高考数学专项复习：统计概率（解答题11种考法）（精讲）（解析版）

专题04统计概率(解答题11种考点)

考法解读

r①考察对象分两类；

「特征+③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.

「超几何模型41②已知各类对象的个数；

I列式特征一组合数列式一属于数字型

「①在每一次试验中，事件发生的概率相同.

r特征-4-②各次试验中的事件是相互独立的.

(③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.

二

项

分有放回抽取问题对应二项分布

布-与超几何区分----不放回抽取问题对应超几何分布

当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.

I列式特征----概率列式------概率型

统r直接法：直接判断一个事件发生与否能不能影响另一事件发生的概率

计判断相互.一定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成

概独立的方法

相

率一转化法：由事件A与事件B相互独立知，

互

独A与瓦彳与B,彳与万也相互独立.

立

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为

独立事件与fP(AB)=P(A)P(B),

互斥事件区分互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为

P(AUB)=P(A)+P(B).

①P(B|A)M黑;

r条件概率公式----

条②P(B|A)P(AB)表示事件A与B积事件的概率.

件

概

率①按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件B：(i=l2…,n);

全概率

与

-求解的—②求P(Bi)和所求事件A在各个互斥事件R发生条件下的概率P(A|Bi);

全

思路

概③代入全概率公式计算

率

J全概率公式----PCB^XPC^PCBIAj).

i=l

①对称轴X=u----利用对称性可求指定范围内的概率值

正态分布②标准差。

③分布区间

回归方程为y=，x+。.

yxy

A苫X)

r线性回归方程----其中-------=一=-----

A-A-

统a=y-bx.

计

案皿-A,r根据题目提示转化成线性回归方程，即非一次函数转化成一次函数

例非线性回归方程

L根据线性回归方程的公式求参数

独

立基于小概率值a的检验规则：

性

统当？时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；

检Mx,HoXya

验

计当时，我们没有充分证据推断修不成立，可以认为X和丫独立（其中心为a的性界值）

概

率①某种情况下的期望值较好；

②某种情况较稳定；

{③某种情况优于其他情况的概率较大.

①求通项公式：关键是找出概率Pn或数学期望E（Xn）的递推关系

式，然后根据构造法（一般构造等比数列），求出通项公式；

数列与统计概率综合②求和：主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和；

③利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.

一是借助二次函数，分段函数的性质，利用单调性求均值和方差的最值;

统计概率与

函数导数综合二是利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解.但问题的本质

<仍是以概率统计为主导，利用函数辅助求解.

r利用定义法判断单调性求最值

—最值问题+利用导数法判断单调性求最值

I利用函数的性质判断函数的单调性求最值

典例剖析

考法六统计案例

考法一超几何模型

考法七决策问题

考法二二项分布

统

计考法八数列与统计概率综合

考法三独立重复试验概

率考法九统计概率与函数导数综合

考法四正态分布

考法十最值问题

考法五条件概率与全概率

考法十一新概念统计概率

考法一超几何模型

【例「1】(2023•陕西商洛・陕西省丹凤中学校考模拟预测)某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的

水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按

[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成&组,得到如图所示的频率分布直方

图

频率

A组距

o4二二

o44

一一

0I-

O26ZI8-一一

0.020

0.016

0.008

。6065707580859095100评价指标

⑴求〃的值，并估计该项技能的评价指标的中位数(精确到0.1);

(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在「°，75)和[85,90)内的学员中随机抽取短名，再从这12名学员中

随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在PR75)内的学员人数为x,求X的分布列与

数学期望.

【答案】⑴4=°036,82.3

5

(2)分布列见解析；期望为§

【解析】(1)由直方图可知+°.。16+0.020+a+0.044+0.040+0.028+0.008)x5=

解得a=0.036.

因为(0.008+0.016+0.02+0.036)x5=0.4<0,5

(0.008+0.016+0.02+0.036+0.044)x5=0.62>0,5

所以学员该项技能的评价指标的中位数在［8°，85）内.

设学员该项技能的评价指标的中位数为m，则（机一8°）"0-044+°-4=°-5

解得机a82.3.

（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在HQ75）内的有4名，在

内的有8名.

由题意可知X的所有可能取值为°，1，2,3,4.

