弹性碰撞模型（解析版）-动量守恒的十种模型解读和针对性训练

动量守恒的八种模型解读和针对性训练

模型二弹性碰撞模型

模型解读

1.碰撞过程的四个特点

(1)时间短：在碰撞现象中，相互作用的时间很短。

(2)相互作用力大：碰撞过程中，相互作用力先急剧增大，后急剧减小，平均作用力很大。

(3)位移小：碰撞过程是在一瞬间发生的，时间极短，在物体发生碰撞的瞬间，可忽略物体的位移，认为

物体在碰撞前后仍在同一位置。

(4)满足动量守恒的条件：系统的内力远远大于外力，所以即使系统所受合外力不为零，外力也可以忽略,

系统的总动量守恒。

(5).速度要符合实际

(i)如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度必大于前面物体的速度，即。后>u融，否则无法实现碰

撞。碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体的速度大于或等于原来在后的物体的速

度"'前后。

(ii)如果碰前两物体是相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为

零。若碰后沿同向运动，则前面物体的速度大于或等于后面物体的速度，即”第2及/。

2.动动弹性碰撞

V1Vh讨'V2

已知两个刚性小球质量分别是巾1、m2,

+m?V2—miV\+机202'，

2

—m]V1+—miV2=-m->v3+—m乙0%,

2222

3.一动一静”弹性碰撞模型

如图所示，已知4、B两个刚性小球质量分别是巾1、m2，小球B静止在光滑水平面上，A以初速

度火与小球B发生弹性碰撞，

^77777娘777/7_77_77_77_777盼77777_77_/7_7777姨77777〃7777展7777/

取小球/初速度火的方向为正方向，因发生的是弹性碰撞，碰撞前后系统动量守恒、动能不变，有

7711%=叫巧+m2v2

Ill

2nli诏=2miij+-m2V2

(7711-7712)廿0

联立解得%=,"2=

mi+mzm1+m2

讨论：(1)若爪1>爪2，贝1」0<%<"0、V2>V0,物理意义：入射小球质量大于被碰小球质量，则入射

小球碰后仍沿原方向运动但速度变小，被碰小球的速度大于入射小球碰前的速度。

(2)若mi=m2,则%=0>V2=VQ,物理意义：入射小球与被碰小球质量相等，则碰后两球交换速度。

(3)若机1<爪2，则也<0(即也与。o方向相反)、v2<v0,物理意义：入射小球质量小于被碰小球

质量，则入射小球将被反弹回去，被碰小球的速度小于入射小球碰前的速度。

(4)若小1爪2，则也趋近于为、趋近于2。0,物理意义：入射小球质量比被碰小球质量大得多，则

入射小球的速度几乎不变，被碰小球的速度接近入射小球碰前速度的2倍，也就是说被碰小球对入射小球

的运动影响很小，但入射小球对被碰小球的运动影响不能忽略，例如用一个铅球去撞击一个乒乓球。

(5)若，则%趋近于一、V2趋近于0,物理意义：入射小球质量比被碰小球质量小得多，则

入射小球几乎被以原速率反弹回去，被碰小球几乎不动，例如乒乓球撞击铅球。

注意：上面讨论出的结果不能盲目套用，应用的前提条件是一个运动的物体去碰撞一个静止的物体，且是

弹性碰撞。

4.”一动一静”弹性碰撞模型的类比应用

广义地讲，“碰撞”就是一种相互作用，弹性碰撞模型的应用不仅仅局限于“碰撞”，如果相互作用前后

系统满足动量守恒、动能不变，具备了这一特征的物理过程，就可理解为“弹性碰撞”过程，就可以类比弹性

碰撞的规律解题。

如图所示，光滑水平地面上静止放置由弹簧相连的木块a和B,开始时弹簧处于原长，现给a一个向

右的瞬时冲量，让a开始以速度%向右运动，若瓶4>瓶8，则当弹簧再次恢复原长时，木块a和B通过

弹簧相互作用，系统动量守恒，机械能守恒，A和B之间的相互作用可以视为弹性碰撞，弹簧再次恢复原

长时，相当于木块a与木块B之间的弹性碰撞结束，则此时a、B的速度分别为以=等黑也，vB=

，由于，所以此时力的速度向右，且a的速度小于B的速度。

--为

[TpwwwvwjT]

