等式与不等式（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第02讲等式与不等式

（6类核心考点精讲精练）

1%.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2019年天津卷，第10题,5分解不含参数的一元一次不等式

2017年天津卷，第2题,5分必要条件的判定及性质解不含参数的一元一次不等式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度为低难度与中档难度，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质进行比较大小

2.能掌握一元二次不等式的性质

3.掌握一元二次不等式根与系数的关系

4.会解一元二次不等式、能够解决一元二不等式的恒成立与存在成立等问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查不等式的性质，一元二次不等式的性质等。

卜飞•考点梳理•

1.两个实数比较大小的方法考点一、等式与不等式的性质

「知识点一.等式与不等式的性质Y2.等式的性质《考点二、比较大小

3.不等式的性质考点三、最值与取值范围问题

等式与不等式r

1一.元二次不等式的概念「

2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不考点四、一元二次不等式

1知识点二.一元二次不等式《等式的解集的对应关系Y考点五、一元二次方程跟的分布

3.一元二次不等式的解法考点六、一元二次不等式恒成立

4.三个“二次”间的关系1

知识讲解

知识点一.等式与不等式的性质：

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法

a-b>0Qd>b,

a-b=0=a-b,

a-b〈0=a<b.

(2)作商法

E>l(a£R,b>0)oa>b(a£R,b>0),

£=l(a,bH0)=a=b(a,bW0),

三<l(ae/?,b>0)<=>a<b{aER,b>0),

2.等式的性质

⑴对称性:若a=b,则心a.

(2)传递性:若a=b,b=c,则a=c.

⑶可加性：若。二力，贝！Ja+c=b+c.

(4)可乘性:若a=b,则ac=be;若a=b,c=d,则ac二bd

3.不等式的性质

⑴对称性：cOb=b<a;

(2)传递性：a>b,b>c=a>c;

⑶可加性a>b=>a+c>b+c;a>b,c〉d=a+c>b+d

(4)可乘性：a〉b,c>0«ac>bc;a>b,c<0<=>ac<cb;a>b>0,c〉d>0"acybd;

(5)可乘方：a>b>0<=>an>bn(nGN,n>l);

(6)可开方a>b>0oyja>VF(nGN,n>2).

知识点二.一元二次不等式

1.一元二次不等式的概念

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是工的不等式，叫做一元二次不

定义

等式

ax+bx+c>0,axbx+c<.Q,af+6x+c20,其中〃W0,

一般形式

a,b,c均为常数

2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

判别式A=l）—^acA>0zl=0A<Q

心

二次函数y=ax+bx

+c（a〉0）的图象1LV

有两个相等的实数

一元二次方程ax+有两个不相等的实

没有实数根

根不=*=—5

bx+c=0（a>0）的根数根Xi,X2（X1<X2）

ax+bx~\-c>0(乃>0)b

>

{xX〈矛1,或X>E}x丰FR

的解集

ax+bx~\-c<0(a>0)

{xXl〈水用}00

的解集

3.一元二次不等式的解法

1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a

>0).

2.求出相应的一元二次方程的根.

3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.

方程的根一函数草图一观察得解，对于a<0的情况可以化为a>0的情况解决

注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来

解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。

注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意

判别式韦达定理的应用。

4.三个“二次”间的关系

判别式A=b2—4acA>0A=0A<0

二次函数y=ax2+bx

+c(a>0)的图象4^

有两相等实根X1=X2

一元二次方程ax2+bx有两相异实根Xi,

___L没有实数根

+c=0(a>0)的根X2(X1<X)

22a

2

ax+bx+c>0(a>0){xX>X2

R

的解集或xVxJ

ax2+bx+c<0(a>0)

{xXiVxVxz}00

的解集

考点一、等式与不等式的性质

典例引领

1.(2024•辽宁•模拟预测)若a>b,则下列说法正确的是()

A.a2>b2B.lg(a—h)>0C.a5>b5D.|a3|>|b3|

【答案】C

【分析】利用特殊值判断A、B、D,根据幕函数的性质判断C.

【详解】对于A：当a=0、b=—1,满足a>b,但是a2Vb2,故A错误；

对于B：当a=0、b=—1,满足a>b,但是lg（a—b）=Igl=0,故B错误；

对于C：因为y=%，在定义域R上单调递增，若。>b,则a，>〃，故C正确

对于D：当a=1、b=—1,满足a>b,但是=g3|,故D错误.

