不等式（含解析）-高中数学苏教版2024必修第一册单元测试

第3章不等式一高中数学苏教版必修第一册课时优化训练

一、选择题

1.已知4a?+/=6,则必的最大值为（）

335

A.-B.-C.-D.3

422

2.如果那么下列不等式中成立的是（）

11

A・，<1B.">"C.—<—Dn.—<—

bbaab

3.已知正实数满足Q+）=,则a+4/7的最小值为（

A.9B.8C.3

4.下列结论中正确的是（）

A.若ac>be则a>bB.若a2>/,则a>b

C.若y/a>yjb,则a>bD.若则…

ab

5.如果〃<0,-l<b<0,那么下列不等式成立的是（）

K.a>ab>ab1B.ab1>ab>aC.ab>a>ab1D.ab>ab2>a

6.一元二次不等式14—的解集为（）

71、7

A.—>B.{x[-2或}

、4J4

一7]7

CJ%——<x<2>D.{x|x<——或％N2}

、4J4

17

7.已知正数满足上+4=2,则孙的最小值为（）

%y

A.V2B.2C.20D.4

8.数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为。力,。,三角形

的面积S可由公式S=a）（p4）（p-c）求得，其中P为三角形周长的一半，这个公

式也被称为海伦一秦九韶公式.现有一个三角形的周长为12,q=4,则此三角形面积的最

大值为（）

A.4B-4A/2C.4A/30.475

二、多项选择题

9.已知不等式依2+2x+c>o的解集为卜|—g<x<g卜则下列选项正确的是()

A.。=—12B.c=—12C.。=2D.。=2

10.若正实数满足2x+y=l,则下列说法正确的是()

114

A.W有最大值为上8.—+—有最小值为6+4行

8xy'_一

C.4x2+y2有最小值为gD"(y+1)有最大值为:

11.设正实数a,6满足a+b=l,贝U()

A.土有最大值!

a+b3

8.仍有最大值1

4

C.G+振有最大值班

D.Y+Z?有最小值

4

三、填空题

12.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金,售货员

先将5g的祛码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g的祛

码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金

交给顾客.则顾客实际得到的黄金______10g(填>、<或=)杠杆原理：动力x动力臂=

阻力x阻力臂

13.已知正实数。力满足6+1=0,则工+4Z7的最小值是.

a

o

14.已知x>y>0,则必+——----的最小值为________.

y(x-y)

四、解答题

15.利用基本不等式求下列式子的最值：

⑴若x>0,求x+&的最小值，并求此时X的值；

(2)已知x,y>0,且x+4y=l,求孙的最大值;

(3)若0<x<己,求4x(3-2x)的最大值.

2

16.比较下列各题中两个代数式值的大小.

(1)(尤2+1『与无4+必+］；

“、21a-b

a-b与(a>

a+b

17.解下列问题：

⑴若不等式依2+版+3>0的解集为{尤I-1<X<3},求a,b的值;

(2)若a+〃=l,a>0,5>0,求△的最小值；

ab

18.已知a>0,b>0.

(1)求〃+。+方=的最小值；

yJab

(2)若々+人=1,求」_+J■的最小值.

a+1b

19.已知Q+4/?=6(aZ?>0)

(1)证明：疝的最大值与竺^的最小值相等.

ab

⑵若巴+卫—强〉IgM恒成立，求m的取值范围.

a29b29a

参考答案

1.答案：B

Q

解析：由题意得，6=4〃+〃=(2〃9)+b2>2-2a-b,即〃。《万，

当且仅当2a="即。=且，6=逝或a=-且，6=-有时等号成立，

22

所以必的最大值为士.

2

故选：B.

2.答案：B

解析：对于A：由得@>2=i,错误；

bb

对于B：由〃vb<0,则有〃.〃>〃./?,即正确；

对于C：由0得—a>—b>0,则根据不等式的性质有(—a)2>(―/?)2>0,即/>/,

由储"可得，错误;

对于D：由qvbvO得">0,则乌<2,即工〉工,错误.

ababab

故选：B.

3.答案：C

解析：由条件知工+工=3,

ab

lz1O1(ca4八、1(cla46)°

3{ab)baJ\ba)

当且仅当a=2〃=1时取等号.

故选：C.

4.答案：C

解析：当Q=1,/?=2,C=-1时满足ac>Z?c，可得〃<b，A选项错误;

当Q=-2,/?=—I,/>。2可得〃<匕2选项错误；

若G〃20，由不等式乘法性质可得a>b.C选项正确；

当a=l,Z?=2,，>工可得〃<Z?,D选项错误.

ab

故选：C.

5.答案：D

解析：由选项可知，仅需要比较。，ab,〃"三个数的大小，

显然，〃<0,ab>0,ab2<0,所以必最大，由—1<Z?VO可得，0<Z?2<1,

所以一〃=〃（/一1）>o,BPab2>a,可得次?AQ">〃.故选：D.

6.答案：A

解析：不等式I4_4f2x化为4%2+.14<0,即（x+2）（4x-7）V0,解得-2<x",

4

所以原不等式的解集为{x\-2<x<^}.

故选：A.

7.答案：B

19

解析：因为都是正数，且满足工+4=2,

%y

则2=工+工=22区，则孙22,

xy丫孙

1o

当且仅当工=4,即x=l,y=2时等号成立，

%y

所以孙的最小值为2.

