复数（原卷版）-2025年高考数学一轮复习训练

第05讲复数

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：复数的概念..........................................3

高频考点二：复数的几何意义......................................4

高频考点三：复数分类............................................5

高频考点四：复数模..............................................7

高频考点五：待定系数求复数z=a+bi7

高频考点六：复数的四则运算......................................8

高频考点七：共辗复数............................................8

第四部分：新定义题(解答题).......................................9

第一部分：基础知识

1、复数的概念

我们把形如初，。/eR的数叫做复数,其中，叫做虚数单位,满足i2=-1.全体复数所构成的集合

C={a+bi\a,b&R}叫做复数集.

复数的表示:复数通常用字母z表示，即z=a+bi,a,beR,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚

部.

2、复数相等

在复数集C={a+次I。力eR}中任取两个数。+初，c+di,(a,b,c,de7?),我们规定

\a=c

a+bi=c+dio<.

b=d

3、复数的分类

对于复数。+初(a,AeR),当且仅当b=0时,它是实数；当且仅当a=5=0时，它是

实数0；当心70时，它叫做虚数；当。=0且时，它叫做纯虚数.这样，复数

z=a+初(a,beR)可以分类如下:

'实数(6=0)

复数'纯虚数(a=0)

虚数(6w0)<

非纯虚数(awO)

4、复数的几何意义

(1)复数的几何意义一一与点对应

复数的几何意义1：复数z=a+bi(a,beR)<---对应.复平面内的点Z(a,Z?)

(2)复数的几何意义一一与向量对应

复数的几何意义2：复数z=a+应(a力eR):一一对应，平面向量9=(a,6)

5、复数的模

向量无的模叫做复数z=a+〃a/eR)的模，记为|z|或+

公式：|zHa+4l=Ja2+/,其中

复数模的几何意义：复数z=a+应在复平面上对应的点Z(a,»到原点的距离；

特别的，5=0时，复数z=a+应是一个实数，它的模就等于IaI(a的绝对值).

6、共轨复数

(1)定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轨复数；虚部不等于0的两

个共轨复数也叫共辗虚数.

(2)表示方法

表示方法：复数z的共轨复数用I表示，即如果z=a+4•，则5=。_切.

7、复数代数形式的加法(减法)运算

(1)复数的加法法则

设4=。+历，Z2=c+di,(a,A,c,deR)是任意两个复数，那么它们的和：

Z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i

显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数

(2)复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：

(c+成)+(x+M)=a+4的复数％+yi叫做复数a+bi减去复数c+成的差，记作(a+bi)-(c+di)

实部相减为实部

III

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

IIT

虚部相减为虚部

注意：①两个复数的差是一个确定的复数；

②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

第二部分：高考真题回顾

1.(2023•北京•统考高考真题)在复平面内，复数2对应的点的坐标是(一1,6)，贝心的共软复数2=()

A.1+73;B.

C.-1+^3iD.-1—\/3i

2.（2023・全国•（乙卷文））2+i2+2i3=（）

A.1B.2C.A/5D.5

5（l+i3）

3.（2023・全国•（甲卷文））.7.=（）

（2+i）（2-i）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

4.（2023•全国•（新高考I卷））已知z=!二9,则z—5=（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

5.（2023•全国•（新高考n卷））在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：复数的概念

典型例题

例题1.(2024下•上海•高三开学考试)下列命题不正确的为()

A.若复数Z，z2的模相等，则4,Z2是共轨复数

B.%，Z2都是复数，若马+马是虚数，则均不是z2的共趣复数

C.复数是实数的充要条件是z=5

D.zeC,|z+i|+|z-i|=2,则z对应的点Z的轨迹为线段

4-2i

例题2.（多选）（2024上•云南昆明•高二统考期末）已知复数2==一，则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为_iB.复数z在复平面内对应的点位于第二象限

C.z的共辗复数三=i+iD.|Z|=A/2

练透核心考点

1.（2024上•广东深圳•高三统考期末）复数（2+谈的实部与虚部之和是（）

A.7B.13C.21D.27

2

2.（2024下.高一单元测试）已知复数2=不一

①在复平面内Z对应点的坐标为（1,-1）;

②复数的虚部为-i;

③复数的共辗复数为i-1;

@|Z|=A/2；

⑤复数z是方程_?-2尤+2=0在复数范围内的一个根.

以上5个结论中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

高频考点二：复数的几何意义

典型例题

例题1.（2024下•全国•高一专题练习）"0＜加＜十’是"复数Z=（3w-2）+（m-l）i在复平面内对应的点位于

第四象限"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例题2.（2024上•四川成都•高三树德中学校考期末）在复平面内，复数Z，%对应的点分别是（2,

则三的模是（）

4

A.5B.y/5C.2D.y/2

例题3.（多选）（2024・湖南长沙•长沙一中校联考模拟预测）已知复数Z，z?在复平面上对应的点分别为

A,B,且。为复平面原点若.Z1=/+」i（i为虚数单位），向量函绕原点逆时针方向旋转90。，且模伸

122

长为原来的2倍后与向量砺重合，则（）

A.Z?的虚部为且B.点B在第二象限

2

C.\ZX+Z2\=42D.—=2

Z]

