北京市某中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷（解析版）

陈经纶中学2024-2025第一学期初二数学学科

期中监测试卷

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个.

1.下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（）

母K•缪。囱、

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个

图形叫做轴对称图形”，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键.根据轴对称图形的定义逐项判断即可得.

【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意；

B、不是轴对称图形，则此项不符合题意；

C、不是轴对称图形，则此项不符合题意；

D、是轴对称图形，则此项符合题意；

故选：D.

2.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）

A.1,2,3B.1,2,4C.2,3,4D.2,2,4

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三

边即可.

【详解】A、1+2=3,不能组成三角形，故A选项错误；

B、1+2<4,不能组成三角形，故B选项错误；

C、2+3>4,能组成三角形，故C选项正确；

D、2+2=4,不能组成三角形，故D选项错误；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系.

3.下列各图中，作VABC边AC边上的高，正确的是（）

【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做

三角形的高，据此求解即可.

【详解】解：由三角形的高的概念可知，四个选项中只有D选项中的作图方法是作的VA3C边AC边上

的高，

故选：D.

4.在平面直角坐标系中，点（-3,-2）关于x轴对称的点是（）

A.（-3,2）B.（3,-2）C.（3,2）D.（-2,-3）

【答案】A

【解析】

【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可.

【详解】解：点（—3,—2）关于无轴对称的点的坐标为（一3,2）.

故选：A.

【点睛】本题考查了关于x轴轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好关于x轴对称的点，横坐标相

同，纵坐标互为相反数.

5.若一个多边形的内角和是它的外角和3倍，则这个多边形是（）

A六边形B.七边形C.八边形D.九边形

【答案】C

【解析】

【分析】首先设此多边形是〃边形，由多边形的外角和为360°,即可得方程180（〃-2）=3x360,解此方

程即可求得答案.

【详解】解：设此多边形是〃边形,

:多边形的外角和为360°,

180（^-2）=3x360,

解得：«=8.

...这个多边形是八边形.

故选：C.

【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.此题难度不大，注意多边形的外角和为360°,“边

形的内角和等于（〃-2”80°.

6.如图，点E在边上，ZB=70°,则NACD的度数为（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【解析】

【分析】由全等三角形的性质推出BC=CE,ZDCE=ZACB,由等腰三角形的性质得到

7CEB?B70?,求出ZECB=180°—NCEB—/5=40。，ZACD+ZACE=ZECB+ZACE,

即可得到^ACD=NECB=40P.

【详解】＜AAB8ADEC,

:.BC=CE,/DCE=ZACB,

:./CEB=/B=7『,

/ECB=180P-/CEB—NB=40P,

/ACD+NACE=NECB+/ACE,

NACD=/ECB=40P.

故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由△ABCMADEC,得到

NDCE=ZACB.

7.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用

力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到。4的水平

距离3D、CE分别为1.4m和L8m,ZBOC=90°.爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是

A.ImB.1.6mC.1.8mD.1.4m

【答案】D

【解析】

【分析】利用全等三角形判定（A4S）,证得△OBZ）与ACOE全等，根据全等三角形性质可求出0E和

0。的值，进而求出。4的值，最后根据04-。石=4£,即可求出问题答案.

【详解】解:;ZBOC=90。,

ZBOD+ZCOE=90°,

•.•NBDO=90。,ZCEO^90°,

ZBOD+ZOBD=90°,ZCOE+ZOCE=90°,

:.NCOE=NOBD,ZBOD=ZOCE,

又•：OB=CO,

:.^OBD=ACOE（AAS）,

OE=BD=1.4m,OD=CE=1.8m，

:.AE=OA-OE=OD+DA-OE=l.Sm+lm-lAm=lAm.

故选：D.

【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键.

8.如图，VA3C中，NABC、ZE4c的角平分线皮AP交于点P,延长B4、BC,PMLBE,

PNLBF,则下列结论中正确的个数（）

①CP平分ZACN；②ZABC+2ZAPC=180。；

③NACB=2NAPB；④S^PAC=+S^NCP.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了角平分线性质定理、直角三角形全等的判定与性质、四边形的内角和等知识，通过作