（）黑99（）/99

=2上回―C阻=14

()&33()&99

i

P(X=4)=^^=—

')e99

则X的分布列为

X01234

73514141

9999339999

小、八735141415

£（X）=Ox——+l1x——+o2x——+3x-----F4X——=—.

v799993399993

【例1-2】（2023•河南新乡,统考三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒

子中4个球.

（1）求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率.

（2）已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出'（'=12,3）个球进行交换，记交

换后甲盒子中的红球个数为X,X的数学期望为4（X）.证明：&（町+冬（幻=4.

18

【答案】⑴行

⑵证明见解析

【解析】（1）由题可知，

C；C；」8

r-——

甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率35

（2）当i=l时，X的取值可能是2,3,4,

C；C；9Pg)二f1=|C；C=1

P（X=2）尸(X=4)

C^C[-I6；；

且CC16

耳(X)=2x——+3x—+4x——=—

则r,168162.

当i=3时，X的取值可能是0,1,2,

C3c32c2c3

尸(x=0)=1|1P(X=1)=第3尸(x=2)=||一2

且16816

1392

&(x)=0x—+lx-+2x—

则168162

故4(x)+&(x)=4.

【例1-3】(2023•山东泰安•校考模拟预测)某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中

心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物

环境、广告宣传的满意程度.调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统

计顾客的满意情况.假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：

商品质量服务质量购物环境广告宣传

顾客甲满意不满意满意不满意

顾客乙不满意满意满意满意

顾客丙满意满意满意不满意

每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据.

(1)求购物中心得分为50分的概率；

(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？

⑶列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分。的数学期望.

2，

【答案】(工"

(2)6

⑶分布列见解析，40

【解析】(1)将得分为50分记为事件A；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满

思，

可能的结果共有:C；C；C；C"C；C；C；+C；C；C；=54(种)

三名顾客产生的反馈结果总共有：（玛）=216（种）

尸⑷-里」1

则2164,...购物中心得分为50分的概率为4

（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B,则

1

124_1

vvv1

P(AB)=233

241~6

4

（3）X可能的取值为2、3、4、5、6

।C2cle2]c2c2cl

C；C；C；1"iLz'LzqLzqi"L/7L/qL/q

p(X=2)=尸(x=3)=£

12广-244

c；c：c；+c；c；c；c；+c；c；c；c；+C：C；C；_5

p(X=4)=P(X=5)=；

（明12

c；c也1

p(X=6)=

24

X23456

11511

P

24412424

£(^)=2x—+3xl+4x—+5x-+6x—=4匕

v724412424常=10X,.E⑷=10xE(X)=40

【变式】

1.（2022•广东汕头•二模）袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个

小球被取出的可能性都相等.

（I）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率;

（II）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.

27155

【答案】(1)55(2)44

【解析】(I)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,

_27

PQ)=

则55

(II)由题意X所有可能的取值为：1,2,3,4

P(X=1)=3=」

C：2220

+_19

P(X=2)=

220

C；.C；+C：.C；+C164_16

P{X=3)=

a22055

+136_34

P(X=4)=

22055

所以随机变量X的分布列为

X1234

1191634

P

2202205555

EX=lx±+2x卫+3x”+4x羽=9

随机变量X的均值为220220555544

2.(2023云南某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1,2,3,4,5的五批疫

苗，供全市所辖的A,B,C三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种.

(1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率;

(2)记A,B,C三个区选择的疫苗批号的中位数为X,求X的分布列.

12

【答案】(1)25；

(2)随机变量X的分布列为:

X12345

1331373113

P

125125125125125

♦・《应_12

【解析】(1)设三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同为事件A,贝IJ5325.

(2)X的所有可能取值为1,2,3,4,5,则

1+C/；_131+C；C+C；-A：311+C]C；+C>C；.A；37

尸(X=l)=尸(X=2)=尸(X=3)=

53125,53125,53125

1+C；C+C；-A；31尸(X=5)=筲&13

"?"125125.

所以随机变量X的分布列为:

X12345

1331373113

P

125125125125125

3.(2023,福建厦门・厦门一中校考模拟预测)教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教

育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治

愚，扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分

批次参与支教活动.支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这

5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验.

(1)求5名优秀教师中的"甲"，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率;

(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数X的分布列;

⑶求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由.

