高考数学二轮复习：函数与导数（练重难）

专题二函数与导数(练重难)——高考数学二轮复习全程专题训练

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知函数(x)=(3加-2)廿+2(meR)是①函数,则函数g(x)=loga(x-〃z)+l(a〉0,

且awl)的图象所过定点的坐标是()

A.(2,l)B.(0,2)C.(l,2)D.(-l,2)

1.答案：A

解析：因为函数/(x)=(3根-2)x'"+2(meR)是募函数，所以3加-2=1,所以机=1,所

以g(x)=k>ga(x-l)+l.令=得尤=2,此时g(2)=l,所以函数g(x)的图象过定

点(2,1).

2.已知函数y=g-1|的定义域为［a,可，值域为0,1,则b-a的最大值为()

42

A.log3—B.log32C.log3—D.2

2.答案：B

解析：由题意得，y="-l卜?二Lx"。，作出函数的图象，如图所示令

—3*+1,x<0,3

4?4?

解得X=log3,或X=log3§'则当b=log3§，〃=log3§时,取得最大值,此时

2

3.[2024年全国高考真题]已知函数/(x)=f⑪-a，x<。在R上单调递增，则。

e""+ln(x+!),%>0

的取值范围是()

A.(-oo,0]B.[-l,0]C.[-l,l]D.[0,+oo)

3.答案：B

解析：因为函数/(%)在R上单调递增，且当x<0时，/(x)=-x2-2ax-a,所以

/(x)=—2依一。在(―oo,0)上单调递增，所以—aNO,即aWO；当x»0时，

/(x)=e"+ln(x+l),所以函数/(x)在［0,+oo)上单调递增.若函数/(x)在R上单调递

增，贝U-aW/(O)=l,即1.综上，实数a的取值范围是［-1,0］.故选B.

4.设正实数a,b,c分另U满足a・e"=Z?-nZ?=c"gc=l,则()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b

4.答案：C

解析：由a-e"=Z?」n6=c」gc=l,得工=e",-=lnZ?,-=1gc,分别作函数y=e”,

abc

y=lnx,y=lgx,y=」的图象，如图所示，它们与函数y=工图象交点的横坐标分

xx

5*—a—4,x<0,

5.[2023秋•高一•广东汕尾•期末]若函数〃x)=­、恰有3个

lg(x2-4x+l-tz),x>0

零点，则实数a的取值范围为()

A.(-3,-2]B.(-3,-2)C.(-4,-3]D.(-4,-3)

5.答案：D

’5'-4r<0-4r<0

解析：由/(x)=0,得a=,''令g(x)=\作出函数g(x)及y=a

x-4x,x>0,[x-4x,x>0,

的图象，如图所示.

由图可知，当ae(-4,-3]时，直线y=a与函数g(x)的图象有3个交点，从而函数

/(%)有3个零点.又无2-4x+l-a>0对x>0恒成立，即a<x?-4x+l对％>0恒成立，

而x~—4x+1=(x-2)~-32—3,所以a<—3,所以ae(—4,—3).

6.若函数/(x)和g(x)的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数/(x)和g(x)为

“对偶函数”.已知/(x)=l-e*,g(x)=ar+xlnx是“对偶函数”，则实数。的取值范

围为()

A.(e-1,+co)C.,+00]D.(-co,e-l)

6.答案：A

解析：因为/(x)=l-e*,g(x)=ar+xlnx是"对偶函数"，故函数/(x)与g(x)的图

象上恰好有两对关于x轴对称的点，所以-/(x)=g(x),即1-1=依+%1!1%有两解，

则a=e'-JinJ-1有两解.令力⑴=4-Inx-1,贝jj〃(刈=(1一1)二，所以当

XXV7X

xe(O,l)时，h'(x)<0,当xe(l,+oo)时，h'(x)>0,所以函数力(x)在(0,1)上单调递

减，在(1,y)上单调递增，所以/z(x)在x=l处取得极小值，且x30,/z(x)f+oo,

又无⑴=e-l,所以a>e-l,即a的取值范围为(e-l,+8).

7.[2023春•高二•马鞍山市第二中学•期中]若存在使得不等式

_e

2xlnx+d一3+320成立，则实数机的最大值为()

31

A.4B.2+e+-C.e29-1D.-+3e-2

ee

7.答案：D

11

解析：存在九£一,e,不等式2%ln%+%2一侬；+320。存在九£一,e

ee

331

m<21nx+x+—,令/(%)=21nx+x+—,XG-,e,则

xxe

/'(x)=2+］—三=5+3)产―1).当/<x<i时,尸(了)<0,当l<%<e时，f'(x)>0,

xxxe

因此函数在，,1］上单调递减，在［l,e］上单调递增，/f-L-+3e-2,

Le」9e

〃e)=2+e+j,/|-/(e)=2e-4-|>0,

即/("ax=f=-+3e-2.

ie

依题意，得%V，+3e-2,所以实数机的最大值为工+3e-2.故选D.

