初中七年级数学下册期末压轴题（附答案）

一、解答题

1.在平面直角坐标系xQv中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来.

4

3

2

第一组：A(-3,3)、C(4,3)；

第二组：£>(-2-1),E(2,-l).

(1)线段AC与线段DE的位置关系是；

(2)在(1)的条件下，线段AC、DE分别与J7轴交于点B,F.若点M为射线08上一

动点(不与点。，5重合).

①当点M在线段08上运动时，连接AM、DM,补全图形，用等式表示/C4M、

ZAMD./MDE之间的数量关系，并证明.

②当△AC0与△£>砌面积相等时，求点M的坐标.

2.如图，直线PQ//MN,一副直角三角板AABC,ADE/中，

ZACB=NEDF=90°,ZABC=ABAC=45°,NDFE=30°,ZDEF=60°.

(1)若ADEF如图1摆放，当ED平分NPEF时，证明：FD平分ZEFM.

FAN

图1

(2)若AABC,NDEF如图2摆放时，则ZPDE=

D

Q

图2

（3）若图2中AABC固定，将AD跖沿着AC方向平移，边。尸与直线尸。相交于点G,

作ZFGQ和NGE4的角平分线GH、EW相交于点H（如图3）,求/GHF的度数.

D

图3

（4）若图2中ADEF的周长35an,AF=5c%,现将AABC固定，将ADEF沿着C4方向平

移至点F与A重合，平移后的得到ADES,点、D、E的对应点分别是。、E',请直接写

出四边形DE4D'的周长.

（5）若图2中ADEF固定，（如图4）将AABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至AC与直线⑷V首次重合的过程中，当线段BC与ADEF的一条边平行时，请直接写出旋

转的时间.

图4

3.如图，已知直线A3〃射线CO,/CEB=110。.尸是射线£B上一动点，过点尸作

PQ//EC交射线C。于点。，连接CP.作NPCT=NPC。，交直线AB于点尸，CG平分

ZECF.

（1）若点P,F,G都在点E的右侧.

①求/PCG的度数；

②若ZEGC-ZECG=30。，求N"。的度数.（不能使用"三角形的内角和是180。”直接解

题）

（2）在点尸的运动过程中，是否存在这样的偕形，使NEGC:NEFC=3:2?若存在，直

接写出NC尸。的度数；若不存在.请说明理由.

4.如图①，将一张长方形纸片沿环对折，使A3落在4夕的位置;

（1）若/I的度数为。，试求N2的度数（用含。的代数式表示）；

（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得8落在。D的位置.

①若EFUC'G,4的度数为〃，试求/3的度数（用含。的代数式表示）；

②若3/JLCG,/3的度数比N1的度数大20。，试计算N1的度数.

5.（1）如图①，若NB+ND=NE,则直线AB与C。有什么位置关系？请证明（不需要注

明理由）.

（2）如图②中，AB//CD,又能得出什么结论？请直接写出结论.

（3）如图③，已知AB〃CD,则31+N2+...+Nn-1+N"的度数为______.

6.己知，ABWDE,点C在AB上方，连接BC、CD.

（1）如图1,求证：NBCD+NCOE=NABC；

（2）如图2,过点C作CF,8c交的延长线于点F,探究NABC和NF之间的数量关

系；

（3）如图3,在（2）的条件下，NCFD的平分线交CD于点G,连接GB并延长至点H,

若BH平分NABC,求NBGD-ZCGF的值.

H

D

图3

7.规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2+2+2,(-3)十

(-3)4-(-3)4-(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2+2+2记作2③，读作“2的圈3次

方"，(-3)+(-3)+(-3)+(-3)记作(-3)④,读作“-3的圈4次方",一般地，把

a^a±a±^Za(a=0)记作a可读作"a的圈n次方

n^a

(初步探究)

(1)直接写出计算结果：2③=—,(1)⑤=—；

(2)关于除方，下列说法错误的是—

A.任何非零数的圈2次方都等于1；

B.对于任何正整数n,1®1；

C.3④=4③；

D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数.

