二项分布与超几何分布 专项训练-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-10.6-二项分布与超几何分布-专项训练模拟练习

【A级基础巩固】.

一、单选题

1.设随机变量X,y满足：Y=3X-1,X〜3(2,p),若P(XN1)=5,则。⑴

=()

A.4B.5

C.6D.7

3

2.某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为本且每次命中与否相互

独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为()

C,64D,32

3.某实验室有6只小白鼠，其中有3只测量过某项指标.若从这6只小白鼠

中随机取出4只，则恰好有2只测量过该指标的概率为()

4.某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成长”为主题的班团

活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3名志愿者分享在参

加抗疫志愿者活动中的感悟，则所选取的3人中女生人数的均值为()

3

A.1B.2

C.2D.|

5.若离散型随机变量X满足X〜3(5,p),且E(X)=¥，则尸(XW2)=()

A4

-1B.27

D—

Jr—8181

6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平

局、甲每局赢的概率为今已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为()

1

A-

8

B.

1

CD.-

4

7.端午佳节，小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子.现在两人每

次随机交换一只粽子给对方，则两次交换后，小明拥有两只蜜枣粽子的概率为

11

-

34-

B.

1D.1

C6-8-

二、多选题

8.下列关于随机变量X的说法正确的是()

A.若X服从正态分布N(l,2),则。(2X+2)=4

B.已知随机变量X服从二项分布3(2,p),且P(X>1)=|,随机变量y服从

正态分布M2,『)，若P(Y<O)=多则p(2<y<4)=g

4

C.若X服从超几何分布H(4,2,10),则期望风㈤二,

D.若X服从二项分布3(4,3，则方差D(X)=：|

9.设随机变量X〜3(8,3，Y-B(8,言则下列说法正确的是()

A.X,Y服从正态分布

17

B.P(X>6)=费

C.E(X)<E(Y),D(X)=D(Y)

D.当且仅当左=5时，P(Y=想取最大值

三、填空题

10.设随机变量4〜3(2,p),若则p的值为.

11.袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2

个球，至少得到1个白球的概率是［现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的

个数为X,则E(X)=.

12.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能

地向左或向右移动一个单位，共移动6次.则

O0-000000—00—000

-6-5-4-3-2-10123456

(1)质点回到原点的概率为;

(2)质点位于4的位置的概率为.

三、解答题

13.某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100

米、200米、1500米、3000米、4X100米接力.

(1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择

60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率；

(2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其

中有9名首选100米，6名首选4X100米接力.现从这15名同学中再选3名同

学做进一步调查.将其中首选4X100米接力的人数记作X,求随机变量X的分布

列和数学期望.

14.某商超为庆祝开业十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消

费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案：方案①：

一个不透明的盘子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个

白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返

金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案②：一

个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白

球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返

金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.

(1)现有一位顾客消费了420元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得180

元返金券的概率；

(2)如果某顾客获得一次抽奖机会.那么他选择哪种方案更划算.

【B级能力提升】1.泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海

上丝绸之路”起点.著名的“泉州十八景”是游客的争相打卡点，泉州文旅局调

查打卡十八景游客，发现90%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，泉州文

旅局为大家准备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南古厝徽章、开元寺

祈福香包、小关公陶瓷摆件.若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽

奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4种礼物

中的1种礼物，假设打卡十八景游客打卡景点情况相互独立.

1.泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海上丝绸之路”

起点.著名的“泉州十八景”是游客的争相打卡点，泉州文旅局调查打卡十八景

游客，发现90%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，泉州文旅局为大家准

备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南古厝徽章、开元寺祈福香包、小

关公陶瓷摆件.若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若只

打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物，

假设打卡十八景游客打卡景点情况相互独立.

(1)从全体打卡十八景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的

概率；

(2)任选一位打卡十八景游客，求此游客抽中开元寺祈福香包的概率.

2.北京冬奥会之后，多个中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动.为了深入了

解学生在“单板滑雪”活动中的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究,

得到如下数据：

(1)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从

这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X

的分布列和数学期望；

(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技

巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中

至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中，小明

同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为/，每个动作互不影响且每轮测

试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到

5次，那么理论上至少要进行多少轮测试?

