出水芙蓉型-2024-2025初中数学模型（含答案）

出水芙蓉型-2024-2025初中数学模

型

出水芙蓉型

一、单选题

题目①（数学文化）我国古代著作《九章算术》中有一'‘引葭赴岸”问题:“今有池方一丈，葭生其中央，出水一

尺，引葭赴岸，适与岸齐,问水深、葭长各几何.”其大意为:有一水池一丈见方，池中间生有一颗类似芦苇的

植物,露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十

尺，设水深为，尺,则可列方程为（）

In

A.（x—1）2=£C2+52B.（x—l）2+52=rr2C.（x+l）2+52=x2D.（rc+1）2=rc2+52

题目区如图在平静的湖面上，有一支红莲BA,高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边,

花朵齐及水面（即=已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深为（）

A

।~4----nn

B

米B.3米C.4米D.12米

［题目区将一根长24cm的筷子,置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面

长为/zcnz,则无的取值范围是（）

A.04无412B,12</z<13C.ll</i<12D.12W九424

题目1将一根20cm的细木棍放入长，宽，高分别为4cm,3cm,12cm的长方体盒子中，则细木棍露在外面

题目回如图是一个饮料罐,下底面半径是5，上底面半径是8,高是12,上底面盖子的中心有一个小圆孔,则

一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是

A.12&a<13B.124Q&15C.54aW12D.54a&13

题目自如图是一圆柱形玻璃杯,从内部测得底面直径为12cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意

放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（）

B.5cmC.9cmD.25—2V73cm

原目I如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度,他们把一根竹竿AB竖直插到水底,此时竹竿

AB离岸边点。处的距离CD=0.8米.竹竿高出水面的部分人。长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边

点。处,竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为（）

A.1.5米B.1.7米C.1.8米D.0.6米

题目画如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直

吸管在罐内部分以的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）

A.12<a<13B.12<a<15C.5WaW12D.5<a<Z3

题目回如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入盒的

底部，则吸管漏在盒外面的部分%（cm）的取值范围为（）

A.3<7i<4B.3<7i<4C.2WhW4D.h=4

［题目10］如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露

在外面的长为Zicm,则无的取值范围是（）

A.0<7i<llB.ll</i<12C.h>12D.0<7i<12

二、填空题

题目口口如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm,高为12cm,今有一支15cm的吸管任

意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度最少为.

题目工J将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外

面的部分长度，的范围是.

［题目叵〕《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺,纵之不出二尺，斜之

适出，问户斜几何，意思是:一根竿子横放，竿比门宽长出四尺;竖放,竿比门高长出二尺,斜放恰好能出去，

则竿长是尺.

：整月过如图,在水池的正中央有一根芦,池底长10尺，它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边，它

的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是.

题目但如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分

BC为1尺.如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的则这根

芦苇的长度是尺.

题目16［将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面

的最短长度为cm.

题目□力现将一支长20cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个长和宽分别为8cm,6cm的长方体水槽中,

要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为cm.

题158］《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题:“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问

水深，葭长各几何?”题意是:有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，

高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部。恰好碰到岸

边的。处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺.

题目®我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈，葭（加d）生其中央，出水一尺，

引葭赴岸，适与岸齐问水深几何?”（注:丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为:如

图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺,如果把这根

芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.则水池里水的深度是尺.

三、解答题

题目㈤读诗求解“出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有6尺，求水深几何请你算”.

趣目a我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴

岸，适与岸齐，问水深几何?”（注:丈、尺是长度单位，1丈=io尺，1尺=!米），这段话翻译城现代汉语，即

为:如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果

把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少米？请你用所

学知识解答这个问题.

题目电（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是:“平平湖水

清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边;“渔人观看忙向前,花离原位二尺远;能算诸

君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.

题目23）如图，一个直径为12cm（即BC=12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷

子，筷子露出杯子外2cm（即FG=2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动）,筷子顶端正好触到杯。,

求筷子GE的长度.

题目24］如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向

杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度.

题t㈤一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有2米远，如图

所示,求荷叶的高度和水面的深度.