(深入思考)

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理

数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

(1)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成塞的形式.

(-3)@=_；5@=—；(-1)@=—.

(2)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成累的形式等于—；

(3)算一算：122+(-，)④x(-2)⑤-(-g)⑥73

8.对任意一个三位数"，如果"满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个

数为"梦幻数"，将一个"梦幻数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三

数，把这三个新三位数的和与111的商记为K"),例如“=123,对调百位与十位上的数

字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三

个新三位数的和为213+321+132=666,666+111=6,所以K(123)=6.

(1)计算：K(342)和K(658)；

(2)若x是"梦幻数"，说明：K(x)等于x的各数位上的数字之和；

(3)若x,y都是"梦幻数"，且x+y=1000,猜想：K(x)+K(y)=,并说明你猜

想的正确性.

9.阅读理解：

一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数，其

中。代表这个整数分出来的左边数，b代表的这个整数分出来的中间数，c代表这个整数分

出来的右边数，其中。，b,c数位相同，若b-a=c-b,我们称这个多位数为等差数.

例如：357分成了三个数3,5,7,并且满足：5-3=7-5；

413223分成三个数41,32,23,并且满足：32-41=23-32；

所以：357和413223都是等差数.

(1)判断：148等差数，514335等差数；(用"是"或"不是"填空)

(2)若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除；

(3)若一个三位数7■是等差数，且7■是24的倍数，求该等差数兀

10.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=mxn(m,"是正整数，

且加4”)，在x的所有这种分解中，如果加，〃两因数之差的绝对值最小，我们就称

机xw是x的最佳分解，并规定：〃x)=一.例如：18可分解成1x18,2x9或3义6,因为

m

31

18-1>9-2>6-3,所以3x6是18的最佳分解，所以〃18)===；

62

(1)填空：/(6)=；/(16)=；

(2)一个两位正整数f(r=10a+A,l<a<b<9,a,b为正整数)，交换其个位上的数

字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54,求出所有的两位正整数；并求了⑺

的最大值；

(3)填空：

①/(22x3x5x7)=；②/Q4X3X5X7)=；

11.规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b)：如果a。=6,那么(。，b)=c.

例如：因为23=8,所以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：

(3,27)=,(5,1)=,(2,-)=

4

(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(3。，纳)=(3,4)小明给出了如下的证

明：

设(3",4")=x,贝lj(3n)*=4",即(3、)"=4。

所以3*=4,即(3,4)=x,

所以(3",4n)=(3,4).

请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4,5)+(4,6)=(4,30)

12.先阅读材料，再解答问题：

我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力

题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥

妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：

(1)我们知道%000=10,%000000=100,那么，请你猜想：59319的立方根是

位数

（2）在自然数1到9这九个数字中，"=1,33=27,53=,73=,

93=.

猜想：59319的个位数字是9,则59319的立方根的个位数字是.

（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59,M33=27,43=64,由此可确定59319

的立方根的十位数字是，因此59319的立方根是.

（4）现在换一个数103823,你能按这种方法得出它的立方根吗？

13.如图①，在平面直角坐标系中，点40,。），C（6,0）,其中，“是16的算术平方根，

〃=8,线段GO由线段AC平移所得，并且点G与点A对应，点。与点C对应.

（1）点A的坐标为—;点C的坐标为_；点G的坐标为_；

（2）如图②，/是线段AC上不同于AC的任意一点，求证：

ZOFC=ZOAF+ZAOF；

（3）如图③，若点F满足ZFOC=NFCO,点E是线段OA上一动点（与点。、A不重

合），连CE交OF于点H,在点E运动的过程中，/OHC+/ACE=2/OEC是否总成

立？请说明理由.

14.已知，ABWCD,点E在CD上，点G,F在AB上，点”在AB,CD之间，连接FE,

EH,HG,NAGH=ZFED,FE±HE,垂足为E.

（1）如图1,求证：HGLHE：

（2）如图2,GM平分NHGB,EM平分NHED,GM,EM交于点,M,求证：ZGHE=

2ZGME；

（3）如图3,在（2）的条件下，FK平分NAFE交CD于点K,若NKFE：ZMGH=13：5,

求NHED的度数.

