.上海.模拟预测)复数z=券，则

【解题思路】先利用复数的除法运算化简z,再利用复数的乘法计算即可.

【解答过程：12=震=鉴臀券=曙=今+尚3

3+4i(3+41)(3—41)252525

z-z=(―+—i)(―i)=—4_125_1

\25257125257625625—625-5,

故答案为：

24.(2024.广东广州.模拟预测)已知i为虚数单位，复数z满足iz+2=z—2i,则2=2i.

【解题思路】根据题意化简出2=等利用复数的除法运算，即可得答案.

【解答过程】由复数z满足iz+2=z—2i,

化简得Z=^=署甯=(l+i)2=2i.

故答案为：2i.

题型七:复数的几彳可意义

25.（2024・福建・三模）若复数z满足1-z=2i+iz,则复数z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】利用复数的除法求复数，进而判断对应点所在象限.

【解答过程】由题设l-2i=z(l+i)nz=M=^^=->|i,

则对应点为（-±-1）在第三象限.

故选：C.

26.（2024.安徽.一模）己知复数z满足z（2-i）=（1+i）2,则复数z的共软复数斤在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】利用复数的四则运算法则可求z,进而可得共轨复数2在复平面内对应的点所在的象限.

【解答过程】由z(2-i)=(l+i)2,可得z(2—i)=l+2i+i2=2i,

所2i_2i(2+i)_-2+4i24.匚匚［、］—24.

所以2-i(2-i)(2+i)5+所以Z=----1.

所以复数z的共物复数2在复平面内对应的点的坐标为（-1,-令，位于第三象限.

故选：C.

27.（2024•安徽•模拟预测）若复数z=（a+4）-（a+5）i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取

值范围是（一5,—4）.

【解题思路】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.

a+4VoMJ曰LA

【解答过程】由题意得,-(a+5)<0,解侍一5<a<-4,

・•・实数a的取值范围是（一5,—4）.

故答案为：（—5,—4）.

28.（2024•江苏南通•二模）复数z=*（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数a的值为

-1.

【解题思路】利用复数的除法运算化简复数Z,由几何意义可得Z所对应的点的坐标，进一步可得答案.

【解答过程】由已知，Z=F=广广=?一千i,所以Z所对应的点为—笑）,

l+l（l+l）（l-l）22'22，

此点在实轴上，所以-gi=。，解得a=—l.

故答案为：-1.

模拟提升练（19题）

一、单选题

1.（2024・广东广州•模拟预测）下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,则>&B.若a>b,c>d,则a—d>6—c

a+ca

C.若a<b<0,则a2<ab<b2D.若a>b,则」一>-

a-ba

【解题思路】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.

【解答过程】对于A,可以取a=2,b=l,c=-l,此时比<匕所以A错误.

a+ca

对于B：*.*c>d,-d>—c,因为a>b,所以a—d>b—c,故B正确；

对于C：取a=—2,力=—1.时，则a2=4,ab=2,b2=1,贝！Ja2>ab>b2,故C错误；

对于D：当a=1,b=—1时，，7g-=1,则白；〈工，故D错误；

a-b2aa-ba

故选：B.

2.（2024・广东・模拟预测）已知复数2=2葭1一。+1,贝1］怙|=（）

A.V5B.V13C.5D.13

【解题思路】先化简z的表达式，然后求得z的模.

【解答过程】z=2i（l-i）+1=2i-2i2+1=3+2i,

所以|z|=5/32+22=V13.

故选：B.

3.（2024.浙江金华•模拟预测）设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则

（）

A.N<PB.P<M

C.N<MD.M+N<2P

【解题思路】根据作差法比较大小，首先将要比较的MN,P,用a,6,c表示，后作差变形，运用a>b>c这个条件,

判断正负即可比较出大小.

a+b,

【解答过程】根据题意得,M="等,N=?P=多=可=号空

32224

对于A选项,N-P=半一”产Q+bZ?c,-a>b>c,^a—c>0,b—c>(),>,-a+b—2c>0,^N—

_a+b—2c

P=----->0,N>P.