辅助线，构造全等三角形是解题关键.过点P作P。，AC于点。，先根据角平分线的性质定理可得

PM=PN,PM=PD,从而可得=再证出RMPCDgRuPQV,根据全等三角形的性质可得

ZPCD=ZPCN,由此即可判断①正确；先证出RSRU//RRK4D,根据全等三角形的性质可得

ZAPM=ZAPD,从而可得NMPN=2NAPC,再根据四边形的内角和即可判断②正确；先根据三角形的

外角性质可得NEAC=NA6C+NACB,从而可得2NE4P=2NABP+NACB,再根据三角形的外角性

质可得NE4P=NABP+/4PB,由此即可判断③正确；根据全等三角形的性质可得号次.=久延?，

SQAP=S“MAP-由此即可判断④正确•

【详解】解：如图，过点尸作于点。，

BCNr

VZABC,ZE4C的角平分线BP、AP交于点P,PM±BE,PNLBF,

：.PM=PN,PM=PD,ZABC=2ZABP,ZEAC=2ZEAP,

：.PN=PD,

在RtAPCD和Rt/XPCN中，

PC=PC

PD=PN'

RtxPCDgRt△尸QV(HL),

：.ZPCD=ZPCN,ZCPD=ZCPN,

.••CP平分/ACT"结论①正确；

在RiAPAM和RtAPAD中，

PA=PA

PM=PD，

RuPAM^RtAB4D(HL),

/.ZAPM^ZAPD,

/.ZMPN=ZCPD+Z.CPN+ZAPM+ZAPD=2(ZAPD+ZCPD)=2ZAPC,

VPMVBE,PNLBF,

：.ZPMB=ZPNB=90°,

：.ZABC+ZMPN=180°,

：.ZABC+2ZAPC=180°,结论②正确；

VZEAC=ZABC+ZACB,ZABC=2ZABP,ZEAC=2ZEAP,

：.2ZEAP=2ZABP+ZACB,

又：ZEAP=ZABP+ZAPB,

/.2(ZABP+ZAPB)=2ZABP+ZACB,

：.ZACB=2ZAPB,结论③正确；

■:RtAPCD^RtAPOV,RtAPAM^RtAjB4£),

・q-vv-v

•・Q&DCP-"ANCP'^^DAP-UjWAP'

=

••S^DAP+S/CP=SSMAP+S"CP，即^APAC+^ANCP，结论④正确；

综上，结论中正确的个数4个，

故选：D.

二、填空题(本题共24分，每小题3分)

9.如果等腰三角形的两边长分别是2、7,那么三角形的周长是.

【答案】16

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质，三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即

可.

【详解】解：(1)当2为腰长时，三边分别为2、2、7,因为2+2=4<7,根据三角形三边关系得，此三边

不能组成三角形.

(2)当7为腰长时，三边分别为2、7、7,根据三角形三边关系得，此三边能组成三角形.所以三角形的

周长=7+7+2=16；

综上，此三角形的周长为16.

故答案为：16

【点睛】本题主要考查等腰三角形三边关系，解题的关键是先分类讨论确定腰长，再根据三角形任意两边

之和大于第三边判断是否能组成三角形，最后算出周长即可.

10.在VABC中，ZC=90°,ZA-ZB=30°,则ZA=.

【答案】60°

【解析】

【分析】根据直角三角形两个锐角互余得出NA+4=90。，解方程组即可.

【详解】解：在VABC中，ZC=90°,

•••ZA+ZB=90°，

ZA+ZB=90°ZA=60°

解方程组得，\

ZA-ZB=30°ZB=30°

故答案为：60°.

【点睛】本题考查了三角形内角和和解方程组，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理，列出方程组.

11.如图，在长方形ABCD中，3。是对角线，将△ABZ）沿直线BD折叠，点A落在点尸处，BF交边

C7）于点E,若NABD=25。，则NCD/的度数为°.

【答案】40

【解析】

【分析】本题考查折叠问题，根据折叠性质，得到//=/4=90。,44血=//由），三角形的内角和定

理，求出NEDB的度数，平行线的性质，得到NEDB=NABD,再根据角的和差关系进行计算即可.

【详解】解：•••长方形ABCD,

：.AB//CD,ZA=9O°,

：.NEDB=ZABD=25。,

：△ABD沿直线折叠，点A落在点P处，BF交边CD于点E,

：.NF=NA=90°,ZABD=NFBD=25°,

ZBDF=900-ZFBD=65°,

/CDF=ZBDF-ZCDB=40°,

故答案为：40.

12.如图，3D是VA3C的角平分线，过点。作D石〃交于点E.若NA=36°,ZBDC=76°,

则NBDE=1

【答案】40

【解析】

【分析】此题主要考查了三角形的外角性质，平行线的性质，角平分线的定义，首先根据三角形的外角定

理求出NABD=40°,再根据角平分线的定义得NCBD=NASD=40°,然后根据平行线的性质即可得

/BDE的度数.

【详解】解：：NA=36°,ZBDC=76°,

/.ZBDC=ZA+ZABD,

即76°=36°+NASD,

/.ZABD=76°—36°=40。，

VBD是VA5C的角平分线，

ZCBD^ZABD=4Q°,

•：DE//BC,

：.ZBDE=ZCBD=40°.