36

【答案】(1)125

(2)分布列见解析

⑶最有可能是1人，理由见解析

2

【解析】(1)5名优秀教师中的"甲"在每轮抽取中，被抽取到的概率为5,

尸=Cj

则三次抽取中，"甲"恰有两次被抽取到的概率为

(2)X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0,1,2.

P(X=0)=||=lP(X=1)=詈4p(x=2)=|1q

所以分布列为:

(3)设4表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，自可能的取值有0,1,2,则有:

「2z-i201z-il02z~i202n

尸(5=0)=上.X+SJ=

’c；C；C；C；C；C；100,

「2pl01plplpl0102plplCA

于=1)=2、2、3।।

C；C；C；C；C；C；100

P(J=2)=CC+C；C.4+或0=2

旧JC；C；砥CtC；100

因为PC=l)>PC=0)>P(J=2),

故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人.

考法二二项分布

【例2】（2023•宁夏石嘴山•统考一模）人类命运共同体充分展现了中国的大国担当.在第75届联合国大

会上中国承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争

取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经

济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车、电动

汽车是重要的战略新兴产业，对于实现"双碳目标”具有重要的作用.为了解42两个品牌新能源电动汽车

的使用满意度，在某市对购买48两个品牌的用户各随机抽取了100名进行问卷调查，记录他们对N、B

两种品牌的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]；并整理得到如下频率分布直方图：

⑴请通过频率分布直方图分别估计N、B两种电动汽车使用满意度的平均得分，并判断哪种品牌电动汽车

更受用户欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；

⑵以样本频率估计概率，若使用满意度得分不低于70分说明用户对该品牌电动汽车较满意，现从该市使

用3品牌的用户中随机抽取5个人，用X表示对3品牌较满意的人数，求X的分布列及数学期望.

【答案】（1）A,8品牌电动汽车的满意度平均分分别为72.7,78.3,5品牌电动汽车更受用户欢迎;

15

（2）分布列见解析，4.

【解析】（1）设用户对A品牌电动汽车的满意度平均分为X,则

x=(45x0.006+55x0.014+65x0.018+75x0.031+85x0.021+95x0.010)x10=72.7

设用户对&品牌电动汽车的的满意度平均分为了,则

^=(45x0.005+55x0.010+65x0.010+75x0.020+85x0.032+95x0.023)x10=78.3

显然72.7<78.3,

所以8品牌电动汽车更受用户欢迎.

（0.020+0.032+0.023）xl0=0.75=-

（2）依题意，用户对3品牌电动汽车满意度不低于70分的频率为4,

（0.005+0.005+0.0⑸x10=0.25=L

低于70分的频率为'4,

从该市使用B品牌的用户中随机抽取5个人，则X的所有可能取值为0/，2,3,4,5,则I4九

（）51^4J1024,（）54UJ1024.

舒信尸（X=3）=C《j望£

p(X=2)=C；

405243

尸(X=4)=C；P(X=5)=C；

10241024

所以X的分布列为:

【变式】

1.（2023•江苏扬州,扬州中学校考模拟预测）学校组织/,B,C,D,E五位同学参加某大学的测试活

动，现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格

21

的概率为3,选择乙方案测试合格的概率为2,且每位同学测试的结果互不影响.

⑴若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X,求X的分布列及其方差;

(2)若测试合格的人数的期望值不小于3,求选择甲方案进行测试的同学的可能人数.

10

【答案】(1)分布列见详解；豆.

⑵3,4,5

【解析】(1)由已知随机变量X的取值有°，123,4,5,则x

1

21Y_io

尸(X=l)=C；xIx3J~243

3

45

22

p(X=4)=C：xP(X=5)=C；x

33

所以X的分布列为

(2)设选择甲方案测试的学生人数为叼7=°，123,4,5,

则选择乙方案测试的学生人数为5-"，并设通过甲方案测试合格的学生人数为

通过乙方案测试合格的学生人数为",

当"=0时，此时所有学生均选择乙方案测试，则〃

E(4+〃)=E⑺=5x—=—<3

所以22不符合题意;

当〃=5时，此时所有学生均选择甲方案测试,

210

+77)=£©=5x-=—>3

所以33,符合题意;

当〃=1,2,3,4时,

所以326

£《+〃）=等23

又6,

则”23,故当”=3,4时，符合题意.

