北京某中学2024-2025学年高一年级上册期中诊断数学试卷（含答案）

北京市陈经沧中学期中诊断

高一年级数学学科

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且

只有一项是符合题目要求的.

1.命题“VxGR,x2>0”的否定是（）

A.VxGR,x2<0B.3xGR,x2<0

C.VxR,x2<0D.R,x2<0

2.下列函数中，在（-11）上单调递增的是（）

Aj=W+lB.y=——

x

C.y=e~xD.y=x3

3.已知a,6,C£R,a<b,则下列不等式正确的是（

A.ac<beB.（Q-b）02<0

11

C.—>—D.tz7>b9

ab

4.已知集合/=<x<1>,5=|x|x2-6x+8<0},则（）

A.{xlx<0}B,{x|2<x<41C,{x|0Vx<2或x>4}D,{x|0<x<2^x>4}

212

5•若a13，H|卜=［卜则（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.b<a<c

6.设aeR,则“a<1”是“函数/（x）=—/+2ax在（1,+功上是减函数”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.函数/（》）=5］的图象大致为（）

8.设/(x)是定义在R上的奇函数，且/(x)在(0,+。)上单调递减，/(-7)=0,则下列结论错误的是

人./(“在(-。,0)上单调递减

B./(x)的图象与x轴只有2个公共点

C./(8)<0

D.不等式/(x)〉0的解集为(—e,—7)u(0,7)

9.己知/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-。,0)上单调递增.若实数0满足/(21)>/卜8)，

则。的取值范围是()

B100，；K，+00]C.(O,2)D.(T,0)“2,+e)

10.对于函数/(x),若/(x)=x则称x为/(x)的“不动点”，若/(/(x))=x,则称x为/(x)的“稳

定点”，记2={4/("=耳,8=科/(/(力)=》},则下列说法错误的是()

A.对于函数/(x)=x,有幺=8成立.

B.若/(x)是二次函数，且幺是空集，则8为空集.

C.对于函数=,有2=8成立.

D.对于函数/(x)=2,存在be(O,+”)，使得2=8成立.

二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.

11.函数/（X）=YE的定义域是.

X

12.计算27+log34-log29=--------.

2

13.已知不等式Q%2+bx+cw0的解集为{x|X<—2或x21},则不等式bx+2ax-c-5b<0的解集是

（Q-2）%x>2

14.函数=]是R上的单调递减函数，则实数q的取值范围是__________

x<2

⑹已知函数/⑴=[2/X（；」），；x'〉3；⑴八2+1幅3）的值为----------

（2）当x>0时，方程/（x）+x=a有且仅有一个实根，则实数。的取值范围是.

三、解答题：本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.（13分）己知集合A={x|—+6x—8>o},集合B={x|x~-4ax+3a2<O1.

（1）当a=2时，求

（2）若=求实数。的值；

（3）设集合C=5cN,若C中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合C.

17.（13分）某公司计划投资48两种金融产品，根据市场调查与预测，Z产品的利润%与投资金额x的

函数关系为弘=18-8产品的利润%与投资金额x的函数关系为外=二（注：利润与投资金额单

x+105

位：万元）.现在该公司有100万元资金，并全部投入48两种产品中且均有投，其中X万元资金投入/

产品.

（1）请把48两种产品利润总和V表示为X的函数，并直接写出定义域；

（2）在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？

18.（14分）已知定义域为R的函数=弓是奇函数.

（1）求a,匕的值；

（2）用定义证明/⑴在（-0+”）上为减函数.

（3）若对于任意teR,不等式2/）+/（2/—左）<0恒成立，求左的取值范围.

19.（15分）（1）若命题“iceR,x2+2ax+a+2W0”是真命题，求实数。的取值范围;

（2）求关于x的不等式a/+（a+2）x+2>0（aeR）的解集.

20.（15分）已知函数/（x）=—+ax的最小值不小于—1,且/［—：］4一：.

（1）求函数/（x）的解析式；

（2）函数/（X）在"，加+1］的最小值为实数%的函数g（M）,若关于加的方程g（掰）=a无解，试确定

实数。的取值范围.

21（15分）已知集合/为数集，定义力=若450卜xW8,xeN*},定义：

u,Xc/

.（43）=1"。）—加1）|+|力（2）一/（2）|+-.+|力⑻―/⑻

（1）已知集合/={1,2},直接写出力⑴，力（2）及九（8）的值;

（2）已知集合2={1,2,3},8={2,3,4},。=0,求"（48）,"（4。）的值；

（3）若4民。口卜|xV8,xeN*}.求证：d（A,B）+d（A,C）Nd（B,C）.