4

a+b+ca+b+2ca+b-2c

对于B选项,M一P=

3412

a+b—2c

a>b>c,^a—c>0,b—c>0,^a+b—2c>0,^M—P=----------->0,・,・M>P.

t.-i-—vtL.CL+D+CCL+D-CL—D+ZC

对于C选项,M—NT=---------------=-----------,CLbc,c—a<0,c—/)<(),•••2c—CL—bV0,M—

326

-a-b+2c

N=<0,M<N.

6

对于D选项,M>P,N>P,：.M+N>2P.

故选：B.

4.（2024.全国.模拟预测）若（2-i）a=空，其中a,b是实数，i是虚数单位，则a+历对应点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】依题意可得a+2ai=2+bi,根据复数相等的充要条件求出a,b,再根据复数的几何意义判

断即可.

【解答过程】因为（2-i）a=詈，所以（2-i）ai=2+6i,即a+2ai=2+bi,其中a,b是实数,

所以｛；=：，即『=［，

12a=bla=2

则a+bi=2+4i,在复平面内对应的点为（2,4）,位于第一象限.

故选：A.

5.（2024・云南大理•模拟预测）已知a20,620且2a+b=1,则々+二:的最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

【解题思路】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可.

【解答过程】看+熹=（W+熹）［9+1）+6+划x1

99(a+b)(a+1)1

+1x-

a+1a+b2

2（1。+2用席）x^=8（当且仅当a=也6=。时取等号）.

故选:C.

6.（2024•浙江宁波•一模）不等式-ax-1）（%-6）>0对任意%>0恒成立，则小+的最小值为（）

A.2V2-2B.2C.2V2D.2a+2

【解题思路】先由题意得到x=b是产一ax-1=0的一个根，从而得到a,b之间的关系式为a=b-3消

b

元并利用均值不等式求解即可.

【解答过程】由题意可得，需满足x=b是/一ax—1=0的一个根，

即人2—ab—1—0,且6>0,所以a—b

b

a2+b2=（b-=2b2+-2>2企—2,

\bJb2-

当且仅当2炉=A,即匕=平时取等号.

bzY2

所以a?+炉的最小值为2鱼-2.

故选：A.

7.（2024.宁夏银川.一模）下列结论正确的个数有（）个

①ab>0是"0的充要条件

②已知实数x、y满足5x>y>0,则含+：的最小值为等

③命题汨x>1,x2-x<0”的否定是“V光>1,x2-x>0,,

④关于x的不等式/一ax+1<0有解，实数a的范围是a<-2或a>2.

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】由充分、必要性定义判断①；由基本不等式及最值取值条件判断②；由存在量词命题的否定:

存在改任意并否定原结论判断③；根据一元二次不等式有解得△>0求参数范围判断④.

【解答过程】①由尤>0，即a,b同号，故£>0；由£>0，即a,6同号，故ab>0,

所以ab>0是£>0的充要条件，正确;

②因为5x>y>。,所以〜>。,即涔,

所以言+2=号+5=2V5+1

5555

y(y-0y

当且仅当1X》，即］=等时等号成立,

<y5.

所以号+;的最小值为智，错误;

③由存在量词命题的否定为全称量词命题知命题，

命题Tx>L/一％<0，，的否定是“vx>1,%2-%>0,5,正确;

④由题设△=a?—4>0,解得。<一2或(1>2,正确.

故选：C.

8.(2024•福建南平.二模)关于t的实系数二次不等式产+"—l)t+a<0的解集为(—2,—1),若谟—>=1,

(x,yeR),则2>y的最小值为()

A.|B.V2C.2D.2V2

【解题思路】由已知可得一2,-1是一元二次方程产+/一i)t+a=0的根，进而可得卷二%可得2,7=

翳=2'+条可求27的最小值.