故答案为：40.

13.如图，在VABC中，AB=AC,NC=30°,点。是AB的中点，过点。作DE工A3交3。于点

E,DE=2,则CE的长度为.

【答案】8

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，掌握30度

角所对的直角边等于斜边一半是解题关键.连接AE，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到

ZABC=ZC=30°,ABAC=12Q°,进而得到鲂=2。石=4,再证明垂直平分，得到

AE=BE=4,ZBAE=ZABC=30°,结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可.

【详解】解：如图，连接AE，

VAB=AC,ZC=30°,

ZABC=ZC=30°,ZSAC=120°,

,:DELAB,DE=2,

:.BE=2DE=4,

;点。是AB的中点，

.•.OE垂直平分AB,

：.AE=BE=A：，

:.ZBAE=ZABC^30°,

.-.ZCAE=ZBAC-ZBAE=90°,

:.CE^2AE=8,

14.如图，在等边VABC中，。是3C的中点，DEIAC于点E,EFLAB于点F,已知3C=16,则

BF的长为.

【答案】10

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形两锐角互余，含30度的角的直角三角形，掌握30度

角所对的直角等于斜边的一半是解题关键.根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余，得到

NCDE=3。。，ZAEF=30°,进而得出CE=4,AF=-AE=6,即可求出加'的长.

22

【详解】解：・••等边VABC中，。是5c的中点，3c=16,

.-.AB=AC=BC=16,BD=CD=~BC=8,ZACBZBAC60°,

2

•/DELAC,EFLAB

ZCDE+ZC^90°,AEAF+ZAEF=90°

:.NCDE=30。,ZAEF=30°,

在RtVCDE中，CE=」Cr>=4,

2

:.AE^AC-CE=\2,

在RSAEE中，AF=^AE=6,

:.BF=AB-AF=10,

故答案为：10.

15.如图1,用尺规作图的方法“过直线/外一点尸作直线/的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方

法，所用方法正确的是.

图1图2

【答案】甲、乙

【解析】

【分析】本题考查了平行线的判定、尺规作图、等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图是解题关键.甲：根

据同位角相等，两直线平行即可判断甲所用方法正确；乙：如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得

Z1=Z2,再根据角平分线的尺规作图可得/3=/4,从而可得N1=N3,然后根据同位角相等，两直线

平行即可判断乙所用方法正确.

甲

由作图可知，N1=N2,

则〃/.

如图，乙所用方法正确.

乙

由作图可知，PA=PB，PE是角平分线，

，N1=N2,/3=/4,

又：N3+N4=N1+N2,

Nl=N3,

/.PE//1,

综上，所用方法正确的是甲、乙，

故答案为：甲、乙.

16.在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问

题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PA3Q,其中A3=42cm,AP.BQ足够长，PA±AB

于A,于8,点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M、N运动的速度之比

3:4,当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C,使ZVICM与ABMN全等，则线段

AC的长为__________

【答案】28cm或18cm

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关

键.由题意可得NG4M=ZMBN=90。，设即7=3fcm,BN=4tcm,则AM=（42-3r）cm,分两种情况

讨论：①当AC=BN,AM=BM,&ACM公BNM；②当=AM=BN^,

△ACM学&BMN,分别列方程求解即可.

【详解】解：•.•R4_LAB,QB1AB,

ZCAM=ZMBN=90°,

VM,N运动的速度之比3:4,

...设BA/=3rcm,BN-4tcm,

AB=42cm,

AM=（42-3。cm,

①当AC=BN,AM=BM,AACM^BNM,

贝i]42-3t=3r,

解得：t=7,

.AC=BN=4r=28cm；

②当=AM=3N时，AACM咨ABMN,

则42—3t=4f,

解得：t=6,

.AC=BM=3/=18cm；

综上可知，线段AC的长为28cm或18cm,

故答案为：28cm或18cm.

三、解答题（本题共52分，第17—19题，第21—23题，每题5分；第20题，4分；第24

题-26题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形.

已知：在VABC中，ZACB=90°.

求作：线段C£>,使得线段将VABC分割成两个等腰三角形.

下面是小明设计的尺规作图的作法：

①作直角边AC的垂直平分线MN,与斜边相交于点A

②连接CD.

则线段为所求.

完成下面的证明.

证明：•.•直线是线段AC的垂直平分线，点D在直线上,

/.DC^DA.（）（填推理的依据）

Z_=N.

•/ZACS=90°,

ZBCD=90°-.

VZB=90°-ZA.

