高考数学重难点专练：函数性质的灵活运用【八大题型】

重难点03函数性质的灵活运用【八大题型】

【新高考专用】

►题型梳理

【题型1函数的单调性的综合应用】............................................................3

【题型2函数的最值问题】.....................................................................4

【题型3函数的奇偶性的综合应用】............................................................4

【题型4函数的对称性的应用】................................................................5

【题型5对称性与周期性的综合应用】...........................................................5

【题型6类周期函数1...............................................................................................................6

【题型7抽象函数的性质】.....................................................................7

【题型8函数性质的综合应用】................................................................8

►命题规律

从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是

高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查,

解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函

数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；

对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.

►知识梳理

【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】

1.求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2.函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数产细⑴)的单调性应根据外层函数/2)和内层函数Ug(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的

原则.

(3)函数单调性的几条常用结论：

①若/⑺是增函数，则-/⑴为减函数；若/⑺是减函数，则-/⑴为增函数；

②若/(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在/(尤)和g(x)的公共定义域上/(x)+g(x)为增(或减)函

数；

③若/(x)>0且“X)为增函数，则函数77而为增函数，」一为减函数；

f(x)

④若〃x)>0且/(x)为减函数，则函数/而为减函数，一匚为增函数.

/(X)

3.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

4.复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

【知识点2函数的奇偶性及其应用】

1.函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断/U)与八㈤是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系

式伏尤)切？尤)=。(奇函数)或兀0力-x)=0(偶函数))是否成立.

(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的

函数，如f(x)+g(x),f(x)~g(x),/(x)Xg(x)J(x)+g(x).

对于运算函数有如下结论：奇土奇=奇；偶土偶=偶；奇土偶=非奇非偶；奇*(+)奇=偶；奇*(十)偶=奇;

偶X")偶=偶.

(4)复合函数y=/[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.

(5)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数/(x)=m(a+1)(x0)或函数—=〃;("I.

a-1<2+1

②函数/(无)=土⑷-L).

③函数/(X)=log”叶2=loga(1+3-)或函数/(X)=loga=loga(1--—)

x—mx—mx+mx+m

④函数，(x)=log”(Jx?+1+x)或函数/(x)=log“(Vx2+1-x).

2.函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的

函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】

1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)

(1)若兀叶①寸元)，贝I]T-a-,

(2)若/(x+a)书x-a),贝!]T=2a；

(3)若於+。)=次1),贝!JT=2a；

(4)若Xx+a)=/(q)，则T=2a；

(5)若#]+〃)=-f(J),则T=2a；

(6)若y(x+〃A/(x+Z?),则T=\a-b\(a^b);

2.对称性的三个常用结论

(1)若函数/(%)满足/(4+工1/(/?-%),则尸於:)的图象关于直线％="：台对称.

(2)若函数y(x)满足y(4+x)=；/(z?-%),则产/⑴的图象关于点o卜寸称.

(3)若函数«x)满足/(a+x)t/S-x)=c,则产/⑴的图象关于点对称.

3.函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴％=〃，x=b(a<b),则函数F(x)是周期函数，且T=2S-〃)；

(2)若函数y=/(%)的图象有两个对称中心(a,c),(0,c)(a<6),则函数y=/(%)是周期函数，且

T=2(b-a)；

(3)若函数>=/(%)有一条对称轴x=。和一个对称中心S,O)(a<。)，则函数y=/(%)是周期函数，且

T=4(b-a).

►举一反三

【题型1函数的单调性的综合应用】

【例1】(2023•广东深圳•统考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,若对VX6R都有/•(3+x)=/(l—x),

且“久)在(2,+8)上单调递减，贝仔(1),/(2)与f(4)的大小关系是()

A./(4)</⑴</⑵B./⑵</(I)</⑷

C.f⑴</⑵</(4)D.f(4)<f⑵<f⑴

【变式1-1](2023•山西朔州・怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数/(x)满足/(2—x)=/(x),

且当%>1时，f(切单调递增，则不等式f(2-%)>f(x+1)的解集为()

A.悖,+8)B,(0,|]C,(-0°,-|]D.(-oo,|]

【变式1-2](2023上•江西鹰潭・高三校考阶段练习)已知函数/(%)=1x>1是[一3+8)上

IX'

的减函数，贝b的取值范围是()

A.B.

