高考数学重难点专练：利用基本不等式求最值【八大题型】

重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】

【新高考专用】

►题型梳理

【题型1直接法求最值】.......................................................................2

【题型2配凑法求最值】.......................................................................2

【题型3常数代换法求最值】...................................................................2

【题型4消元法求最值】.......................................................................3

【题型5构造不等式法求最值】................................................................3

【题型6多次使用基本不等式求最值】...........................................................4

【题型7实际应用中的最值问题】..............................................................4

【题型8与其他知识交汇的最值问题】...........................................................6

►命题规律

基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题

或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容,

它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的

最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二

定三相等”这三个条件灵活运用.

►知识梳理

【知识点1利用基本不等式求最值的方法】

1.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=fQ为常数)，求♦的最值”的问题，先将♦转化为

yxy

再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和

为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利

用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

【知识点2基本不等式的实际应用】

1.基本不等式的实际应用的解题策略

（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.

（2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

（3）在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

►举一反三

【题型1直接法求最值】

【例1】（2023上•北京•高一校考阶段练习）已知a＞。，贝M+/1的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

【变式1-1】（2023•北京东城・统考一模）已知”＞0,则x—4+士的最小值为（）

X

A.12B.0C.1D.2A/2

【变式1-2]（2023上•山东•高一统考期中）函数y=（%＞0）的最小值为（）

A.1B.3C.5D.9

【变式1-3】（2023下•江西•高三校联考阶段练习）（3+2）（1+4/）的最小值为（）

A.9V3B.7+4V2C.8V3D.7+4>/3

【题型2配凑法求最值】

【例2】（2023•浙江•校联考模拟预测）已知a＞1,贝b+々的最小值为（）

A.8B.9C.10D.11

【变式2-1]（2023上•吉林・高一校考阶段练习）已知3,则丫=岩+2%的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

【变式2-2]（2023上•海南省直辖县级单位•高三校联考阶段练习）设久＞2,则函数y=4x-1+s，的

最小值为（）

A.7B.8C.14D.15

【变式2-3]（2023上•辽宁•高一校联考期中）若久＞0,y＞0且满足x+y=孙，则三+三的最小值为（）

A.6+2V6B.4+6V2C.2+4V6D.6+4V2

【题型3常数代换法求最值】

【例3】（2。23上.内蒙古通辽.高三校考阶段练习）已知a＞。，b＞。，若焉=1，则2a+《的最小

值是（）

A.8B.9C.10D.11

【变式3-1］（2023•河南•校联考模拟预测）已知正实数a,b,点M（l,4）在直线；+?=1上，则a+b的最小

值为（）

A.4B.6C.9D.12

【变式3-2］（2023上•重庆•高一统考期末）若正实数无，y满足2久+8y-Ky=0,则喜的最大值为（）

A.-B.-C.-D.-

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【变式3-3］（2023•重庆•统考一模）已知a,b为非负实数，且2a+b=l,则至+号的最小值为（）

a+1b

A.1B.2C.3D.4

【题型4消元法求最值】

【例4】（2023上•江苏•高一校联考阶段练习）已知正数尤，y满足/-4=",贝卜+：的最小值为.

【变式4-1］（2023上•安徽池州•高一统考期中）已知x,y€R+,若2久+y+久y=7,贝卜+2y的最小值为

【变式4-2］（2023上•山东淄博•高一校考阶段练习）已知正实数a,6,且2a+b+6=ab,贝Ua+2b的最小

值为.

【变式4-3］（2023•上海崇明・统考一模）已知正实数a,b,c,d满足a?—仍+1=0,c2+d2=1,则当

（a—c）2+（b—d）2取得最小值时，ab=.