综上，所以"=工4,5

所以当选择甲方案测试的学生人数为3,45时，测试合格的人数的均值不小于3.

2.（2023•北京密云•统考三模）为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随

机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在5。〜350kW-h之间，

进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：

⑴记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户

居民，求他们月均用电量都不低于300kW-h的概率；

(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在5。〜150kW-h之间的用户数为X,以频率估计概率，

求X的分布列和数学期望E(X).

⑶该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于坟kW-h的居民用户

每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，

估计坟应定为多少合适？(只需写出结论).

1

【答案】⑴立

⑵分布列答案见解析，E(X)=0.9

(3)325

【解析】(1)由频率分布直方图可知，100户居民中，第5组的居民户数为100x50x0.0024=12,

第6组的居民户数为100x50x0.0008=4,

尸=9=2=上

从第5组、第6组中任取2户居民，他们月均用电量都不低于300kW-h的概率为C*12020

(2)该地区月均用电量在50~150kW-h之间的用户所占的频率为(°・0°24+0.0036)x50=0.3,

由题意可知,.〜*3,0.3),

所以尸(X=0)=0.73=0.343P(X=1)=C3XO.3x0.720.441

P(X=2)=C^x0.32x0.7=0.189=3)=0.33=0.027

所以，随机变量X的分布列如下表所示：

X0123

p0.3430.4410.1890.027

E（X）=3x0.3=0.9

（3）前5个矩形的面积之和为1-00008x50=0.96<0.98,

设月均用电量的样本数据的第98百分位数为b,则°（300,350）,

则0.96+0-300）x0.0008=0.98,解得b=325,

故可应定为325较为合适.

3.（2023•安徽安庆・安庆一中校考模拟预测）为迎接"五一小长假"的到来，某商场开展一项促销活动，凡

在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都

相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根

据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白

球，2个红球，C：2个白球，D..至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应

一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.

（1）求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率

（2）求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率；

⑶若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为X,求X的分布列和期望.

【答案】（1）《

j_j_2_

⑵顾客分别获一、二、三等奖的概率分别为石、15、15

E（X）=-

⑶分布列答案见解析，3

【解析】）设顾客第i次摸到红球为耳（"1'2）,

则尸⑸/（阳+P厚1V+

62

尸⑷令P(8)=

C4515C:45,

(2)由题意知,10

C2317

6,)=高=左=T?P(0=1-P(/)-P(B)-尸(C)=g

j_j_2

因此，顾客分别获一、二、三等奖的概率分别为石、15、15；

P„=_1__I__1I__2=_2

(3)由(2)可知，顾客抽奖一次获奖的概率为4515159,

尸(X=O)=C;

⑼f4R⑼T=—

所以729

p(X=3)=C；

则X分布列为:

考法三独立重复试验

【例3-1](2023•河北沧州•校考三模)甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比

赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比

赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作

1

为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为万，乙、丙比赛乙胜概率为3,丙、甲比赛

2

丙胜概率为每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.

(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；

(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.

2

【答案】⑴§

13

(2)108

【解析】(1)由题可知，甲、乙、丙各旁观工局的概率即为甲、乙、丙各胜1局的概率.

设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件A,B,C,则A,B,C相互独立,

设比赛完3局时，甲、乙、丙各胜1局为事件"，则M=NCU/B,

贝qP(M)=P(/C)+P(：^)=P(/)P(C)+PO)P(5)=gx：+；xg=g

2

所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为

(2)设甲、乙、丙第i局比赛获胜分别为事件4,耳，G,i=1，2,3,4,5,

设比赛完5局甲获得最终胜利为事件D,则

D=+B{C2A3A4A5+4483844+44B3c4区+4。2c34a

P(为82444)=尸⑻尸闯P(4)P⑷尸(4)=；x；x；x；x；=]

乙。乙J乙/乙,

尸(8C444)=尸⑻p(c"⑷尸⑷尸⑷

4J—/4J-yI*,

W44员44)=尸(4)P(4)P(员)尸⑶)尸(4)=；x：x；x；x；=[

乙J乙J乙[乙,

川44^4)=尸⑷「⑷尸闯尸(cj尸(4)=器

122111

^(4)^(Q)P(C)P(A)/3(4)=XTX-X-X-=-

P(4C2C3AA)=3Y

乙JJJ乙乙/,

p(4G鸟44)=P(4)PG)P⑸尸⑷P(4)=；x：x；x；x：=1

乙JJ乙JI

所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为108.