7777/77777777777777777777777777777'

处理碰撞问题的几个关键点

(1)选取动量守恒的系统：若有三个或更多个物体参与碰撞，要合理选取所研究的系统。

(2)弄清碰撞的类型：弹性碰撞、完全非弹性碰撞还是其他非弹性碰撞。

(3)弄清碰撞过程中存在的关系：能量转化关系、几何关系、速度关系等。

碰撞的可能性

【典例分析】

【典例】(2024江西吉安一中期末)如图所示，内壁光滑的圆弧轨道ABC固定在竖直面内，与在光滑的水

平面相切于A点，。是圆心，OA、0B分别是竖直半径和水平半径，ZCOB=37°»甲、乙两小球（均视为质

点）静置在A点的右侧，乙的质量为3m,现让甲获得一个水平向左的速度2v0,甲、乙发生弹性碰撞，碰

刚结束时甲、乙的速度正好等大反向，然后乙从A点进入圆弧轨道向上运动，重力加速度大小为g,

sn37°=0.6,cos37°=0.8o

（1）求甲球的质量；

（2）若乙球到达C点（即将离开轨道还未离开轨道）与圆弧轨道间的弹力刚好为0,则圆弧轨道的半径为

多少？

（3）在第（2）问中，当乙球运动到B点时，重力的瞬时功率为多少。

【解析】

（1）设甲球的质量为M,碰撞刚结束时设甲、乙两球的速度分别为“，V,由弹性碰撞规律可得

Mx2Vo=M（一v）+3mv

222

1M（2V0）=^Mv+^x3mv

综合解得

M=m,v=%

（2）设圆弧轨道的半径为R,把乙球在C点的重力分别沿着CO和垂直CO正交分解，则沿着CO方向的分

力为

Gy=3mgsin37°

若乙球到达C点（即将离开轨道还未离开轨道）与轨道间的弹力刚好为0,则Gy充当向心力，则有

3mv2

Gc

R

乙球从A到C由机械能守恒定律可得

1x3^-lx2

3机g(R+Rsin37°)=3mv

22c

综合解得

(3)乙从A到8由机械能守恒定律可得

3mgR=—x3mv2--x3mv^

乙在B点重力的瞬时功率为

P=-3mgvB

综合可得

9V19

P=---

【针对性训练】

1.(2024年4月北京东城区模拟)如图所示，质量为河、倾角为。的光滑斜劈置于光滑水平地面上，质量

为根的小球第①次和第②次分别以方向水平向右和水平向左、大小均为%的初速度与静止的斜劈相碰，碰

撞中无机械能损失。重力加速度用g表示，下列说法正确的是

第①次

O-*

A.这两次碰撞过程小球和斜劈组成的系统动量都守恒

B.第②次碰撞后斜劈的速度小于2"%SIMe

M

C.第②次碰撞过程中地面对斜劈的支持力等于［M+m)g

D.第①次碰撞前、后小球的速度方向一定在同一直线上；第②次碰撞前、后小球速度方向与斜面法线的夹

角一定相等

【答案】B

【解析】第①次碰撞过程小球和斜劈组成的系统动量守恒，而第②次碰撞过程小球和斜劈组成的系统在水

平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，A错误；设第②次碰撞后斜劈的速度为V,小球的速度大小为vi，

与水平方向的夹角为a,且a>2。，小球与斜劈在水平方向动量守恒，由%VO=A/V+TMVICOSa,由机械能守

恒定律，-mv^=~Mv2+-mv^,联立解得：丫<型网二0,B正确。

222M

由于第②次碰撞后小球斜向上抛出，所以第②次碰撞过程中地面对斜劈的支持力大于（M+机）g,C错误;

