对数与对数函数（原卷版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第06讲对数与对数函数

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................4

第三部分：高频考点一遍过...........................................4

高频考点一：对数的运算..........................................4

高频考点二：换底公式............................................5

高频考点三：对数函数的概念......................................5

高频考点四：对数函数的定义域....................................6

高频考点五：对数函数的值域......................................6

角度1：求对数函数在区间上的值域..............................6

角度2：求对数型复合函数的值域.................................6

角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围......................7

高频考点六：对数函数的图象......................................8

角度1：对数（型）函数与其它函数的图象........................8

角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数......................9

角度3：对数（型）函数图象过定点问题.........................10

高频考点七：对数函数的单调性....................................11

角度1：对数函数（型）函数的单调性...........................11

角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数...................12

角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式.................12

角度4：对数（指数）综合比较大小.............................13

高频考点八：对数函数的最值......................................14

角度1：求对数（型）函数的最值................................14

角度2：根据对数（型）函数的最值求参数.......................14

角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用.................15

第四部分：典型易错题型.............................................17

备注：对数型复合函数容易忽略定义域.............................17

备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较...................17

第五部分：新定义题（解答题）.......................................18

第一部分：基础知识

1、对数的概念

（1）对数：一般地，如果4=N（a>0,且awl），那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=log.N,

其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数IgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的

对数InN.

（3）对数式与指数式的互化：优=Nox=log〃N.

2、对数的性质、运算性质与换底公式

（1）对数的性质

根据对数的概念，知对数log。N（a〉0,且aw1）具有以下性质：

①负数和零没有对数，即N>0；

②1的对数等于0,即log01=0；

③底数的对数等于1，即log0a=1；

④对数恒等式=N(N>0).

(2)对数的运算性质

如果。>0,且aHl,〃>0,N>0,那么：

①log。(M•N)=logaM+\ogaN；

M

②1呜—=log/Tog“N；

③loga〃"=n[ogaM(neR).

(3)对数的换底公式

对数的换底公式：log。b=兽配(a>o,且aW1；C>0,且C#>0).

log9

换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成

什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

换底公式的变形及推广：

①logbn=—logb(a>0且aw1/>0)；

ama

②log/=--—(a>0且al;b>0且6丰1).

一log/,a

③匕且力心g/心8/^心且篦由中。，b,c均大于0且不等于1,d>0).

3、对数函数及其性质

(1)对数函数的定义

形如y=log：(a>0,且awl)的函数叫做对数函数，其中％是自变量，函数的定义域是(0,+s).

(2)对数函数的图象与性质

a>\0<〃<1

y-二,y

i1

图象00

定义域：(0,+s)

值域：R

性质

过点(1,0),即当％=1时，y=0

在(0,+8)上是单调增函数在(0,+8)上是单调减函数

第二部分：高考真题回顾

1.（2022•全国•（新高考I卷））设。=0.卜°」,6=，c=-ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.（多选）（2023•全国•（新高考I卷））噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，

定义声压级4=20x1g巨，其中常数为（为>0）是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不同声源的声压

级:

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为R，P2，P3,则（）.

A.P1*2B.p2>10p3

C.p3=100A）D.Pi<100p2

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：对数的运算

典型例题

例题1.（2024上•福建龙岩•高一校联考期末）已知1082。=1083。=1。865,则必=.

例题2.（2024上•江苏盐城•高一校考期末）计算下列各式的值：

1,、2/、_,

(“2「一(一9.6)。一周［1卜

(2)|log8+3陶4+210g673-|log81.lo

62S当27?•

练透核心考点

1.(2024上•安徽蚌埠•高一统考期末)计算(log32+log34)x(log1615-log165)=________

2.（2024上•广西百色•高一统考期末）计算下列各式的值:

1

⑴0.001《+「（到

b2

（2）log5175-log57+e+210gl及

2

高频考点二：换底公式

典型例题

例题1.（2024上•安徽安庆・高一统考期末）Iog231og34-l（yg3=（）

A.2B.1C.-1D.0

例题2.（2024上•山东黄泽•高一校联考期末）已知log®々=log%%h"=bg",。Ao=2，则

iog0-3a…伪°）=.