/.ZBCD=ZB.

/.DC=DB.（）（填推理的依据）

•••ADCB和△£>C4都是等腰三角形.

【答案】垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；A；DCA；ZDCA；等角对等边

【解析】

【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离

相等是解题关键.由垂直平分线可得DC=DA,进而得到ZA=ZDCA,再结合余角，得出ZBCD=ZB,

由等角对等边可得DC=DB,即可证明结论.

【详解】证明：：直线是线段AC的垂直平分线，点。在直线1W上，

•••DC=ZM.（垂直平分线上点到线段两端的距离相等）（填推理的依据）

：.ZA=ZDCA.

•/ZACB=90°,

：.ZBCD=90°-ZDCA.

VZB=90°-ZA.

ZBCD=NB.

DC=DB.（等角对等边）（填推理的依据）

ADCB和△DC4都是等腰三角形，

故答案为：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；A；DCA-,DCA-,等角对等边.

18.如图，在VABC中，AB>AC,AD是角平分线，AE是高，AE^CE,ZDAE=10°,求

/C4E和N3的度数.

【答案】ZCAE=45°,ZB=25。

【解析】

【分析】本题考查了三角形高与角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角

形的性质是解题关键.先根据等腰三角形的性质可得NC=NC4E=45°,从而可得NC4Z)=55。，再根

据角平分线的定义可得ZBAC=2ZC4D=110°,然后根据三角形的内角和定理求解即可得.

【详解】解：•••在VA3C中，AE是高，AE=CE,

：.ZC=ZCAE=45°,

,：ZDAE=10°,

：.ZCAD=ZCAE+ZDAE=55°,

:在VA3C中，AD是角平分线，

ZBAC=2ZCAD=110°,

ZB=1800-ZSAC-ZC=25°.

19.如图，已知AC平分/8A。，AB=AD.求证：ZB=ZD.

【解析】

【分析】首先根据角平分线的定义，可证得再根据SAS即可证得△ABC之△相>(7,据此

即可证得结论

【详解】首先根据角平分线的定义得到/BAC=/D4C,再利用SAS定理便可证明其全等，进而可得结

论.

证明：：AC平分/BAD,

NBAC=ADAC,

在△ABC和△AOC中，

AB=AD

<ABAC=ADAC,

AC=AC

AABC^AADC(SAS),

：./B=ND.

【点睛】本题考查了角平分线的定义及全等三角形的判定和性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定方法

是解决本题的关键.

20.在4x4的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点A,8的坐标分别是

（o，i），（T—i）-

（1）请图1中添加一个格点C,使得VA5C是轴对称图形，且对称轴经过点（0,1）.

（2）请图2中添加一个格点。，使得△人血也是轴对称图形，且对称轴经过点（1,1）.

【答案】（1）图见解析

（2）图见解析

【解析】

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；

（2）根据轴对称的性质作图即可.

【小问1详解】

解：如下图，

由对称轴的性质，可知点8的对称点是点C,点A的对称点还是点A,连接A、B、C可知VABC是轴对

称图形，且对称轴经过点（0,1）,点C即为所求；

【小问2详解】

如下图，

由对称轴的性质，可知点A的对称点是点。，点B的对称点还是点8,连接A、B、C可知是轴对

称图形，且对称轴经过点(1,1),点。即为所求.

【点睛】本题考查了平面直角坐标系中轴对称图形的作图，熟练掌握掌握轴对称的作图方法是解题的关

键.

21.如图，在VA3C中，P是3C的中点，PDLA5于点F>E_LAC于点E,且PD=PE,求证:

VA3C是等腰三角形.

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，根据题意得到5P=CP,再证明

△PDB与WEC,得到4=NC即可求证，掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键.

【详解】解：PD±AB，PE±AC,

：.NPDB=PEC=90。,

是BC的中点，

：.BP=CP,

在RtAPDB^DRtAPEC中

PD=PE

BP=CP'

△PDB、PEC（HL）,

ZB=ZC,

AB=AC,

・・・VA5C是等腰三角形.

22.在平面直角坐标系中，VA3C的三个顶点的位置如图所示.

(1)请画出VA3C关于V轴对称的△A'3'C'(其中A',B'，C分别是A、B、C的对应点，不写画

法)；

(2)点。在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的。点有一个.

【答案】(1)图见解析

(2)10

【解析】

【分析】本题考查了画轴对称图形、等腰三角形的定义，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键.

(1)先根据轴对称的定义分别画出点A',B'，C,再顺次连接即可得；

(2)先以点3为圆心、3c长为半径画圆得到与坐标轴的交点，再以点C为圆心、3c长为半径画圆得到

与坐标轴的交点，然后将两圆的交点连接可得3c的垂直平分线，从而可得到与坐标轴的交点，由此即可得

出答案.

