复数（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第23讲复数

（9类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第10题,5分复数代数形式的乘法运算

2023年天津卷，第10题,5分复数代数形式的乘法运算复数的除法运算

2022年天津卷，第10题,5分复数的除法运算

2021年天津卷，第10题,5分复数的除法运算

2020年天津卷，第10题,5分求复数的实部与虚部

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握复数的概念，能够理解复数的实部虚部与共轨复数的概念

2.能掌握复数的四则运算法则

3.具备数形结合的思想意识，会借助图形，理解复数与向量的关系

4.会解复数方程问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出复数进行相关计算，求解实数虚数问题。

12•考点梳理一

⑴复数的定义

(2)复数的分类｛考点一、复数的概念

r知识点一.复数的有关概念《(3)复数相等

(4)共拆复数

(5)复数的模

考点五、复数的几何意义

知识点二.复数的几何意义

考点六、复数模长问题

复数

考点二、复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则

知识点三.复数的四则运算考点三、复数相等

(2)几何意义

｛考点四、复数类型

考点七、复数方程问题

知识点四.复数常用结论考点八、复数最值与取值范围

考点九、复数轨迹问题

知识讲解

知识点一.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如〃+〃(“，的数叫做复数,其中人是复数2的实部，之是复数z的虚部，i为虚数

单位.

(2)复数的分类：

复数z=a+bi(a,6GR)

(实数(b=0>

'虚数(b*0)(当a=0时为纯虚数、

(3)复数相等：

a+bi==c+c且6=d(a，b,c>dGR).

(4)共轨复数：

a+bi与c+di互为共轨复数Qa=c,b=—d(a,b,c,dGR).

⑸复数的模：

向量龙的模叫做复数z=a+历的模或绝对值，记作|a+历I或|z|,即|z|=|a+历尸Ua2+炉(。,bGR).

知识点二.复数的几何意义

⑴复数z=a+历(a,bGR)-----对应复平面内的点Z(a,b).

(2)复数z=a+bi(a,Z?£R)——对应平面向量龙.

知识点三.复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则：

设zi=a+6i,Z2=c+i/i(a,b,c,dGR),贝!]

①力口法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+(7)i；

②减法：zi—Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—；

③乘法：z「Z2=(〃+历),(c+di)=(ac—faZ)+(Qd+Z7c)i；

④除法：豆="竺=(a+h)(c-dD=手等+咚萼j(c+d忧0).

2222

Z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即源叶+土，花=屋

一OZi.

知识点四.复数常用结论

1.(l±i)2=+2i；\=i；、=一)

l-ll+l

2.—b-\~ai=i(6?+bi)(a,/?£R).

3.i4"=l,i4,,+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i(«eN).

4.i4n+i4n+1+i-+2+i4"+3=0(aGN).

5.复数z的方程在复平面上表示的图形

(l)a<\z\<b表示以原点O为圆心，以。和6为半径的两圆所夹的圆环；

(2)|z—(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，厂为半径的圆

考点一、复数的概念

典例引领

1.(24-25高三上•海南•开学考试)复数z满足z(2+i)=|3+4i|,则复数z的虚部是()

A.2iB.2C.-iD.-1

3

2.(2024.河南周口.模拟预测)己知复数z=(1+3,i为虚数单位，贝物的虚部为()

A.2iB.-2iC.2D.-2

即时检测

1.(23-24高三下•广西•阶段练习)设2=74、，贝1Jz=()

1+1+1

A.-l-3iB.-l+3iC.1-3iD.1+3i

2.(2024•全国•模拟预测)已知z=巴，+z34-z5=()

i-i

A.iB.-iC.1+iD.1-i

3.(2025・广东深圳•模拟预测)已知i为虚数单位，复数z,满足|z|=5,z在复平面中的第一象限，且实部

为3,则彳为

考点二、复数的四则运算

典例引领

1.（2024・天津•高考真题）已知i是虚数单位，复数（小+i）•（花-2i）=-

2.（2023・天津・高考真题）已知i是虚数单位，化简篝的结果为________.