出水芙蓉型

一、单选题

[>1口（数学文化）我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈，葭生其中央，出水一

尺,引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.”其大意为:有一水池一丈见方,池中间生有一颗类似芦苇的

植物,露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十

尺，设水深为，尺,则可列方程为（）

B.(Z-1)2+52=S2C.(z+1)2+52=x2D.(re+1)3=®2+52

【答案】。

【详解】解:如图，由题意得：AC=工尺,BC=与BE=5尺,CD=1尺，AB=AD=Q+1）尺，AD_LBC,

则在RtAABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即（2+1）2=X2+52,故选：D.

题目团如图在平静的湖面上，有一支红莲BA,高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边,

花朵齐及水面（即AB=OB）,已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深。8为（）

A.通米B.3米C.4米D.12米

【答案】。

【详解】解:在Rt^BCD中，设%,BD=AB=九+1,3,

由勾股定理得：BD?=BC^+CE）2,^（h+1）2=/I2+32,

解得：/z=4.故选：。.

题目④将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面

长为秘山,则无的取值范围是（）

A.04无W12B.12<无<13C.11&九412D.12</i<24

【答案】。

【详解】当筷子与杯底垂直时无最大，无最大=24—12=12(cm).

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时九最小，

如图所示：此时，AB=^/AC2+BC'2=V122+52=13(cm),

故％=24—13=ll(cm).

故九的取值范围是：11cm412cm.故选：C*.

题目⑷将一根20cm的细木棍放入长，宽，高分别为4cm,3cm,12cm的长方体盒子中，则细木棍露在外面

的最短长度为().

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【详解】解:按如图所示的方法放置细木棒，露在盒子外面的部分才最短.

在RtACDE中，由勾股定理，得CE=府守=5(cm).

在Rt^BCE中，由勾股定理,

得BC=y/CE2+BE2=V52+122=13(cm),

此时露在盒子外面的部分为＞15=20-13=7(cm).故选B.

：＞f可如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8,高是12,上底面盖子的中心有一个小圆孔,则

一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的取值范围是

A.12<a<13B.12WaW15C.5WaW12D.5WaW13

【答案】A

【详解】解：由题意可得：

a的最小长度为饮料罐的高，即为12,

当吸管斜放时，如图，此时a的长度最大，即为4B,

•.♦下底面半径是5,

AAB=V52+122=13,

.•.&的取值范围是124<2W13,

故选：A.

题目五］如图是一圆柱形玻璃杯，从内部测得底面直径为12cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意

放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（）

A.6cmB.5cmC.9cmD.25—2V73cm

【答案】B

【详解】如图，沿杯子的底面直径纵向切开，则当吸管在矩形的对角线所在直线上时，杯内吸管最长，则吸管

露出杯口的长度最小，由勾股定理得：杯内吸管的长度为：V122+162=20（cm）

所以吸管露出杯口外的长度最少为25—20=5（cm）;故选:B.

/

16cm

12cm

题目I如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB竖直插到水底,此时竹竿

离岸边点。处的距离8=0.8米.竹竿高出水面的部分人。长0.2米，如果把竹竿的顶端人拉向岸边

点。处,竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为（）

A.1.5米B.1.7米C.1.8米D.0.6米

【答案】4

【详解】解:设BD的长度为力小，则AB=BC=（x+Q.2）m,

在灭方△COB中，0.82+4=3+0.2）2,解得£=1.5.故选：4

题目回如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直

吸管在罐内部分以的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）

A.12<a<13B.12<a<15C.5<a<12D.5<a<Z3

【答案】A

【详解】解：a的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理，得：V52+122=13.

即a的取值范围是12Wa<13.故选：4

题目可如图,是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入盒的

底部，则吸管漏在盒外面的部分Mem）的取值范围为（）

A.3</z<4B.3</z<4C.24无<4D./i=4

【答案】B

【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16-12=4（cm）;

②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，

底面对角线长=V32+42=5cm,高为12cm,

由勾股定理可得：杯里面管长=A/52+122=13cm，则露在杯口外的长度最短为16—13=3（cm）,

.•.343W4;故选:B.

题目10）如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露

在外面的长为拉cm,则九的取值范围是（）

A.0V九411B.ll</i<12D.0</i<12

【答案】B

【详解】解：当筷子与杯底垂直时无最大，无最大=24—12=12cm.

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时无最小，

如图所示：

此时，AB=y/AC2+BC2=V122+52=13cm,

九=24-13=11cm.

，九的取值范围是11cm4无412cm.故选：8.