【解答过程】因为关于t的实系数二次不等式/+(6—l)t+a<0的解集为(―2,—1),

所以一2,-1是一元二次方程/+(b-l)t+a=0的根，

所以尸解得£一，所以2-4〉=1,所以2，="+1,

(-2x(—1)=a3=4

所以27=llf=2y+±>2Mxl=2,

当且仅当y=0,x-1时取等号.

所以的最小值为2.

故选：C.

二、多选题

9.(2024•江苏徐州•模拟预测)在复平面内，若复数z对应的点为(1,3),则()

A.z+z=2B.z2—10

C.zz=10D.=5

【解题思路】根据题意写出复数的标准式，再写出其共轨复数，再利用复数的乘除、模长公式，可得答案.

【解答过程】由题意可得z=l+3i,则2=1—3i,

对于A,z+z=2,故A正确；

对于B,z2=(1+3i)(l+3i)=1+3i+3i+9i2=-8+6i10,故B错误；

对于C,zz=(l+3i)(l-3i)=l2-⑶y=1+9=10,故C正确；

对于D,z--=(1+3i)--=1+3i-(".(I)=i+3i_i+3ii2

1.L；VZ1-L；1-L19

=1+3i-|(4+2i)=-1+2i,|z-^|=V1T4=V5,故D错误；

故选：AC.

10.(2024・广东佛山•一模)已知a,b>0,且ab=a+2b+6,贝！j()

A.ab的最小值为18B.小+炉的最小值为36

C.2+押最小值为2D.a+6的最小值为3+4&

【解题思路】对于A,根据基本不等式可得ab=a+2b+622V^F+6,进而求解即可判断；对于B,根

据基本不等式可得a?+廿22ab>36,验证取等条件即可判断；对于C,由题意可得？+J=1-三，进而

结合ab218即可判断；对于D,结合题意可得6=g，a>2,进而得到a+b=a-2+2+3,再根据

a—2a—2

基本不等式求解即可判断.

【解答过程】对于A,由于ab=a+2b4-6>2、2ab+6,BP(yab—3V2)(VaF+V2)>0,

则>3V2,即ab>18,当且仅当a=2b=6时等号成立，

所以ab的最小值为18,故A正确；

对于B,由小+fo2>2ab>36,当且仅当a=b且a=2b时等号成立,

显然不能同时成立，取不到等号，故B错误;

ab-62

对于C,由于ab=a+2b+6,所以有马+：=石学—>1-9

abababab183

当且仅当Q=2b=6时等号成立,

即？+：的最小值为；，故C正确；

ab3

对于D,因为a>0,b=—>0,所以a>2,

a—2

所以a+b=Q+=a—2H■——+3>2/(a—2)•—+3=4\/2+3,

a-2a-2ya-2

当且仅当a—2=即a=2+2V2,b=1+2鱼时等号成立，

a—2

则a+b的最小值为3+4夜，故D正确.

故选：ACD.

11.(2024•广东深圳•模拟预测)下列说法正确的是()

A.不等式4/-5x+1>0的解集是{%|x>(或x<1]

B.不等式2/一x一6W0的解集是,W-|或％22}

C.若不等式a%2+Qax+21<0恒成立，则a的取值范围是0

D.若关于％的不等式2/+p%一3Vo的解集是(41),则p+q的值为一[

【解题思路】对于AB,直接解一元二次不等式即可判断；对于C,对a分类讨论即可判断；对于D,由一

元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p,q，然后即可判断.

【解答过程】对于A,4%2-5%+1>0=(%-l)(4x-1)>00久<(或无>1,故A错误；

对于B,2%2-%-6<0«(%-2)(2%+3)<0<=>"|<%<2,故B错误；

若不等式a/+Sax+21<0恒成立，

当。=0时，21Vo是不可能成立的，

所以只能[,/C，而该不等式组无解，综上，故C正确；

对于D,由题意得q,1是一元二次方程2/+p%_3=0的两根，

从而,9义1_2,解得p=i,q=_j

12+p—3=02

而当p=l,q=-|时，一元二次不等式2/+x-3<0<=>(x—1)(2%+3)<0=—|<x<1满足题意，

所以p+q的值为-5故D正确.

