北京某中学2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试卷（含解析）

2024北京景山学校高一（上）期中考试

数学比卷

本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案打在答题卡上，在试卷上作答无

效.考试结束后，将答题卡交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

.若集合'={小则）

1{A={xl°"x<16}},22},AB=（

A.{x|0<x<2}B.{x[0<x<2}

C.{x|2<x<16}D.{x|2Wx<16}

【答案】D

【解析】

【分析】由交集定义可得答案；

【详解】由题可得AB={^|2<x<16}.

故选：D

2.若实数a,6满足a>6,则下列不等式成立的是（）

A.|«|>|^|B.a+c>b+cC.a2>b2D.ac1>be2

【答案】B

【解析】

【分析】利用不等式的性质即可判断.

【详解】由a=l,b=—2,c=0

|4<同，故A错；

a2<b2故C错；

ac2=be2,故D错；

由不等式的性质易知B正确.

故选：B

3.已知命题p:Vx〉0,工+工〉2,则为（）

A.Vx>0,x+-<2B.Vx<0,x+-<2

XX

C.Bx<0,x+-<2D.3x>0,x+-<2

XX

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题关系，准确改写，即可求解.

【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：

命题p:\/x>Q,x+—>2的否定是三%>0,工+工<2.

xx

故选：D

4.已知偶函数了(%)在区间(3,-1］上单调递减，则下列关系式中成立的是()

A./^</(-3)<f(2)B.〃一3)</臼<”2)

C.”2)</(—3)<dD.〃2)<4一||</(一3)

【答案】D

【解析】

【分析】由条件可得函数在口”)上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据

|-3|>>|2|,可得/(-3)>/(-1)>/(2),进而得出结论.

【详解】因为偶函数7(%)在区间(f,-1］上单调递减，

所以函数在［1,4W)上单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大，

又卜3|〉一〉|2|,所以〃_3)>/(—4)>〃2)

故选：D.

5.已知集合A=集合3=卜2,%+%0},若A=5,则必。23+/。24=（）

A.-1B.OC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解.

【详解】因为A=5,且集合A中xwO,

所以集合A中的元素)=0,解得y=0,

%

又因为leA，所以IwB，所以f=1或x=l,

若炉=1,解得1=1或l=—1,

经检验，x=l时，与集合中元素的互异性矛盾，x=-1时，满足题意，

若x=l,由上述过程可知，不满足题意；

综上x=—1,所以炉。23+9024=_]+o=—1,

故选：A.

•X?JQ>0

6.已知函数/(x)=〈'，若/(a)+/(应)=0,则实数。=().

x+L尤<0

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】求出/(3),再根据/(4)+/(、笈)=0,分。>0和aWO两种情况讨论即可得出答案.

【详解】解：/(五)=(&『=2,

贝iJ/(a)+/(0)=0,即/(a)=-2,

当。>0时，a1=-2,无解；

当aWO时，。+1=-2,解得a=-3,

综上所述，。=一3.

故选：A.

7.若a>0”>0,则“a+/?W4”是“就44”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取。力的值，推出矛盾,

确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，a+b>24ab>则当a+/?W4时，有2，拓Wa+6W4,解得就<4,充分性

成立；当4=1,6=4时，满足他44,但此时。+6=5>4,必要性不成立，综上所述，“。+/?<4”是“曲〈4”

的充分不必要条件.

【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通

过特取。涉的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

8.已知定义在(。,1)上的函数小)/山是有理数三小是互质的正整数)，则下列结论正确的是

是无理数

()

A.7(%)的图象关于x=g对称B."%)的图象关于，,对称

C.7(%)在(0,1)单调递增D.7(%)有最小值

【答案】A

【解析】

【分析】利用特殊值可排除B、C,利用函数的性质可确定A、D.

【详解】对于BC,由题意可知：—=-应+[]=1，

显然了(尤)的图象不关于对称，而—0+|<0—故B、C错误；

对于D,若x为有理数，则/(x)=^,显然”一”，函数无最小值，故D错误；

n

对于A,若％='是有理数，即狐〃(加<")互质，则"一利〃也互质，即竺=,

nJn\nJ

若X无理数，则l-x也为无理数，即/(x)=/(l—x)=l,

所以了(%)的图象关于x=1•对称，故A正确.

下证：办〃互质，则〃也互质.