练透核心考点

1.（2024上•广东佛山•高三石门中学校考期末）复数z=—」在复平面内所对应的点位于（）

l-2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（多选）（2024下•高一单元测试）关于复数，下列说法错误的是（）

A.若忖=1,贝ljz=±l或土i

B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量方与丽，则向量而对应的复数为9+，

C.若z是复数，则z2+l>0

D.若复数z满足l4|z|<0,则复数z对应的点所构成的图形面积为兀

3.（2024•全国•高一假期作业）复平面上两个点Z“Z2分别对应两个复数40,它们满足下列两个条件：

①z?=z「2i；②两点Z1,Z?连线的中点对应的复数为3+4i,若。为坐标原点，则△ZQZ?的面积为

高频考点三：复数分类

典型例题

例题1.（2024上•河北廊坊・高三河北省文安县第一中学校联考期末）若复数;^（aeR）为纯虚数，贝心=

1—1

（）

A.-1B.0C.1D.2

例题2.（2024下•全国•高一专题练习）复数z=（l+i）冽2_（8+i）冽+15-6iOwR）,求实数机的取值范围使

得：

（l）z为纯虚数;

（2）z在复平面上对应的点在第四象限.

例题3.（2023下•河北唐山•高一校联考期中）已知人eR,a>0,复数z=a+历，且同=逐，复数z（l+i）

在复平面上对应的点在函数>=-3x的图像上.

⑴求复数z；

⑵若z-g（weR）为纯虚数，求实数机的值.

练透核心考点

1.（2024•天津滨海新•高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）己知z=（〃?+1）+（2-%）i是纯虚数（其

中meR,i是虚数单位），则号心•=;

Z

2.（2024•全国•高一假期作业）已知复数z满足目=5.

（1）若（4+3i）-z是实数，求复数z；

7

（2）求^+2-i的取值范围.

3.（2024下•全国■高一专题练习）已知复数z=（l+i）/―（5i+3）m-（4+6i）,当他为何值时,

（1）z为实数？

（2）z为虚数？

（3）z为纯虚数？

（4）z在复平面内对应的点在第四象限?

高频考点四：复数模

典型例题

例题L（2024•福建漳州•统考模拟预测）已知复数4,z?满足4+24=-3-i,同-zj=l,则%+2i|的最

大值为.

例题2.（2024•全国•高三专题练习）已知复数z满足|z+国+卜-啊=4,则|z-i|的最大值是.

例题3.（2024・全国•高三专题练习）在复平面内，已知复数z满足|z|=1,i为虚数单位，贝力z-3-4i|的最

大值为.

练透核心考点

1.（2024•天津滨海新•高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）已知z=（/n+l）+（2-m）i是纯虚数（其

中，，zeR,i是虚数单位），则生g=；

Z

2.（2024•全国•高一假期作业）若zeC,且满足Iz+1-i|=1,则Iz-1-i|的最大值为.

3.（2024•全国•高一假期作业）设复数4、z2,满足㈤=阂=1,4―2=强，则|z+Z2|=.

高频考点五：待定系数求复数z=a+bi

典型例题

例题L（2024•全国•高一假期作业）设复数4、z2,满足闾=区|=1,则区+22卜.

例题2.（2024•全国•高三专题练习）满足z2eR，|z-i|=l的一个复数z=.

练透核心考点

1.（2024•全国•高一假期作业）若复数句和复数Z2满足㈤=1,上11,4+即=1*则一.

Zl-Z2

2.（2024•全国•高三专题练习）在复平面内，已知复数z满足|z|=l,i为虚数单位，则|z-3-4i|的最大值

为.

高频考点六：复数的四则运算

典型例题

例题1.（2024•湖南邵阳•统考一模）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（）

A.（1+i）2B.（1-i）2

1_i

C.--rD.（1+i）4

l+i

例题2.（2024上•贵州遵义•高二统考期末）若z=l+i,则|z+2-i|=（）

A.2B.1C.y/2D.2近

例题3.（2024•全国•高一假期作业）设复数4、z2,满足闻=闫=1,Z1-z2=V3i,则1Z+z?卜

练透核心考点

1.（2024上•浙江湖州•高三统考期末）已知复数z满足（z-l）i=4+3i（i为虚数单位），贝|z+Z=（）

A.8B.6C.-6D.-8

2.（2024•全国•模拟预测）若2=±^,贝年等于（）

1-1+1

A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3i

3.（2024•全国•高三专题练习）复数z=l+2i+3i?+…+2022i202i+2023i2022的虚部为.

高频考点七：共粗复数

典型例题

例题1.（2024上•浙江湖州•高三统考期末）已知复数z满足（z-l）i=4+3i（i为虚数单位），则z+彳=（）

A.8B.6C.-6D.-8

例题2.（2024上•四川成都・高三树德中学校考期末）在复平面内，复数4,Z2对应的点分别是（2,-1）,（1,-3）,

7

则二的模是（）

Z1

A.5B.75C.2D.V2

2+4i

例题3.（2024上•天津•高三校联考期末）设2=丁一+i,则z的共辗复数为_______.

1+1

练透核心考点

1.(2024,陕西宝鸡•统考一模)已知复数2=三旦，2为z的共辗复数，则|z|-彳在复平面表示的点在()

1+V3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1-

2.(2024•全国•模拟预测)已知复数z=l—i,则——z=()

z

A0R710