3.某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根

据他们的竞赛成绩(满分：100分)，^[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)估计该校学生成绩的中位数;

(2)已知样本中竞赛成绩在［90,100］的女生有3人,从样本中竞赛成绩在［90,100］

的学生中随机抽取4人进行调查,记抽取的女生人数为X,求X的分布列及期望.

4.哈尔滨冰雪大世界于2022年9月投入使用，总投资高达25亿元,号称“永

不落幕”的冰雪游乐场，从“一季繁荣”到“四季绽放”2023年1月至5月的游

客数以及对游客填写满意与否的调查表，统计如下：

月份X12345

游客人数y(万人)130mn9080

满意率0.50.40.40.30.35

已知y关于x的线性回归直线方程为£=—U.5x+1345

(1)求2月份，3月份的游客数如〃的值；

(2)在1月至5月的游客中随机抽取2人进行调查，把满意率视为概率，求评

价为满意的人数X的分布列与期望E(X).

n__n____

E（XLx）8-y）'ZJxiyi-nxy

Az=lz=l八_A_

（参考公式：b==，a=y~bx）

n_n_

（Xi-X）2—nX2

i=li=l

参考答案

【A级基础巩固】.

一、单选题

L(A)［解析］由题意可得：P(XN1)=1—P(X=O)

=1—c9(i—p)2=|,解得p=g.

124

则：D(X)=np(l—p)=2X^X^=g,£>(y)=32£)(X)=4.故选A.

2.(A)［解析］所求概率0=弟〉*(1—1)+电3=||•选A.

3.(C)［解析］由题意，恰好有2只测量过该指标的概率C为4c言3=9尚=］3故

选C.

4.(C)［解析］记所选取的3人中女生人数为X,则X的可能值为1,2,3,且

C?Cl1CiC?3C9C?1小1

P(X=1)=a=5,尸(X=2)=eg=亍P(X=3)=eg=§，贝UX均值

31

+2X^+3X^=2.

4

秒杀解法：£(X)=3X==2.故选C.

102

5.(C)［解析］因为X〜5(5,p),且风出=不，所以尸=§,所以尸(XW2)

=P(X=2)+P(X=I)+P(X=O)=C^X|J］2X(J^3+C^X|X|J］4+C9X(|^(,X［^)5=

51_17

243-81-

6.(C)［解析］因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六

局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为g}+c(i—3

*出是=|故选C.

7.(D)［解析］由题意，只能第一次两人交换相同的粽子，第二次小明用肉

粽子换小华的蜜枣粽子，所以P=GX&2xg|24故选D.

二、多选题

8.(BCD)［解析］由于X〜N(l,2),所以。(X)=2,根据方差的性质，DQX

+2)=22D(X)=8,故A错误；X服从二项分布5(2,p),.-.P(X>1)=P(X=1)+

P(X—2)=Ci/>(1—p)+p2=2p—p2—^,解得p=g,•,.P(F<0)='1,根据正态分布的

对称性可得，P(2<y<4)=|,故B正确；X服从超几何分布”(4,2,10),根据超几

何分布的期望公式，故C正确；X服从二项分布q4,方，根据

128

二项分布方差公式得，P(X)=^(l-^)=4X-X-=-故D正确.故选BCD.