反证法：若〃〃互质，"一利"不互质，不妨设n-m=ka,n=kb,

则机=左。一a),〃=劭，此时与假设矛盾，所以"一利”也互质.

故选：A

【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A、B,而作为抽象函数可以适当选取

特殊值验证选项，提高正确率.

9.已知函数〃力的定义域为R,满足/(x—2)=2/(%),且当xe(O,2]时，f(x)=x(2-x).若

/则r的最大值是()

1314119

A.------B.------C.------D.——

4544

【答案】C

【解析】

【分析】由及«0,2]时,y(x)e[O,l],利用/(X—2)=2/⑴得到xe(—4,—2],/(X)G[0,4],且

JG[0,4],在求得xe(T,—2]时的解析式，由了(。2日求解.

【详解】解:当]«0,2]时，f(x)=x(2-x)=-x2+2x=-(x-l)2+l,

则在(0,1]上递增，在工2]上递减，且〃力«0』,

由“X—2)=2/(x)知：xe(—2,0]时，/(%)G[0,2],

xe(-4,—2]时，/(x)e[0,4],且在(—4,—3]上递增，在(—3,—2]上递减，

因为?e[0,4],当xe(-4,-2]时，f(x)=2f(x+2)=4f(x+4),

因为1+4w(0,2],

所以〃%)=4/(X+4)=4(%+4)(—％—2)=7(%2+6X+8),

令一4(%2+6%+8)2,解得——%——,

1S11

所以满足了0)>了,的2的最大值是—?，

故选：C

x2+4x+3,x<0

10.已知/(%)={2八若王<九2<尤3<%4，且/(%)=/(%2)=/(毛)=/(%4)，则

J—,x>0

X

1111

—十—+—+—的取值范围是()

国x2x3x4

【答案】A

【解析】

【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到西+々=—4,3),七«—L0)，

设/&)=/(%)=/(演)=/(%)=。,则a«0,3),

令_?+4X+3=3，解得尤=^或0,

因为丁=必+4》+3的对称轴为％=-2,由对称性可得=-4>

且石e(—4,—3),/e(_l,0),

11Xi+-4-44

xx?

八%12%%212(-4-X2)X2(X2+2)-4

因为马所以(々+2)2—44—3,0),

2。。211。

又----3=3------,故一+—=3,

故选：A

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数/(x)=J3-x的定义域是.

【答案】(—8,3]

【解析】

【分析】根据二次根式有意义即可求得定义域.

【详解】解：由解析式可知3—

故函数的定义域为：(-8,3]

12.已知集合4=｛巾3-1)尤2—2尤+1=0｝有且仅有两个子集，则实数“=

【答案】1或2

【解析】

【分析】若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于工的方程(。-1)必-2x+l=0恰有一个实数解,

分类讨论能求出实数。的取值范围.

【详解】因为A有且仅有两个子集，所以A中只有一个元素，

所以(a—1)炉一2x+l=0有且仅有一解.(1)当。=1时，x=；,符合题意，(2)当awl时，△=€),即

4-4(a-l)=0,。=2,综上，得a=l或a=2.

故答案为：1或2.

【点睛】本题考查根据子集与真子集的概念，实数。的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析

法、讨论法和等价转化法的合理运用.

13.已知龙〉0,且。+4)=1,则的最小值为

ab

【答案】9

【解析】

【分析】把“1”换成4a+b,整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值

【详解】解：ab>0,且a+4)=l,

-+-=(-+-)(«+4Z?)=l+4+—+-..5+2/---=9,当且仅当a=J，6=工时取等号，

ababab\ab36

.••1+’的最小值为9,

ab

故答案为：9.

【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，属于基础题.

14.已知奇函数/(%)定义域为R,当无20时，/(1)=/+2],则/(=1)=；若/(4)〉/11一£]

则实数m的取值范围是.

【答案】0.-24②.；]D(O,+”)

【解析】

【分析】第一空，由奇函数定义可得答案；第二空，由奇函数性质可判断/(可单调性，即可得答案.

【详解】第一空，由奇函数定义，/H)=-/(4)=-(42+8)=-24；

第二空，注意到y=d+2x=(尤+1)2—1在(o,+8)上单调递增，

又奇函数在对称区间上单调性相同，则/(尤)在R上单调递增，

则/(4)>/(1—£)n4>1—0nm(3m+1)>0,故根e1—oo,-g]u(0,+oo).