ee

—光>0

8.已知/Xx)=卜’若关于x的方程2/2(x)—1=0有5个不同的实

3x-x3,x<0,

根，则实数上的取值范围为()

人「72、^<72

A.——,——eB.——，——e

I2e)I2e_

C〔一00'一一e,+°°］D］一叫一(J一e,+81

8.答案：A

解析：当xNO时，/(%)=—,r(x)=±M,令r(x)=0,得x=l,所以当xe(0,l)

ee

时，f\x)>0,/(x)单调递增，当xe(l,+oo)时，f'(x)<0,/(x)单调递减，且

/(0)=0,/(I)=-,当x-4<o时，0.当x<0时，/(x)-3x-x3,

e

/(x)=3—3d,令尸(x)=0,得l=—1,所以当xe(—1,0)时，f(x)>Q,/(x)单调递

增，当xe(—8,—1)时，/'(x)<0,/(x)单调递减，且/(—1)=—2,当8时，

/(x)f+8.作出/(x)在R上的图象，如图所示.

令以x)=t,则关于X的方程2/2(x)-左"(x)-1=0有5个不同的实根，可转化为

I-2<4<0,

2产—灯—1=0有两个不同的实根小。,，且能=-一<0.不妨设乙<小则1

20<?<-.

、2e

g(—2)=8+2左一1〉0,

72

令g(%)=2t2—kt—\f则<g(0)=—1<0,解得—<左<—e.

/、2e

二、多项选择题

9.已知/(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且/(x)+g(x)=e",则下

列说法中正确的有()

A.g(0)=l8./(劝-2(刈=1

C.f(2x)-2f(x)-g(x)D.若/(〃z+2)+/(m)>0,则加>一1

9.答案：ACD

解析：由函数/(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足

/(x)+g(x)=eX①，可得/(—x)+g(—x)=e—x,即一/(x)+g(x)=②，由①②可得

x,-xx_0,09

g(x)=T^，/(%)=三已超(0)=匕色=；=1,A正确；

2

9+b、2_O_?「2%_-2x

f2(x)-g2(x)==4-B错误；八2加二

<2J、2,

2/(x).g(x)=2x.e/=££,则/②)=2/(x).g(x),C正确；函数

x_-x

ee是定义在R上的奇函数，且是增函数，所以由/(〃z+2)+/(⑺>0,得

f(jn+2)>,Wm+2>—m,所以D正确.

10.已知函数/(%)=疑*+。*.则()

A.当a=0时，f(x)^=—

e

B.当a=l时，直线y=2x与函数/(x)的图象相切

C.若函数/(x)在区间［0,+oo)上单调递增，贝伊之0

D.若在区间［0,1］上/(x)<%2恒成立，则aW1—e

10.答案：ABD

解析：

当a=0时，/(x)=xe、，贝I]

尸(x)=e*+xex=(1+x)e”,令

/'(x)=0,得l=—1,所以当x<—1

时，f'(x)<0,函数/(x)单调递减，当

AV

x>—1时，/'(x)>0,函数/(x)单调递

增，所以/(x)2/(—1)=—eT=—‘，所

e

以/(的血=---

e

当Q=1时，/(X)=XCX+X,则

/r(x)=ex+xex+l,设切点为

Xn

(xo,xoe+xo),则过切点的切线方程为

+/)=(e与+x()e阳+1)(*_尤0),

BV因为切线过原点，所以

x

0-(/6%+尤o)=(e与+xoe°+1)(0-%),

解得力=0，此时

f,(0)=e°+0xe°+l=2,所以直线

y=2x与函数/(%)的图象相切.

CX由函数/(x)=xe*+ax,得

r(x)=(I+x)e*+a,因为函数/(x)在

区间［0,+oo)上单调递增，所以

r(x)=(1+x)ex+a20在区间［0,+oo)上

恒成立，即a2(-l-x)］在区间［0,+oo)

上恒成立.令g(x)=(-1-x)e",则

g'(x)=—(x+2)e*,又xe［0,+oo),所以

g'(x)<0,函数g(x)单调递减，所以

g(x)<g(0)=-l,所以1.

在区间［0,1］上/(%)<必恒成立，等价于

xe*+ar<Y在区间［0,1］上恒成立,当

%=0时，不等式恒成立；当0<xWl

时，a<x-e”恒成立，令"(x)=x-e",

DV

则〃(x)=l—e，，令〃(x)=0,得

尤=0,因为0<xWl,所以/i'(x)<0,

函数/z(x)单调递减，所以

7z(x)>7z(l)=1-e1=l-e,所以aWl-e.

三、填空题

11.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当光20时，f(x-)=\x-a2\-a2,若

f(x-1)</(x)对任意xeR恒成立，则实数a的取值范围为.

11.答案:

解析：当记0时，由/(%)是奇函数，可作出/⑴的图象又

x-2a,x>a.