AFGAFGGB

C

图1图3

15.如图，在长方形ABCD中，AB=8cm,BC=6cm,点E是CD边上的一点，且DE=2cm,

动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AfBfC玲E运动，最终到达点E.设点P运动的时

间为t秒.

（1）请以A点为原点，AB所在直线为x轴，1cm为单位长度，建立一个平面直角坐标

系，并用t表示出点P在不同线段上的坐标.

（2）在（1）相同条件得到的结论下，是否存在P点使△APE的面积等于20cm2时，若存

若不存在，请说明理由.

16.某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近

两周的销售情况：

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）

（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

销倍数量销售

销售时段

A种型号B附型号I&A

第一周3台5台1W0

第』4台10台3100

（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型

号的电风扇最多能采购多少台？

（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若

能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.

17.如图1,以直角△AOC的直角顶点。为原点，以OC,OA所在直线为x轴和y轴建立

平面直角坐标系，点A（0,。），C（"0）,并且满足Ja—匕+2+0—81=0.

（1）直接写出点A,点C的坐标；

（2）如图L坐标轴上有两动点尸，。同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2

个单位长度的速度匀速运动，点。从点。出发沿>轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速

运动，当点尸到达点。整个运动随之结束；线段AC的中点。的坐标是。（4,3）,设运动时

间为f秒.是否存在心使得△OOP与△DOQ的面积相等？若存在，求出，的值；若不存

在，说明理由；

（3）如图2,在（2）的条件下，若=点G是第二象限中一点，并且OA

平分/DOG,点E是线段OA上一动点，连接CE交。。于点//,当点E在OA上运动的过

程中，探究/OOG,NOHC,/ACE之间的数量关系，直接写出结论.

18.在平面直角坐标系中，。为坐标原点.已知两点A（a,0）,贝友0）且。、b满足

|a+4|+^/^3=0；若四边形ABCD为平行四边形，CD/MB且CD=AB,点。（0,4）在>

轴上.

（1）如图①，动点尸从c点出发，以每秒2个单位长度沿y轴向下运动，当时间/为何值

时，三角形ASP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一；

（2）如图②，当尸从。点出发，沿y轴向上运动，连接PD、PA,NCDP、ZAPD,

44B存在什么样的数量关系，请说明理由（排除P在。和C两点的特殊情况）.

电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2

台B种品牌电风扇共需费用400元.

（1）求4B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？

（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/

台，商店拟用1000元购进这两种风扇（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种电

风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？

12Nc+N£=230。

20.如图，和“的度数满足方程组。/”。，且CDIIEF,AC^AE.

[3Z<z-Zp=20

（1）用解方程的方法求和N夕的度数；

（2）求NC的度数.

21.阅读下面资料：

小明遇到这样一个问题：如图1,对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、

BC、CA至Ai、Bi、C1,使得AiB=2AB,BiC=2BC,C1A=2CA,顺次连接Ai、Bi、Ci,得到

AA1B1C1,记其面积为Si,求Si的值.

小明是这样思考和解决这个问题的：如图2,连接AiC、BiA、CiB,因为AiB=2AB,

BiC=2BC,GA=2CA,根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以

S/BC=^HB,CA==2SAABC=2a,由此继续推理，从而解决了这个问题.

（1）直接写出S（用含字母a的式子表示）.

请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：

图4

（2）如图3,P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、

E、F,则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的

面积.

（3）如图4,若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求SAAPE与%BPF的比值.

2Nc+/£=230

22.如图，已知/a和4的度数满足方程组"。，且CD〃EF,AC，AE.

⑴分别求Na和N6的度数；

⑵请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；

⑶求NC的度数.

23.对a,b定义一种新运算T,规定：T（。，b）=（a+2b）（ax+by）（其中x,y均为

非零实数）.例如：T（1,1）=3x+3y.