2+31

♦♦即时啊」

1.（2023•全国•高考真题）设2=淄%,贝厉=（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

2.（2023•全国•高考真题）已知z=U,贝吻一2=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

3.（2024.四川.模拟预测）已知复数z满足次1一i）=3+5i,则复数z=（）

A.4+4iB.4—4i

C.-1+4iD.-1—4i

考点三、复数相等

典例引领

1.（2022•全国•高考真题）已知z=l—2i,且z+a2+b=0,其中a,b为实数，则（）

A.a=l,b=-2B.a=-1,b=2C.a=l,b=2D.a=-1,b=-2

2.（2016・天津・高考真题）已知a,6€R,i是虚数单位，若（1+i）（1-bi）=a,贝卢的值为

b

即B承测

1.（2024•新疆乌鲁木齐•三模）若（l-2i）（2+i）=a+bi（a“€R,i是虚数单位），贝b,6的值分别等于（）

A.4,-5B.4,-3C.0,-3D.0,-5

2.（24-25高三下•全国・单元测试）设a€R,（a+i）（l-由）=2,则。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）若集合A={zn2117nl=lfmEC],8={a+历|ab=0},则4八8的元

素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.(2024•辽宁•模拟预测)已知三牛=2—i,eR,则%+y=()

A.2B.3C.4D.5

考点四、复数类型

典例引领

1.（2020•浙江•高考真题）已知aGR,若a-l+（a-2）i（i为虚数单位）是实数，则a=（）

A.1B.-1C.2D.-2

2.（2024•江西新余•模拟预测）已知复数z满足：|z|=1,1+Z+Z2+Z3为纯虚数，则这样的复数z共有（）

个.

A.1B.2C.3D.4

♦♦即时啊

1.（2024.北京大兴.三模）己知（小-丁为纯虚数，则实数6=（）

A.0B.1C.-1D.±1

2.（24-25高三上•湖南•开学考试）已知复数zi=2-i,z2=a+i（aeR）,若复数与•z2为纯虚数，则实数a的

值为（）

A--1B-1C.-2D.2

•5

3.（2024.北京.三模）若复数z=a—l+5（a+l）i为纯虚数，其中aCR,i为虚数单位，则审=（)

1—ai

A.iB.-iC.1D.-1

4.（23-24高三下.湖南•阶段练习）已知复数z满足|z+2i|=|z|,且z—l是纯虚数，则z，=（）

A.1B.2C.3D.4

考点五、复数的几何意义

典例引领

1.（2023・北京・高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1,百），则z的共朝复数2=（）

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

2.（2023.全国.高考真题）在复平面内，（l+3i）（3—i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

即时

1.（2024.云南•模拟预测）在复平面内，（1—i）（2+i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.（23-24高三上•天津•期中）复数z在复平面内对应的点为（2,-1），则注的共辗复数的模为

3.（23-24高三上•天津河北•开学考试）复数上在复平面内对应的点的坐标是_________.

2+1

4.（2024•青海西宁.二模）已知复数z=i2°24—i,则2对应的点在复平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（23-24高三上.天津红桥•阶段练习）已知i为虚数单位，则兽在复平面内对应的点位于（

2+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

考点六、复数模长问题

典例引领

1.（2023・全国•高考真题）|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.V5D.5

2.（2022・北京・高考真题）若复数z满足i-z=3—4i,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

♦即时检测

1.(2020・全国・高考真题)若z=l+i,则|Z2-2Z|=()

A.0B.1C.V2D.2

2.(2020•全国•高考真题)设复数Z],Z2满足忆/=%|=2,Zi+z2=V34-i,则|z1-Z2|=___

3.(2024.河南关B州•模拟预测)若z=2-i—票(x€R)且|z|=1,则x取值的集合为()

A.{2}B.{3}C.{3,7}D.{1,3}

4.(2024•贵州・模拟预测)F一1=()