9.(BC)［解析］随机变量X〜48,3，Y〜3(8,1),则X,Y服从二项分

布，故A错误；P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=X|+故B正确；

182161(1>162(2、

E(X)=8XQ=Q,E(y)=8X,=w，D(X)=8XTXI1—7=-^r,D(y)=8XTXl1—7

=¥，所以E(X)<E(D，D(X)=D(Y),故C正确；

设P(y=©(2W%W7)为最大值,

fp(y=/：)^p(y=z：+i),

人［p「左)叫-1),,

54

10.［解析］PC》l)=l—P(0=0)=l—(l—p)2=g=>(l—p)2=g,由于i>p>0,

所以P=y

n.［解析］设袋中有机个黑球，则白球有(io—m)个，

由题意可得：袅”［)=］/解得m=5或加=—4(舍去)，

故X的可能取值有0,1,2,3,则有：

P(X"品d,尸(x=D=詈唉

尸3尸瞽/，P(X=3)=枭=

12.［解析］⑴质点向左、向右各移动了3次，故所求概率21=以乂83*自

3--5-

-16,

(2)质点向右移动了5次，向左移动了1次，故所求概率P2=C&X；x|J|5=5

三'解答题

13.［解析］(1)记事件A为“选择60米袋鼠跳服务”，事件3为“3000米

服务”，

则P(A)=fH，P(AB)=|H，

则/W尸谭=|,

所以小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率

|(或所求概率P=M=］。)

(2)依题意，随机变量X可以取0,1,2,3,

P(X-O)-C?5-65，

Cj,Cg_216

P(X=1)=-CF-455,

crj27

P(X=2)=e?一亓

4

°(X—3)—c?5—455亓

14.［解析］(1)在一次抽奖机会的情况下，要想获得180元返金券，只能选

31

择方案①，且摸到两次红球，一次白球，而每一次摸到红球的概率为尸=五=不

设“这位顾客获得180元返金券”为事件A,则P(A)=dx1x^2=^.

9

故这位顾客获得180元返金券的概率为言.

04

(2)若选择抽奖方案①，则每一次摸到红球的概率为2，每一次摸到白球的概

3

率为不设获得返金券金额为X元，则X可能的取值为60,120,180,240.

则P(X=60)=C2X^J3=—,

,127

P(X=120)=ClX^X国2=瓦,

,<1Y39

P(X=180)=C3X|JJ2X^=^,

P(X=240)=dx酊==

所以选择抽奖方案①，该顾客获得返金券金额的数学期望为

272791

E(X)=60X^+120X^+180X石+240X石=105(元)；

若选择抽奖方案②，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为r,最终获得

返金券的金额为z元，则y〜313,J,故E(K)=3X9=*

3

选择方案②，该顾客获得返金券金额的数学期望为E(Z)=E(100r)=100X^=

75(元)，

从而有E(X)>E(Z),所以应选择方案①更划算.

【B级能力提升】1.［解析］(1)设3人抽奖总次数为X,则X的可能取值为

3,4,5,6.

1.［解析］(1)设3人抽奖总次数为X,则X的可能取值为3,4,5,6.

由题意知，每位打卡十八景游客至少打卡两个景点的概率为云9，只打卡一个

景点的概率为4.

依题可得P(X=4)=C』X9

2

P(X=5)=C?X^X-=1000,

(9\729

p(x=6)=lio/=Tooo,

,27+243+729

所以P(XN4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=————=0.999.

(2)记事件A="每位打卡十八景游客至少打卡两个景点”，

则：¥="每位打卡十八景游客只打卡一个景点”，

事件5="一位打卡十八景游客抽中开元寺祈福香包”，

9—17

则P(A)=正，P(A)=正，P(3H)=而，

—1

P(B\A)=4,

________o

则P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)=^y

71167

i6+iox4=T6d-

2.［解析］(1)X的所有可能取值为0,1,2,3.参加“单板滑雪”人数在45人以

上的学校共4所.

所以P(X=O)=窗

HX—2L印—&P(X—3L曾」

产(X―2)cio—10'P(X—3)c%30'

(2)小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为2=c(1)2.|+c(|)3=5，

135

小明在n次测试中获"优秀”次数。满足/〜B(n,p),由叩三5今九，下

心19.286,

所以理论上至少要进行20次测试.

3.［解析］(l)H^(0.008+0.024)X10=0.32<0.5,0.32+0.036X10=0.68>0.5,

所以中位数在［70,80)内.

设中位数为m,则0.32+(^—70)X0.036=05

解得m=75.

(2)由题意可知成绩在［90,100］的学生有12人，

X的所有可能取值为0,1,2,3.

c8c9_12614

P(X=0)=