参考答案：

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且

只有一项是符合题目要求的.

12345678910

BDBCCACBAD

二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.

1q

ll.(-oo,0)U(0,l]12.-13.(-00,-3]u[l,+oo)

(13

14.115.(1)6(2)(1,7]

三、解答题:

16.【解答】

(1)解：令—炉+6》—8>0,解得2<x<4.

当a=2时，B={x|x~—8x+12<0},

令一一81+12<0，解得2cx<6.

所以aN={x|4Wx<6}.

(2)解：由x?—4ax+3a2=(x-a)(x—3a)

①当a=0时，8=0,符合题意

②当a<0时，B={x|3a<x<a],此时不满足Zu8=Z

③当a>0时，5={x|a<x<3a}

a>2

若=则需「”，此时方程组无实数解.

3a<4

综上，a=0.

(2)解：{2,3,4},{3,4,5}

17.【解答】

解：(1);x万元资金投入幺产品，则剩余的100-x(万元)资金投入8产品,

180100—X

7=18—+

x+105

180

=38e[0,100]；

-fx+10

(2)由(1)得y=40——^-,xe[0,100卜

5x+10L」

卜+10180

・••/(x),,40-2

N蓝—•x+10

=40—2回=28,

当且仅当五竺=M-时，即x=20时等号成立，

5x+10

故分别用20万元和80万元资金投资48两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元.

18.【解答】

解：⑴因为/（“为R上的奇函数，所以/（0）=0力=1.

又/（—1）=_/（1），得4=1.

（2）任取Xi./eR,且石<》2，则

1ex1-2当2&+1

I-/.-----------------:---------:--:----------:---------------:-------------

2』+1(1-2%1)(2"2+1)-(1-2X2)(2X|+1)

因为X]<x2,

所以2次一2.>0,又（2为+1）（2*2+1）〉0,/（再）_/（》2）〉0,

所以/（x）为R上的减函数.

（3）因为feR,不等式/（产_2.+/（2*—左）<0恒成立,所以/（/一？）<_/（2/—左）

因为/（X）是奇函数，

所以2『），

因为/（x）为减函数,

所以r—2/>左—2”.即左<3/—2/恒成立,

而3〃—27=3,—-11

3

所以左<--即k的取值范围是

19.【解答】

解：⑴：HxeR,x?+2ax+a+2W0为真命题,

则函数y=x?+2ax+a+2与x轴有交点，

.•.A=4a2-4(a+2)>0,即下一口一2»o,解得a<-1或心2

;•实数。的取值范围是。〈-1或a22.

(2)当a=0时，不等式等价于2x+220,即x2—1；

当a>0时，原不等式化为[x+j}x+l)20,

22

当a〉2时，即—>一1时，解得1〉—或工工一1；

aa

2

当〃=2时，即——=—1时，原不等式即为(x+l)2920,解得XER；

a

22

当—<一1时，即0<。<2时，解得n<或-1.

aa

当a<0时，原不等式化为fx+2](x+l)W0,解得—2.

Va)a

23、

综上所述，当〃〉2时，不等式的解集为——或"

a

当Q=2时，不等式的解集为R；

’2、

当0<。<2时，不等式的解集为——或丁―1>

a

当a=0时，不等式的解集为但x2-1}；

2、

当〃<0时，不等式的解集为<％—1<%<——

a

20.【解答】

解：⑴因为/（X）=/+"最小值不小于-1,

所以/OOmm=/［一］］=（—，…—1，

即-2”2,

（］）313

又因为一:，所以-----”—，即a“2,

I2）4424

综上所述，4=2.

所以/（x）=—+2x.

（2）J=/（x）的对称轴为x=—l,

所以加+1,,—1,即—2时，

/OOmin=/（掰+1）=加2+4机+3

m<-l<m+l,即一2（机<一1时，/（x）min=/（-1）=-1

2

山-1时，/（x）min=/（m）=m+2m,

m2+2加,m>—1

所以g（加）=4T—2,,m,,—1,

m2+4加+3,m<-2

故g（M的值域为［T+“）.

所以.

21.【详解】⑴集合N={1,2}/x=

A

则加1）=1/⑵=1/⑻=0

（2）集合Z={1,2,3},8={2,3,4},C=0,

d（A,B）