【例3-2】（2023•河南郑州•统考模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和

线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，

选线、配线和裁布三个环节，简记为工序工序8,工序C.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率

依次为万，3,4.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金

额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技

术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位

技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.

⑴若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；

⑵若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.

17

【答案】⑴24；

(2)12

【解析】（1）记事件M为"小李聘请一位技术员成功完成三道工序”,

当技术员完成工序工时，小李成功完成三道工序的概率为:

2

当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为:248

当技术员完成工序。时，小李成功完成三道工序的概率为:

PA=—X-X—=一

当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为：2344,

（2）设小李最终收益为X,小李聘请两位技术员参与比赛,

有如下几种情况:

两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时X=-230,

两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时X=-230+200=-30,

131|x1一;

P（X=-30）=|1Xi-|X—+—xi-|X+x

242rl4

只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时X=—30-100-50+200=20,

231人2、31211

P（X=20）=x-x-+-x1—X-+-X-X

34213J42324.

/

1731

p（X=70）=—x—x—=—

技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时X=-30-50x2+200=70,,2344；

£（X）=（-230）x—+（-30）xl+20x—+70x1=—

故'''724v7424412.

【变式】

1.（2023,福建龙岩•统考二模）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比

赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获

得该天胜利，此时该天比赛结束.若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天

甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛中获胜的概

率为每局比赛的结果没有平局且结果互相独立.

①记第一天需要进行的比赛局数为X,求X的分布列及E（X）；

⑵记一共进行的比赛局数为匕求P（y・5）.

22

【答案】⑴分布列见解析；期望为不

49

⑵五

【解析】（1）解：X可能取值为2,3.

2

P(X=2)=j+2

4

P(X=3)=1-P(X=2)=§

所以X的分布列如下：

5422

^(X)=2x-+3x-=—

999

2

m=i

（2）前两天中每一天甲以2：。获胜的的概率均为m3；

乙以2：。获胜的的概率均为（3J9

Z121_4

C2x-x—x—=—

甲以2：1获胜的的概率均为33327

।1228

Cx_x_x_=__

乙以2：1获胜的的概率均为2333—27

2

141

P(7=4)=I+=1

9

y=5即获胜方前两天比分为2:0和2:1,或者2:0和0:2再加附加赛

CjX-X—+C2xix-x-=—

甲获胜的概率为-9272993243

乙获胜的概率为9272993243

次『)嗔+寮32

81

173249

p(y<5)=p(y=4)+p(y=5)=-+—=

o1o1o1

2.(2023・云南・校联考模拟预测)目前，教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之

一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2022年共有

10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩彳~N(60,IO?),只有笔试成绩高于70分的学生才

能进入面试环节.

⑴从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取6人，求这6人中至少有一人进入面试的概率；

32j_

(2)现有甲、乙、丙3名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为4'3'5,设这3名学生中通过面试的人

数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

V

参考数据:若贝up(〃一bVXV〃+oja0.6827P(〃-2b+■卜0.9545

P(/z-3cr<X<//+3cr)«0.99730.841356»0.35470.977256-0.8710

【答案】⑴66453

23

(2)随机变量X的分布列见解析；期望为石

【解析】(1)记"至少有一人进入面试"为事件A,由已知得:〃=60。=10

l+P(|X-//|<cr)

尸代470)=

所以2

贝U尸(/)=1一0.84135621-0.3547=0.6453

即这6人中至少有一人进入面试的概率为66453.

(2)X的可能取值为01，2,3,

1-|

尸(x=o)=11XX1-12

4

尸(X=2)=》|x]232111

I+1x1x—x—=

r3r43224

则随机变量X的分布列为:

X0123

1£11£

尸（X）

244244

£(X)=Ox—+1义一+2x—+3

v724424

/

3.（2023,江西景德镇•统考三模）部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高

校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知45两所大学的笔试环节都设有三门考试科

2

目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考A大学，每门科目达到优秀的概率均为若该考生报

j_2

考5大学，每门科目达到优秀的概率依次为Z,5,n,其