练透核心考点

1.（2024上•陕西咸阳•高一统考期末）若2工=，坨2。0.3010,则x的值约为（）

A.1.322B.1.410C.1.507D.1.669

lg3

2.（2024上•广东深圳•高一校考期末）计算：1log^100-log54+log29xlog38-10=

高频考点三：对数函数的概念

典型例题

例题1.（2024・江苏•高一假期作业）下列函数，其中为对数函数的是（）

lo

A.y=log;（-x）B.y=21og4（l-x）c.y=lnxD.J=g（a2+fl）

练透核心考点

1.（2024•江苏•高一假期作业）已知函数/0）=（2加一"）log”尤+根一1是对数函数，则a=

高频考点四：对数函数的定义域

典型例题

例题1.（2024下・河南・高一信阳高中校联考开学考试）函数/（"=10814^^7^的定义域为（）

A.{x|x>l且xw2}B.{x|l<x<2}C.{x\x>2}D.{x|xwl}

例题2.（2024上•山东荷泽•高一校联考期末）已知函数〃对=1«2/+丘+：的定义域为R,则实数上的

取值范围是.

练透核心考点

1.（2024上•江西景德镇•高一统考期末）函数/（x）=ln（Tx+12）的定义域是.

2.（2024上•上海宝山•高一上海交大附中校考期末）已知函数y=log“（区2一疵+1-4的定义域为区，则

实数％的取值范围是.

高频考点五：对数函数的值域

角度1：求对数函数在区间上的值域

典型例题

例题L（2023上•高一课时练习）函数y=2+log5X（xNl）的值域为（）

A.（2,+oo）B.（-oo,2）

C.[2,+co）D.[3,+00）

例题2.（2023上•高一课时练习）已知函数〃x）=2+log31的定义域为[1,9],则函数/（%）的值域

是.

角度2：求对数型复合函数的值域

典型例题

1.（2024下•河南周口•高一周口恒大中学校考开学考试）函数y=log°-5（4x-x2）的值域为.

2.（2024上•上海青浦•高一统考期末）函数y=（2+k»g2X>log2L的值域为.

角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围

典型例题

例题1.（2024上•贵州毕节•高一统考期末）已知函数/（x）=log.x+w1）的定义域和值域都是（1,2）,

则ab=.

例题2.（2024上•江西上饶•高一婺源县天佑中学校考阶段练习）已知函数=log?（ar2-ar+4）,若/（x）

的值域是R,则实数。的取值范围是.

练透核心考点

1.（2024•上海•高一假期作业）函数/（力=研-犬+4。的值域是

2.（2024上•湖南株洲,高一校考期末）若函数〃x）=log2（3-办）在[-1,3]上的最大值为2,则实数。=.

3.（2024・全国•高三专题练习）已知/（x）=l+log3X（”xW9）,设g（x）=/（尤）+/（尤?），则函数y=g（x）

的值域为.

4.（2024上•河北唐山•高一统考期末）己知定义在R上的函数〃x）为偶函数.当x»0时，/（x）=-log2（x+1）.

⑴求/X-3）；

（2）求函数的解析式；

⑶若xe[-3,1],求函数“X）的值域.

5.（2024•全国•高一假期作业）已知函数〃同=1。8小（4>0且"1）.

⑴当0<a<l时，若〃2a+2）<〃5a）,求。的取值范围；

（2）若y=/（x2+x+£|的最大值为2,求在区间1,4上的值域

6.（2024•全国•高一专题练习）已知函数/（x）=log2（〃a2-4X+2）

⑴若/（X）的定义域为R，求，"的取值范围.

（2）若“X）的值域为R,求加的取值范围.