（1）已知丁（1,-1）=0,T（0,2）=8,求x,y的值；

（2）已知关于x,y的方程组代；0,2）品。，若嚏一2,求x+y的取值范围；

（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x,y）落在坐标轴上，将线段OA

沿x轴向右平移2个单位，得线段OA,坐标轴上有一点B满足三角形BOA的面积为9,

请直接写出点B的坐标.

24.某治污公司决定购买10台污水处理设备.现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中

每台的价格与月处理污水量如下表：

甲型乙型

价格（万元/台）Xy

处理污水量（吨/月）300260

经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台

乙型设备少2万元.

（1）求x,y的值；

（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买

方案；

（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设

计一种最省钱的购买方案.

25.某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更

多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票"（个人年

票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法.年票分A、B两类：A类年票每张120

元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入中心

时，需再购买门票，每次2元.

（1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方

式，她怎样购票比较合算？

(2)小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？

(3)小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不

低于多少次？

26.在平面直角坐标系xOy中.点A,B,P不在同一条直线上.对于点P和线段AB给出

如下定义：过点P向线段AB所在直线作垂线，若垂足Q落在线段AB上，则称点P为线段

的内垂点.若垂足Q满足MQ-BQI最小，则称点P为线段AB的最佳内垂点.已知点4

(-2,1),8(1,1),C(-4,3).

10-

9-

r8

I

1-5-

4

于

2

-8-7-6-5-4-3-12-1->

78x

T

(1)在点Pi(2,3)、P2(-5,0)、P3(-1,-2),P4(-4)中，线段AB的内

垂点为;

(2)点M是线段AB的最佳内垂点且到线段AB的距离是2,则点M的坐标为；

(3)点N在y轴上且为线段AC的内垂点，则点N的纵坐标"的取值范围是；

(4)已知点。(m,0),E(m+4,0),F(2m,3).若线段CF上存在线段的最佳

内垂点，求m的取值范围.

27.阅读下列材料：

问题：己知x-y=2,且x>Ly<0

解：,.,x-y=2..,.x=y+2,

又x>l.\y+2>l

/.y>-1

又/y<0

-l<y<0①

-l+2<y+2<0+2

即l<x<2@

①+②得-l+l<x+y<0+2

x+y的取值范围是0<x+y<2

请按照上述方法，完成下列问题：

(1)已知x-y=3,且x>-Ly<0,则x的取值范围是；x+y的取值范围是：

(2)已知x-y=a,且x<-b,y>2b,根据上述做法得到-2<3x-y<10,求a、b的值.

28.对于平面直角坐标系xOy中的任意两点/W(xi,yi),A/(x2,丫2),给出如下定义：

将|XLX2|称为点M,N之间的"横长"，|yi-y2|称为点M,N之间的纵长”，点M与点N

w

的"横长"与"纵长"之和称为"折线距离"，记作d(M,/V)=|xi-x2|+|yi-y2|.

例如：若点M(-l,1),点N(2,-2),则点M与点N的"折线距离"为：d(M,N)=\-1-

2|+|1-(-2)|=3+3=6.

根据以上定义，解决下列问题：

已知点P(3,2).

(1)若点4a，2),且d(P,-)=5,求a的值；

(2)已知点B(b,b),且d(P,S)<3,直接写出b的取值范围；

(3)若第一象限内的点了与点P的"横长"与"纵长"相等，且d(P,T)>5,简要分析点了的

横坐标t的取值范围.

VA

5-

4-

3-

2-

1

j-------1-------1-------1-------

-3-2-1O12345%

-1

-2

-3

29.在平面直角坐标系中，已知长方形4BCD,点4(4,0),C(8,2).

(1)如图，有一动点P在第二象限的角平分线，上，若NPCB=10。，求NCP。的度数;

(2)若把长方形4BCD向上平移，得到长方形ABO.

①在运动过程中，求的面积与的面积之间的数量关系；

②若4。〃。。，求的面积与的面积之比.

ax+by(x>y]

30.对龙，y定义一种新的运算A,规定：A(X,J)=,(其中必HO).

ay+bx^x<y)

(1)若已知a=l,b=-2,贝1JA(4,3)=.

