等式与不等式-2025届高中数学一轮复习特训（含解析）

等式与不等式-2025届高中数学一轮复习特训

一、选择题

1.不等式——5%+6>0的解集为（）

A.，XX<—a或%>2

%——<x<—>

2323

c.<龙兀<一2或％〉223

D.《工——<x<—

3232

2.若a,b,cwR，则下列命题正确的是（）

A.若〃</?,则B.若Q>b>0,则"+1<2

aba+\a

1221

C.若a>b，则ac>beD.若ac>be，则〃〉b

3.设实数见〃满足加+〃>0,则关于x的不等式（x-m）（x+〃）>0的解集为（

A.{%|〃或%>相}B.{%|x<-m^x>n}

C.{j（\-n<x<m}D.{%|-m<x<n}

4.若〃,"c£R,则下列命题正确的是（）

A.若〃<Z?，则!』B.若Q>匕>0,则<—

aba+1a

2221

C.若a>b，则ac>beD.若ac>be,则a>b

5.对于任意实数。、仇（〃—人了2如人均成立，则实数上的取值范围是（）

A.{-4,0}B.[-4,0]C.（-oo,0]D.（-oo,-l]I。-+w）

6.已知£R,则下列说法正确的是（）

A.若。>6，则〃根2>人加2B.若则

cc

C.若ac2>be2，则a>bD.若/>/,而>0,则,：

ab

7.若。,b£R,且Qb>o,则下列不等式中，恒成立的是（）

112ba

a1+b2>laba+b>2>JabC'~+T>~rTD.—+f»2

abslabab

8.当x,y«0,+8）时，4x：+17.y+4y<生恒成立,则机的取值范围是（

x+2xy+y4

A.（25,+oo）B.（26,+OO）C*,+OO[D.（27,+OO）

二、多项选择题

9.若关于x的不等式f—g+3）x+3a<0恰有4个整数解，则（）

A.a的值可以是"B.a的值不可能是-2

2

C.a的最大值是8D.a的最小值是7

10.已知实数尤,y满足1<%<6,2<丁<3,则（）

1X

A.3<x+y<9B.—1<%—y<3C.2<xy<18D—<—<3

3y

11.已知a>0，/?>0,且a+/?=l，贝!1（）

^-a2+b2>-B.2a-b>-

22

D

C.log2a+log2Z?>-2-s/a+4b<42

三、填空题

12.已知函数=若/（x）+/a—则x的取值范围为一

2x,x>0,

13.若关于x的不等式左国>鼠-2|恰好有4个整数解,则实数k的范围为

14.若一元二次方程如2—（加+[）%+3=0的两个实根都大于-1,则根的取值范围

四、解答题

2x-1

15.不等式:---VI解集为4

%+2

⑴求集合A;

（2）若不等式ax2+（4i-l）x-l<0的解集为民且AB=B,求a的取值范围.

16.已知〃>0,/?>0,且。+5=1,证明：

（1）2a2+2b2>l;

19

（2）-+->16.

ab

17.某单位要建造一间地面面积为12m2,且背靠墙的长方体小房，房屋正面留有一扇宽为1m的小

门，房屋的墙和门的高度都是3m，房屋正面的单位面积造价为1200元/m2,房屋侧面的单位面积

造价为800元/m2,屋顶的造价为5800元.若不计房屋背面的费用和门的费用，问：怎样设计房屋能

使总造价W（单位：元）最低？最低总造价是多少？

18.已知函数/（x）=|2x+4］+|x—小

（1）求不等式尤）归5的解集；

（2）若/1（%）最小值记为7w,a,b，c»0,且满足a+Z?+c=7〃，求证：——■I——-——1-^—>1.

',—a+1b+2c+3

19.已知函数y=H2_4x+左+2・

（1）已知关于尤的不等式依2.4%+k+2wo的解集为伏，女+2〉若存在］«左,左+2］使关于尤的

不等式和％+机+2>0有解，求实数机的取值范围；

（2）解关于尤的不等式次2—4x+左+2<5+左一（左+1）》.

参考答案

1.答案：B

解析：由题知（3x—2）（2x+3）<0,解得—|<x<g，原不等式的解集为<x—

故选：B.