故选：B.

8.答案：C

解析：由题意得/?+c=8,p=6,

则S=^6（6-4）（6-Z?）（6-c）=2A/3X，（6-b）（6-C）〈石（6-b+6-C）=4-^3,

当且仅当Z,=c=4时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为4石.

故选：C.

9.答案：AC

解析：由于不等式改2+2x+c>o的解集为］

所以x=—'和％=」,是方程依2+2x+c=o的两个实数根，

32

故」+J_=二且」xJ.=£，解得q=T2，c=2,

32a32a

故选：AC.

10.答案：ABC

解析：对于A：因为2x+y=122户二日'则孙＜£，当且仅当2x=y,即x=；,y=；时取

等号，故A正确，

对于8J+百=口+妇±2=生+)+6)2、户+6=6+40,当且仅当把=?，

xyxyyxyxyx

即X=交T,y=2-V2时取等号，故B正确，

,2

对于C：因为2x；y4『x；y2,则4x2+F2g,当且仅当2x=y,即x=；,y=；时取等

号，故C正确，

—12

对于D：因为x(y+l)=gx2x(y+l)＜gx2芯+?+1)=g,

当且仅当2x=y+l,即x=；,y=0时取等号，这与x,y均为正实数矛盾，故D错误，

故选：ABC.

11.答案：BD

解析：正实数a,6满足a+b=l,即有a+

可得0＜出7＜L，即有小〈益=’，A错，B正确，

4a+b2

由+yfb=《a+b+2y=Jl+2JabVJl+2x—=yf2,C错,

由〃3+人3=(a+”)(〃2+Z?2-ab^=a2+b2-ab=(a+Z?)2-3ab=1-3ab2；,D正确,

综上可得BD均正确.

12.答案：＞

解析：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为。，右臂长为4则a=b.

再设先称得黄金为郎后称得黄金为yg,^bx=5a，ay^5b,.-.x=—,y=~,

ba

.一+丁=加+也=5七+勺之5、2、回=10,当且仅当q=幺即a=b时等号成立，但

bayba）\baba

a^b，等号不成立，即x+y>10.因止匕,顾客购得的黄金大于10g.

故答案为：〉.

13.答案：9

解析：a>0^b>0^ab—b+l=0^

,1^1,14

:.b=----->0,—+4Z?=—+-----,

1-aaa1-a

设尤=a〉0，y=l_a>0，可得x+y=l，

mi1“714114、/、

则一+46=—+—=—+―x(x+y)

axy(尤yj

=5+h+”25+2用豆=9,

xyyxy

当y=2x时，当“=”成立，即工+4b的最小值是9,

a

故答案为：9.

14.答案：12

9、2936

X2-\-----------2XH-----------------y—X2H....-

解析：y(尤-y)y+(%-y)x，当且仅当％=2y的时候取

2

又当+-22、"当=⑵当且仅当x=V6的时候取“.

xVx

综上，当x=2y=V6的时候，不等式取“=”条件成立,此时最小值为12.

故答案为：12.

15.答案：（1）4,九=2；

16

9

⑶2.

2

解析：(1)%+3@旧=，当且仅当x=2时取等,

故最小值为4,止匕时光=2；

(]-4y+4y)2

(2)(l-4y)-4yI2j1,当且仅当y=Lx=工时取等,

孙=。-4y)y=-----~-<---------------------82

16

故孙最大值为工.

16

(3)4x(3—2x)=2.2x(3—2x)W2产+；-=|,当且仅当》=|_时取等,

故所求最大值为2.

2

16.答案：(1)(/+1『NX4+炉+1

22

(2)a-b；a-b

a2+Z?2a-\-b

解析：(1)(X2+1)2-(X4+X2+1)=X4+2X2+1-(X4+X2+1)=X2>0,

.-.(X2+1)2>x4+x2+1•

p.a1-b1a-b2)(〃+。)(〃一〃乂/十/)2ab(a-b)

a1+b2a+b^a2+Z?2)(^z+Z?)++/)(^a-^-b^a2+/?2)

*.9a>b>Oy

:.2ab>0^a-b>Q^a+b>0^a2+b2>0,

2ab(a-b)

则(a+b)(〃2+,2)>0,

〃2—/?2d~b

；,-------->--------

a2+Z?2a+b

I7.答案：⑴r=一i

b=2

(2)9

解析：⑴•不等式加+/?x+3>0的解集为{x[T<x<3},

・••/和3是方程.2+法+3=0的两个实根,

a——1

b=2

(2)=l又〃

144x_b4alb4a-

•—I—二a+7b)=5+—+——>c5+2J-------=9,

abbab\ab

1

b_4aa——

3

当且仅当a6即<时等号成立,

a+b=1b=-

3

所以工+士的最小值为9.

ab

18.答案:(1)4

(2)8

解析：（1）因为a>0,6>0,

所以。+Z?d■->2y[ab+>2-、4,

y/aby/aby

a=b,

当且仅当,cL2即a=》=l时等号成立,

2、ctb—I—,

yjab

7

所以4+/?+-^=的最小值为4.

y/ab

(2)因为a>O,b>O,a+b=l,

9119「［（。+）可

所以----\--=—+—1+

〃+1b2\a+\b

。+9ba+1小+2.9ba+1'

W1----1----=8•

a+1ba+\b,

a+b=l,

当且仅当9b〃+1BPa人=工时