(2)已知A(l,l)=3,A(—1,2)=0.求。，b的值；

(3)在(2)间的基础上，若关于正数P的不等式组恰好有2个整数

解，求加的取值范围.

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一、解答题

1.(1)ACWDE-,(2)①NCA/W+N/WDE=N4W。，证明见解析；②点M的坐标为

/c17、T/C25、

(0,一)或(0,-.

11。

【分析】

(1)根据两点的纵坐标相等，连线平行X轴进行判断即可；

(2)①过点/W作MNIIAC,运用平行线的判定和性质即可；②设M(0,m),分两种

情况：(i)当点M在线段OB上时，(ii)当点M在线段OB的延长线上时，分别运用三

角形面积公式进行计算即可.

【详解】

解：⑴-.-/I(-3,3)、C(4,3),

ACWx轴，

D(-2,-1)、E(2,-1),

DEWx轴，

ACWDE；

(2)①如图，NCAM+NMDE=NAMD.

理由如下：

过点M作MNIIAC,

,/MNWAC(作图)，

・•/CAM=NAMN(两直线平行，内错角相等)，

ACWDE(已知),

MNWDE(平行公理推论)，

,NMDE=NNMD(两直线平行，内错角相等)，

ZCAM+AMDE=NAMN+ANMD=NAMD(等量代换).

②由题意，得：AC=7,DE=4,

设M(0,m),

(i)当点M在线段08上时，BM=3-m,FM=m+L

11/、21-7m

SAACM=—A^BIVI=—x7x(3-m)=---------,

222

S/DEM=gDE・FM=gx4x(m+1)=2m+2,

「SAACM=SADEM，

21-7m

=2m+2,

-2~

17

解得：m,

M(0,—)；

(ii)当点M在线段08的延长线上时，BM=m-3,FM=m+l,

11/、7m-21

「•SUCM=7AC・BM=TTX7X(m-3)=----------,

222

SADEM=gDE・FM=gx4x(m+1)=2m+2,

「SAACM—SLDEM9

解得：,

25

M(0,—)；

1775

综上所述，点M的坐标为(0,7T)或(0,g).

【点睛】

本题考查了三角形面积，平行坐标轴的直线上的点的坐标的特征，平行线的判定和性质

等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想.

2.(1)见详解；(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

(2)如图2,过点E作EKIIMN,利用平行线性质即可求得答案；

(3)如图3,分别过点F、H作FLIIMN,HR11PQ,运用平行线性质和角平分线定义即可

得出答案；

(4)根据平移性质可得D'A=DF,D£/=EE，=AF=5cm,再结合。E+EF+DF=35cm,可得

出答案；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。，分三种情况：

①当BCIIOE时，②当BCIIEF时，③当BCIIDF时，分别求出旋转角度后，列方程求解

即可.

【详解】

(1)如图1,在AOEF中，ZEDF=90°,ZDFE=30°,ZDEF=60°,

图1

ED平分NPEF,

：.ZPEF=2NPED=2NDEF=2x60°=120°,

PQIIMN,

：.ZMFf=180°-ZPEf=180°-120°=60°,

ZMFD=NMFE-NDFE=60°-30°=30°,

ZMFD=NDFE,

：.FD平分NEFM；

（2）如图2,过点E作EKWMN,

图2

,/Z8AC=45°,

/.NKEA=NBAC=45°,

,/PQIIMN,EKWMN,

/.PQIIEK,

：.ZPDE=4DEK=NDEF-NKEA,

又「ZDEF=60°.

