第三章 一元函数的导数及其应用 章节总结（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第16讲：第三章一元函数的导数及其应用章节总结

目录

第一部分：典型例题讲解...................................1

题型一：求切线问题....................................1

题型二：公切线问题....................................4

题型三：已知切线条数求参数............................8

题型四：利用导数研究函数的单调性(小题).............11

题型五：借助单调性构造函数解不等式...................15

题型六：利用导数研究函数单调性(含参讨论)...........18

题型七：利用导数研究函数的极值.......................24

题型八：利用导数研究函数的最值.......................30

题型九：利用导数解决恒成立问题.......................35

题型十：利用导数解决有解问题.........................39

题型十一：利用导数解决函数零点(方程根)问题........42

第二部分：新定义题......................................54

第一部分：典型例题讲解

题型一：求切线问题

1.(2024・陕西西安・二模)己知直线>=履+》与曲线/(x)=/+2+lnx相切于点尸(1,4),则

a+b+k=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】把切点尸的坐标代入/(%)=4+2+lnx求出。，再求函数导数求出左，再把尸(1,4)

代入y=6+匕求b.

【详解】.点尸(L4)在曲线/(%)=。必+2+山工上，

「.々+2=4,解得a=2,

由题意得，f\^)—laxH—=4xd—,

XX

・•・在点尸(1,4)处的切线斜率k=5,

把尸(1,4)代入>=丘+人，得b=-1,

「.Q+Z?+左—2—1+5=6

故选：D.

2.（23-24高二下,陕西西安•阶段练习）曲线〃x）=e*+ln（2x+l）在点（0,〃0））处的切线的

方程为.

【答案】y=3x+i

【分析】求出/（X）,可求得尸（。）的值，利用导数的几何意义可求得曲线

/（%）=3+ln（2x+l）在点（0,/（0））处的切线的方程

【详解】由尸（%）=/+京，则/'（0）=3,且/（0）=1,

所以曲线/（x）=e，+ln（2x+l）在点（0,〃0））处的切线的方程为y=3尤+1,

故答案为：y=3x+l

14

3.（2024高二•全国・专题练习）已知直线/为曲线/。）=（丁+］过点尸（2,4）的切线.则直

线/的方程为

【答案】尤->+2=0或4x-y-4=0

【分析】

设切点为由导数的几何意义求得切线方程，代入尸点坐标求出％,再回代得切

线方程.

14

【详解】；=二f\x）=X2.

设直线I与曲线/（X）相切于点M（XO,%）,则直线/的斜率为k=/U）=x：，

过点的切线方程为丁一/（%）=/（%）。一无0）,

14

即广［丸+§）=片（x-々），又点尸（2,4）在切线上，

4-（1^+1）=^（2-x0）,整理得x；-3x：+4=0,

「.（/+l）（x0—2）~=0,

解得飞=-1或%=2；

.­•所求的切线方程为无7+2=0或4x-y-4=0.

故答案为：x-y+2=0或4x-y-4=0.

4.（23-24高二下•四川南充•阶段练习）已知函数/'（x）=L

X

（I）曲线y=/（X）在点尸处的切线与直线y=4x-n互相垂直，求点p的坐标.

⑵过点Q（T,3）作曲线y=/（元）的切线，求此切线的方程.

【答案】⑴同或m

（2）%+y—2=0或9%+y+6=0

【分析】（1）借助导数的几何意义与直线垂直斜率间的关系计算即可得；

（2）设出切点，借助导数的几何意义计算即可得.

11,

【详解】（1）尸（无）=一？，由题意可得-了x4=-l,故%=±2,

当马=2时，”辱）=；,当/=-2时，/（辱）=_；,

故点尸的坐标为（2,£|或，2,-1；

（2）设切点坐标为（七,%）,则有y^（x-尤。），

^3--=-—（-l-x0）,整理得3无；-2无。-1=0,

X0%）

即-l）（3x+l）=0,故1=1或%（）=_],

当/o=l时，有,一1=一（九一1）,即x+y—2=0,

当x（）=-g时，有、+3=-9卜+：],即9x+y+6=0,

故此切线的方程为无+>-2=0或9x+y+6=0.

