2021-2022学年高中数学第三章指数函数和对数函数1正整数指数函数学案北师大版必修1

正整数指数函数1．正整数指数函数及指数型函数正整数指数函数指数型函数条件a>0且a≠1自变量x定义域正整数集N＋实数集R解析式y＝axy＝kax，k∈R正整数指数函数有何特征？提示：①系数：ax的系数必须是1.②底数：a是大于0不等于1的常数．③指数：单个x在指数位置上．④定义域：正整数集N＋.2．正整数指数函数的图像(1)正整数指数函数的图像是由第一象限内的一些孤立的点构成的，是离散而不是连续的．(2)分布规律：①当0<a<1时，自左向右这些孤立的点是下降的；②当a>1时，自左向右这些孤立的点是上升的．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝1x，y＝－4x，y＝(－8)x都不是正整数指数函数．(√)提示：三个函数都不符合正整数指数函数的表示形式．(2)函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))eq\s\up12(x)(x∈N＋)的图像是一系列上升的点．(√)提示：底数大于1，所以函数是递增的．(3)函数y＝(a2－3a＋3)·ax(x∈N＋)是正整数指数函数，则a＝1或a＝2.(×)提示：由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1，,a>0且a≠1.))所以a＝2.2．已知函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)在[1，3]上的最大值为8，则a的值是________．【解析】由题意知a＞1，且a3＝8，解得a＝2.答案：23．(教材二次开发：P62例题)某细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个)，经过两个小时，1个这样的细胞可以分裂成________个细胞．【解析】2小时共分裂8次，所以共分裂成28个．答案：28(或256)类型一正整数指数函数的定义(数学抽象)1．下列函数中是正整数指数函数的是()A．y＝10x＋1(x∈N＋) B．y＝(－2)x(x∈N＋)C．y＝5·2x(x∈N＋) D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)(x∈N＋)【解析】选D.A中y＝10x＋1的指数为x＋1，而不是x，故不是正整数指数函数；B中y＝(－2)x的底数－2<0，故不是正整数指数函数；C中y＝5·2x的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；D中y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)符合正整数指数函数的定义．2．正整数指数函数的图像经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(16,9)))，则此函数的解析式为________．【解析】把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(16,9)))代入y＝ax(a>0，且a≠1)，得eq\f(16,9)＝a2，所以a＝eq\f(4,3)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(x)，x∈N＋.答案：y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(x)，x∈N＋判断一个函数是否是正整数指数函数的步骤一看形式：函数解析式为指数幂的形式，系数为1，且幂的底数为常数，此常数大于零且不为1，指数位置仅为x；二看定义域：x的取值为全体正整数．以上同时满足，函数就是正整数指数函数，只要有一条不满足，函数就不是正整数指数函数．提醒：注意正整数指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xa的区别．【补偿训练】下列函数哪些是正整数指数函数？哪些不是？为什么？(1)y＝4x(x∈N＋).(2)y＝x4(x∈N＋).(3)y＝－4x(x∈N＋).(4)y＝(－4)x(x∈N＋).(5)y＝xx(x∈N＋).(6)y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)，a≠1，x∈N＋)).【解析】(1)(6)是正整数指数函数，因为它们符合正整数指数函数的定义．(2)为幂函数．(3)中函数的系数为－1，不符合正整数指数函数的定义．(4)中函数的底数a＝－4<0，不符合正整数指数函数的定义．(5)中函数的底数是变量而不是常量，也不符合正整数指数函数的定义．类型二正整数指数函数的图像与性质(逻辑推理、直观想象)【典例】1.正整数指数函数y＝(a－1)x(x∈N＋)的值总大于1，则实数a的取值范围是()A．1<a<2B．a<1C．a>1D．a>2【思路导引】根据函数图像与直线y＝1的关系，求出参数的范围．【解析】选D.在y＝(a－1)x中，因为x∈N＋时，y>1，则必有a－1>1，所以a>2.2．已知0<a<1，则函数y＝ax－1(x∈N＋)的图像在第______象限．【思路导引】先作出y＝ax(x∈N＋)的图像，再平行向下移动1个单位，观察得出结论．【解析】y＝ax(0＜a＜1，x∈N＋)的图像在第一象限中x轴上方、直线y＝1下方的一个区域内，而y＝ax－1的图像是将y＝ax的图像向下平移1个单位，因此，图像在第四象限．答案：四3．画出函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．【思路导引】使用描点法画图像，注意函数的定义域是N＋.【解析】函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)(x∈N＋)的图像如图所示，从图像可知，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)(x∈N＋)是递减的．画正整数指数函数的图像的方法由于正整数指数函数的定义域是正整数集N＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来．提醒：研究正整数指数函数的图像和性质要注意分底数大于1和底数大于0小于1两类讨论．1．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，x∈N＋的图像是()A．一条上升的曲线 B．一条下降的曲线C．一系列上升的点 D．一系列下降的点【解析】选D.由于x∈N＋且底数为eq\f(1,2)，所以函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，x∈N＋的图像是一系列下降的点．2．