2.答案：D

解析：选项A,若a<03>0,则结论错误，故选项A错误；

选项B,根据糖水不等式可知，.>人>0,2±1>9,故选项B错误；

a+1a

选项C,当c=0时，呢2=秘2=0,故选项C错误；

选项D,〉儿;2,可知/>0,〉6，故选项D正确.

故选：D

3.答案：A

解析：因为加〉-九，

所以不等式的解集为%〃或x>加｝.

故选：A.

4.答案：D

解析：选项A,若〃<0乃>0,则结论错误,故选项A错误；

选项B,根据糖水不等式可知,a>b>0,3/，故选项B错误；

Q+1a

选项c,当c=0时,=人,=0,故选项C错误；

选项D,介〉儿2,可知，>0,>从故选项D正确.

故选：D.

5.答案：B

解析：若ab=0，左£R；

若乃>0，左《七女£，+2_2,

abba

因为色+2_222口^一2=0,所以kWO；

ba\ba

若ab<O^k>——―=-f----

ab\ba)

因—卜2—力―2W—2/1力，胃—2=—4,所以幽4

所以-4<kK0,即ke[T,0]•

故选：B.

6.答案：C

解析：对于A,若m=0,则不成立，故A错误;

对于B,若°<0，则不成立，故B错误;

对于C,将口02>人02两边同时除,可得。,故C正确；

对于D,取a=—21=—1,可得-<-不成立，故D错误；

ab

故选：C

7.答案：D

解析：/+/之2"，所以A错；必>0,只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当

a<02<0时,B错;同时c错;巴或2都是正数，根据基本不等式求最值,@+2]4义2=2,故D

baba\ba

正确.

8.答案：A

解析：当x,ye（0,+8）时，

4/+17/口+4y2

x4+2x2y+y2

当且仅当4x2+y=/+4y,即y二炉时，等号成立,

所以

'Am的最大值若'

所以生〉生，解得加>25，

44

即m的取值范围是（25,+8）•

故选：A

9.答案：AC

解析：令》2一（0+3）x+30=0,解得％=3或%=0.当。>3时,不等式％2-（。+3）］+3。<0的

解集为（3,a）,则7<a<8;当a=3时,不等式d_（a+3）］+3a<0无解，所以a=3不符合题

意;当a<3时,不等式g+3）x+3a<0的解集为（a,3）,则-2Wa<-1.综上,a的取值范围

是［―2,—1）（7,8］,

10.答案：ACD

解析：实数满足1<%<6,2<y<3,

由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有3<x+y<9,2〈孙<18,AC选项正确；

由—3<—y<—2,得—2<x—y<4,B选项错误；

由得1<二<3,D选项正确.

3y23y

故选:ACD

11.答案：ABD

解析：对于A，a2+/="+（］—47=2〃—2a+i=2（a—g］+1>L

当且仅当a=b=-时，等号成立，故A正确；

2

对于B,。—6=2a—1>—1，所以>2-=!,故B正确；

2

1

对于C,}g&+logb=logab<logio

O2222=log2-=-2.

当且仅当a=b=-时，等号成立，故C不正确；

2

对于D,因为=1+2y［ab<\+a+b-2^

所以6+6<J5，当且仅当。=b=；时，等号成立，故D正确;

故选：ABD.

12.答案:—,+GO

2

3x,x<0,

解析：对于函数/（%）=

2X2,X>0,

(i)当％(0,则/(x)+/(x-1)=3x+3(x-l)=6%—3>—1,解得X〉L,故此时X不存在;

3

(ii)当0<%Wl，则/(x)+/(x—1)=2炉+36—1)=2r+3%—3>—1，

解得x〉工或尤<—2,故此时尤的取值范围为（工,1

212

(iii)当％>1，则/(x)+/(x—l)=2f+2(x—l)2=4f—4x+2>—1，即4/—4%+3>0,

其中△<€），不等式恒成立，故此时x的取值范围为（l,y）.