二、填空题

题目口□如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm,高为12cm,今有一支15cm的吸管任

意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度最少为.

【答案】2cm

【详解】解：•.•CD=5cm,AD=12cm,乙4。。=90°,

AC=A/52+122=13cm,

露出杯口外的长度最少为=15—13=2cm.

故答案为：2cm.

题目12］将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外

面的部分长度力的范围是.

【答案】2cm&3cm

【详解】如图所示：

B

・・,将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为

xcm

・・・力最长是筷子的长度减去杯子的高度，力最短是筷子的长度减去杯子斜边长度

・・・由勾股定理得,杯子斜边长度=V52+122=13cm

・・・15-134力415-12

・,・24/43

故答案为：2cm4力&3cm.

题目包《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺,纵之不出二尺，斜之

适出，问户斜几何，意思是:一根竿子横放，竿比门宽长出四尺;竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，

则竿长是尺.

【答案】10

【详解】解：设竹竿多尺，则图中BD=2.

:.BC=BE—CE=缶-4(x>4),CD=CF-DF=x-2(x>2),

在直角三角形BCD中，/BCD=90°,

由勾股定理得：BC2+CD2=BD1,

所以(比一4)2+(%—2)2=x2,

整理，得力2—126+20=0,

因式分解，得(力一10)(T—2)=0,

解得力i=10,力2=2,

•/a;>4,

力=10.

答：竹竿为10尺.

故答案为：10.

题目红如图,在水池的正中央有一根芦，池底长10尺，它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边,它

的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是

【详解】解：设水深为C尺，则芦苇长为（2+1）尺，

根据勾股定理得:一+（学）2=（2+1）2,

解得：a?=12,

芦苇的长度=t+1=12+1=13（尺）,

故答案为：13尺.

震月西如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分

BC为1尺.如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的则这根

芦苇的长度是尺.

【答案】13

【详解】解:设芦苇长48=48,=,尺，则水深47=Q-1）尺，

因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺

在Rt^AB'C中，52+（工-1）2=x2,

解之得①=13,

即芦苇长13尺.

故答案为：13.

题目16［将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面

的最短长度为cm.

【答案】4

【详解】解:杯子内筷子的最大长度是：V122+162=20cm

则筷子露在杯子外面的最短长度是：24—20=4（cm）,

故答案为：4.

题目□力现将一支长20cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个长和宽分别为8cm,6cm的长方体水槽中,

要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为cm.

【答案】103

【详解】解:如图，由题意可得，EF=Q,FH=8,EL=20,

DC

：.EH=V82+62=10,（cm）,

故水槽中的水深至少为：LH=-JEIJ-EH2=V202-102=V300=10遍（cm）,

故答案为：

题目电《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题:“今有池一丈,葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐，问

水深，葭长各几何?”题意是:有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，

高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部。恰好碰到岸

边的。'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺.

【答案】12

【详解】解:依题意画出图形,

设芦苇长？①尺，

则水深AB=Q-1）尺，

；C'E=1Q尺,

.•.。£=5尺，

在Rt/\AC'B中，根据勾股定理得，

52+3—1）2=/,

25+z2—2s+1=z2

解得c=13,即芦苇长13尺，

水深为12尺,

故答案为：12.

题目①）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈，葭。近）生其中央，出水一尺，

引葭赴岸,适与岸齐问水深几何?”（注:丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为:如

图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺,如果把这根

芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.则水池里水的深度是尺.

【详解】设这个水池深,尺，

由题意得，X2+52=(2+I),,解得：,=12

答:这个水池深12尺.

故答案为：12.

三、解答题

题目叵读诗求解“出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有6尺，求水深几何请你算”.

【答案】4.5尺

【详解】设水深AP=2尺，PB=PC=Q+3)尺，

根据勾股定理得：P^+AC2^PC2,X2+62=(x+3)2.解得：窜=4.5,

答：水深4.5尺.

题目叵我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴

岸，适与岸齐，问水深几何?”(注:丈、尺是长度单位，1丈=10尺，1尺=：米)，这段话翻译城现代汉语,即

为:如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果

把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少米？请你用所

学知识解答这个问题.

【答案】4米

【详解】解:设水池里水的深度是2尺，

由题意得，rc2+52=(c+1)2,解得：a;=12,

12x；=4米

O

答：水池里水的深度是4米.

题目©（古代数学