高频考点六：对数函数的图象

角度1：对数（型）函数与其它函数的图象

典型例题

例题1.（2024上•黑龙江齐齐哈尔・高一统考期末）已知lga+lg/=0,贝(=(a>0,且awl)与

g（x）=log/3>0,且*1）的图象可能为（）

例题2.（2023上•内蒙古赤峰•高一校考阶段练习）已知函数丫=/（。€1<）的图象如图所示，则函数y=a'与

，=log°x在同一坐标系中的图像是（）

角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数

典型例题

例题1.（2022下•湖南•高一校联考期末）已知函数/（x）=log/x-3（〃〉0且"1,人为常数）的图

象如图，则下列结论正确的是（）

B.〃>0,-1<Z?<O

C.0<<1jZ?<-1D.0<«<1,-1<Z?<O

例题2.（2021・江苏•高一专题练习）如图是三个对数函数的图象，则。、b、。的大小关系是（）

B.c>b>a

C.c>a>bD.a>c>b

角度3：对数（型）函数图象过定点问题

典型例题

例题L（2024上•湖北武汉•高一校联考期末）若角a的终边经过函数y=log“（2x-1）+2（a>0且awl）

的图象上的定点尸，则2sina+costz=（）

A.—B.V10C.y/5D.

510

例题2.（2024上•山东滨州•高一校考期末）函数y=log”（x-l）+l（a>0且awl）的图象恒过定点A,且A点

在直线"氏+芍=1上，（771>0,«>0）,则32m3+1+42的最小值为（）

mn

A.6+20B.10C.8+272D.8

练透核心考点

1.（2022上•江西上饶•高一统考期末）函数〃x）=log2（NT）的图像为（）

-

X

2.（2023上•山东潍坊•高三校考期中）已知指数函数y=炉，对数函数y=iog/的图象如图所示，则下列

A.0<a<b<\B.Q<a<l<b

C.0<b<l<aD.a<O<l<b

3.（2024•全国•高三专题练习）函数y=log/+a"T+2（a〉0且的图象恒过定点（左力），若m+n=b—k

91

且机>0,〃>0,则一+一的最小值为（）

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

4.（多选）（2022上•辽宁•高一凤城市第一中学校联考阶段练习）已知〃>0,b>0,且而=1,awl,bwl,

则函数/（%）=/与函数g（%）=log»%在同一坐标系中的图像可能是（）

5.（多选）（2024上•湖南张家界•高一慈利县第一中学期末）已知函数/（%）=log/x-2）+1（，>。且awl）的

图象过定点（s/）,正数机，〃满足根+〃=§+，，则（）

c77,911.

A.m+n=3B.m2+n2>8C.mn<—D.—F—>1

4mn

6.（多选）（2021下•河北邢台・高一统考开学考试）若lna=lgb,则下列选项可能成立的是（）

A.a=bB.l<a<bC.a<b<lD.b<a<l

高频考点七：对数函数的单调性

角度1:对数函数（型）函数的单调性

典型例题

例题1.（2024上•河北石家庄•高一石家庄外国语学校校考期末）函数〃x）=log2（x2-4）的单调递增区间为

（）

A.（0,+a?）B.（一8,0）

C.(2,+co)D.

例题2.（2024上•广东广州•高一华南师大附中校考期末）函数y=ln（尤?+5X-6）的单调递增区间为（）

5■1+00

A.y,-6)B.—00,-------C.D.(1,+<»)

2

角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数

典型例题

例题1.（2024上•河南商丘•高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数=1暇（炉-2履+5）在区间[1,2]

上单调递减，则实数%的取值范围是（）

9-2,2

A.—00—B.C.D.[2,+00)

44

—JQ.—丫<]

例题2.（2024上•陕西宝鸡•高一统考期末）已知函数/（%）=<'4"一是R上的单调递减，则实数。

loga.r-l,%>l

的取值范围是（

J_111

A.B.C.D.1

4；24,2°4I

角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式

典型例题

例题1.（2023上•北京海淀•高一统考期末）已知函数〃x）=log2（x+l）+x-2,则不等式〃x）<0的解集

为（）

A.(-8,1)B.(-1,1)C.(0,1)D.(1,+<»)

例题2.（2023上•安徽•高一校联考阶段练习）已知函数7'（元）=log2（4i+l）-X,则不等式〃3x）<〃尤+3）

的解集为（）

33

A.—00,—B.—,+00

22

j_333

C.D.