5.（23-24高二下•江西南昌•阶段练习）已知函数〃同=丁+。，点4（0,0）在曲线y=/（x）

上.

⑴求曲线y=/（x）在点（1,1）处的切线方程；

⑵求曲线y=f（x）过点（1,0）的切线方程.

【答案】⑴3%-卜2=0

2727

（2）y=O^y=—x-r-

44

【分析】

（1）由已知条件求出。的值，求出r（i）的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；

（2）设切点坐标为利用导数的几何意义写出切线方程，将点（1,0）的坐标代入切线

方程，求出r的值，即可得出所求切线的方程.

【详解】（1）解：因为函数〃x）=V+a,点A（0,0）在曲线y=〃x）,贝lj〃0）=q=0,所

以，f（x）=x3,

所以，r(x)=3f,则/⑴=3,

因此，曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线方程为y—l=3(x—l),即3x-y-2=0.

(2)解：设切点坐标为«,/),则/()=35，

所以，曲线y=〃x)在点())处的切线方程为>-/=3/(》一),即y=3〃x-2儿

将点(1,0)的坐标代入切线方程可得3r-2/=0,解得t=0或f=g,

当7=0时，所求切线方程为y=o；

当仁3:时，所求切线方程为y=2—7x-27

244

7777

综上所述，曲线y=/(x)过点(1,0)的切线方程为k0或'=?》-?.

题型二：公切线问题

1.(23-24高二下•湖北武汉•阶段练习)若直线/既和曲线G相切，又和曲线C?相切，则称

/为曲线G和C?的公切线.曲线G：y=V和曲线C?：y=4e-的公切线方程为()

A.4x-y-4=0B.x-2y-4=0

C.x-y+l=0D.2x-y-2=0

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义可知公切线的斜率为2%和4e*~,则2占=41~,分类讨论当

曲线G与C2的切点相同与不相同的情况，求出对应的切点，结合直线的点斜式方程即可求

解.

【详解】由,=/,得y'=2无，由y=4e»得y=4e»,

设曲线Ge?的公切线与曲线G的切点为(看，才)，则切线的斜率为2%，

与曲线C?的切点为(三,4产与，则切线的斜率为4e，T,

所以2玉=411.

当曲线G与C?的切点相同时，再=%,x；=4eV,

解得%=%=2,所以切点为(2,4),此时公切线的方程为4x-y-4=0；

当曲线G与曲线C?的切点不同时，x产三，2百=，得为=2%-2,

所以4x2-4=4e*2,即超一1=102,解得％2=2,止匕时玉=2与玉片%矛盾,

故不存在两切点不同的情况，

综上可得：切点的坐标为(2,4),公切线的方程为4尤-y-4=0.

故选：A.

2.(多选)(23-24高二上•山西运城・期末)若直线＞=r+加是曲线丁=2/+3尤+4与〉=-j"

曲线的公切线，则()

A.m=-lB.m=2

C.n=3D.n=—3

【答案】BD

【分析】

借助导数的几何意义计算即可得.

【详解】令/(X)=2/+3X+4,则/'(X)=4X+3,

令/'(x)=4x+3=—1,有x=—1,则〃—1)=2-3+4=3,

即有y_3=_(x+l),即y=—x+2,故〃z=2,

令g(x)=Yi,则g，(x)=_e』，

令g'(x)=_e**"=—1,有无=-〃，则g(Tj)=_e。=-1,

即有y+l=-(x+〃)，BPy--x-n-1,

故有—〃—1=2,即〃=—3.

故选：BD.

3.(23-24高二下•重庆•开学考试)已知函数/(x)=lnx,g(x)=x"(尤＞0,。片0),若存

在直线/,使得/是曲线y=fW与曲线y=g(x)的公切线,则实数a的取值范围是.

【答案】(0.口(1,+8)

【分析】分别设出直线/与两曲线的切点坐标(%,/&)),(n，g(尤?))，利用导数的几何意义

求出切线方程，根据题意得到(af(lnx-x")+lna+l=。，记

/z(x)=(a-l)(lnx-xa)+lna+l,m(x)=lnx-xa,分类讨论a与1的大小关系，利用导数与函

数的单调性结合零点存在性定理分析求解.

