广东省揭阳市第三中学高三下学期第11周周一数学（理）练习

20162017年第二学期高三理科数学第11周周一练习一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知集合，则（）（A）（B）（C）（D）（2）若复数（为虚数单位），则=（）（A）3（B）2（C）（D）（3）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的为（）（A）（B）或（C）（D）（4）已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上一点满足轴．若，则该双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）（5）下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()（A）y＝1－x2（B）y＝log2|x|（C）y＝－eq\f(1,x)（D）y＝x3－1（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）（A）（B）（C）（D）（7）的展开式中的系数为（）（A）25（B）5（C）15（D）20（8）设，变量x，y满足条件，则z的最小值为（）（A）2（B）4（C）8（D）16（9）已知的最小正周期是，将图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则（）（A）在区间上单调递减（B）在区间上单调递增（C）在区间上单调递减（D）在区间上单调递增（10）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（）（A）（B） （C）（D）（11）三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，直线与平面所成角的正切值取最大值时的值为（

）（A）

（B）

（C）

（D）（12）设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（）（A） （B） （C） （D）二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（13）在边长为1的正三角形中，设，则．（14）已知，则．（15）我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为___________．（16）已知中，,，若线段的延长线上存在点，使，则____________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知等差数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.（18）（本小题满分12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示.（Ⅰ）求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．（19）（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面是梯形，且，面，是中点，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，求直线与平面所成角的大小．（20）（本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点为，其左顶点在圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴的交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数在处的切线方程为（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若为整数，当时，恒成立，求的最大值（其中为的导函数）．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，试求当时，的值.（23）（本题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数（Ⅰ）若，恒有成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，使得成立，求实数的取值范围.

数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CBDBABCCBDAD1．【解析】,,故选C．2．【解析】，所以=2,故选B．3．【解析】程序框图表示，所以，解得：，，解集为空，所以，故选D.4【解析】，故．5【解析】函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项A符合要求，故应选A.6．【解析】画出满足条件的四棱锥，底面是边长为3的正方形，顶点在底面的射影为点B，高为4，根据垂直关系可得，，为直角三角形和和的公共斜边，所以取中点，为四棱锥外接圆的圆心，，，那么四棱锥外接球的表面积为，故选B.7．【解析】，含有项的构成为，故选C．8．【解析】作出不等式组对应的平面区域，由解得，设，由图可知，直线经过点A时，m取最小值，同时取得最小值，所以.故选C．9．【解析】,平移得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴，，故选B．10．【解析】设，则，又，，选D．11．【解析】过作，则，故当最小时最大。此时12．【解析】，在上取点，在上取点，要，需，，，，，故选D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．14．15．16．13．【解析】因为，所以为的中点即，∵，∴，∴．14．【解析】因为，所以，所以，所以＝＝15．【解析】类比祖暅原理，可得两个图形的面积相等，梯形面积为，所以图1的面积为.16．【解析】因为线段的延长线上存在点，使，，所以，即，所以，所以，中，根据正弦定理.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（本小题满分12分）解（Ⅰ）设等差数列的公差为，由已知得……2分即所以解得……4分所以．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，①，②……8分得：……10分所以．……12分18．（本小题满分12分）解（Ⅰ）由题意，可知，∴．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴甲学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分而乙学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴甲、乙两校的合格率均为96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）样本中甲校等级的学生人数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分而乙校等级的学生人数为4．∴随机抽取3人中，甲校学生人数的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分∴∴的分布列为0123．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．因为，所以． 1分因为平面，平面，所以．又因为，所以平面． 3分因为点是中点，所以，且． 4分又因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面． 6分（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结，则，因为平面，平面，所以，所以． 7分因为，由（Ⅰ）知，又因为，所以，所以所以为正三角形，所以，因为平面，平面，所以．又因为，所以平面． 8分故两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．，，，所以，，， 9分设平面的法向量，则所以取，则， 10分设与平面所成的角为，则， 11分因为，所以，所以与平面所成角的大小为． 12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵椭圆的左顶点在圆上，∴又∵椭圆的一个焦点为，∴∴∴椭圆的方程为………………４分（Ⅱ）设，则直线与椭圆方程联立化简并整理得，∴，………………５分由题设知∴直线的方程为令得∴点………………７分………………９分（当且仅当即时等号成立）∴的面积存在最大值，最大值为1.………………12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ），由已知得，故，解得又，得，解得………………2分，所以当时，；当时，所以的单调区间递增区间为，递减区间为…………4分（Ⅱ）法一.由已知，及整理得，当时恒成立令，………………6分当时，；由（Ⅰ）知在上为增函数，又……8分所以存在使得，此时当时，；当时，所以…10分故整数的最大值为.………………12分法二.由已知，及整理得，令，