第①次碰撞前、后小球的速度方向一定在同一直线上；第②次碰撞前、后小球相对斜劈的速度方向与斜面

法线的夹角一定相等，相对地面的速度方向与斜面法线的夹角不相等，D错误。

2.（2024山东济南历城二中质检）半径为R的竖直放置的光滑半圆轨道如图所示，质量为3m的小球B静

止在轨道最低点，质量为加的小球A从轨道边缘由静止下滑，A、B间碰撞为弹性碰撞，则（）

A.A、B两球总动量一直不变

B.碰撞前A球重力的功率一直变大

C.A、B两球此后的碰撞位置一定还在轨道最低点

D.每次碰撞前的瞬间，两球对轨道压力一定相等

【参考答案】C

【名师解析】

A、B两球碰撞时动量守恒，故A错误；

球A在下滑过程初始时刻速度为0,瞬时功率为0,最低点速度方向与重力方向垂直，所以瞬时功率为0,

所以碰撞前A球重力的功率先增大后减小，故B错误；

假设碰撞前A球的速度为l,碰后A球的速度为％、B球的速度为马，则

mv0=mvx+3mv2

12-I--2

—mv[+—•imv2

解得

_v0V—%

巧v一5,“万

所以会再次在最低点发生碰撞，且有

mvi+3mv2=mv[+3mv^

1211々21，211々fl

—mv.H—=—mv,H3mv0

21222122

解得第二次碰撞后的速度为

=-%、v/=0

此后如此循环，故C正确；

由于两球质量不同，每隔一定的周期，两球碰撞前速度大小相等，根据牛顿第二定律

FN-mg=m^-

K

所以压力会不相等，故D错误。

3.（2024湖南名校期末联考）（14分）质量为m的钢板B与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在

地上.平衡时，弹簧的压缩量为X。,如图所示.一质量为21n的物块A从钢板正上方距离为3x0处自由落下，打在

钢板上。

（1）若两物体发生的是弹性碰撞，则碰撞后A、B两物体的速度vi、V2为多少？

（2）若两物体发生的是完全非弹性碰撞，碰撞后一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.且物

块与钢板回到O点时，还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.已知弹性势能Ep与形变x

的关系式为=—日2

P2

【名师解析】：（1）物块与钢板碰撞时的速度

70---------------2

A、B两物体发生弹性碰撞有:

(2m)vo=(2m)vi+mv2----------------1

222

—(2m)v0=—(2m)v1+^-mv2---------1

得％----------------------1

（2）kxo=mg-----------------------------------1

平衡位置弹性势能-------------1

设V3表示质量为2m的物块与钢板碰撞后开始一起向下运动的速度，则有

2mvo=3mv3-2设回到弹簧原长

位置两物体的速度为V4,取平衡位置重力势能为0,贝U：

11

E+22----------2

P2G加)丫3=3mgx0+-(3m)v4

当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零,物块与钢板只受到重力作用，加速度为g.

一过O点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g.由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力,

其加速度仍为g.故在O点物块与钢板分离,分离后，物块以速度V4竖直上升，则由以上各式解得，物块向上运动

所到最高点与O点的距离为

-------------2

4.（2024辽宁省葫芦岛期末）如图所示，一半径为R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道与光滑水平轨道cd

在d处平滑连接，且与足够长的粗糙水平轨道仍在同一竖直平面内。在湖的最右端放置一个质量M=4kg

的木板，其上表面与cd等高，木板与轨道间的动摩擦因数〃1=01，质量加Q=2kg的滑块Q置于

轨道上且与c点距离为6m。现在圆弧轨道的最高点处由静止释放一质量加p=6kg的滑块P,一段时间后滑

块P与Q发生弹性正碰，碰撞时间极短。从P与Q碰撞结束开始计时，3s末Q从木板左端飞出（飞出后立

即被取走，对其他物体的运动不造成影响）。已知P、Q与木板间的动摩擦因数均为〃2=02,滑块P、Q

均可视为质点，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，g取lorn*,求：

（1）碰撞后P、Q速度的大小和方向；

（2）木板的长度£；

（3）若P滑块滑上木板的瞬间，地面变为光滑，问P滑块能否从木板左端滑离木板？

若能，求P从木板左端滑离时的速度；若不能，求P滑块相对木板静止时P滑块木板上的位置距木板右端

的距离A%1„

【参考答案】（1）2m/s,6m/s,方向均水平向左；（2）8m；（3）不能，0.4m

【名师解析】

（1）滑块P释放到与Q碰前,根据动能定理有

c12

mpgR=—mpv?