【详解】设直线/为曲线〃x)=lnx在点(占"(%))处的切线，/'(%)=，,

x\

所以/:＞一：1nxi=」-(无一尤J,即/:y=」-x+lnX]-l；

xxXx

设直线/为曲线g(x)=x"(x＞0,aw0)在点(%，g(%))处的切线，g\x)=axa~l,

所以/：y_甘=Q芯t—芯)，即/：y=ax^~lx+(1-；

—=

由题意知｛石6a2，因为％〉0,%2〉。，可知4>0,

In%一1=(1-d)x^

1

由一=ax2可得In%=—In〃——1)In/,

玉

将其代入ln%i-1=(1一4)石可得：(a-D(lnx-x")+lna+l=O,

^/z(x)=(a-l)(lnx-xfl)+lna+l,则/z(x)在(0,+<»)上有零点,

令机(%)=欣一/，则加(%)=>",a>0,x〉0,

令7"'(x)>0,解得。<x<-F；令〃/(x)<0,解得x>一F；

aaaa

加(%)在区间o,二r上单调递增,在区间；,+8上单调递减,

、aa><aa>

/\/\

当a>l时，/?(x)在区间0,—j-上单调递增，在区间一上单调递减,

IaaJ\aaJ

当龙f+8时，Mx)f-oo,故0(x)在(0,+8)上恒有零点，从而々>1恒成立；

当a=l时，/z(x)=l,无零点，不成立；

当Ovavl时，"(x)在区间0,—j-上单调递减，在区间一(~,+8上单调递增,

【aaJ3a)

且当尤f+00时，+8,

/、

贝I」,一—=(〃-1)(_In-----|+Intz+1=—(l+lna)WO,解得0<〃4_；

\aaa)ae

a

\a7

综上所述：实数。的取值范围是(0,：u(l,+s).

故答案为：［o，：口(1,+8).

【点睛】方法点睛：求曲线的切线问题主要分两大类：

一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可;

另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标(内,%),利用导数表示切线的斜率以及切线方

程，根据所过的点求切点，得出切线方程.

4.（23-24高二上•重庆•期末）若函数/（x）=rlnx与函数g（x）=f的图象存在公切线，则

实数，的取值范围为.

【答案】（f,2e]

【分析】

求出函数的导数，设出曲线与公切线的坐标，利用导数的几何意义求得两切点坐标之间的关

系式，进而求出f的表达式，构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案.

【详解】由题意得"x）=〃n无,（x>0）,.•.广=g'（x）=2x,

设公切线与曲线切于点（々Jin%）,与曲线g（x）=f切于点（程琢）,

则L=2x,=〃n%,贝卜=2彳1%,2X1X2-xf=Hnx；,

再xi-x2

当％=o时，t=0,函数/（x）=rlnx与g（x）=v的图象存在公切线y=o,符合题意；

当/WO时，2%i—％2=2%1nx1,即％=2%1（1—1口玉），

故才=2七％2-4x；（1—In再），

令〃（为）=4x；（l-lnxJ,Xi>0,则〃CXjXSXia-lnM+M；（-'hdXiQ-21nxJ,

x\

1,1

当0<%<”时，"（尤1）>0，/?（%）在（0,e5）上单调递增，

当尤]>1时，〃（不）<。，〃（再）在（/,+00）上单调递减，

故无（％）a=4e（l-：lne）=2e，故：W2e，

综合得实数f的取值范围为（2,2e],

故答案为：（fZe]

【点睛】关键点睛：解答时要设出曲线与公切线的切点，利用导数的几何意义，求得切点坐

标之间关系，关键在于由此结合该关系求得参数f的表达式，进而构造函数，利用导数解决

问题.

5.（2024高二下•全国・专题练习）已知曲线G：y="x）=lnx,曲线C2：y=g（x）=l-；,

求证：G与C?相切，并求其公切线的方程.

