北京市通州区2024-2025学年高三年级上册期中质量检测数学试卷（含答案解析）

北京市通州区2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={x|-3<x<3},集合B={x|x+12},则/UB=()

A.{x|-l<x<3}B.{x|-3<x<-l}

C.{x|x>-l}D.{x\x>-3}

2.设复数z=3-i,则复数三在复平面内对应的点的坐标是()

1

A.(1,3)B.(-1,3)

C.(-1,-3)D.(-3,-1)

3.下列函数中，在(0,内)上单调递增的是()

A./(x)=vmB.f(x)=2-x

C./(x)=-InxD./(x)=x+—

x

4

4.已知角a终边经过点尸(—3/),且tana=§,则cosa=()

3344

A.—B.±—C.—D.±—

5555

5.设z,B为非零向量，则“w是平+相£号的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

.71T

6.在VABC中，^4=—,C=,b=V2，贝！J。=()

A.V3-1B.41C.2D.V3+1

7.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏(如图)上方装有acm?的细沙,

细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过Zmin时剩余的细沙量为yen?,且〉=。二-"1为常

数)，经过8min时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的!，需经过的时间为()

O

试卷第1页，共4页

♦■

A.8minB.16minC.24minD.26min

8.设函数/（x）=sin"x-5）（0>。），已知了（Xo）=-1,/^o+|^=1,则0的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

9.设集合/=｛（x,y）x-yNl,x+y>3,x-yV2｝,贝l］（）

A.对任意实数a,（2,1）"B.对任意实数a,（2,1）e/

C.当且仅当。>1时，（2,1）D.当且仅当“<O时，（2,l）eN

10.已知G是V/3C的重心，过点G作一条直线与边NB,/C分别交于点E,F（点E,

尸与所在边的端点均不重合），设方=x近，AC=yAF,则工+工的最小值是（）

xy

4

A.1B.-C.2D.4

3

二、填空题

11.函数/(x)=lnx+的定义域是

12.已知向量点3在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1,则

13.已知等差数列数,｝的首项为4,设其前〃项和为S〃，且$2=10,则过点尸（〃当）和

0（〃+2,联），且满足〃£N*,«>1的直线的斜率是.

试卷第2页，共4页

2X-a,x<1,

14.设函数/(x)=

4(x-a)(x-2a),x>1.

①若Q=l,则函数/(X)的零点个数有个.

②若函数/(X)有最小值，则实数Q的取值范围是.

i

15.已知无穷数列｛%｝满足q=：,an+i=an-an,给出下列四个结论:

®VneN*,>0；

②数列｛。“｝为单调递减数列；

®3neN*,使得%=0;

@V«eN*,均有个43

2r〃+2

其中正确结论的序号是.

三、解答题

16.已知函数/(x)=2sin(兀-x)cosx,g(x)=cos(2x+^].

(1)求〃x)的最小正周期及的值；

⑵直线x=04])与函数〃x),g(x)的图象分别交于M,N两点，求的最大值.

17.记V48V的内角48,C的对边分别为。也c，已知在+/-c?=-皿,sin0=273sin5.

⑴求C及c；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使V/2C存在且唯一，

求VABC的面积.

条件①：6=4；

条件②：bsinC=;

条件③：cosB=.

2

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作

答，按第一个解答计分.

18.已知S〃为数列｛%｝的前几项和，满足—1,〃£N*.数歹!J｛4｝是等差数列，且4=q,

试卷第3页，共4页

b2+b4=6.

(1)求数列｛%｝和｛bn｝的通项公式；

、/小心

:"工展将'求数列匕｝的前2n项和.

)为偶数，

19.设函数/(无)=/-3依+6,若函数/(x)在x=2处取得极小值8.

⑴求6的值；

⑵求函数/(无)在［0,3］上的最大值和最小值，以及相应x的值；

(3)证明：曲线V=/(无)是中心对称图形.

20.已知函数/(x)=(2x-a)lnx(aeR).

⑴当。=0时，求函数/(x)的单调区间；

(2)证明：当。=-1,曲线y=/(x)的切线不经过点(0,0)；

(3)当。＞0时，若曲线了=/(无)与直线V=-x在区间(1,+划上有两个不同的交点，求实数。

的取值范围.

21.已知数列也J的通项公式为%=［"收］(田表示不超过实数x的最大整数)，数列次J的

通项公式为，=2"T(”eN*).

⑴写出数列｛%｝的前6项；

(2)试判断"与％是否为数列也,｝中的项，并说明理由；

(3)证明：数列｛。“｝与数列｛b,,｝的公共项有无数多个.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DCAACDCBCB

1.D

【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.

【详解】因为5={X|X+120}={X|X2-1},又/={x|-3<x<3},

所以/UB={x|x>-3},

故选：D.

2.C

【分析】利用复数的四则运算和复数对应点的特征求解即可.