A.V2B.V5C.2D.5

考点七、复数方程问题

典例引领

1.（2024•江西•模拟预测）已知1+i是实系数方程/+ax+6=0的一个根.则a+6=（）

A.4B.-4C.0D.2

2.（2024・四川宜宾•三模）已知复数z满足z2+z+l=0且2是z的共辗复数，则z+2=（）

A.-1B.1C.V3D.-V3

1.（24-25高三上•江苏•阶段练习）已知复数z满足z3=l+Wi,贝吻=（）

A.1+V3iB./（cos^1+isinj

C.1+V3iD.V2（cos^+isin^）

2.（2024.山西阳泉.三模）已知2+i是实系数方程%2+p%-q=0的一个复数根，则p+q=（）

A.-9B.-1C.1D.9

3.（2024•重庆九龙坡•三模）设Zi，Z2是关于％的方程/+p%+q=0的两根，其中p,qeR,若Zi=-1+V^i

（i为虚数单位），则工+工=（）

Z1z2

22

A.--B.-C.-2D.2

33

4.（2024•天津河西•模拟预测）已知2i-3是关于％的方程2/+p%+q=o（p,qeR）的一个根，则p+

q=•

考点八、复数最值与取值范围

典例引领

1.（2024•黑龙江牡丹江•一模）已知i为虚数单位，复数z=a+bi,a,beR且满足|z-i|=&,求点Z（a,b）

到直线y=x+3距离的最大值为（）

A.0B.2V2-2C.V2D.2V2

2.（2024•山东烟台•三模）若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则|z|的最小值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

即时啰

1.（2024.云南.二模）已知i为虚数单位，复数z满足|z—1|=|z+i|,则|z—i|的最小值为（）

A.—B.-C.-D.0

223

2.（2024•江苏泰州•模拟预测）若复数zi，Z2满足四-3i|=2,心-引=1,则因-z?|的最大值是（）

A.6-V2B.6+V2C.7D.8

3.（24-25高三上•江苏南通・阶段练习）设Z6C,且（z+5）（2+5）=4,则z?的实部的取值范围为（）

A.[8,36]B.[9,49]

C.[10,64]D.[11,81]

4.（23-24高三下•江西•开学考试）已知复数z=a+6i（a,beR）.且|2-i一z|=1,则竺巴的取值范围为（）

考点九、复数轨迹问题

典例引领

1.（2024•江苏南京•三模）已知复数z满足|z-2|2=z+2,则复数z在复平面内对应点的轨迹为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

2.（2024•广东揭阳•二模）已知复数z在复平面内对应的点为（a,b）,且|z+i|=4,贝U（）

A.a2+(/?+l)2=4B.a2+(Z?+I)2=16

C.(a+l)2+炉=4D.(a+l)2+b2=16

即时检测

1.（2024.云南曲靖.模拟预测）若复数z=x+yi（x,yeR）且|z-5+i|=/，则满足|2x-y-=6万的

复数z的个数为（）

A.0B.2C.1D.4

2.（2024•宁夏•二模）已知复数z满足|z-4+5i|=1,贝收在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2024•湖南长沙•三模）已知复数z满足|z|=1,则|z—2i|的取值范围为（）

A.[0,2]B.[1,3]C.[2,4]D.[1,9]

4.（2022•天津・二模）如果复数z满足|z+l—i|=2,那么|z-2+i|的最大值是.

IN.好题冲关

基础过关

1.（2024.天津和平二模）已知i为虚数单位，复数2=三，则z的共辗复数2=（）

2+21

A.---iB.-+-iC.-iD.--i

222222

2.（23-24高三上.天津武清.阶段练习）已知鲁=i（a/CR）,其中i是虚数单位，贝必+6=

3.（2024.天津蓟州•模拟预测）记i是虚数单位，复数z满足z=弯，则2=

4.（23-24高三上.天津宁河.期末）已知i是虚数单位，则|塞卜—.

5.（23-24高三下.天津南开•阶段练习）若（3-i）z=3i,贝物的共辗复数为.

6.（2023•天津河北•一模）i是虚数单位，复数z满足i（z+l）=2,贝ijz=.

能力提升

1.（2024.天津南开.一模）i是虚数单位，复数z=也到，贝版的虚部为

3+41

2.（2023IWJ二,全国,专题练习）已知今=（1+i）（1+…（1+崇）（nEN*）,则厉2（）23—Z2024I的值为

3.（2023•天津和平・二模）i是虚数单位，若复数z=*（beR）为纯虚数，贝脑=—.

4.（2023•天津和平•二模）复数z满足（l+i）z=|百—i|,贝物=.

5.（22-23高三上•天津河东•期中）i是虚数单位，复数等的虚部是.

6.（22-23高三上•天津滨海新•阶段练习）已知复数