高考数学重难点专练：导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】

重难点06导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】

【新高考专用】

►题型梳理

【题型1函数的切线问题】.....................................................................3

【题型2（含参）函数的单调性问题】...........................................................4

【题型3函数的极值、最值问题】..............................................................5

【题型4函数零点（方程根）问题】............................................................6

【题型5不等式的证明】.......................................................................7

【题型6利用导数研究不等式恒成立问题】.....................................................9

【题型7利用导数研究能成立问题】...........................................................10

【题型8双变量问题】........................................................................11

【题型9导数中的极值点偏移问题】...........................................................12

【题型10导数与三角函数结合问题】..........................................................13

【题型11导数与数列不等式的综合问题】......................................................14

►命题规律

导数是高中数学的重要考查内容，是高考必考的热点内容.从近几年的高考情况来看，在解答题中试

题的难度较大，主要涉及导数的几何意义、函数的单调性问题、函数的极值和最值问题、函数零点问题、

不等式恒成立与存在性问题以及不等式的证明等内容，考查分类讨论、转化与化归等思想，属综合性问

题，解题时要灵活求解.

其中，对于不等式证明中极值点偏移、隐零点问题和不等式的放缩应用这三类问题是目前高考导数压

轴题的热点方向.

►知识梳理

【知识点1切线方程的求法】

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

①求出函数产丝)在产沏处的导数，即曲线产心)在点(沏加0))处切线的斜率；

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f(x0)(x-x0).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标7的加o))(不出现K)；

②利用切点坐标写出切线方程：y=/(xo)4/(xoXx-xo)；

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点2导数中函数单调性问题的解题策略】

1.含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

2.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：y=/a)在(0力)上单调，则区间缶力)是相应单调区间的子集.

(2求用为增(减)函数的充要条件是对任意的让①必都有f(x)>0(/(x)<0),且在36)内的任一非空子区间

上，/(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【知识点3函数的极值与最值问题的解题思路】

1.运用导数求函数人处极值的一般步骤：

(1)确定函数兀T)的定义域；

(2)求导数/(X)；

(3)解方程/(x尸0,求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验/(x)在/(x)=0的根XQ左右两侧值的符号;

⑸求出极值.

2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方

程组，利用待定系数法求解.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

⑴利用导数求函数/)在口用上的最值的一般步骤：

①求函数在(a,b)内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值八°),»；

③将函数人x)的各极值与人a),人力比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：

求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性

和

极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

【知识点4导数的综合应用】

1.导数中的函数零点(方程根)问题

利用导数研究含参函数的零点(方程的根)主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数於)的最值，转化为段)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由兀0=0分离参变量，得斫且⑴，研究产。与尸g(x)图象的交点问题.

2.导数中的不等式证明

(1)一般地，要证外)>g(x)在区间(a,6)上成立，需构造辅助函数尸(©=危)一g(x),通过分析尸(x)在端

点处的函数值来证明不等式.若F(a)=0,只需证明尸(x)在(a,3上单调递增即可；若尸(6)=0,只需证明

F(x)在(a,6)上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题.

3.导数中的恒成立、存在性问题

解决不等式恒(能)成立问题有两种思路:

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另

一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题.

（2）分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.

4.导数中的双变量问题

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

5.极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对

称性.

极值点偏移的定义：对于函数在区间伍力）内只有一个极值点看,方程/a）的解分别为

Xpx2且Q<匹<<b

、1+%2J%

（i）若2°,则称函数在区间a，/）上极值点/偏移；

匹+一2〉/

（2）若2°,则函数V=/（x）在区间（下，》2）上极值点X。左偏，简称极值点X。左偏；

X1+-2—0

（3）若2°,则函数V=/（x）在区间（下，》2）上极值点X。右偏，简称极值点X。右偏.

►举一反三

【题型1函数的切线问题】

[例1](2023•河南・统考模拟预测)已知函数/(久)=a(e%-l)-lnx.

(1)当a=1时，求”外的图象在点(1/(1))处的切线方程；

(2)当。之1时，证明：f(x)>sinx.

【变式1-1](2023・四川雅安・统考一模)已知函数"%)=碇'+/?%+。在％=1112时有极小值.曲线)7=/(%)

在点(0/(。))处的切线方程为X+y=0.