故答案为：-24；

[-<2X+3,X>a

15已知函数=1/,2给出下列四个结论：

(%-2),x<a

①当a=O时，/(/(-1))=3；

②若了(%)存在最小值，则。的取值范围为(7,0]；

③若了(%)存在零点，则a的取值范围为卜夕―(0,+s)；

④若“可是减函数，则a的取值范围为-中1+乎，2.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根据所给分段函数直接计算求解可判断①，根据分段函数的最小值的求法判断②，分段求函数的零

点可判断③，根据分段函数的单调性结合二次函数、一次函数的单调性可求解判断④.

3,x>0

【详解】①当a=0时，/(%)=,c，/(/(T))=/T(T—2)2]=/■⑼=3,故①正确；

(冗一2),x<0

②当aN2时，/(%)=(九一2)2,尤〈。有最小值0,此时/。0=-依+3,%>。为减函数，且

-ax+3,%2a

/(%)-—8,无最小值，故/(%)=〈/、2无最小值，

(%-2),x<a

当0<Q<2时，/(X)=(九一2)2,九<4无最小值,/(%)=-OX+3,X>6Z无最小值，

-ax+3,x>a

故/(x)=/c、2无最小值，

(%-2),x<a

当时，/(%)=-依+3,%之〃为增函数，最小值为一。2+3，/(%)=(九一2)2,犬单调递减，所以

只需满足一4+3<3—2)2,解得—2或+注，所以〃wo,故②正确；

22

3

③令/(%)=(%—2)2=0,尤〈。若有解，则〃>2,令/(%)=—依+3=0,12〃若有解，则一2a,解得

a

a〈—百或0<a<JL综上若"％)存在零点，则a的取值范围为卜应―(0,出]u(2,+s),故

③错误；

④若"％)是减函数，则需满足—。<0且aW2且(a—2)2之—储+3,解得。〈。勺―日或

屈

1+—<a<2,故④正确.

2

故答案为：①②④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

53

16.己知集合4={刀|一1<%<2},B={x\x-->-}.

(1)求AB,Ac&可;

⑵记关于x的不等式犬―(2机+4卜+疗+4mW0的解集为"，若求实数加的取值范

围.

【答案】(1)A3={x|x24或尤<2},An(^B)={x|l<x<2}.

(2)上冲“4-5或机22}

【解析】

【分析】(1)先通过绝对值不等式的解集为集合3,进而可求解；

(2)根据不等式先求解出M，然后根据列出不等式，由此能求出实数加的取值范围.

【小问1详解】

53

由％—5之5，可得：X>4^X<1,

所以5={x|x24或xWl},

所以A_B={x|x»4或x<2},

所以43={%[1<尤<4},

所以Ac(Q5)={x[l<x<2}.

【小问2详解】

因为关于x的不等式f—(2加+4卜+毋+而区0的解集为“，

解得：m<x<m+4,

所以M=^x\m<x<m+4^,

又"A={尤或xV-1},Mc

所以771+4W-1或加三2,解得wW-5或加》2,

所以实数机的取值范围是“冲九<-5或机22}.

17.已知函数/(x)=ax?-2ox-3.

(1)若a=l,求不等式/(x)之0的解集；

(2)已知a>0,且/(乃》0在[3,+8)上恒成立，求a的取值范围；

【答案】(1){x\x<-l^x>3]

(2)[1,-K»)

【解析】

【分析】(1)由题意得/-公-320,求解即可得出答案；

(2)函数f(x)=<2?_2ax_3=a(x-l)2一。一3(。>0),可得二次函数/(%)图象的开口向上，且对称轴为

x=l,题意转化为了。)1nmNO,利用二次函数的图象与性质，即可得出答案.

【小问1详解】

解：当。=1时，/(%)=x2-2x-3,

所以/(九)20,即一一次一320,解得xW-1或尤23,

所以不等式/(x)20的解集为：｛x|x<—1或无之3｝；

【小问2详解】

因为f(x)=ax2-2izr-3=a(x-l)2-tz-3(a>0),且/(X)»0在[3,+oo)上恒成立，

则二次函数/(%)图象的开口向上，且对称轴为X=l,

所以/(X)在[3,+8)上单调递增,则/(X)丽=「⑶=3。—3,

又/(%)»0在[3,+8)上恒成立，转化为/(x)mnN0,

所以3a—320,解得。之1,

故实数。的取值范围为[1,”).