综上,x的取值范围为（；,+oo

故答案为：

13答案:(?t

解析：因为左忖>上一2,0,

所以由题意当且仅当不等式（左2—1）无2+4%—4>0恰好有4个整数解，且左〉0,

•一1<0

所以首先4(,\,，解得0(左<1，

△=16+16(攵2—1)=16左2>0

—4±4左22k2T2

又方程（左2—1卜2+4%_4=0的根为x=，即Bn％=----或％=-----

1-F1+kl-k

所以不等式（父—1）无2+4%—4>0的解集为二_<%</,

'71+kl-k

因为0<女<1，所以1<----<2,

1+k

所以不等式伏2—1）%2+4%—4>0的4个整数解只能是2,3,4,5,

所以5<——W6，

l-k

又因为0V左<1，

所以解得3〈上即实数左的范围为

5一3153

故答案为.

153」

14.答案：m<—2或mN5+2y/^・

加w0,

m+1।

——>-1,

解析：由题意得应满足々2m

A>0,

何(―1)>0

解得：加<—2或加25+2指・

故答案为：加<一2或加25+246.

15.答案：(1)A=(-2,3]

(2)C)一

3

2x_12x—1—x—2x—3八

解析：(1)-------<1,/.-----------------<0,即a-----<0,

x+2x+2x+2

故(IX—

，解得:―2vx<3,「.A=(—2,3].

%+2。0

（2）由ax2+（4z-l）x-l<0,得（女一1）（%+1）<0,AB=BBjA,

①当a=0时,5=[―1,+8），不合题意，舍去

②当a>0时,不等式化为:（x+1）（x—4]W0,注意到—140W!，

<a）a

B=—1,—,一V3,a2一,

a]a3

③当。<0时，不等式可化为：（X+I）[x-注意到无论!与一1大小关系，均包含趋于±OO部分,

<aja

一定不符合,舍去；

综上可知：〃之一.

3

16.答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：(1)证明:因为。+6=1,所以4+Z?2=(a+b)--2az?=l-2ab.

因为a>0,6>0,所以巴也当且仅当a=时，等号成立.

(2J42

所以1—2ab21—2义工=工，即a2+b2>->2a2+2Z?2>1.

422

(2)因为a+b=l,所以工+2=(。+为(工+2]=2+如+10.

ab\ab)ab

因为。>0*>0,所以2〉o,%>o,

ab

所以2+%26,当且仅当2=%，即6=3a=3时，等号成立，

abab4

则2+%+10216,即工+2216.

abab

17.答案：当房屋正面的长为4m，房屋侧面的长为3m时，总造价卬最低，最低总造价是31000元

解析：设房屋正面的长为xm,则房屋侧面的长为是"m，

X

因为小房的墙的高度是3m，

所以房屋正面的建造面积为3(x-l)m2，房屋侧面的面积为史n?.

因为房屋正面的单位面积造价为1200元/m2，房屋侧面的单位面积造价为800元/m2,

所以w=3600(x-l)+2x—X800+5800

X

a久

二3600%+2x—x800+2200>28800+2200=31000，

x

当且仅当3600x当曳，即尤=4时，等号成立.

X

所以当房屋正面的长为4m，房屋侧面的长为3m时，总造价W最低，最低总造价是31000元.

18.答案：(1)|x|-|<x<0

(2)证明见解析

解析：(1)因为/(X)=|2x+4|+|x—1卜

当x<—2时，/(%)=|2%+4|+,_"=_(2x+4)_(1_l)=_3x_3；

当时，/(x)=|2x+4|+k_l|=(2x+4)_(x_l)=x+5；

当％>1时，/(x)=|2x+4|+|x—l|=(2x+4)+(x—l)=3x+3；

因为(到V5,所以一5V/(x)W5,

当x<-2时，得_5W_3x_3W5,解得—白Vx<2,故—号<》<_2；

—333

当—24x41时，得—5WX+5W5,解得—lOWxWO,故—2W%W0；

当%>1时，得一5W3x+3<5，解得一号<x<2,故尤G0；

33

综上：-|<x<O，BP|/(x)|<5的解集为|x|-|<x<oj.

(2)由(1)得，

当％<_2时,/(%)=—3x—3,则/(%)>—3x(—2)—3=3；

当一24x41时，/(x)=x+5,贝U—2+5W/(x)Wl+5,即3W/(x)W6；

当x>l时，/(x)=3x+3,则/(x)=3x+3>3xl+3=6；

综上：/(九)23,故/⑴最小值为3,即m=3，

所以a+〃+c=m=3，

又。力,cNO,令