(1)求见瓦c的值；

(2)若对任意实数%/(%)>(e-2)%+zn恒成立，求实数m的取值范围.

2

【变式1-2](2023•广东•东莞市校联考一模)函数/(%)"+In%在％=4处的切线方程为y=/i(%).

(1)求九(%)；

(2)已知过力)可作/(%)的三条切线，证明：/i(a)<b<f(a).

【变式1-3]（2023•全国•模拟预测）已知函数/（*）=alnx-©a-1*之-2x+ga+1.

（1）当a=4时，求八幻的极值及曲线y=f（外在点（1/（1））处的切线方程；

（2）若函数人幻有两个零点，求实数”的取值范围.

【题型2（含参）函数的单调性问题】

【例2】（2023•海南•校联考模拟预测）已知函数/（%）=%Inx-aJ.

（1）当a=l时，讨论函数/（久）的单调性；

（2）若不等式/'（%）>aex+（1-a）d-比恒成立，求实数a的取值范围.

【变式2-1]（2023•黑龙江•校联考模拟预测）已知函数“公=斑：久6氏

⑴求函数/（幻单调区间；

（2）若过点P（l,t）GGR）可以作曲线y=/（幻的3条切线，求实数t的取值范围.

x

【变式2・2】(2023•四川成都•统考一模)已知函数/(%)=2e-axtaER.

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)当a=e时，求证：/(%)>e(l-cosx).

【变式2-3](2023•河北邢台・宁晋中学校考模拟预测)已知函数/0)=。(丁+屋')-1(0是非零常数，e

为自然对数的底数)

⑴讨论函数/O)的单调性；

(2)当a>。时，若在R上恒成立，求实数a的取值范围.

【题型3函数的极值、最值问题】

【例3】(2023•全国•模拟预测)已知函数/■(久)=xlnx+(t-l)(x-t)(teR).

(1)当1=o时，讨论函数/(幻的极值；

(2)若F(x)=/(幻-7有两个不同的极值点，求t的取值范围.

【变式3-1](2023•陕西西安•校联考模拟预测)已知奇函数/(0=ad+bx2+ex在x=1处取得极大值2.

(1)求f(久)的解析式；

(2)求f(x)在[-4,3]上的最值.

【变式3-2](2023•宁夏固原・宁夏回族自治区西吉中学校考模拟预测)已知实数a>0,函数/(%)=必n

a-alnx+(x-e)2,e是自然对数的底数.

(1)当a=e时，求函数/(无)的单调区间；

(2)求证：/(%)存在极值点久。,并求，的最小值.

【变式3-3](2023・吉林长春•东北师大附中校考二模)已知函数/(%)=mxe-%%-lnx(meR).

⑴讨论函数/(%)的极值点个数；

(2)若m>0,/(%)的最小值是1+Inm,求实数zn的取值范围.

【题型4函数零点(方程根)问题】

【例4】(2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=2%+F~+

X

(1)当a=1时，求曲线/(x)在点(1/(1))处的切线方程.

(2)若fQ)有两个零点，求实数a的取值范围.

1

【变式4-1](2023•广东广州•广东广雅中学校考二模)已知函数f(x)=lnx+1-l.

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)若g(x)=x2[/(x)+l-a]-x+a,求函数g(x)的零点个数.

【变式4-2](2023,全国•模拟预测)已知函数f(x)=x+1-alnx.

(1)判断函数/(x)的单调性.

(2)若fCt)=1有两个不相等的实根勺,£2，且叼<£2，求证:x1+x2>a.

17

【变式4-3](2023•广西•模拟预测)已知函数/(%)=21n(%+1)+,%-2%+zn有三个零点，meR.

(1)求zn的取值范围；

(2)记三个零点为%1，%2以3,且汽1<%2<%3，证明：%3一%1<2.

【题型5不等式的证明】

【例5】(2023•四川成都•统考一模)已知函数"%)=2eJe%.

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)求证：/(%)>e(lnx+cos%).

【变式5-1](2023•全国,模拟预测)已知函数/(%)=%-?nln%(7neR).