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)在[1，3]上是增加的，且最大值与最小值的差为a，则a＝________．【解析】因为f(x)在[1，3]上是增加的，所以a>1，所以f(x)min＝f(1)＝a，f(x)max＝f(3)＝a3.所以a3－a＝a，即a(a2－2)＝0.又因为a>0，且a≠1，所以a＝eq\r(2).答案：eq\r(2)类型三正整数指数函数的应用(数学建模)角度1正整数指数函数在生活中的应用【典例】已知每天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全覆盖池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶已生长了()A．10天B．15天C．19天D．20天【思路导引】设荷叶覆盖水面初始面积为a，根据每天覆盖面积是前一天的2倍，20天完全覆盖水面，列出方程求解即可．【解析】选C.设荷叶覆盖水面的初始面积为a，设x天后荷叶覆盖水面的一半，因为每天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，所以x天后荷叶覆盖水面的面积为a·2x(x∈N＋)，又因为荷叶20天可以完全覆盖池塘水面，所以2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.角度2正整数指数函数在放射性问题中的应用【典例】已知镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1000年后镭的质量．【思路导引】由每一百年后剩留原来质量的95.76%，列出函数关系式．【解析】镭原来质量为20克，100年后镭的质量为20×95.76%(克)，200年后镭的质量为20×(95.76%)2(克)，300年后镭的质量为20×(95.76%)3(克)，……x百年后镭的质量为20×(95.76%)x，所以y与x之间的函数关系式为：y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)，所以经过1000年(即x＝10)后镭的质量为y＝20×(95.76%)10(克).本例条件不变，大约经过多少年镭的质量为原来的80%?【解析】设原来质量为1，经x年剩留质量为y，则y＝(95.76%)，列x与y的对应值表x200300400500600…y0.91700.87810.84090.80520.7711…观察表中数据y≈0.8时对应的x≈500，即大约经过500年镭的质量为原来的80%.实际生活中正整数指数函数的应用(1)正整数指数函数在实际生产、生活中具有广泛的应用，增长率问题、复利问题、细胞分裂问题、质量浓度等问题都与正整数指数函数相关．(2)求解实际应用问题的关键是仔细审题，把文字语言转化成数学语言进而建模，求解相应的数学模型，最后回归到实际问题．1．一个工厂计划2020年起，年产值在10年内翻两番，则其年平均增长率是()A．eq\f(4,10)B．eq\r(10,4)C．eq\r(10,4)－1D．eq\r(10,2)－1【解析】选C.设2019年底的总产量为a，年平均增长率为x，则4a＝a(1＋x)10，所以(1＋x)10＝4，所以x＝eq\r(10,4)－1(负值舍去).2．某林区2019年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的关系式，并求此函数的定义域．(2)作出函数y＝f(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．【解析】(1)现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2，所以经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.所以y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N＋).(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图像，如图所示．设直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的年数x的值．因为8<x0<9，则取x0＝9，所以经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．3．雾霾对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多，若某地从2015年到2019年间平均每年上升2%.若按这个增长率进行研究，设从2014年开始经过x(x∈N＋)年，患呼吸道疾病的人数为y万人，若2019年患病人数为11万人：(参考数据1.023≈1.06，1.025≈1.1)(1)试计算出2014年患呼吸道疾病的人数．(2)写出x，y之间的关系式，并计算2022年患呼吸道疾病的人数．【解析】(1)设2014年患病人数为a万人，则a(1＋2%)5≈11，即a×1.025≈11.因为1.025≈1.1，所以a≈10，所以2014年患呼吸道疾病的人数约10万人．(2)2015年患病的人数为10(1＋2%)，2016年患病的人数为10(1＋2%)＋10(1＋2%)×2%＝10(1＋2%)2，2017年患病的人数为10(1＋2%)2＋10(1＋2%)2×2%＝10(1＋2%)3；……x年后患病的人数为10(1＋2%)x.故y＝10(1＋2%)x＝10×1.02x(x∈N＋)，到2022年x＝8，故患病人数y≈10×1.028＝10×1.025×1.023≈10×1.1×1.06＝11.66(万人).所以2022年患呼吸道疾病的人数约11.66万人．【补偿训练】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式．(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人).(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)?【解析】(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3.x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人).(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x≈16.即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有()①底数a≥0；②指数x∈N＋；③底数不为0；④y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋).A．0个B．1个