故选:C

2.（2024,山东滨州•二模）下列命题中，真命题的是（）

A.若a>b,则ac>beB.若a>b,则标>b2

C.若。。2之力。2,则Q之力D.若Q+2b=2,则2a+4°24

【答案】D

【分析】由不等式的性质可判断A,B,C,利用基本不等式。+5之2而，当且仅当a=b时等号成立，即可

判断D.

【详解】对于A,由a>b,c=0可得ac=be,故A错误；

对于B,由a>0,h<0,\a\<\b\,可得a2Vb2,故B错误；

对于C,若ac2Nbc2,且当。=0时，可得Q,b为任意值，故C错误；

对于D,因为2a+d=2。+22b2272a•例=2,2a+2匕=4,当且仅当a=2b=1时，等号成立，

即2a+4&>4,故D正确.

故选：D.

即时啰!）

1.（22-23高三上•甘肃定西•阶段练习）已知a〉b>0,c<0,则下列正确的是（）

A.ac>beB.ac>bcC.刍>三D.ab—be>0

c2c2

【答案】D

【分析】对于ACD,利用作差法判断，对于B,利用幕函数的性质比较.

【详解】对于A,因为a>b>0,cV0,所以ac-be=（a-b）cV0,所以ac<bc,所以A错误；

对于B,因为y=V0）在（0,+8）上递减，且a>b>0,所以a。V所以B错误；

对于C,因为a〉b>0,c<0,所以名一号=哼<0,所以与（刍所以C错误；

C乙czc乙czcz

对于D,因为a>b>0,c〈0,所以ab-bc=b（a-c）>0,所以D正确.

故选：D

2.（2024•安徽淮北•二模）已知见beR,下列命题正确的是（）

A.若ab=1,则a+b>2

B.若工<士则a>b

ab

C.若a>b,则ln（a—h）>0

D.若a>b>0,则H—>bH—

Qba

【答案】D

【分析】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得.

【详解】当。二-1"二一1时，a+b=—2,所以A错.

当aVO,b>0时，a<b,所以B错.

当Q=2,b=l时，ln（a—6）=0,所以C错.

若a>6>0,贝壮〉工>0,则a+工>6+工成立，所以D正确.

baba

故选：D

3.（2024•天津•一模）已知a”eR,则“b>|a|"是“a?<炉”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.

【详解】因为a,beR,当b>|a|时，有6>|a|20,则a?<成立，即充分性成立：

当｛/二二时，。2<（一1）2,即。2<炉成立，而—即6>|a|不成立，进而必要性不成立.

所以a,6eR,"b>|a|"是ua2<b2n的充分不必要条件.

故选：A.

4.（2023•山西临汾•模拟预测）若a,beR,则“a<6”是“。3—a2b<。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】

利用不等式的性质，结合充分必要条件的定义即可得解.

【详解】当a<b时，取a=0,则a3—a2b=0,即充分性不成立；

当—口26<0时，有a2（a—6）<0,则aKO,故a2>0,

所以a-b<0,即a<b,即必要性成立；

综上，"a<"'是"a3-a2b<0"的必要不充分条件.

故选：B.

考点二、比较大小

典朋风

1.（22-23高三上•天津河东•期中）若a=巴2b=In21n3,c=见012,则a,b,c的大小关系是（）

44

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>b］）.b>a>c

【答案】C

【分析】根据a>b=a-b>0,因此要比较a,b的大小，作差，通分，利用对数的运算性质，即可求得a,

b的大小；利用对数函数y=lnx的单调性，可知In2n>ln6>0,然后利用不等式的可乘性，即可得出a,c

的大小.

【详解】解：a—6=蛇—In21n3=3g乂虫=些应>0,：.a>b,

444

而ln(2n)>ln6>0,即c>a,

44

因此c>a>b.

故选：C.