⑴讨论/(%)的单调性；

(2)若存在不相等的实数%1，%2，使得/(%1)=/(%2)，证明：0<血<%1+%2,

【变式5-2](2023•四川成都•统考二模)已知函数fO)=e”-asin%(a>0),曲线y=/(%)在(0/(0))处的

切线也与曲线y=2%-¥相切.

⑴求实数。的值；

(2)若%1是/(%)的最大的极小值点，叼是/(%)的最大的极大值点，求证：2</(xi)+/(x2)<~T~'

【变式5-3](2023•河南新乡•统考一模)已知函数/(%)=泡11%-??1%2一1.

(1)当寸，讨论/(%)在(0,+8)上的单调性；

2

(2)已知％1，叼是/(%)的两个零点，证明：x1x2>y[6e.

【题型6利用导数研究不等式恒成立问题】

.17

【例6】(2023•四川内江•统考一模)已知函数/(%)=产%-In%.

(1)当。=1时，求/(%)的极值;

(2)若不等式f(x)2讨亘成立，求实数a的取值范围.

【变式6-1](2023,全国•模拟预测)已知/(%)=ae"+ln(x+1),a为任意实数.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)令a=2,对均有f(x)2kx+2恒成立，求k的取值范围.

【变式6-2](2023,云南红河•统考一模)已知函数/(久)=mK-Inx-eR).

(1)讨论函数f(久)的单调性；

(2)若关于％的不等式e'T+alnx-(a+l)x+a>0恒成立，求实数a的取值范围.

【变式6-3](2023・安徽•校联考模拟预测)已知函数/(x)=aeJe，(aeR).

(1)若/'G)为偶函数，求此时/G)在点(0/(0))处的切线方程;

(2)设函数g(x)=/(x)-(a+l)x,且存在%1，比2分别为g(x)的极大值点和极小值点.

(i)求实数a的取值范围；

(ii)若a6(0,1),且g(xj+kg(/2)〉。，求实数k的取值范围.

【题型7利用导数研究能成立问题】

【例7】(2023,宁夏银川•校考模拟预测)已知函数/'(x)=for-ln(l+久)(k>0).

(1)当k=1时，求曲线y=f(x)在点(0)(0))处的切线方程；

(2)如果存在％6(0,+8),使得当久6(0,%)时，恒有f(x)<%2成立，求k的取值范围.

【变式7-1](2023•河北•模拟预测)已知函数/(久)=(e-a)e，+x(aeR).

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)若存在实数a,使得关于久的不等式恒成立，求实数2的取值范围.

【变式7-2](2023•河南郑州•统考模拟预测)己知/'(无)=(x-a-+a?%-].(aeR)

(1)讨论外幻的单调性；

17_

(2)若a=-l,且存在xe(O,+8),使得/'GOwlnx+ix+(6+l)x,求b的取值范围.

【变式7-3](2023•北京海淀•统考一模)已知函数f(x)=eax-x.

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0)(0))处的切线方程；

(2)求/(%)的单调区间；

(3)若存在/，叼€[TH，使得於4)4(%2)29,求a的取值范围.

【题型8双变量问题】

[例8](2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=(%+t)ln(x+t)+(t-l)x(teR).

(1)当t=0时，讨论函数/(%)的极值；

x

(2)已知F(%)=/(%)-e,函数F(%)存在两个极值点％Jx2,证明：.+%2V。.

【变式8-1](2023・四川自贡・统考二模)已知函数/(幻=。不-/有两个极值点叼、%2

(1)求G的取值范围；

(2)若%223%1时，不等式%1+Xx2>2久1%2恒成立，求4的最小值.

1291

【变式8-2](2023・河南•校联考二模)已知函数/(%)=刖％+(m-l)x-lnx(mGR),g(%)=%--+1.

乙2e

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)当m>0时，若对于任意的％1£(0,+8),总存在%2£[1,+8),使得之^(勺)，求血的取值范围.

x

【变式8-3](2023•河南•校联考模拟预测)已知函数f(x)=p+lnx-ax,其中e为自然对数的底数.

e

(1)当。=1时，求/(%)的单调区间；

⑵若函数g(%)=/(%)-W有两个零点%V%2)，证明：

【题型9导数中的极值点偏移问题】

【例9】(2023•贵州毕节•校考模拟预测)已知函数/(%)=(2x+a)lnx-3(x-a),a>0.

(1)当久21时，求a的取值范围.