【详解】因为z=3-i,所以三=2zi=liJ=2=5i-i,

iii2-1

故复数4在复平面内对应的点的坐标是(-1,-3),故C正确.

1

故选：C

3.A

【分析】选项A和D,对函数求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可判断选项A和

D的正误，选项B和C,根据常见函数的单调性即可求解.

1

【详解】对于选项A,由/（X）=Vx+1,得/'（X）=>o恒成立,则/(x)=4TT在(0,-+W)

2Jx+1

上单调递增，所以选项A正确，

对于选项B,因为/(x)=2-、=(；)'在(0,+8)上单调递减，所以选项B错误，

对于选项C,因为〃x)=-lnx在(0,讨)上单调递减，所以选项C错误，

对于选项D,由/(x)=x+2，得到八尤)=1一二=上1=。-吁+1),当o<x<l时,

/'(x)<o,当x>l时，/'(%)>0,

所以〃X)=X+L在(0,1)单调递减，在(1,+8)上单调递增，故选项D错误,

X

故选：A.

4.A

【分析】根据三角函数的定义，以及tana,求得》,再求cosa即可.

【详解】根据三角函数定义可得：tana=3=:，故可得y=-4,

-33

答案第1页，共13页

33

则cosa二

故选：A.

5.C

【分析】a,1为非零向量,平+*FT”平方后展开,进而判断出结论.

【详解】a,5为非零向量,平+汩二可”展开为:

a+2a-b+b=a-2a-b+b<^>a-b=0<^aLb

“及工§”是“忖+q=q_中'的充要条件.

故选：c.

【点睛】本题考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

6.D

【分析】利用三角形的性质得到B=J,由正弦的和角公式得sinF=^+后,再利用正弦

6124

定理，即可求解.

【详解】因为―，c=＞得到吟吟卡哈

-y-j.7兀./兀兀、也1拒6yj6+y/2

乂sm——=sin（一■F—）=------X--1--------X-------=-----------------b=5/2，

124322224

V6+V2

7•「V2x（

bbsmC_'

由正弦定理得,所以c——二V3+b

sinBsinCsin5

2

故选：D.

7.C

1&力/日7In2*由此能得出结果.

【分析】依题意有ae.=不a，角牛倚6=一^-

2oy=ae

_j_zyan「一勖——

【详解】依题意有ae.

22

两边取对数得-86=111,=-1112,所以6=野，得到ln2

8

28y=ae

1_吗i_也_1

当容器中只有开始时的《时，则有ae8所以e屋——，

888

ln2,1ci3

两边取对数得-----1=In—=-31n2,所以"24,

88

故选：C.

答案第2页，共13页

8.B

7T

【分析】根据条件，利用V=sinx的性质，得到。/=-7+2及兀AeZ和

6

以/H—)=F2左2兀色wZ,从而得至!Jg=2+4左，左wZ,即可求解.

26

【详解】因为/(%)=sin(s:-3(口〉0),且/(%)=-1,

7CJT7L

所以CDXQ-......F2后]兀,k、GZ,到(0XQ-.........F2kl7i,k]GZ①

326

「zZ兀\yft。兀兀兀CT,r/口k.t/兀、5兀TrZ-N

又//+彳=1,则公^0+—————+2A：2兀月wZ,侍到以/+—)=--■卜2k2兀鱼£Z②，

k2723226

由①②得到，£=1+2(左2-左),左2，《£Z,即G=2+4左，左EZ,又。〉0,所以Q的最小值为

2,

故选：B.

9.C

【分析】利用。的取值，反例判断是否成立即可.

【详解】对A,若。=-2,贝!]/={(x,y)x-y21,x+y>3,x-y42},

将Q,l)代入不全部满足，此时可知(2,l)wN,故A错误；

对B,当q=2时，贝!]/={(x,y)x_yWl,2x+y>3,x_2y〈2},

将(2,1)代入全部满足，此时可知(2,l)e/,故B错误；

2—Q«2

对C,若(2,1)£工，24+1>3,解之可得〃>1,所以C正确；

2-1>1

对D,当a=g,则/=]。,了)|工->21,：+了>3/-142，，将(2,1)代入不全满足，

所以(2,l)g/,故D错误.

故选：C

10.B

【分析】由平面向量的基本定理得到xj的等式，再用基本不等式求得最小值.

【详解】如图：

答案第3页，共13页

A

取BC中点Z),则ZG=—AD,AD=—AB-\—AC,

322

AG=-AD=-[^AB+^AC}=^AE+^4F,

33(22J33

・・•瓦GI三点共线，・・・：+1=l,即x+y=3,

11=(X+J；11

-+—3O+—

xyx

3

当且仅当x=y=5时，取等号;

故选：B

ii.(o,i)u(i,+»)

【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可.