C.D.(-oo,-l)

【变式1-3](2023・四川绵阳•统考三模)设函数/(%)为|x|-1与/—2a尤+a+3中较大的数，若存在久使

得/(x)<0成立，则实数a的取值范围为()

A.[一1,-1)U(1,4]B.(-8,一]]u[4,+8)

C.(-8呼)U(H]D.[-1,1]

【题型2函数的最值问题】

【例2】(2023•江西九江•校考模拟预测)若0<x<6,贝|6万-尤2有()

A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9

【变式2-1](2023•全国•校联考三模)已知函数/。)=6%—(6+3)/在上的最小值为—3,则实数6

的取值范围是()

A.(-co,-4]B.[9,+00)C.[-4,9]D.[-|,9]

【变式2-2](2023上•广东广州•高一校考阶段练习)定义一种运算min{a,b}={霁：：，设/(久)=

min{4+2x—/，比―”}(t为常数，且久€[—3,3],则使函数/(%)的最大值为4的t的值可以是()

A.-2或4B.6C.4或6D.-4

【变式2-3](2023•广东惠州•统考一模)若函数/(久)的定义域为D,如果对D中的任意一个x,都有f(x)>

0,-xeD,且f(-久)/(久)=1,则称函数f(x)为“类奇函数”.若某函数g(x)是“类奇函数”，则下列命题中，

错误的是()

A.若0在g(x)定义域中，则g(0)=l

B.若gCOmax=9(4)=4,贝！lg(0min=9(-4)=[

C.若gO)在(0,+oo)上单调递增，则g(x)在(-8,0)上单调递减

D.若g(x)定义域为R,且函数/i(x)也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G(x)=gO)/iQ)也是“类奇函

数”

【题型3函数的奇偶性的综合应用】

【例3】(2023•广东・东莞市校联考一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当久>0时，/(x)=ax+l,

若/(—2)=5,则不等式f(x)>巳的解集为()

B.(-j,O)U(O,i)

C(-8,-£)U&+8)D-(一训U&+8)

【变式3-1](2023•全国•模拟预测)已知函数/(无)，g(x)的定义域均为R,f(3x+l)为奇函数，g(x+2)为

偶函数，/(%+l)+g(l—%)=2,f(0)=-1，则》匕g(k)=()

A.-51B.-C.—D.—

222

【变式3-2](2023・安徽亳州・蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数/(%)是定义在R上的偶函数，函数g(%)

是定义在R上的奇函数，且/(%)，g(%)在[0,+8)上单调递减，则()

A-f(f⑵)>/(/(3))B.f(g⑵)<f(g⑶)

C.g(g⑵)>g(g(3))D.g(/⑵)<g(/⑶)

【变式3-3](2023•江西吉安・江西省遂川中学校考一模)若定义在R上的函数/(x)满足：对任意打，冷6氏有

/(%1+%)=/(%1)+

2/(x2)-2016,且％>0时,/(%)>2016,记FO)在[一2017,2017]上的最大值和最

小值为M,N,则M+N的值为()

A.2016B.2017C.4032D.4034

【题型4函数的对称性的应用】

【例4】(2023•江西赣州•统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点对称，又关于直线y=x对称，且

当工€[—1,0]时，/(%)=X2,则/(?)=()

199717

A.--B.--C.--D.