【答案】证明见解析，公切线方程为x-y-i=。

【分析】联立两曲线方程可得lnx+工-1=0,令〃（x）=lnx+^-1,其中x>0,利用导数证

XX

明出//（“同=0,且在公共点处切线斜率相等，可证得结论成立，再利用点斜式可得出公切

线的方程.

y=Inx

【详解】解：联立1,可得InxH---1=0,

y=l——x

x

令%(%)=1口工+工一1,其中%>0,//(%)=>1—4=^1,

xxxx

由"(x)<0可得0v九vl,由〃(％)>0可得1>1,

所以，函数。(力的减区间为(。,1),增区间为(1,+"),

即函数M%)=lnx+工-1有且仅有一个零点1,

x

即方程lnx+’-l=0仅有唯一根x=l,

x

y=lnxr=1

故方程组11仅有一组解八，

y=i——1y=o

IX

由已知可得广(月=1‘g'")=|，贝ur⑴=1,g'(i)=i，

所以/'(l)=g'(l)，所以C|与C?相切于点(1,0),

所以其公切线方程为y=x-i,即X7—1=。(如图).

题型三：已知切线条数求参数

1.(23-24高二下•浙江•阶段练习)若过点(。力)可以作曲线y=lnx的两条切线，则()

A.e*>0>aB.Ino>0>&C.eb>a>0D.lna>b>0

【答案】C

【分析】假设切点坐标，根据导数几何意义可求得切线方程，代入(。力)，将问题转化为>=6

与g⑺=亍+1型-1有两个不同交点，利用导数可求得g⑺单调性和最值，由此可得结果.

【详解】设切点坐标为&1型)。>0),

1111

y'=1，，切线斜率％=；,，在点«』n。处的切线方程为：y=?(xT)+lnr=：尤+lnf-l；

,切线过点(。/)，.,2='1+lnf-l,

过点(a,6)可以作曲线>=lnx的两条切线，

.,.令g«)=，+lnf-l,贝i|y=6与g⑺有两个不同交点，

=乎>。)，

当aWO时，g'«)>0,；.g⑺在(0,+向上单调递增，不合题意；

当a>0时，若7e(O,a),则g'«)<0；若贝l]g'(/)>0；

g(0在(O,a)上单调递减，在(。,日)上单调递增，

1nto=g(a)=l+lna_l=lna,:.b>]na,即e">a,

又a>0,:.eb>a>0.

故选：C.

2.(23-24高二上•广东深圳•期末)过点(1,〃)可以做三条直线与曲线)=疑，相切，则实数〃

的取值范围是()

A.曰)B.修)C.T，TD.曰]

【答案】A

【分析】

设切点坐标，写出切线方程，过点(1M),代入化简得。=(-片+%+l)e'。，将问题转化为该

方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解.

【详解】设切点为M(x(),%),y=xe",=y'=(x+l)e",

M处的切线斜率左=a)+l)e&,则过点P的切线方程为y=(x0+l)e&(x-/)+厚”，

代入点(1,。)的坐标，化简得。=(-无；+%+1)e演，

•••过点(1,«)可以作三条直线与曲线C：y=xe'相切，

•••方程o=(f；+x°+l)e%有三个不等实根.

令/(x)=(-好+x+1)e，,求导得到尸(x)=(-X2-x+2)1,

可知/(无)在(-少,-2)上单调递减，在(-2,1)上单调递增，在(1,+e)上单调递减，

如图所示，

.2/1

--------~~~x

X^）=ex（-x2+x+l）J

故/（-2）＜a＜0,gp-4＜«＜°.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的

问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，

数形结合思想，属于中档题.

3.（23-24高二下•辽宁•期末）已知过点A（O,b）作的曲线y=¥的切线有且仅有两条，则匕

的取值范围为（）

A.B.C.（O,e）D.0,—

、’Ie2J

【答案】D

【分析】先根据导数求出切线斜率，再构造函数把有两条切线转化为函数有两个交点解决问

题即可.

1nx蜘-6

【详解】设切点为伍,为）,由题意得=所以「1-1叫_%-6_x。

XK-2——

%%0%0

,21nxe-1

整理得6=——，此方程有两个不等的实根.

尤o

令函数〃尤）=1,则（（"=咨竺.