4524,2

角度4：对数（指数）综合比较大小

典型例题

0908

例题1.（2024下•海南省直辖县级单位•高三嘉积中学校考开学考试）^a=1.3,&=1.2,C=log180.9,则

（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.b>a>c

例题2.（2024•山西临汾•统考一模）若a=1呜：，^=log23,c=31,则（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

练透核心考点

1.（2024上•河北石家庄•高一石家庄一中校考期末）已知a=log36,b=log2V^，c=L22,则a,瓦。的大小关

系是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

2.（2024上广东深圳•高一深圳市高级中学校考期末）设。=logo.20.3,/?=log23,c=log34,则a,b,。

的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

3.（2024上•重庆渝中•高一重庆巴蜀中学校考期末）函数〃》）=1。82（-/+2%）的单调递增区间为（）

A.（F,1）B.（0,1）C.（1,2）D.（1收）

4.（2024•全国•高一专题练习）若函数〃元）=bg/V+依-2〃）在上包）上单调递减，则实数。的取值范围

2

是（）.

A.（-oo,-2]B.[-2,+co）

C.[—2,1）D.[—2,—1]

5.（2024上•河北沧州•高一统考期末）函数y=l°gi（-f+以+5）的单调递增区间是.

2

6.（2024上广西•高一校联考期末）已知函数〃。=1。82（62+2%-50）在（2,+8）上是增函数，贝Ua的取值

范围是.

7.（2023上•广东惠州•高一校考阶段练习）已知函数，（x）=log2（l-x）-log2（l+x）

（1）求函数的定义域并用定义法判断函数的奇偶性；

⑵求不等式/。）>1的解集

高频考点八：对数函数的最值

角度1:求对数（型）函数的最值

典型例题

例题L（2024•全国•高一专题练习）已知函数〃x）="+b（a>0且awl,6为常数）的图象经过点尸（1,5）,

2（2,11）.

⑴求6的值;

⑵设函数g（无）=log0（2x+1）+log/,求g（元）在［1,4］上的值域.

例题2.（2024下•上海•高一开学考试）已知函数/（x）=9,-28x3"+243,g（x）=log2y-log2^.

（1）设集合A={xeR"⑺40},求集合A；

（2）当xeA时，求g（x）的最大值和最小值.

角度2：根据对数（型）函数的最值求参数

典型例题

例题1.（2024上•江西抚州•高一统考期末）若函数/（力=1。8鹏（。>0且"1）在区间［4,4/］上的最大值比

最小值多2,则。=（）

—1fl

A-4或赤B.4或i

C.2或,D.2或g

例题2.（2024•全国•高三专题练习）若函数/（x）=log“（x2-ax+l）有最小值，则。的取值范围是

角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用

典型例题

例题L（2024上•黑龙江佳木斯•高一校联考期末）已知函数/（x）=log21^.

⑴判断并证明函数的奇偶性；

（2）当xe（3,”）时，/（%）+1082（%+1）＞加恒成立.求实数m的取值范围.

例题2.（2024上•浙江嘉兴•高一统考期末）已知函数/（x）=log2（x+l）-log2（l-x）.

（1）求函数/（X）的定义域，并根据定义证明函数/（X）是增函数；

（2）若对任意xe0,1,关于x的不等式/（1-恒成立，求实数f的取值范围.

练透核心考点

1.（2024上广东清远•高一统考期末）已知塞函数〃尤）=（/一。-1）尤"T（aeR）在包+⑹上是增函数.

⑴求〃尤）的解析式；

⑵设函数g（x）=logfl（x+2）-loga（x-1）,求g（无）在［2,4］上的最小值.

2.(2024・全国•高一专题练习)已知函数/(x)=log“(l-x)-log«(b+x)+7”(a>0且awl)为奇函数.

(1)求函数〃x)的定义域及解析式；

(2)若xe,函数f(x)的最大值比最小值大2,求。的值.

尤-2九2

3.(2024下•河南,高一信阳高中校联考开学考试)⑴已知一+尤=3,求3\的值;

x-3+x3

(2)已知函数〃x)=|ln(x-2时在区间［-1,2］上的最大值为2,求实数机的值.

4.(2024上•江西景德镇•高一统考期末)已知函数/(x)=log”(x+2)+log.(l-x),(a>0,且”1).

⑴当4=2时，求函数的单调区间；