【详解】因为〃x)=lnx+工，

X-L

fx>0

所以<1C，贝l」X>0且XW1,

故"X)=向+的定义域是(O,l)U(1,+8).

X—1

故答案为：(OJ)U(l,+8).

12.4

【分析】根据条件，得到同=2后,忖=2,且无B=,，再利用数积的定义及运算律，即可

求解.

【详解】由图知，同=2后,恸=2,且二日，

所以小伍+3)=片+=8+2\/2x2xcos—=4,

答案第4页，共13页

13.2

【分析】利用等差数列的性质求解通项公式，再结合斜率公式求解即可.

【详解】设公差为d,因为S2=10,所以2x4+d=10,解得d=2,

所以。〃=4+2（〃-1）=2〃+2,an+2=2〃+6,

故直线斜率为2"+6二（2"+2）=1=2.

n+2-n2

故答案为：2

14.3a>l

【分析】①，由1（"=0来求得零点的个数.

②，对。进行分类讨论，结合二次函数的性质求得。的取值范围.

【详解】①，当"1时，小）=卜（一）（…,a，

[x<1

由解得x=0；

[2—1=U

[x>\

*[4（x-l）（x-2）=0,解得》=1或尤=2.

综上所述，/（x）的零点个数有3个.

②，当x<l时，/（%）=2，一。在区间（-双1）上单调递增，

值域为无最值.

当时，/(X)=4(X—Q)(X—2Q),

开口向上，对称轴为片与=>

4—ci-a—ci-2a=—a1,

ao

2

当尤=时，/(x)min=/(l)=4(l-a)(l-2a)=8«-12«+4,

答案第5页，共13页

则8/-12。+44-a,8a2-llo+4<0®,

ii7

〃（Q）=8Q2—11Q+4的开口向上，对称轴为〃=一>-,

163

哈］=8义4-Hx1+4=?->0,贝U①不成立.

当x=|a>l,a>g时，/"L=,

贝!］—/<—a,/—Q=a（Q—］）20,解得a21.

综上所述，a>\.

故答案为：3；a>l

15.①②④

【分析】根据%+产％（1-4）以及％=（即可得进而得4包=1-d<i,即可判断

a

2n

1111

PR-----T=-----T+---T之2,利用累加法求和即可判断④.

1]33

[详解]由％=5，%=%%（1_"[）==&e（0,1）,

进而可得%=出（1-嬉）e（O,l）,结合％=%（1-说），以此类推可得0<%<1,

故4^=1-d<l,故0<。用<。“<1,故①②正确，③错误,

an

1_1

由〃〃+1=。〃一端可得厂=//[，故

/、

J____1_=X]J21_《：2一-1+]]

■丁小（1-团「（1-肃一（1-肃一（一；/匚至

由于0<a；<g,故1>1一d2g,进而可得〃=1一片,1>“之；,1<?W2故

11（11\

+-+2

FnFnl\Fn2/\4-

、

>2（H-1）,故4一~y>2（«-1）^>^->2w+2,

%a\an

7

1故片wJ三，故④正确,

当〃=1时,

2n+22n+2

答案第6页，共13页

故答案为：①②④

【点睛】关键点点睛：P一一滔=7,一不+匚利用累加法求和.

16.(1)最小正周期为兀，/^=1

⑵G

【分析】(1)利用诱导公式化简三角函数，求解最小正周期和函数值即可.

(2)利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可.

【详解】(1)/(x)=2sin(7t-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,

所以=sin5=1,/(x)的最小正周期为］=九

(2)由题意可知,两点的坐标为«,/(。),«,g(。),

Ijjlj\MN\=|/(/)-g(0|,即\MN\=sin2%-cos12/+^j,

=sin2/一cos2,-gsin22)

故|MN|=sin2,一cos2/+一

I6

=—sin2/----cos2/=，3sm2t

22||I6j

._...八兀r-Lr、tc兀兀5兀

因为fe0,-,所以

2666

7T

所以|MN|在/e0,-时的最大值为G.

271I—

17.(1)C=,c=2A/3

⑵百

【分析】(1)利用余弦定理和正弦定理求解角度和边长即可.

(2)首先证明条件①不符合题意，选择条件②和条件③时利用余弦定理结合给定条件求解

面积即可.

【详解】(1)由力+4-‘2=一岫和余弦定理可得cosC=矿+"一｝=-

2ab2

2兀

因为C为V/3C的内角，所以Ce(0,7T),故。=胃，

答案第7页，共13页

由bsinC=2Gsin3变形得上=交，由正弦定理得c=2g.

sinBsinC

(2)选择条件①：b=4,

4_273

由正弦定理得sin^—V3，解得sinB=l,

~T

TT

因为8为V4BC的内角，所以3e(0,?t),故2=万，

与c=三771相互矛盾，故不存在这样的三角形，

所以我们不选择条件①，

选择条件②：6sinC=百，

因为6sinC=V3,C=——,所以6x=^3>

32

14+/72-17

解得6=2,由余弦定理得-人=4+"",

22x^x2

化简得。2+2。一8=0,解得〃=2或。=-4(舍)，

所以$△皿：=；劭sinC=g.