XX

（3\

当0〈尤＜£时，户"）＞0,所以〃尤）在0,一上单调递增；

\7

当尤〉el时，尸（“＜。，所以〃尤）在1,+/上单调递减，且/（x）＞0.

/（x）极大值=/卜）=4,方程有两个不等的实根，故be0,4

e\e27

故选：D.

4.（2023,陕西宝鸡•二模）若过点（0,2）可作曲线、=^+3/+依+。一2的三条切线，贝U。的

取值范围是（）

A.（-3,-1）B.（-2,2）C.（4,5）D.（4,6）

【答案】C

【分析】设切点为尸（无。，片+3片+叫,+。-2）,利用导数的几何意义，求得切线方程，根据

切线过点（0,2）,得到2片+3无：+4-a=0,^g（x）=2x3+3x2+4-a,求得g'ahGx2+6x,

得出函数g（x）单调性和极值，列出方程组，即可求解.

【详解】设切点为尸（为芯+3*+映+4-2）,

由函数》=丁+3x?+办+。一2,可得y'=3炉+6x+a,贝！]y'[、=否=+6x（）+a

所以在点尸处的切线方程为y-（x：+3xg+axo+a_2）=（3%o+6x0+a）（x-%0）,

因为切线过点（0,2）,所以2-（尤；+3尤;+ax0+a-2^=（3xg+6/+a）（0-x（,）,

整理得2只+3x；+4-a=0,

设g（尤）=2x3+3x2+4—a,所以g'（x）=6x2+6x,

令g'（x）>0,解得x<-l或无>0,令g'（x）<0,解得-l<x<0,

所以g（“在上单调递增，在（TO）上单调递减，在（0,+8）上单调递增，

要使得过点（0,2）可作曲线y=d+3d+⑪+。-2的三条切线，

则满足口0）：4“<0，解得4<°<5,即°的取值范围是（45）.

故选：C.

题型四：利用导数研究函数的单调性（小题）

1.（23-24高二下•河北张家口•阶段练习）若函数在（1,3）上单调递减，则

实数。的取值范围是（）

A.2,?B.[岑#00]C.[2,+co）D.T'+0°]

【答案】D

【分析】首先求函数的导数，根据题意转化为尸（x）=l+J-；V0,xe（l,3）恒成立，利用

参变分离，转化为求函数的最值问题，即可求解.

【详解】若函数〃尤)=彳—一如，贝"口)=1+十一三，

由题意可知，-(x)=l+5-£vO,xe(l,3)恒成立，

即。2尤+1，xe(l,3)恒成立，

设y=x+1,y=l-J-=^zl>0,尤e(l,3)恒成立，

XxX

所以y=x+1在区间(1,3)单调递增，即2<><与，

所以a*.

故选：D

2.(23-24高三下•河南•阶段练习)已知函数〃尤)=痴在区间(1,2)上单调递增，则。

的最小值为()

A.eB.1C.e-2D.J

【答案】D

【分析】

等价转化为尸(x)=ae*-x20在区间(1,2)上恒成立，再利用分离参数法并结合导数即可求

出答案.

【详解】

因为尸(x)=-x20在区间(1,2)上恒成立，所以a2彳在区间(1,2)上恒成立.

令g(x)=p,xe(l,2),则，(x)=F<°在(L2)上恒成立，

所以g(x)=g在区间(L2)上单调递减，所以8⑺登⑴二厂，故此尸.

故选：D.

3.(23-24高二上•福建福州•期末)已知函数〃x)=aex-Inx在区间(1,3)上单调递减，则实

数〃的最大值为()

1111

A.—B.—C.—TD.-7

e3e3e3e3

【答案】C

【分析】

依题意，r(x)=ae，-工40在区间(1,3)上恒成立，分离参数可得实数。的最大值.