1

2

(2)若函数f(x)有两个极值点叼,久2，证明：x1+x2>2e.

【变式9-1](2023•四川绵阳•统考模拟预测)已知函数/(久)=xlnx--x+a(a£R)在其定义域内有两

个不同的极值点.

(1)求a的取值范围；

(2)记两个极值点为久1，乂2，且,〈久2・若4N1,证明：ei+'v/，：.

(x+l)(a+Inx)

【变式9-2](2023•江西景德镇•统考模拟预测)己知函数/(幻=x

(1)若函数/(%)在定义域上单调递增，求Q的最大值；

(2)若函数/(%)在定义域上有两个极值点%1和%2，若%2>%i，A=e(e-2),求入4+%2的最小值・

【变式9-3](2023•浙江绍兴•统考模拟预测)已知函数fG)=d(lnx-|a),a为实数.

⑴求函数汽幻的单调区间；

(2)若函数f(x)在x=e处取得极值，/(%)是函数/(%)的导函数，且/(%)=/(%2)，x1<x2,证明：2<x1+

x2<e

【题型10导数与三角函数结合问题】

【例10】(2023,四川雅安•统考一模)已知函数/■(久)=ad+2sinx-XCOSK.

(1)若a=0,判断人功在(-：：)上的单调性，并说明理由；

(2)当a>0,探究/(%)在(0,兀)上的极值点个数.

【变式10-1】(2023•四川成都・成都七中校考一模)设函数F(x)=(1-4)cosx+；lcosa-二一|吧，其中

(1)若a=i,讨论F(%)在(。热上的单调性；

(2)当无^(见与时，不等式尸(%)<。恒成立，求实数a的取值范围.

【变式10-2】(2023・四川雅安•统考一模)已知函数f(%)=ad+2sin%-%cos%(其中a为实数).

(1)若@=一W仅3),证明：/(%)>0；

(2)探究/(%)在(-Tim)上的极值点个数.

【变式10-3](2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=e'(cos%+&)-(%+l)sin%,其中e是自然对数的底

数.

⑴求函数/(%)的图象在点(0/(0))处的切线方程；

(2)若无>-1,求证：/(%)>0.

【题型11导数与数列不等式的综合问题】

【例11】(2023•山东济南•校考模拟预测)设函数-久)==Q>-1),已知/(%)>1恒成立.

(1)求实数爪的值;

(2)若数列｛%｝满足4+1=1叭与)，且ai=l-ln2,证明：

【变式11-1】(2023・海南・海口校联考模拟预测)已知函数鲁=lnx-*^

(1)若函数/(久)在［1,+8)上只有一个零点，求a的取值范围；

2

-7T1

(2)若4=，；,记数列｛aj的前n项和为工,证明：2Sn<ln(i+3几+2).

［布，心2"

eX—1

【变式11-2］(2023•重庆沙坪坝•重庆八中校考模拟预测)已知函数f(x)=丁.

（1）证明：当久＜0时，/（%）＜1；当x＞0时，/（久）＞1.

X+1

（2）正项数列｛4｝满足：e"=/（xn）,x1=1,证明：

（i）数列｛4｝递减；

「711

5）百=1久—2-尹

jx3/

【变式11-3]（2023・上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）设函数图（久）=-1+无+^+9+…+水

⑴求函数片（幻在点（1%（1））处的切线方程；

（2）证明:对每个nGN*,存在唯一的46[|1]，满足北（久„）=°；

（3）证明:对于任意peN*,由（2）中久.构成的数列｛久J满足0

1.（2023•全国•统考高考真题）已知函数/■（久）=g+a）ln（l+久）.

（1）当a=-1时，求曲线y=/0）在点（1,/（幻）处的切线方程.

(2)若函数f(x)在(O,+8)单调递增，求a的取值范围.

sin%(

2.(2023•全国•统考高考真题)已知函数一二,％E(0万b

cosX\〃

(1)当a=l时，讨论/(%)的单调性；

(2)若/(%)+sin%V0,求a的取值范围.

3.(2023・北京・统考高考真题)设函数/Q)=x-deax+b,曲线y=/(%)在点(1/。))处的切线方程为

y=-x+1.

(1)求a,b的值；

(2)设函数gQ)=/(%)，求g(x