4224

【变式4-1](2023•四川绵阳•绵阳中学校考一模)若函数y=f(x)满足f(a+久)+f(a-K)=2b,则说y=

f(x)的图象关于点(a,b)对称，则函数人乃=喜+筌+誉+…+慧H+溪If的对称中心是()

A.(-1011,2022)B.(1011,2022)C.(-1012,2023)D.(1012,2023)

【变式4-2](2023•四川南充•四川省南充高级中学校考三模)函数f(x)和g(x)的定义域均为R,且、=

f(3+3%)为偶函数,y=g(x+3)+2为奇函数,对VxeR,均有/'(久)+g(x)=/+1,则/'⑺g(7)=()

A.615B.616C.1176D.2058

【变式4-3](2023•甘肃张掖・高台县校考模拟预测)已知函数/(久)的定义域为R,〃X-1)的图象关于点(1,0)

对称，"3)=0,且对任意的与,久2e(-8,0),久1彳久2,满足必匕但<0，则不等式(久一l)f(x+l)20

%2一比1

的解集为()

A.(—8,1]u[2,+oo)B.[—4,—1]U[0,1]

C.[-4,-1]U[1,2]D.[-4,-1]U[2,+oo)

【题型5对称性与周期性的综合应用】

【例5X2023・四川宜宾・统考一模)已知函数/(x),g(x)的定义域为R,g。)的图像关于x=1对称，且g(2x+2)

为奇函数，g⑴=l,/(x)=g(3-x)+1,则下列说法正确的个数为(

①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④比肾/(n)=2024.

【变式5-1X2023•北京大兴•校考三模)已知函数f(x)对任意％eR都有+2)=—f(x),且f(一久)=-/(%),

当xe(一1,1]时，f(%)=/.则下列结论正确的是()

A.函数y=/(x)的图象关于点(k,0)(keZ)对称

B.函数y=/(久)的图象关于直线x=2k也eZ)对称

C.当xe[2,3]时，/(x)=(x-2)3

D.函数y=|f(久)|的最小正周期为2

【变式5-2](2023•四川绵阳•绵阳校考模拟预测)已知函数人久)的定义域为RJ(1)=0,且f(0)*0,Vx,yGR

都有f(久+y)+f(x-y)=2/O)f(y),则下列说法正确的命题是()

①/'(o)=1；②v久eR,f(-久)+/(x)=0；

③/O)关于点(1,0)对称；④星?,/0)=—1

A.①②B.②③C.①②④D.①③④

【变式5-3](2023•安徽合肥•合肥一中校考模拟预测)己知函数/(无)与g。)的定义域均为R,/(久+1)为偶

函数，且f(3-久)+。(久)=1,/(x)-5(1-x)=1,则下面判断错误的是()

A./(久)的图象关于点(2,1)中心对称

B./(%)与g(x)均为周期为4的周期函数

C-2誉/①=2022

D-2誉如=0

【题型6类周期函数】

【例6】(2023•安徽合肥・合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R上的函数/(%)满足f(%+l)=|/(%),且

当久£[0,1)时，/(%)=1—|2%—1].当久E[?n,+8)时，/(%)<*则m的最小值为()

A.—B.—C.—D.—

8844

【变式6-1](2023上•湖南长沙•高三校考阶段练习)定义域为R的函数/(%)满足/(%+2)=2/(%)-1,当

x2—x.xE(0.1)7,

xE(0,2］时，/(%)=I1].若xe(0,4]时，t2—W3—t恒成立，则实数t的取值范围

是()

A.[1,2]B,[1,|]C,[|,2]D,[2,|]

【变式6-2](2022.四川内江•校联考二模)定义域为R的函数/(久)满足/(x+2)=3/(%),当x6[0,2]时，

f(x)=X2—2x,若xe[—4,—2]时，/⑶22(T)恒成立，则实数t的取值范围是()

A.(-00,-1]u(0,3]B.(-oo,-VJ|U(0,V3]

C.[-1,0)U[3,+oo)D.[-V3,0)U[V3,+oo)

【变式6-3](2023上•浙江台州•高一校联考期中)设函数/(久)的定义域为R,满足f(x)=2f(久-2),且当

久6(0,刀时，f(x)=x(2-x).若对任意支€(-8,爪],都有f(x)W3,则小的取值范围是()

A.(―8,|]B.(-00)1]