/.ZPDE=60°-45°=15°,

故答案为：15。；

(3)如图3,分别过点F、H作FillMN,HRT1PQ,

D

图3

/.ZLFA=4B/AC=45°,ZRHG=NQGH,

,/FLIIMN,HRWPQ,PQIIMN,

/.FLIIPQIIHR,

：.ZQGF+NGFL=180°,ZRHF=NHFL=AHFA-NLFA,

■「NFGQ和NGFA的角平分线GH、FH相交于点H,

NQGH=；NFGQ,/HFA=34GFA,

,/ZDFE=30°,

/.ZGFA=180°-ADFE=150°,

/.ZHFA=g/GM=75°,

/.ZRHF=NHFL=AHFA-4LE4=75°-45o=30°,

/.ZGFL=NGFA-乙LE4=150°-45o=105°,

:.NRHG=NQGH=gzFGQ=；(180°-105°)=37.5°,

/.ZGHF=NRHG+NR”F=37.5°+30°=67.5°；

(4)如图4,•将△OEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△

图4

D'A=DF,OD'=EE'=AF=5cm,

OE+EF+OF=35cm,

二OE+EF+0'A+AF+00'=35+10=45(cm),

即四边形OEA£T的周长为45cm；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。,

分三种情况：

3t=30,

解得：t=10;

BCWEF时，如图6,

BCWEF,

/.ZBAE=N8=45°,

ZBAM=/BAE+N£4M=45°+45°=90°,

/.3t=90,

解得：t=30；

图7

ZDRM=ZEAM+NOFE=45°+30°=75°,

ZBKA=NDRM=75°,

■：ZACK=180°-NACB=90°,

：.ZCAK=90°-NBKA=15°,

/.ZCAE=180°-ZEAM-NCAK=180°-45°-15°=120°,

3t=120,

解得：t=40,

综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与AOEF的一

条边平行.

【点睛】

本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平

行线性质是解题关键.

3.(1)①35。；(2)55。；(2)存在，52.5。或7.5。

【分析】

(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=NGCG20。，再根据PQIICE,

即可得出NCPQ=NECP=60°；

(2)设NEGC=3x,ZEFC=2x,则NGCF=3x-2x=x,分两种情况讨论：①当点G、F在点E

的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可.

【详解】

解：(1)①CD,

：.ZCEB+ZECQ=180°,

,,,ZC£B=110",

ZECQ=70°,

•••ZPCF=NPCQ,CG平分NECF,

：.ZPCG=NPCF+NFCG=3NQCF+^NFCE=

22ECQ=35。；

②ABWCD,

/.ZQCG=ZEGC,

/ZQCG+ZECG=NECQ=70°,

ZEGC+NECG=70°,

又•「ZEGC-NECG=30°,

/.ZEGC=50°,NECG=20°,

/.ZECG=NGCF=20°,ZPCF=Z.PCQ=1(70°-40°)=15°,

,/PQIICE,

：.ZCPQ=ZECP=NECQ-ZPCQ=70°-15°=55°.

(2)52.5°或7.5°,

,/4BIICD,

/.ZQCG=ZEGC=3x°fZQCF=ZEFC=2x。,

则NGCF=NQCG-NQCF=3x°-2x°=x°,

/.ZPCF=NPCQ=gNFCQ=gNEFC=x0,

贝UNECG=NGCF=tPCF=NPCD=x°f

/ZECD=70°,

4x=70°,解得x=17.5。，

ZCPQ=3x=52.5°；

②当点G、F在点E的左侧时，反向延长8到H,

/ZEGC=3x°,ZEFC=2x°f

/.ZGCH=NEGC=3x°fZFCH=NEFC=2x°,

NECG=NGCF=ZGCH-NFCH=x0,

'：ZCGF=180°-3x°,ZGCQ=70°+x°,

180-3x=70+x,

解得x=27.5,

ZFCQ=NECF+Z.ECQ=27.5°x2+70°=125°,

ZPCQ=；NFCQ=62.5°,

ZCPQ=ZECP=62.5°-55°=7.5°,

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相

等是解题的关键.

4.(1)90°-1a；(2)①45°+；a；@50°

【分析】

⑴由平行线的性质得到N4=N3/C="，由折叠的性质可知，N2=NBFE,再根据平角的

定义求解即可；

(2)①由(1)知，NBFE=90。一"根据平行线的性质得到/BFE=NCGB=9(r-ga,

再由折叠的性质及平角的定义求解即可；

②由(1)知，ZBFE=ZEFB'=90°由B'FLC'G可知：

ZB'FC+ZFGC'=90°,再根据条件和折叠的性质得到

ZB'FC+ZFGC'=N1+140。—2/1=90。，即可求解.