【详解】由题意r(x)="e，-

因为函数/(x)=ae'-lnx在区间(1,3)上单调递减，

所以尸(x)=“e，'-工W0在区间(1,3)上恒成立，即aV工,

xxe

又xe(l,3),所以g'(x)<0,所以g(x)=?在xe(l,3)为减函数，

所以g(x)>g(3)=白,

所以即实数。的最大值是

故选：C

4.(23-24高三上•福建泉州•阶段练习)若函数〃(同=1皿-；"2-2尤在口,4]上存在单调递

增区间，则实数a的取值范围为()

A.[-l,+oo)B.(-1,+co)

【答案】D

【分析】根据条件得出存在了电4],使“⑺二^1■-盆-2>0成立，即存在xe[l,4],使

X

1717

成立，构造函数G(x)=《-』，xe[l,4],求出G(x)的最值即可解决问题.

x~XXX

【详解】因为函数〃(x)=lnx-；"2-2x在口,4]上存在单调递增区间，

112

所以存在％使"(x)=初-2>。成立，即存在XE[1,4],使。<二成立，

XXX

令G(x)=—---,[1,4],变形得G(x)=(---1)2—1,因为XE[1,4],所以—£—,1,

XXXX_4_

1177

=9

所以当一=:，即％=4时，G(x)max~~所以〃<一/，

x41616

故选：D.

5.(2023高三•全国•专题练习)若函数〃％)=砒3_3/+x+1恰有三个单调区间，则实数〃

的取值范围为()

A.[3,-Ko)B.(-co,3)C.(-oo,0)u(0,3)D.(-8,0)

【答案】C

【分析】根据导函数有两个不等根计算即可.

【详解】由题意得函数/(X)的定义域为R,/,(X)=3OX12-6X+1,

要使函数/(x)=-3无2+*+1恰有三个单调区间，

/、(4W0

则/x)=o有两个不相等的实数根，二A八，解得。<3且awo,

［△=36-12〃>0

故实数a的取值范围为(f,O)u(O,3),

故选：C.

6.(22-23高二下•湖北•阶段练习)若函数/(x)=2f_hx在其定义域的一个子区间

(201,2%+1)内不是单调函数，则实数左的取值范围是()

一13、「31「1小(13、

L24jL4JL2)(24J

【答案】A

【分析】先求出函数的定义域(0,+s)，则有2%-120,对函数求导后，令(5)=。求出极值

点，使极值点在(2左-1,2%+1)内，从而可求出实数上的取值范围.

【详解】因为函数/⑺的定义域为(0,+A),

所以2%—120,即左2；,

小)=以」=g=(2》+1)(21)

XX

11

令/'(x)=0,得x=］或x=-］(舍去),

因为了⑺在定义域的一个子区间(201,2k+1)内不是单调函数,

113

所以2左一1<—<2左+1,得一上〈人<二，

244

13

综上，；4人<:，

24

故选：A

7.(21-22高三上•河南•阶段练习)已知函数〃x)=d+(x-1)，在区间［1,3］上不是单调函

数，则实数。的取值范围是()

Cee2}(ee2l(e3e?)fee3^

I416)I416」(3616j416)

【答案】A

【分析】把“同=4+(.一1片在区间［1,3］上不是单调函数，转化为尸(x)=4加+xe，在区

间。,3)上有零点，用分离参数法得到一4a=鼻，规定函数g(x)=4,求出值域即可得到实

XX-

数。的取值范围.

【详解】因为/(尤)=64+(a一1)，在区间［1,3］上不是单调函数，

所以尸(x)=4办3+e=0在区间(1,3)上有解，即-4°=乌在区间(1,3)上有解.

X

令g(无)=0，则g，(x)=9f£.

XX

当xe(l,2)时，g")<0；当xe(2,3)时，g")>0.

23

故g(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增.又因为g6=e,g(2)=(a3)=.<e,

且当Q=---时，/'(无)=一~~X+比"=兀---—0,

16-454)

所以“/X)、在区间「1,3I上单调递增，所以J片<-4a<e,解得，4<a<_J片.

4e16

故选：A

题型五：借助单调性构造函数解不等式

1.(23-24高二下•河北保定•阶段练习)若函数/(x)的定义域为R,且/'(力>1,则不等式

/(X)—/(2)>x—2的解集为

A.(1,+co)B.(-co,l)C.(2,+co)D.(-00,2)

【答案】C

【分析】首先构造函数g(x)=〃x)r,再判断函数的单调性，解不等式.

【详解】构造函数g(x)=/(x)-x,则g'(x)=/'(x)-1>0,所以g(x)在R上单调递增.