2.(2024•四川成都-模拟预测)已知a,5为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为

()

A.i>|B.ln(a+l)>ln(h+1)

C.a3>b3>0D.Va—1>Vb—1

【答案】B

【分析】利用不等式的性质、结合对数函数、塞函数单调性，充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】对于A,工>《，不能推出a>b>0,如工〉反之a>b>0,则有工<

ab-3-2ab

即工是a>b>0的既不充分也不必要条件，A错误；

ab

对于B,由ln(a+1)>ln(/?+1),得a+l>h+l>0,即a>b>—1,

不能推出a>b>0,反之a>h>0,则。>b>—1,

因此ln(a+1)>ln(6+1)是a>b>0的必要不充分条件，B正确；

对于C,a3>b3>0a>b>0,a3>b3>。是a>b>0的充分必要条件，C错误；

对于D,由—1>得a>b之1>0,反之a>b>0不能推出a>b>1,

因此>VF］彳是a>b>0的充分不必要条件，D错误.

故选：B.

♦♦即时啊

1.(22-23高三上•天津河西•期末)若a,b,ceR,a>b,则下列不等式成立的是()

A.—<—B.a?<b?C.——>——D.a|c|>b\c\

abc2+lc2+l1111

【答案】c

【分析】举反例排除ABD,利用不等式的性质判断C即可得解.

【详解】对于A,取a=l,b=—1,满足a>b,但%>；，故A错误；

对于B,取a=l,b=-l,满足a>b,但小=坟，故B错误；

对于D,取c=0,则a|c|=b|c|,故D错误；

对于C,因为/+1>1>0,则？—>0,

又a>b,所以白>；,故C正确.

c2+lc2+l

故选：C.

2.(2023-天津-一模)设a>0,b>0,则“a>b"是△<北的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用作差法结合得出工<；的等价条件，即可得出结论.

ab

【详解】因为Q>0,b>0,由工<工可得工一工=火二>0,则a—6>0,即a>b,

abbaab

因此，若a>0,b>0,贝「'a>b"是‘口<J”的充要条件.

故选：C.

3.(23-24高三上•天津和平•开学考试)已知a是实数，则“a>1”是“a+工>2”的().

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】判断“a>1”和“a+工>2”之间的逻辑推理关系，即得答案.

a

【详解】当a>l时，a+工一2=%理="比>0,

aaa

故a+二>2,即a>1成立，则a+2>2成立；

aa

当。=工时，。+工=工+2>2,但推不出a>1成立，

2a2

故"a>r是"a+工>2”的充分不必要条件，

a

故选：A

4.(2024•北京西城•一模)设。=t—=t+}c=t(2+t),其中—1<t<0,贝！I()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】c

【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.

【详解】由一l<t<0,故：6(-8,-1),故a=t>0,

由对勾函数性质可得b=t+|<-(1+1)=-2,

c—t(2+t)<0,且c—t,(2+t)=产+2t=(t+1)2—1>—1,

综上所述，有b<c<a.

故选：C.

考点三、最值与取值范围问题

典例引领

1.（2024高三•全国•专题练习）已知12<a<60,15<b<36,则a-b的取值范围是,蓝的取

值范围是.

【答案】（-24,45）Q,4）

【分析】根据不等式的性质即可求解.

【详解】因为15<b<36,所以一36<-b<-15.

又12<a<60,

所以12-36<a-/?<60-15,

所以一24<a-b<45,

即a-b的取值范围是（一24,45）.

、匕匚[、]]

因为i一1V-1V1一所以一2<-CLV—60,

36b1536b15

即二<巴<4,

3b

所以?的取值范围是C，4）

答案：（—24,45）,©,4）

2.（2024•全国•模拟预测）已知实数x,y满足—l<x<y<l,贝b+y的取值范围是.

【答案】（—2,2）

【分析】根据不等式的性质即可求解.

【详解】由一1cx<y<1可得一1<x<1,-1<y<1,所以-2<x+y<2,

故答案为:（-2,2）

即时检测

1.（2024高三•全国•专题练习）若实数x,y满足lWxy2W4,3（x2y<5,则xy5的取值范围是.

【答案】。y]

【详解】

111-L164

因为（xy2）3£[l,64],—F可，所以xy5=（xy2）3•丹£[V,?].

x2y5

2.（2024•河北石家庄•二模）若实数x,y,z20,且x+y+z=4,2%-y+z=5,则”=4%+3丫+52的

取值范围是.