【详解】

解：(1)如图，由题意可知A'E/AB'b,

/.Nl=N4=a,

,/AD//BC,

：.N4=NB'FC=a,

.\ZBFBf=180°-a,

・二由折叠可知N2=ZBFE=-ZBFB,=90°--a.

22

4*

/)夕’

A.....息dL/p

J.........F~------------------C

(2)①由题(1)可知N8PE=90O-Ja,

EF//CG,

NBFE=NCGB=90°-！。，

2

再由折叠可知：

Z3+ZHGC=180°-ZC'GB=180°-(90°-；a[=90°+；。，

Z3=ZHGC=45°+-a；

4

C\X\.

\z\

...........\付......................q

aG

②由B/LC'G可知：Z5'FC+ZFGC'=90°,

由（1）知/8形=90°-工/1,

2

ZB'FC=180°-2ZBFE=180。一2190。一；=Z1,

又/3的度数比/I的度数大20。，

Z3=Zl+20°,

ZFGC=180°-2Z3=180°-2（Z1+2O°）=140°-2Z1,

ZB'FC+ZFGC'=Zl+1400—2/1=90。，

.-.Zl=50o.

【点睛】

此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记"两直线平行，同位角相等"、

"两直线平行，内错角相等"及折叠的性质是解题的关键.

5.（1）AB//CD,证明见解析；（2）ZEi+NE2+...ZE„=ZB+ZFi+ZF2+...NF»i+ND；

（3）（n-l）»180°

【分析】

（1）过点E作EF〃A8,利用平行线的性质则可得出N8=NBEF,再由己知及平行线的判定

即可得出AB//CD；

（2）如图，过点E作E/W〃AB,过点F作FN//AB,过点G作GH〃AB,根据探究（1）的

证明过程及方法，可推出NE+NG=NB+NF+N。，则可由此得出规律，并得出

NEi+NEz+.-NEn=NB+NFi+NF2+...NF〃-i+ND；

（3）如图，过点M作行〃AB,过点N作GH//AB,则可由平行线的性质得出

Z1+Z2+Z/W/VG=18O°X2,依此即可得出此题结论.

【详解】

解：（1）过点E作EF//AB,

/.ZB=ZBEF.

/ZBEF+NFED=NBED,

/.Z8+NFED=NBED.

■：Ze+ZD=ZE（已知）,

ZFED=ND.

,CD〃EF（内错角相等，两直线平行）.

AB//CD.

（2）过点E作EM〃/W,过点F作FN〃AB,过点G作GH〃AB,

B

ABHCD,

.t.AB//EM//FN//GH//CD.

：.ZB=ZBEM,ZMEF=NEFN,ZNFG=4FGH,ZHGD=4D,

：.ZBEF+NFGD=NBEM+NMEF+NFGH+NHGD=4B+NEFN+NNFG+N。=NB+NEFG+ND,

即NE+NG=NB+NF+ND.

由此可得：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等，

/•NEi+NE2+...NEn—Z.B+NFi+NF2+...NF〃-i+ND.

故答案为：NEi+NE2+...NEn=N8+NFi+ZF2+...NFn-i+ND.

（3）如图，过点M作EFIMB,过点N作G”〃AB,

ZAPM+NPME=180°,

-：EF//AB,GH//AB,

：.EFIIGH,

：.ZEMN+NMNG=180°,

：.Z1+Z2+Z/WA/G=180°x2,

依次类推：N1+Z2+...+Zn-l+Zn=（n-l）»180°.

故答案为：（n-l）・180。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过E点作/W（或CD）的平行线，

把复杂的图形化归为基本图形.

6.（1）证明见解析；（2）ZABC-ZF=90°；（3）45°.