由/(X)-/(2)>彳一2,得g(x)=〃x)-x>g(2)=/(2)-2,得x>2.

故选：C

2.(23-24高二下•河南•阶段练习)设a=6,6=3eln2,c=2eln3,则()

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【分析】将b和c转化为都以In为底的对数即可比较b和。，设/(x)=",根据导数即可

Inx

判断。和。大小关系.

2ee

【详解】因为b=ln23e=ln8e,c=ln3=ln9,

所以c>b,设/(元)=",

Inx

所以「。)=箸」，令r(x)=0,

Inx

则X=e,因为八x)在(0,e)小于0,/'(无)在(e,+oo)大于0,

所以/⑺在(0,e)单调递减，在(e,+oo)单调递增，

所以/(e)</(3),所以e<三3，

m3

所以eln3<3,2eln3<6,

所以c<。，所以6<c<a.

故选：D.

3.(23-24高二下•河北张家口•阶段练习)若。=绊,6=±。=坐，则以下不等式正确的是

2e3

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【分析】将6=:1■变形为6=叱，构造函数〃*)=叱，xe(O,+a),利用导数研究其单调

eex

性，再结合作差法比较即可.

【详解】因为y

令“幻=叱，定义域为(。,+8),则尸。)=匕职,

X尤

当0<x<e时，f'(x)>o,当x>e时，f'(x)<0,

所以/⑴在(0,e)上单调递增，在(e,+s)上单调递减，

又因为2<e<3,所以〃2)<〃e),/(e)>/(3),

所以/(e)>/(3)>/(2),^b>c>a.

故选：D.

4.(23-24高二下•重庆•阶段练习)已知函数/(X)的定义域为(-/,。)，=其导

函数尸(x)满足#'(“一2〃力>0,则不等式〃x+2025)+(x+2025)2<0的解集为()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.(-oo,-2026)D.(-oo,-2025)

【答案】B

【分析】

构造函数g(x)=§,判定其单调性计算即可.

［详解1根据题意可令g(x)=与(x<0)=g'(尤)=>⑺,⑺<0,

所以g(x)=萼在(-8,0)上单调递减,

/(x+2025)

则原不等式等价于<T,

(尤+2025)2

_/(x+2025)

由g(x+2025)<—l=g(—1)=0>尤+2025>-1

(x+2025)2

解之得xw(—2026,—2025).

故选：B

3

5.(2024.陕西模拟预测)设"。9』叫,』「则()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

【答案】D

【分析】

构造函数-双0<x<l),利用导数得到其单调性则比较出c<。，利用指数函数和

幕函数以及正弦函数的单调性即可比较出c>b,则最终得到三者大小.

【详解】先变形。=^/311,。=6°31,令x=0.81,

下面比较当。<x<l时，石与的大小.

①令/(尤)=e2A2-尤(0<*<1),则/'(尤)=2e2—令八方=。,

得x=l-电2<1-如立=—当xe依力时，f(x)>0J(x)单调递增,

224k4)

所以『(0.81)<"1)=0,所以e438<Q81,即摩/9<0.9,所以

019

@c=e-=-l?>-^,所以=1,b=sin：<sin£=q,

所以65<j曰］=£,则05>!>系>65,所以c>6

综上，b<c<a,

故选：D.

6.(23-24高三上•浙江杭州,期末)已知定义在R上的函数满足sin4(x)+cos4''(xA。,

则()

【答案】B

【分析】

构造函数尸（x）=©,+求导得到其单调性，从而得到歹田<尸田,

cos%2

化简后得到答案.

【详解】令尸=X^~+kTl,kEZ,

cosx2

故尸（同=〃x）c°sx：（x）sinx>。恒成立，

cosX

故尸（苫）=坐在卜3+E,J+E1,左eZ上单调递增，

cosx\22）

故选：B

题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论）

1.（2024高二・上海・专题练习）己知函数/（x）=lnx+ox+l.

⑴当4=T时，求“X）的最大值.

（2）讨论函数“X）的单调性.

【答案】（1）0

（2）答案见解析

【分析】（1）利用导数求解函数最值即可.