4

is.已知函数y(x)=x——.

(1)判断了(%)在区间(0,+8)上的单调性，并用定义进行证明；

⑵设g(x)=a—3%,若Hx2e[l,4],使得/(%)=g(9)，求实数°的取值范围.

【答案】(1)单调递增，证明见解析；

(2)[6,9],

【解析】

【分析】(1)根据函数的单调性定义证明即可；

(2)由函数单调性求出函数值域，若ke[l,4],3%2e[l,4],使得/(%)=g(9)可转化为值域的包含

关系，建立不等式求解即可.

【小问1详解】

〃力在区间(0,+。)上的单调递增，证明如下：

设\/九1，犬2G(0，+°°)且0<西<%2，

,/、，/、4444(%2一%)(再入2+4)

则/(%2)一/(玉)=%2-----(%----)~X2~Xx~\-------=-----------------,

项•九2

因为0<%<%2，所以马一再>0，玉犬2>。，菁兀2+4>0,

所以/%)-八)=“一1:”〉°'即/⑷〉/(仙

所以/(X)在区间(0,+8)上的单调递增.

【小问2详解】

由⑴知Vx1G[1,4]时,-3</(^)<3,即xe[l,4]时，於)的值域4=[一3,3],

因为g(x)=a—3x当xe[l,4]时为减函数，所以g(x)e3=5一12,“一3],

若％e[1,4],BX2e[l,4],使得/(%)=g(9)，则

a-12<-3

即《，解得6WaW9,

tz—3>3

故实数。取值范围为[6,9]

19.已知定义在R上的函数/(%)满足：①对任意实数x,»都有/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y)；②对

任意xe[0,l),/(x)>0.

(1)求/(0)；

(2)判断并证明函数/(%)的奇偶性；

(3)若/(1)=。，直接写出了(%)的所有零点(不需要证明).

【答案】(1)/(。)=1

(2)/(%)为偶函数，证明见解析

(3)x=2k+l,keZ

【解析】

【分析】(1)令x=y=0,化简可求出/(0),

(2)令x=0,则/(y)+/(—y)=2/(0)/(y)=2/(y),化简后结合函数奇偶性的定义判断即可,

(3)利用赋值求解即可

【小问1详解】

令x=y=0,则/(0)+/(0)=2尸(0),

/2(0)-/(0)=0,得八0)=0或/(0)=1,

因为对任意xe[0,l)J(x)>0,所以/(0)=1

【小问2详解】

/(%)为偶函数

证明：令x=0,则/(y)+/(-□)=2/(0)/(y)=2/(y),

得〃7)=/(y)，

所以/(幻为偶函数

【小问3详解】

令尤=左+1,丁=匕左eZ,则f(2k+1)+/(1)=2f(k+1)/(^),

因为"1)=0,所以/(2左+1)=2/(左+1)/(外，

当左=1时，/(3)-2/(2)/(1)=0,

当左=2时，/(5)=2/(3)/(2)=。，

当左=3时，/⑺=2/(4)/⑶=0,

当左=4时，〃9)=2/(5)/(4)=0,

......,

所以7(2左+1)=0

即当尤=2左+1,ZeZ时，/(%)=0,

所以函数的零点为x=2左+1,左eZ

20.己知关于x的函数/(x)=*—2双+2.

(1)当aW2时，求/(%)在1,3上的最小值g(a)；

(2)如果函数尸(x)同时满足:

①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；

②在函数的定义域内存在区间[p,q],使得函数在区间[p,句上的值域为[02,7].

则我们称函数尸(%)是该定义域上的“闭函数”.

(i)若关于X的函数y=J?二I是“闭函数”，求实数7的取值范围；

(ii)判断(1)中g(a)是否为“闭函数”？若是，求出夕，夕的值或关系式；若不是，请说明理由.

【答案】(1)g(a)=<

2—a",一<aW2

3

(3,]

(2)(i)-,1；(ii),P应满足<—3<p<q<2.