【分析】

（1）过点C作C尸〃先根据平行线的性质可得NABC+N3CF=180。，再根据平行公

理推论可得C尸DE,然后根据平行线的性质可得NCDE+/3CF+/3CD=180。，由此即

可得证；

（2）过点C作CG〃AB,同（1）的方法，先根据平行线的性质得出

ZABC+ZBCG=180°,/户+ZBCG+ZBCF=180。，从而可得ZABC-NF=NBCF,再

根据垂直的定义可得NBCF=90。，由此即可得出结论；

（3）过点G作GMAB,延长尸G至点N,先根据平行线的性质可得Z/®7=/MG”,

ZMGN=ZDFG,从而可得ZMGH—ZMGN=ZABH—/DFG,再根据角平分线的定义、

结合（2）的结论可得NMG"-NMGN=45。，然后根据角的和差、对顶角相等可得

ZBGD-ZCGF=ZMGH-ZMGN,由此即可得出答案.

【详解】

证明：（1）如图，过点。作CF〃AB,

AB|DE,

:.CFPDE,

二.NCD石+NDCF=180。，即NCDE+NBCF+NBCD=180。,

/CDE+/BCF+ZBCD=ZABC+ZBCF,

/./BCD+/CDE=ZABC；

(2)如图，过点C作。G〃AB,

ABDE,

:.CGDE,

/.ZF+ZFCG=180°,即ZF+N5CG+NBCF=180。，

ZF+/BCG+NBCF=ZABC+/BCG,

:.ZABC-ZF=ZBCF,

CF±BC,

/.ZBCF=90°,

.\ZABC-ZF=90°；

(3)如图，过点G作GMAB,延长FG至点N,

H

c

MG

DF

ZABH=ZMGH,

ABDE,

:.GMDE,

:.ZMGN=ADFG,

平分入WC,FN平分NCFD,

ZABH=；ZABC,ZDFG=|ZCFD,

由（2）可知，ZABC-ZCFD=90°,

ZMGH-AMGN=ZABH-ZDFG=-ZABC--ZCFD=45°,

22

JZBGD=ZMGH+ZMGD

又［ZCGF=NDGN=NMGN+ZMGD'

:.NBGD-NCGF=ZMGH—ZMGN=45。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性

质是解题关键.

8

7.初步探究：（1）8;（2）C；深入思考：（1）三，不，2;（2）n_2；（3）-5.

【分析】

初步探究：

（1）根据除方运算的定义即可得出答案；

（2）根据除方运算的定义逐一判断即可得出答案；

深入思考：

（1）根据除方运算的定义即可得出答案；

（2）根据（1）即可总结出（2）中的规律；

（3）先按照除方的定义将每个数的圈n次方算出来，再根据有理数的混合运算法则即可得

出答案.

【详解】

解：初步探究：

（1）2③=2+2+2=；

（-）⑤=LLLLL8

222222

(2)A：任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1,故选项A错误；

B：因为多少个1相除都是1,所以对于任何正整数n,1嘴B等于1,故选项B错误；

C：3④=353+353=！，4③=454+4=,，3④工4③，故选项C正确；

94-

D：负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数；负数的圈偶数次方，相

当于偶数个负数相除，则结果是正数，故选项D错误；

故答案选择：C.

深入思考：

(1)(-3)④=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)="

5⑥=5+5+5+5+5+5=二

54

(2)a@a+a+a…+a=—彳

an-2

…111cr

1444-----x------7-z-------+27

(3)原式)一「(-2广I：?

=144+9X1-；J-81+27

=-2-3

=-5

【点睛】

本题主要考查了除方运算，运用到的知识点是有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的

法则是解决本题的关键.

8.(1)K(342)=9,K(658)=19；(2)见解析;(3)28

【分析】

(1)根据K的定义，可以直接计算得出；

(2)设了=诙，得到新的三个数分别是：标，而，嬴，这三个新三位数的和为

100(〃+人+c)+10(〃+/?+c)+(a+Z?+c)=111(〃+Z?+c),可以得至|J：K(x)=a+b+c-

(3)根据(2)中的结论，猜想：K(x)+K(y)=28.

【详解】

解：(1)已知〃=342,所以新的三个数分别是：324,243,432,

这三个新三位数的和为324+243+342=999,

K(342)=9；

同样〃=658,所