（2）含参讨论函数单调性即可.

【详解】（1）当。=一1时，/（x）=lnr-x+l,

11_r

由x>0,所以尸（x）=—_1=——，

XX

当0<x<l时，r（x）>0,所以函数/（尤）在（0,1）上单调递增;

当X>1时,/'（力<0,所以函数/（力在（1,+8）上单调递减;

故而=〃1)=山1T+1=°；

(2)定义域为(0,+W,f'(x)=i-+a,

当a»0时，/,(x)=1+a>0,/(x)在(0,+s)上递增；

当〃<0时，令尸(x)=：+a>0,解得xe(0,一：j,

令广⑺=：+a<0,解得

于是/(元)在(o,-上单调递增；在上单调递减.

2.(23-24高二下•四川南充•阶段练习)已知函数〃x)=lnx+«x2+(2a+l)x.

⑴当。=-1时，求/(x)的单调区间;

⑵若“X)在［3,5］上是增函数，求。的取值范围;

⑶讨论的单调性.

【答案】(l)f(x)的单调递增区间为单调递减区间为

MW*］

⑶答案见解析

【分析】(1)利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解；

(2)将所求问题转化为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式在区间恒成立的解决方法

即可求解；

(3)利用导数法求函数的单调性的步骤，注意分类讨论即可求解.

【详解】(1)当a=T时，/(x)=lnx-x2-A：(X>0),

「⑴,一2》一1=一2十一x+1一(2xf(x+l),

XX

（2x-l）（x+l）

令-(无)=0,则一=0,解得X=g或X=-1（舍）,

x

当X〉：时，当0<x<；时，/'(%)>0,

所以/(X)的单调递增区间为1。，；］,单调递减区间为

（2）因为/（x）=lnx+ax2+（2〃+l）%,

所以「=4+2依+（2〃+1）,

因为“X）在［3,5］上是增函数,

所以广（司=5+2办+（2。+1）20在［3,5］上恒成立,

即2依2+（2a+l）x+/。在［3,5］上恒成立，

因为y=2加+（2o+l）x+l的对称轴为口=2a+l=,

-la2a

当〃>0时，y=—1----<0,则y=2依2+（2々+1）%+1在［3,5］上单调递增;

2a

当〃=0时，>=%+1在［3,5］上单调递增；

当a<0时，y=2依2+（2々+1）x+1开口向下；

综上，要使得2办2+（2〃+1）x+120在［3,5］上恒成立，

24x3?+（2。+1）x3+1201

只需26ZX52+（26Z+1）X5+1>0,解付—10

所以〃的取值范围为一\，+8）.

（3）因为/（%）=111%+收2+（2々+1卜（%>。）,

2ax2+（2«+l）x+l（2ox+l）（%+l）

所以/r（x）=—+2ax+（2（7+1）=

XX

当时，2ox+l>0,x+l>0,所以力2"）>0在（0,+e）上恒成立，

所以F（%）在（。，+。）上单调递增；

当°<0时，令尸⑺=0,则（2办+D（x+l）=o,解得x=或x=_l（舍），

x2a

当工>--■时，r（x）<o,当。<%<时，/'（X）>o,

所以/（尤）在［o,-上单调递增，在上单调递减;

综上所述，当a»0时，“X）在（0,+。）上单调递增；

当a<0时，/（x）在1°，一上单调递增，在上单调递减•

3.（23-24高二下•四川广元•阶段练习）己知函数/。）=一："2+（1+。）尤-In尤（aeR）.

⑴当a=0时,求函数/（x）的最小值;

⑵当。=1时，.re［l,3］,证明不等式/（尤）>-41nx；

⑶当aeR时，求函数Ax）的单调区间.

【答案】（1）1

(2)证明见详解

⑶答案见详解

【分析】(1)求导，利用导数判断Ax)的单调性，结合单调性求最值；

(2)构建g(x)=/(x)+41nx,xe[l,3],利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明；

(3)求导，分类讨论最高项系数以及两根大小，利用导数求单调区间.

【详解】(1)因为了⑺的定义域为(。,+力)，

1Y—1

当a=0时，则/'(x)=x-lnx,且/'