选择条件③：COSB=2,

2

八1

因为cos8=—,所以sin5=u.

22

因为6sinC=2gsin8,所以6=2,

由余弦定理得"="+12。,化简得/一6a+8=0.

22ax2g

解得。=2或Q=4,当。=4时，V/BC是直角三角形，与题干不符，故排除，

所以&.=；a6sinC=V^

1

18.(1)«„=2",bn=n

小、21

(2)—4"+n+n~-

【分析】(1)先由数列｛4｝的前"项和S"和通项。”的关系式求出相邻项之间的关系,

判断出数列｛an｝的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解；

(2)利用分组求和法及公式法进行求和即可.

【详解】(1)解：因为S,=2%-1,“eN*,①

答案第8页，共13页

所以有。1=1，S”+1=2%+1-1.②

②-①得%+i=2%("eN)

所以数列｛%｝成以1为首项，以2为公比的等比数歹U.

所以%=2—

又数列也｝是等差数列，且…,仇+"=6.

所以4=1,d=\.

所以6“=n.

%,"为奇数,

(2)因为%=

〃为偶数,

设数列仁｝的前2〃项和为凡，

所以%,=%+3+%+d+…+«2„-1+b2rl

=(fll+/+…+&2"-1)+。2+d+••,+&)

=2°+22+---+22"-2+2+4+---+2n

4"21

=----hn~+n——.

33

19.⑴a=4,6=24.

(2)x=2,最小值为8,x=0,最大值为24.

(3)证明见解析

【分析】(1)根据极值点及极值可求6的值；

(2)根据导数讨论其符号后可得单调性，从而可求何时取何最值；

(3)可证曲线上任意点关于(0,24)的对称的点仍在曲线上，从而可得曲线的对称性.

【详解】(1)/(x)=3/-3a,

由题意函数/(x)在x=2处取得极小值8得，

ff'(2)=12-3a=0,

[f(2)=8-6a+b=8,

解得a=4,6=24.

此时/'(X)=3X2T2=3(X-2)(X+2),

答案第9页，共13页

当x<-2或x>2时，/'(久)>0，当一2<x<2时，f'(x)<0,

故x=2为/(x)的极小值点，故。=4,6=24满足条件.

(2)由(1)分析列表得：

X0(0,2)2(2,3)3

f，3-0+

f(x)24单调递减8单调递增15

所以当x=2时/(%)取得最小值为8,x=0时取得最大值为24.

(3)曲线.=/(x)的对称中心为(0,24),证明如下：

设点口加,”)为曲线了=/(x)上任意一点，则点尸(根,〃)关于(0,24)的对称点为(-九48-"),

因为在>=/(x)图象上，

所以R=〃/-12加+24.

又(一机了-12(-/«)+24=48-M,

所以点(-"7,48-")也在7=/&)图象上.

所以曲线y=〃x)是中心对称图形.

20.(l)/(x)的单调递增区间为g,+s),单调递减区间为(o,£|;

(2)证明见解析；

⑶a>4-Ve.

【分析】(1)求导，利用导数研究单调性即可；

(2)将。=-1,利用导数求出切线方程，利用反证法证明即可；

(3)将问题转化为=r在区间(1,+哈上有两个不同的解，即。=2x+4在区间(1,+功

Inx

上有两个不同的解，设〃。)=2芯+4，利用导数求解即可.

Inx

【详解】⑴当〃=0时,/(x)=2xlnx,/(x)的定义域为(0,”).

f\x)=21nx+2，

令/'(x)=2lnx+2=0,解得x=L

e

当x>!时，r(x)>o,〃x)单调递增，

e

答案第10页，共13页

当0<x/时，r(x)<0,〃x)单调递减.

e

所以/(X)的单调递增区间为g,+e],单调递减区间为

(2)当。=一1时，/(x)=(2x+l)lnx,/V)=21n%+2+-.

X

设曲线了=/(x)的切点为亿/⑺)(/>0),

贝U切线方程为y-(21+l)hU=(21nf+；+2}x-f),

假设切线过原点，则有-⑵+1)Inf=2Inf+：+2)(V),

整理得：lnZ-2/-l=0.

令g«)=ln"2，—1,贝叱.)=；_2.

所以当时，g'«)<0；当fe(0,£|时，g'(f)>0；

所以g«)在(；，+纥[上单调递减，在上单调递增，

所以对任意00,g(f)<gQ^|=-ln2-2<0,

所以方程lnf-2f-l=0无解.

综上可知，曲线>=/(x)在点的(?,/(/))切线不