P、Q发生弹性碰撞，则有

mpvp=mpv'p+mQvQ

=|WPVP2=+1WQVQ

解得

Vp=2m/s

vQ=6m/s

方向均水平向左

(2)滑块Q碰后到c点用时。，则有

滑块P碰后到C点用时，2,则有

乙=—=3s

耳

滑块Q滑上木板匀减速运动，则有

-//2mQgZ3=mQVQ-mQvQ

-//2mQgxQ=|fflQvJ

根据题意有

t3=t—tx=2s

解得

VQ=2m/s

xQ=8m

由于

所以木板处于静止状态则木板的长度为

L=XQ=8m

(3)滑块Q滑落木板后，滑块P滑上木板，滑块P做匀减速直线运动，木板做匀加速直线运动，令二者共

速用时务,则有

〃2加pg=mpaP

以2加pg=m?aP

V共=Vp—Op，。=。2’0

解得

Qp=2m/s2

2

a2-3m/s

t。—0.4s

令P相对木板的相对位移为Ax,则有Ax="共—汕

22

解得

Ax=0.4m<L-8m

可知，P不能滑落木板，距木板右端的距离0.4m

5.（2024江苏泰州3月调研）如图所示，可视为质点的两个小物块A、B并排放在粗糙水平面上，一根轻

绳一端固定于水平面上的。点，另一端系在小物块A上。已知机人=1kg,MB=3kg,A、B与水平面间的动

摩擦因数〃=0.2,轻绳长/=0.314m,g取lOrn/s?,乃取3.14且12=1。。现给A一个向左的初速度

v0=2V6m/s,使其绕。点做圆周运动，运动一周时与B发生弹性碰撞。求：

（1）A刚开始运动时所受轻绳拉力的大小耳；

（2）A与B碰前瞬间的加速度大小a；

（3）A与B碰后B滑行的距离s。

2

【参考答案】（1）%=76.43N；⑵a=2V641m/s;（3）5=Im

【名师解析】（1）A刚开始运动时轻绳拉力提供向心力

FT=^AJ-

解得轻绳拉力的大小

FT=76.43N

（2）设A与B碰前瞬间的速度为v,根据动能定理

2

一〃%g,2加=；mAv-1mAv„

解得

v=4m/s

此时绳子的拉力为

2

呼二如L

根据牛顿第二定律

2

^F^+(//fflAg)=mAa

解得

a=2j641mzs之

（3）根据动量守恒

mv

mAv=加A4+B2

根据机械能守恒

1mV212,12

~A+-mBV2

解得

v2=2m/s

B的加速度

2

aB=jiig=2m/s

A与B碰后B滑行的距离

2

s==Im

2aB

6.（2024河北保定部分学校期末）如图所示，固定在竖直平面内的轨道由倾角。可调的倾斜轨道/8、足

够长的水平轨道2C和半径为R=0.3m的竖直圆轨道构成，P为圆轨道的最高点，段轨道粗糙，其余轨道

光滑，各段轨道均平滑连接，当倾角9=30。时，质量为加i=0.6kg的物块。恰好能沿轨道匀速下滑。现将

倾角调为560。，让物块。从距水平面2C高度为〃=1.2m处静止滑下，过一段时间后与静止在水平轨道2C

上的物块6发生弹性碰撞，若物块。、6均可视为质点，物块a始终不会脱离轨道，取重力加速度

g=10m/s2,求：

(1)物块a与轨道N2间的动摩擦因数；

(2)物块a第一次经过圆轨道最高点尸时对轨道的压力大小；

(3)若物块。只经过一次P点且能与物块6发生两次碰撞，求物块6的质量