/(x-l)</(x)对任意xeR恒成立，所以/(x-1)的图象恒在/(x)的图象的下方，即将

/(x)的图象向右平移1个单位长度后得到的图象恒在/(x)的图象的下方，如图所示，

所以一2/+1>2/,解得

y

12.已知函数/'（X）=（苏-机-1）》‘"""7是募函数，对任意的看,尤2G（0,+8）,且

石/々，满足""J~""）>0,若a,/?GR,且+则a+Z?0

（填“>”"=，，或“<”）.

12.答案：<

解析：因为函数/（同为基函数，所以疗-1=1,即后—m—2=0,解得m=一1或

m=2.

当加=一1时，〃x）=4；当》t=2时，/（x）=x3.

因为函数〃力对任意的占，%2G（0,+oo）,且X产马，满足

所以函数八%）在（o,y）上单调递增，

所以/（X）=%3,

又/（-无）=（-%）3=-/,

所以函数"%）=%3是奇函数，且为增函数，

因为/（“）+/。）<0,

所以/（a）<-®=f（-5），

所以QV-Z?,即a+Z?<0.

故答案为：<.

13.已知Q>1,若对于任意的L+QO],不等式，-x+ln3%V」一+lna恒成立,

_3）3xaex

则实数a的最小值为.

3

13.答案：-

e

解析：因为ln〃+x=ln〃+lne"=ln(ae"),所以，-x+ln(3元)<」一+lna可化为

')3xaex

-+ln(3x)<-^―+\na+x=-^―+In/(%)=—+Inx(x>1),贝U

3xaexaex')x

ii—i

广⑴二—与+L=r20且等号不恒成立，所以/⑴在工“0)上单调递增.因为

XXX

1

g,+co],所以3xNl,>

a>l,xee'>e°=1,aex>1,所以

(+1口(3%)41~^+111(。炉)可化为/(3%)4/(小"),则3x«Qe”,即〃2与在g，+°°

上恒成立，即.

Ie/max

令g(x)，则g，(x)=3(1,x),令g，(x)>0，贝令g，(x)<0，则

X>1,所以g(x)在D上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以g(x)max=g6=3,

L3)e

所以即实数。的最小值为之.

ee

四、解答题

14.[2023届•四川•模拟考试]已知函数f(x)=xe'-(m+3)x-In%-1.

_2,

(1)若X=Xo是/(x)的极小值点，且飞+1>—,求实数机的取值范围;

%

(2)若有且仅有两个零点，求实数机的取值范围.

14.答案：(1)(2e-4,+oo)

(2)(-2,+oo)

2

解析：(1)/(x)的定义域为(0,+Q0),由天+1〉一，可得修〉1.

%

令h(x)=f'(x)=(x+l)ex--

x

则〃(%)=(X+2贮+二>0,

X

则广(X)在(0,+8)上单调递增，函数/(X)在(0,%)上单调递减，在(/，+°°)上单调递

增，满足X=%是/(X)的极小值点，

因为毛〉1，所以/'(Dv/'aojnO,可得2e-加一4<0,

则加〉2e-4,即实数m的取值范围是(2e-4,+oo).

(2)令g(x)=△*=e，-叱口-3,/(x)有且仅有两个零点，

XX

故g(x)有且仅有两个零点.

，/、1-lnx-lx2ex+Inx、几〜、2%1/八、

g(%)=ex----------=---------,设G(%)=%e+Inx(x>0),

xx

则G'(x)=(%2+2x)ex+->0,贝IG(x)为增函数.

当x趋近0时，G(x)趋近-00,又G(l)=e>0,

所以G(x)在(0,1)内存在唯一的零点t,且「以=-hw>0,

则ln，2e)=In(-lnf),即21nt+。=ln(-lnt),

则In。+/=ln(—Int)+(—Int).

函数p(x)=lnx+x为增函数，所以f则e'=L

t

当0<x</时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减；当x>/时，g'(x)>0,函数g(x)单调

递增.

当X趋近0时，g(x)趋近+8,当X趋近+00时，g(x)趋近+8,

m”/、口n/、/In+1c1ln%+l「

因止匕g(x)min即g(/)=e---------m-3=----------m-3

=—m—3=1—m—3=—m—2,

t

因此只需满足-加-2<0,得m>-2,

故实数m的取值范围为(-2,+8).

15.［2024春•高一•重庆•月考］已知函数/(x)=(x-l)2\x-a\.

(1)若a=0,讨论/(x)的单调性；

(2)若a»0,求/(x)在［2,3］上的最小值83),并判断方程g(a)=；q3的实数根个数.

15.答案：(1)/(x)在(-s,0)和上单调递减，在［o,；］和(1,内)上单调递增

(2)方程g(a)=gq3只有1个实数根

解析：⑴若a=0,则/(x)=(x—l)2|x|.

当尤>0时，/(x)=(x-l)2x=%3-2x2+x,

贝|Jf\x)=3——4x+1=(x—l)(3x-1),

所以当时，f'(x)<0,/(x)单调递减，

当和xe(l,+s)