【答案】[15,19]

【分析】先得到x=3-拳y=l—耳并根据”,z20得到0WzW3,从而求出M=半+15e[15,19].

【详解】因为久+y=4-z,2x-y=5-z,故x=3-拳y=l-$

P-T-0,

由尤,y,z>。得J-[_£>（）,解得0<z<3,

Iz>0

故M=4x+3y+5z=4（3—日）+3（1—§+5z=£+15e[15,19].

故答案为：[15,19]

3.（23-24高三下•重庆渝北•阶段练习）已知三个实数a、b、c,其中c>0,bW2a+3c且6c=a?,则*

b

的最大值为.

【答案】I

【分析】依题意可得《W2a+3c,进而得a2—2ac-3c2wo,即可求出£的范围，于是字=竺孝=£一

cabaza

2（£f,令（=t,f©=t-2t2,利用二次函数的单调性即可求解最值.

【详解】当c>0时满足b42a+3c且尻=层，

/.—<2a+3c,即小-2ac-3c2工0,进而仁丫一2x2一340,解得一14且<3.

C\C/CC

所以:N[或?4-1,

令：=t,tGt，+8）U（—00—1],

2

令/（t）=-2土2+1=-2（t+'te[^+°°）u（-°°-1]>

所以f（t）在（-8,-1]上单调递增，在L+8）上单调递减，

又/（却，f（T）=_3,所以

即三名的最大值为"

b9

故答案为：a

4.（2024•浙江•模拟预测）已知正数a,b,c满足a?+c?=16,b2+c2=25,则k-a2+b?的取值范围

为_____

【答案】9<fc<41

【分析】

根据不等式的性质即可求解.

【详解】

22

;正数a、b、c满足a2+c2=16,b+c=25,

c2=16—a2,a2>0所以0<c?<16

同理：有c2=25-炉得到o<C2<25,所以0<c2<16

两式相加：a2+b2+2c2=41

即a?+Z）2=41—2c2

又-16<-c?<0,即一32<—2c之<0

•••9<41-2c2<41

即9<k<41.

故答案为：9<fc<41

5.（2024•广东•三模）设实数x、y、z、t满足不等式1<x<y<z<t<100,则三+乙的最小值为.

yt-------

【答案】|/0.2

【分析】令x=1，t=100,根据分母最大分子最小时分式的值最小可得工2工+烹，结合基本不等式

yty100

和221计算即可.

y

【详解】因为1<x<y<z<t<100,所以三>1,

y

所以三+三之工+三22昆=工，

yty100JlOOy71005

当且仅当工=之即yz=100时等号成立，

y100,

即三+2的最小值为！

yt5

故答案为：

考点四、一元二次不等式

典例引领

1.（2024•上海•高考真题）己知xGR,则不等式/-2x-3<0的解集为.

【答案】{x|-l<x<3}

【分析】求出方程/—2%一3=0的解后可求不等式的解集.

【详解】方程/-2x-3=0的解为x=-1或x=3,

故不等式/—2%-3<。的解集为{x|-1<久<3},

故答案为：{x|-l<x<3}.

2.（23-24高三上♦河北石家庄•阶段练习）不等式黑<0的解集是（）

A.^x|—|<x<jjB.{比|―|<无<|}

C.{x[x<-|或x〉|}D.{x|x<—|或%>1}

【答案】B

【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解即得.

【详解】不等式言<0化为：（2x+3）（3x-2）<0,解得一|<%<|,

所以不等式含<。的解集是|“

故选：B

即时

1.(23-24高三下•陕西安康•阶段练习)在区间[0,5]内随机取一个实数a,则关于x的不等式/+

(2-a)%-2a<0仅有2个整数解的概率为()

A.-2B.2—C.1与.1—

510510

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式解得X6(-2,a),可得区间(-2,a)内仅包含-1,0两个整数，再利用几何概型

概率公式可得结果.

【详解】根据题意可得不等式/+(2-a)x-2a<0等价于(x+2)(x-a)<0；

因为ae[0,5],所以不等式的解集为(—2,a)；

依题意可得区间(-2,a)内仅有两个整数，即包含-1,0两个整数，可得0<aWl；

由几何概型概率公式可得其概率为P=二=±

5—U5

故选：C

2.(2024高三•全国•专题练习)已知a,匕€R且abH0,若(％—a)(%-b)(%-2a—b)20在％20上恒

成立，则()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【答案】C

【分析】对。”的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答案.