【小问1详解】

解：如图，△A'3'C'即为所求.

解：如图，以点5为圆心、3c长为半径画圆，与坐标轴的交点有4个，则有4个以3C为腰的等腰

△3CQ；

以点C为圆心、5c长为半径画圆，与坐标轴的交点有4个，则有4个以3c为腰的等腰△BCQ；

将两圆的交点连接可得3c的垂直平分线，与坐标轴的交点有2个，则有2个以5c为底的等腰

△3CQ；

综上，所有符合条件的。点有10个,

故答案为：10.

23.如图，A、B分别为C£＞、CE的中点，AELCD于点A,BD±CE于点艮求/AEC的度数.

c

【答案】30°

【解析】

【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的

距离相等是解题关键.由垂直平分线的性质，得到CE=/)E=OC,证明ACDE是等边三角形，即可求出

/AEC的度数.

【详解】解：如图，连接。E,

「A、B分别为CD、CE的中点，AELCD,BDLCE,

.:AE垂直平分CD,8。垂直平分CE,

CE-DE，DC-DE，

CE=DE=DC，

「.△CD内是等边三角形，

，/CED=60。,

ZAEC=-ZCED=30°.

2

24.如图，AD为VABC中线，点E在AC上，BE交AD于点孔AE=EF，求证：AC=BF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，延长AD到点G,使

GD=AD,连接GB,证明VGBDAACD(SAS),推出G3=AC,ZG=ZCAF,结合4石=中

证明NG=N5FG,进而得出=即可证明AC=5尸.

【详解】证明：延长AD到点G,使GD=AZ),连接GB,

G

：AD为VABC中线，

BD=CD,

在AGBD和AACD中，

GD=AD

<ZGDB=ZADC,

BD=CD

：.NGBD^VACD(SAS),

GB=AC,ZG=ZCAF,

;AE=EF，

：.NCAF=/EFA,

；.NG=/EFA,

•/ZEFA=ZBFG,

：.ZG=ZBFG,

：.GB=BF,

：.AC=BF.

25.VA3C为等边三角形，射线"经过点A,ZBAP=a(00<a<90°),画点B关于射线AP的对称点

D,连接AD、CZ)交直线好于点E.

A

(1)如图，当0°<e<60°时

①依题意补全图形；

②用等式表示线段石4、ED、EC的数量关系，并证明；

(2)若为等腰三角形，直接写出々的度数.

【答案】(1)①图见解析；②EC=ED+EA,证明见解析；

(2)30°或70°.

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

(1)①根据要求画出图形即可；

②在上截取66=5石，则△BGE是等边三角形，证明ABCG且AZME,推出AE=CG,根据

EG=BE=DE,即可得出EC=ED+E4；

(2)①当时，②当3£>=CE>时，③当BC=CE>时，根据等边三角形的性质，和线段垂直平分

线的性质即可得到结论.

【小问1详解】

解：①过点3作AP的垂线，交"于点。，截取OD=OB,则点。是点3关于射线"的对称点，连接

AD、交直线AP于点E,如图：

在CD上截取5G=BE,如图:

：VA3C是等边三角形，

/.AC^AB,ZBAC^6Q0,

由对称可知：AB=AD,ZPAB=ZPAD,

AC=AD,

ZACD=/D,

ZBAP=a,

/PAD=a,

:.ZCAD=ZBAC+ZPAB+ZPAD=600+2af

ZADC=1(1800-ACAD)=60°-tz,

-：ZAEC=ZD+ZBAP=60°-a+a=60°,

：.ZDAE=60°-ZD,NBCG=60°-ZACD,

ZACD=ZD,

/BCG=/DAE,

由对称可知：DE=BE，ZPEB=ZPED=60°,

：.ZBEG=60°,

/.ZiBGE是等边三角形，

：.BG=EG=BE=DE,ZBGC=ZAED=120°,

在ABCG和A/ME中，

ZBCG=ZDAE

<ZBGC=ZAED,

BC=AD

：.△BCGJDAE(AAS),

：.AE=CG,

•：EG=BE=DE,

EC=ED+EA；

【小问2详解】

解：当△DBC是等腰三角形，

①当时，如图：

,/AP垂直平分BD,

/.AB=AD,

AB=AD=BC=BD，

：.△ABD是等边三角形，

/.tz=30°；

②当初二⑺时，如图：

­.•AC=AB,BD=CD,

：.AD垂直平分3C,

.-.ZDAB=150°,

•/AP垂直平分BD，

AB=AD,

:.a=