故选：CD.

三、填空题

12.(2024.河北.模拟预测)已知复数z=l+i,设0=2+5若复数w在复平面内对应的点为P,点P关于

实轴的对称点为P',则IP'的的值为1.

【解题思路】根据条件，利用复数的运算，得到w=9+5,从而有p(|[),p'G，-》，即可求解.

【解答过程】因为Z=l+i,则卬=2+}=l+i++=l+i+?=|+],所以点P(|1),

得到叫|,一》，所以EP|=||-(-|)|=1,

故答案为：1.

13.(2024.广西•模拟预测)若不等式a/>/一比一1对％e(-8,0)恒成立，则。的取值范围是a>：.

【解题思路】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出。的取值范围.

【解答过程】由不等式>x2—X—1对汽G(—8,0)恒成立，

可转化为a>e罗对xG(-oo,0)恒成立，即a>(宁匚)

max

当％=-2时，一(工+[)2+[有最大值"所以a

2y444

故答案为：a>).

4

14.(2024.全国.模拟预测)设max{a,hc}为实数a,hc中最大的数.若,%>0,y>0,z>0,贝!J

max[xz+-,x+—+4的最小值为2.

Iyyzxz)

【解题思路】设4=maxkz+二x+N?+斗，分0<zWl,z>l,分类讨论代数式间的大小关系，利用

Iyyzxz)

基本不等式求得”的最小值，即可求解.

【解答过程】设4=max|xz++三,1+4,

Iyyzxz)

则42xz+Z>0,A>x+—>0,A>-+->0,

yyzxz

因为/NXZ+—=Z(X+—),当0VZ41时，只需考虑/+2>0,A>—+->Of

yyzyzxz

又因为4>x+-->x+->2E，A>--l-->-+l>2P，

yzy-Jyxzx-Jx

两式相乘得屁>2J|-2J|=4,可得a>2,当且仅当x=y=z=1时取等号，

当z>1时，0<%4VxzH—，只需考虑42xz4—，A—，

yzyyxz

两式相乘得屋>(xz+工)(>+工)=x+-+yz+—>2lxX-+2I—Xyz=4,

\y)\xzJxyzyjxyyz

则/>2,当且仅当％=y=z=1时取等号，

因为z>l,故/>2,综上所述，/的最小值为2.

故答案为：2.

四、解答题

15.(24-25高二上•江苏无锡•期中)已知复数z=bi(bER),会为实数.

1+1

(1)求|z+z2|；

(2)若复数(m+z)2在复平面内对应的点在第四象限，且Z为实系数方程/+(m2-9)x+4=0的根，求实数

zn的值.

【解题思路】(1)根据复数为实数求出b,代入化简后求复数模即可；

(2)由复数是实系数方程的根代入求出小，再结合所在象限舍去不合适的值.

【解答过程】（1）由2=历，/为实数，则署=署器号=等+日为实数，

所以三=0,6=2,即z=2i,z2=-4,

所以|z+z2|=|-4+2i|=2V5.

（2）由（m+z）2=（m+2i）2=m2-4+4mi在复平面内对应的点在第四象限,

所以｛

又z=2i为实系数方程/+（m2-9）%+4=0的根，

则4+2（m2-9）i-4=0,

所以爪2-9=0,m=±3,

又2,所以m=一3.

16.（2024・吉林长春•模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出

行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每

次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.

（1）若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平

均价格（平均价格=总价格/总升数）；

⑵分别用机，〃（mn）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选

择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明.

【解题思路】（1）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，然后作差，即可得到结果.

【解答过程】（1）第一种方案，两次加油共花费30X5+30X4=270元，两次共加了60升燃油，

所