【详解】由abH0得aW0,bW0,/(%)=(x—a)(%—b)(x—2a-6)=0=>=a,x2=b,x3=2a+b

①若a>0,b>0,贝!J2a+b>0,且2a+b>a,2a+b>b,

根据穿根法可知》G(a,2a+b)或％e(h2a+b)时不符合题意，舍去；

②若a>0,5VO,要满足题意则a=2a+b>bna+b=0,符合题意，如图所示；

③当a<0,b>0时，同理要满足题意需2a+b=b>a=a=0,与前提矛盾；

④当a<0,b<0,此时2a+b<0,则/(%)=(%-a)(%-b)(%-2a-b)的三个零点都是负数，由穿根法

可知符合题意；

综上可知满足(％-a)(%-h)(x-2a-b')>。在％>0恒成立时，只有b<0满足题意.

故选：C.

3.(23-24高三下•上海•阶段练习)设。>0,若关于x的不等式/一。工<0的解集是区间(0,1)的真子集，

则a的取值范围是.

【答案】(0,1)

【分析】

解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解.

【详解】

因为a>0,所以/-ax<0^0<x<a,

又不等式/-ax<0的解集是区间(0,1)的真子集，则ae(0,1).

故答案为：(0,1).

4.(2023•全国•模拟预测)定义：若集合4B满足4CBK0,存在a€4且aCB,且存在%eB且6W4

则称集合4B为嵌套集合.已知集合4={x|2x—%2<0且xeR+},B={x\x2—(3a+l)x+2a2+2a<0},

若集合4B为嵌套集合，则实数a的取值范围为()

A.(2,3)B.(-oo,1)C.(1,3)D.(1,2)

【答案】A

【分析】作出函数丫=//=2工的图象，结合函数图象即可求出集合4,分类讨论求出集合B,再根据嵌套

集合的定义即可得解.

【详解】因为2CB芋0,所有力彳0,870,

由得2工</,

如图，作出函数y==2》的图象，

由图可知,不等式2*-产竟0(刀>0)的解集为[2,4],

所以4={%|2X一/<o且％eR+}=[2,4],

由/—(3a+l)x+2a2+2a<0,得(x—2a)[x—(a+1)]<0,

当2a=a+L即a=l时，则B=0,不符题意；

当2a>a+1,即a>1时，则B=(a+1,2a),

由a>1,得a+1>2,

a>1

根据嵌套集合得定义可得a+l<4,解得2<a<3；

<2a>4

当2aVa+l,即aV1时，则B=（2a,a+1）,

由a<1,得2a<2,

a<1

根据嵌套集合得定义可得a+K4,无解，

a+1>2

综上所述，实数a的取值范围为（2,3）.

故选：A.

考点五、一元二次方程跟的分布

典例引领

1.（23-24高三上•四川•阶段练习）若关于久的方程/一2a久+a+2=0在区间（一2,1）上有两个不相等的

实数解，贝b的取值范围是（）

A（-g,T）B.（一川

C.（一8,一§U（-1,+00）D.（-8,一§U（1,+00）

【答案】A

【分析】

/A>0

令g(x)="—2ax+a+2,依题意可得IJ,解得即可.

I9(1)>0

【详解】

令g(x)=x2-2ax+a+2,因为方程/一2ax+a+2=0在区间(一2,1)上有两个不相等的实数解,

(△>。fA=4a2-4(a+2)>0

所以上即1.12<(1<^n，解得一?<a<-l，

g^-2)>04+4a+a+2>05

Ig⑴>0Il-2a+a+2>0

所以a的取值范围是1).

故选：A.

2.（21-22高三上•江苏南通•期中）已知关于x的不等式a/+2bx+4<0的解集为其中m<0,

则9+2的最小值为（）

4ab

A.-2B.1C.2D.8

【答案】C

【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到a=1,622,从而利用基本不等式求出二+：的最小值.

4ab

【详解】由题意可知，方程a/+2bx+4=0的两个根为m,—,则m±=士，解得：a=1,故m+—=-2b,

mmam

m<0,

所以2b=-mN2=4,当且仅当一血=一，即m=-2时取等号，则b22,

所以?+：=?+：22n=2,当且仅当?=!即b=4时取等号，

4ab4b74b4b

故二+:的最小值为2.