C.(-00)|]D.(-8,3]

【题型7抽象函数的性质】

【例7】(2023•新疆乌鲁木齐•统考二模)已知/(久)，9(久)都是定义在R上的函数，对任意x,y满足“久一y)=

f(x)g(y)—g(x)f(y)，且/(一2)=f(i)4o,则下列说法正确的是()

A.f(0)=1B.函数g(2x+1)的图象关于点(1,0)对称

C.g(l)+g(—l)=OD.若/(I)=1,则£四空/(n)=1

【变式7-1](2023•福建宁德・福鼎市校考模拟预测)已知函数f(x)及其导函数尸(久)的定义域均为R,对任

意的居yeR,恒有fO+y)+/(%-y)=2/(x)/(y),则下列说法正确的个数是()

①f(0)=0;②尸⑺必为奇函数；③/⑴+"0)20；④若/⑴=%则£膂/㈤=1.

A.1B.2C.3D.4

【变式7-2](2023•河南•校联考模拟预测)已知函数对任意实数居y恒有/(x-y)+/(x+y)=/(2久)成

立，且当x<0时，/(%)>0.

(1)求f(0)的值；

(2)判断/(久)的单调性，并证明；

(3)解关于x的不等式:/■[久2-(a+2)x]+f(a+y)+f(a-y)>0.

【变式7-3](2023上•广东东莞•高一校联考期中)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=/(x)+/(y),

当x>0时，f(x)<0,且/'(1)=-2.

(1)判断/(%)的奇偶性;

(2)判断函数单调性，求f(x)在区间[-3,3]上的最大值；

(3)若/(x)<m2-2am+2对所有的x6[-1,1],a&[-1,1]恒成立，求实数nt的取值范围.

【题型8函数性质的综合应用】

[例8](2023上•河北石家庄•高一校考阶段练习)已知函数/(X)=ax,g(x)^b-a-x+x,a>。且a+1,

若/■⑴+g⑴=1，/1⑴­⑴=|，设h(x)=/(x)+g(x),%G[-4,4].

(1)求函数％(久)的解析式并判断其奇偶性；

(2)判断函数/i(x)的单调性(不需证明)，并求不等式八(2x+1)+h(2久-1)20的解集.

【变式8-1)(2023上•上海•高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数八支)满足：①f(x)是偶函数；②"为

不是常值函数；③对于任何实数x、y,都有/(x+y)=/O)/(y)—/(1—0/(1—y).

(1)求/(I)和/(0)的值；

⑵证明:对于任何实数%,都有7•(%+4)=/(%)；

(3)若f(x)还满足对0<x<1有f(x)>0,求fG)+/G)+…+/(等)的值.

【变式8-2](2023下•山西运城•高二统考期末)已知/0)=产1+ei-x+x2_2x+a,

(1)证明：/(%)关于％=1对称;

⑵若/(%)的最小值为3

(i)求a；

(ii)不等式/(m(e*+e-x)+1)>/(ex—%)恒成立，求血的取值范围

【变式8-3](2023下•广东•高一统考期末)已知函数y=0(%)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要

条件是+%)+(p(a-x)=2b.给定函数/(%)=%-3及其图象的对称中心为(一1,。).

⑴求。的值；

⑵判断/(%)在区间(0,+8)上的单调性并用定义法证明；

(3)已知函数g(%)的图象关于点(1,1)对称,且当％E[0,1]时,5(x)=x2-mx+m.若对任意久[e[0,2],总

存在%2w[1,5],使得g(%i)=/(%2)，求实数机的取值范围.

►直击真题

1.(2023•全国•统考高考真题)若f(x)=(>+a)ln落为偶函数，则。=().

A.-1B.0C.-D.1

2

2.(2021.全国•统考高考真题)已知函数/O)的定义域为R,7(%+2)为偶函数，/(2x+1)为奇函数，则()

A./(-1)=0B./(-1)=0C./⑵=。D./⑷=0

3.(2022.全国•统考高考真题)已知函数/