14J+

、PQ-2

【解析】

【分析】(1)对于函数/(x)=Y-2ax+2=(x-a『+2-根据对称轴，分类讨论即可；

(2)(i)据闭函数的定义，列出方程组，可得p?,/为方程J7=I+/=x的二实根，再由二次方程实根

的分布，即可得到所求才的范围

(ii)由新定义，假设g(。)为“闭函数”，讨论P，夕的范围，通过方程的解即可判断

【小问1详解】

函数/(x)=x,—2依+2=(x—。)+2—a-,其对称轴方程为x=

当时，/(%)在1,3上单调递增，其最小值为g(a)=/[(]=孩一等；

当;KaV2时，/(%)在：,3上的最小值为g(a)=/(a)=2—q2；

192a1

「11

函数/(%)在§，3上的最小值为g(a)气.

2—一<a<2

3

【小问2详解】

(i)：y=1/一1+/在0,”)递增,

由闭函数的定义知，该函数在定义域[L+8)内，

存在区间[p,q](p<q),使得该函数在区间[p,q]上的值域为[.2,q2],

，°2应2为方程五+/=x的二实根,

即方程（2/+l）x+』+l=0在[L”）上存在两个不等的实根且％型恒成立,

令"（%）=%2—（2f+l）x+f~+1,

3

A>0t>—

4

2r+l,

---->11

《2t》一

2

M（l）>0

（r-1）2>0

t<l

t<\

3

解得一<f<l

4

实数♦的取值范围.

(ii)对于⑴，易知g(a)在(-8,2]上为减函数,

①若g(a)递减，若g(a)为“闭函数”，

19女

9-3=/

19%

一

9-3一

21

两式相减得p+q=1,这与p<4矛盾.

②二<“<”2时，若g(a)为“闭函数”，贝叫2

3[2-q-=p

此时//+/=2满足条件的存在，

.,.g<p<qW2时，使得g(a)为“闭函数”夕M存在，

1出-女=,

③pW—<qW2时，若g(a)为“闭函数”，贝叶93

3。22

[2一q=p

消去“得9P2—6°+1,即（3p—1）2=0

解得p=g此时，q=4<2,且/+/=2,

二〃=时，使得g（a）为“闭函数”夕M存在，

综上所述，当满足《3时，g（a）为“闭函数”.

2,2c

[p+q=2

21.设n为不小于3的正整数，集合。，尸{（为,尤2,…X”）卜d{0，l}，i=l，2,.”,〃}，对于集合Q“中的任意元

素a=（%，々，…,5）,，=（%,%，…，%）记

a*，=（%+%—%%）+（4+%一々%）+…+（七+yn-xny„）

（I）当〃=3时，若2=（1,1,0）,请写出满足。*尸=3的所有元素夕

（II）设a，且求a*夕的最大值和最小值；

（III）设S是Q〃的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素a,0,有。*尸1成立，求集合S

中元素个数的最大值.

【答案】（1）（0,0,1）,（1,0,1）,（0,1,1）,（W）；（2）的最大值为“，当"为偶数时，。*万的最小

值为乙，当〃为奇数时，0*〃='匚；（3）S中的元素个数最大值为〃一+"+2.

222

【解析】

【分析】（I）结合题意列举可得；（II）先根据a*a+，*/7=",得到的关系式，再求解。*尸的最

值；（III）通过对集合S的拆分，逐一求解.

【详解】（I）满足。*，=3的元素为（0,0,1）,（1,0,1）,（0,1,1）,（1,1,1）

（II）记，%），尸=（%，%，…，％），

注意到%,-G{0,1},所以芝.（X；-1）=0,

所以&*£=（内+%一/%）+（/+%2-X2X2）++（x„+x„

=石+4++xn

,*'=%+%++%

因为。*。+/*，=",所以%+々++z+%+%+,+”=〃

所以X1,%,，，七，％,为，,，笫中有"个量的值为1，"个量的值为0.

显然。wa*分=（%+%—xx）+（±+%—/%）++（玉+y“一玉”）

＜玉+%+4+%++%+”=〃，

当m…」）,A=（O,O,.,O）时,

a,尸满足（/*£+，*，=〃，。*/7=".所以tz*，的最大值为“

又£*/?=（%+%—石%）+（为2+%—/%）++（/+”-%%）

=〃一（石％+/%++%”）

注意到只有%=%=1时，xiyi=1,否则xiyi=0

而玉,々,…，与,%,为，…，其中”个量的值为1>"个量的值为0

VI

所以满足毛％=