4ab

故选：C.

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1.（2024高三•全国•专题练习）关于％的方程a/+（a+2）x+9a=。有两个不相等的实数根%第2,且%1<

1<%2,那么a的取值范围是（）

222

A.—Va<—B.a>—

755

C.a<—2D.--2-<a<0

711

【答案】D

【分析】说明a=0时，不合题意，从而将a/+（a+2）%+9a=0化为%2+（1+：）%+9=0,令y=/+

（1+£）%+9,结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.

【详解】当a=0时，a/+（0+2）%+9a=0即为2%=0,不符合题意；

故aW0,ax*12*7+（a+2）x+9a=0即为％2+（i+：）%+9=。，

令y=/+（1+：）%+9,

由于关于％的方程a/+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根无力外，且%i<1<%2，

则y=ax2+（a+2）x+9a与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，

故％=1时，y<0,即1+（1+，XI+9V0,解得2V—11,故一2<。<0,

故选：D

2.（2023•北京海淀-模拟预测）已知关于x的不等式％2+ax+b>0（a>0）的解集是{用工Hd},,则下列

四个结论中错误的是（）

A.a2=4b

r1

B.a?H—24

b

C.若关于x的不等式%2+一b<0的解集为（%「%2）,则%i%2>0

D.若关于x的不等式%2+0%+匕<c的解集为（汽1，%2），且I%1—I2l=4,贝Uc=4

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等式进行求解即可.

2

【详解】由题意△=十一4匕=0,a=4bf所以A正确；

对于B:Q24-1=a2+^->2JQ2.京=4,当且仅当小=/即。=应时成立，

所以B正确；

对于C,由韦达定理，可知%1血=一力=一？V0，所以C错误；

4

n2

对于D,由韦达定理，可知%1+%2=-。，X1X2=^—C=——C,

2

则|%i—x2\=+犯尸—4%I%2=Ja-4G—c)=2y[c=4,解得c=4,

所以D正确，

故选：C.

3.(21-22高三上-上海浦东新-阶段练习)如果二次方程/-px-q=0(p,qGN*)的正根小于3,那么这

样的二次方程有一个.

【答案】7

【分析】令/(%)=/一p%一qQ,q£N*),则由题意可得很祟；：，再结合p,q€N*可求出结果.

【详解】设/(%)=x2-px-q(p,qGN*),

因为/(0)=-Q<0,/(3)=9-3p-q>0，

所以3p+qV9,又p,q€N*,

当p=l时，q=1,234,5,当p=2时，q=1,2.

所以共7种可能.

故答案为：7

考点六、一元二次不等式恒成立

典例引领

1.(2024高三•全国•专题练习)若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切xeR恒成立，则实数a的

取值范围是()

A.(-oo,2]B.[-2,2]

C.(—2,2]D.(—oo,-2)

【答案】C

【分析】对二次项系数进行分类讨论可得a=2符合题意，当a大2时利用判别式可求得结果.

【详解】当a—2=0,即a=2时，不等式为—4<0对一切x6R恒成立.

当“2时，需满足｛A=4(a-，)M；6；a.2)<0，

即HWo,解得一2<"2.

综上可知，实数a的取值范围是(-2,2］.

故选：C

2.(2024•陕西西安•模拟预测)当1W比W2时，不等式/—ax+lW0恒成立，则实数a的取值范围

是.

【答案】［|,+8).

【分析】根据题意分离参数进而构造函数求定区间的最值即可.

【详解】当1<久42时，不等式%2一+140恒成立，

所以当14%m2时，。之匚^1=%+三恒成立，则。2(％+工),

令g(%)=%+|,则g(%)在［1,2］单调递增，

所以g(%)max=9(2)=2+［=|,所以QN|.

故答案为：亭+8).

1.(2024高三・全国・专题练习)已知力>0,若对任意的XG(0,+oo),不等式4a%3,|_8/——2b<0

恒成立，则小+2a+4b+ab的最小值为.

【答案】16-8V2

【分析】先把原不等式分解为二次不等式，分类讨论后运用整体代换和基本不等式即可.