【题型5构造不等式法求最值】

【例5】（2023下•河南•高三校联考阶段练习）已知2a+b=ab（a>0/>0）,下列说法正确的是（）

A.ab的最大值为8

B.+3的最小值为2

a-1b-2

C.a+b有最小值3+企

D.a2—2a+。2-4匕有最大值4

【变式5-1］（2022上.山东青岛.高一青岛二中校考期中）已知无>0,y>0,且x+y+Ky-3=0；则下

列结论正确的是（）

A.孙的最小值是1B.x+y的最小值是2

C.x+4y的最小值是8D.久+2y的最大值是4世一3

【变式5-2］（2023上•江苏•高一专题练习）下列说法正确的是（）

A.若x>2,则函数y=x+二的最小值为3

B.若x>0,y>0,|+^=5,贝U5x+4y的最小值为5

C.若%>0,y>0,%+y+xy=3,则孙的最小值为1

D.若久>1,y>0,x+y=2,则--+马的最小值为3+2/

【变式5-3）（2023上•广东中山•高三校考阶段练习）设正实数居y满足x+2y=3,则下列说法错误的是（）

A.?+：的最小值为4B.xy的最大值为（

C.«+屑的最大值为2D.久2+4必的最小值为

【题型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（2023•河南•校联考模拟预测）己知正实数a,b,满足a++G则a+6的最小值为（）

2ab

A.5B.-C.5A/2D.—

22

【变式6-1］（2023•山东荷泽・统考一模）设实数须y满足％+y=l,y>0,%w0,则由+等的最小值为

（）

A.2V2-1B.2V2+1C.V2-1D.V2+1

【变式6-2］（2023•河北衡水•衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数x,y,z>0,满足盯+（=2,则当｝

取得最小值时，y+z的值为（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

【变式6-3］（2023上•辽宁大连•高一期末）若a>0,b>0,a+b=l,则老笔+三—《的最大值为（）

a+2bb+1b

A.V2B.2-V2C.3-V2D.3-2V2

【题型7实际应用中的最值问题】

【例7】（2023上•四川眉山•高一校联考期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的

主体造型平面图是由两个相同的矩形4BCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ

上建一座花坛，造价为8400元/n?；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/n?；

再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/n?.设总造价为y（单位：元），AO长为x（单

位：m）.

(1)用尤表示AM的长度，并求尤的取值范围；

(2)当尤为何值时，y最小？并求出这个最小值.

【变式7-1](2023上•山东•高一校联考期中)某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但

不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长

方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，

由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米

150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.(2WxW6)

(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.

(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为90°，*+2)元0>0)(整体报价中含固定费用).若无论

宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.

【变式7-2](2023上•江苏苏州•高一校考阶段练习)因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全,

同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的

长方体形状的隔离室.隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的因此室的后

背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰.现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方

米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价

共计12000元.设隔离室的左右两侧面的底边长度均为久米(1<%<5).

(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；

(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为48°°广1)元,问是否存在实数3使得

无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功)，若存在，求出t满足

的条件；若不存在，请说明理由.

【变式7-3](2023上•重庆•高一校考阶段练习)为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积

为36000cm2的矩形海报纸(记为矩形4BCD,如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角

形和两个全等的直角三角形)，为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm,设

DC=xcm.

(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出尤的范围；

(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸(4。和CD分别为多少时)，可使用宣传栏总面积最大?

并求出此时宣传栏的最大面积.

【题型8与其他知识交汇的最值问题】

【例81(2023上•安徽•高三校联考阶段练习)记44BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足c+6cos24=

2acosAcosB(A<B).

⑴求4

(2)若角4的平分线交BC于。点，且4。=1,求AABC面积的最小值.

【变式8-1](2023上•安徽铜陵•高二校联考期中)已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9n.

(1)求圆C的方程；

(2)若直线1,1都经过点(0,2),且11厂，直线/交圆C于M,N两点，直线1交圆C于P,Q两点，求四边形PMQN

面积的最大值.

【变式8-2](2023上•江苏盐城•高一校考阶段练习)已知在定义域内单调的函数f(%)满足/(/(%)++-

In%)=|恒成立.

(1)设/(%)+)二一111%=匕求实数k的值；

(2)解不等式/(7+2%)>一言+In(-ex)；

(3)设g(%)=/(%)-In%,若g(%)27ng(2%)对于任意的％E[1,2]恒成立，求实数租的取值范围.

【变式8-3](2023下•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)如图，在长方体/8。。-/1/前。1中，点。是

长方形//lGDi内一点，乙4PC是二面角/一PDi-C的平面角.

（1）证明：点P在41cl上；

（2）若AB=BC,求直线P4与平面PCD所成角的正弦的最大值.

►直击真题

1.（2022•全国•统考高考真题）若羽y满足％2+y2一町=i,则（）

A.%+y<1B.x+y>—2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

2.