【详解】原不等式4a/+8/_abx-2b<0«(4%2—h)(ax+2)<0,

22

由b>0,知OVxV.时,4x—b<0,上>［时,4x—b>Of

故由原不等式知。<%<苧时a%+2>0,x>乎时a%+2<0,

由恒成立知a<0且Qx曰+2=0,即。=高

故所求式M+2a+4b+ab=(工+4b)—得+47。

设力=赤+则tZ2Xyj~b=2^2,

22

则所求式=4(t-t-4)=4［(t-0-递增，

故最小值在力=2班时取得：4X(8-2V2-4)=16-8位.

故答案为：16-8V2.

2.(22-23高三上•河北衡水・阶段练习)已知对任意实数第>0,不等式(2/-ax-10)ln->0恒成立，

a

则实数a的值为.

【答案】VTo

【分析】对In'正负分情况讨论，得出x=a是其唯一零点.不等式(2久2-ax-10)ln->0对任意的久>0恒

aa

成立.得到％=Q也是2/—Q%—10=0的根,求解即可.

【详解】由题知，显然Q>0,当汽>a时In2>0；当％=a时In'=0；当0<x<a时In土<0；

aaa

因为不等式(In%—lna)(2%2—ax—10)>0对任意的％>0恒成立.

当汽>a时，2/—ax—10>0；当0<x<a时，2/—ax—10<0.

结合二次函数性质，x=。是方程2/-ax-10=0的根，即2a2-a2-10=0,

因为Q>0,所以a=

故答案为：V10.

3.(2024•陕西榆林•三模)已知aE(0,2兀)，若当工€[0,1]时，关于％的不等式($111a+。05/+1)%2—

(2sina+1)%+sina>0恒成立，则a的取值范围为()

A-(■)B.信心C.(,9D,信心

【答案】A

【分析】令/'(x)=(sina+cosa+1)/—(2sina+1)比+sina,易得/(”)的对称轴为％=三sin/a+高-6

/(0)>0

/(1)>0

(0,1),则〈/,进而可得出答案.

sina+|'

>0

sina+cosa+l

【详解】令以x)=(sina+cosa+l)x2—(2sinct+l)x+sincr,

-/(0)>0

由题意可得•则嚣武

./(I)>0'

又因为a€(0,2兀)，所以a6(°，万)，

.,1

sma+-

函数/(%)的对称轴为％=2e(0,1),

sina+cosa+l

sina>0

cosa>0

/.1\21

{(sincr+cosa+1)/\-si-n-s-ai-+n-a-c-+o-s--a..+..l\./—(2sina+1)--si-n-sa-i-+n-ac--+o-s--a-+--l--1-sina>0

'sina>0

即cosa>0,

、(2sina+l)2—4sina(sina+cosa+1)<0

sina>0

cosa>0,结合&解得三<a<—.

♦c\1e\2z1212

(sin2a>-

故选：A.

4.(2024•湖北•二模)已知等差数列｛时｝的前n项和为%,且％=n2+m,neN*,若对于任意的ae[0,1],

不等式也<x2—(1+a)x—2a2—a+2恒成立，则实数x可能为()

n

A.-2B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】由上与时的关系且小｝为等差数列，求出册，由詈<2,得/一(1+。)％-2小一。+222,构造

函数g(a)=2a2+(1+x)a-x2+x,由g(a)<0在aG[0,1]时恒成立，求实数x的取值范围.

【详解】因为S九=浓+m，兀=1时，ar=Sr=1+m,

22

n>2时，an=Sn-Sn_1=n+m—[(n—I)+m]=2n—1,

以a1=1+TH,,a?=3,(Z3=5,

因为｛%J为等差数列，所以的=1，m=0,

从而a九=2n—1,—=2—V2,

〃nn

所以%之一(1+a)%—2a2—a+222,即一2a?一(1+-%之0,

则当0<a<1时，g(a)=2a2+(1+%)a—x2+x<0恒成立，

g(0)=-x2+%<0

解得久<一1或%>3,

.g⑴=2+l+x—x2+x<0

只有选项A符合题意,

故选：A

|时.好题冲关・

基础过关

1.(2021•天津和平•一模)设aeR,则“2<a<3”是“(a+l)(a—6)<0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.