高考数学二轮总复习专题过关检测5统计与概率

专题过关检测五统计与概率一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2023·新高考Ⅱ,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果有()A.C40045C200C.C40030C2002.已知随机变量X服从正态分布N(6,σ2)(σ>0),若P(X≥3)=0.8,则P(3≤X≤9)=()A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.83.某服装品牌市场部门为了研究销售情况,统计了一段时间内该品牌不同服装的单价x(单位:元)和销售额y(单位:元)的数据,整理得到下面的散点图.已知销售额y=单价x×销量z,根据散点图,下面四个经验回归方程类型中最适宜作为服装销量z与单价x的经验回归方程类型的是()A.z=a+bx B.z=a+bC.z=a+bx2 D.z=a+bex4.已知在盒中有大小、质地相同的红色、黄色、白色的球各4个,分别编号为1,2,3,4,现从中任意摸出4个球,则摸出白球个数的均值是()A.13 B.23 C.435.某高中学校统计了高一年级学生期中考试的数学成绩,将学生的成绩按照[50,75),[75,100),[100,125),[125,150]分成4组,制成如图所示的频率分布直方图.现用分层随机抽样的方法从[75,100),[125,150]这两组学生中选取5人,再从这5人中任选2人,则这2人的数学成绩不在同一组的概率为()A.15 B.25 C.126.京剧的角色主要分为“生”“旦”“净”“丑”四种,其中“净”和“丑”需要画脸谱,“生”“旦”只略施脂粉,俗称“素面”.现有男生甲、乙和女生丙共三名同学参加学校京剧社团的角色扮演体验活动,其中女生丙想扮旦角,男生甲想体验画脸谱的角色,若三人各自独立地从四个角色中随机抽选一个,则甲、丙至少有一人如愿且这三人中有人抽选到需要画脸谱的角色的概率为()A.38 B.916 C.347.(2023·辽宁营口期末)盒中有2个红球,3个黑球,2个白球,从中随机地取出一个球,观察其颜色后放回,并加入同色球1个,再从盒中抽取一球,则第二次抽出的是红球的概率是()A.27 B.728 C.378.如图所示,高尔顿钉板是一个关于概率的模型,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落,将随机地向两边等概率的下落,当有大量的小球都滚下时,最终在钉板下面不同位置收集到小球.若一个小球从正上方落下,落到3号位置的概率是()A.116 B.14 C.38二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.(2023·江苏南京、盐城一模)新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于21世纪初,近年来发展迅速,连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比(占我国汽车年总产量的比例)情况,则()2017~2022年我国新能源汽车年产量(单位:万辆)2017~2022年我国新能源汽车占比(单位:%)A.2017~2022年我国新能源汽车年产量逐年增加B.2017~2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆C.2022年我国汽车年总产量超过2700万辆D.2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量11.(2023·广东肇庆二模)随着春节的临近,小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡,这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福,则()A.小王和小张恰好互换了贺卡的概率为1B.已知在小王抽到的是小张写的贺卡的条件下,小张抽到小王写的贺卡的概率为1C.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为1D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为512.(2023·湖南师大附中一模)甲箱中有4个红球、2个白球和3个黑球,乙箱中有3个红球、3个白球和3个黑球,先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别以A1,A2和A3表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是()A.事件B与事件Ai(i=1,2,3)相互独立B.P(A1B)=8C.P(B)=1D.P(A2|B)=6三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若随机变量X~B(100,p),且E(X)=20,则D14X+3=14.某新学校高一、高二、高三共有学生1900名,为了解同学们对学校关于对管理的意见,计划采用分层随机抽样的方法,从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以23为公比的等比数列,则此学校高一年级的学生人数为.15.现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为X,则P(X=2)=,E(X)=.

16.(2023·山东聊城一模)某班共有50名学生,在期末考试中,小明因病未参加数学考试.参加考试的49名学生的数学成绩的方差为2.在评估数学成绩时,老师把小明的数学成绩按这49名学生的数学成绩的平均数来算,那么全班50名学生的数学成绩的标准差为.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表.机床品级合计一级品二级品甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)依据小概率值α=0.010的独立性检验,分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异.附:χ2=n(α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.82818.(12分)某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨的生活垃圾,数据统计如表所示(单位:吨).生活垃圾垃圾箱“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾5005050可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=450.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.注:s2=1n[(x1x)2+(x2x)2+…+(xnx)2],其中x为数据x1,x2,…,xn的平均数19.(12分)(2023·陕西西安模拟)某市为了传承发展中华优秀传统文化,组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛,竞赛奖励规则如下:得分在[70,80)内的学生获三等奖,得分在[80,90)内的学生获二等奖,得分在[90,100]内的学生获一等奖,其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况,随机抽取100名学生的竞赛成绩,并以此为样本绘制了样本频率分布直方图,如图所示.(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率;(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中σ≈15,μ为样本平均数的估计值,利用所得正态分布模型解决以下问题(各组数据用区间的中点值代替):①若该市共有10000名学生参加了竞赛,试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到整数);②若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行访谈,设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为Y,求随机变量Y的分布列和均值.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.20.(12分)(2023·北京海淀一模)网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查,从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户,分别记为A组和B组,这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下.A组891113151718262930B组5121421242728333539假设用频率估计概率,且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户,估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率;(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户,记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X,估计X的均值E(X);(3)从A组和B组中分别随机抽取2户家庭,记Y1为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数,Y2为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数,比较方差D(Y1)与D(Y2)的大小.21.(12分)某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计,结果如下表.年份20182019202020212022年份代码x12345使用扫码支付的人次y/万人512161921(1)观察数据发现,使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式:y=c+dlnx,通过散点图(图略)可以发现y与x之间具有相关性.设ω=lnx,利用ω与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的经验回归方程,并估计2023年该商场使用扫码支付的人次;(2)为提升销售业绩,该商场近期推出两种付款方案.方案一,使用现金支付,每满200元可参加1次抽奖活动,抽奖方法如下:在抽奖箱里有8个形状、大小完全相同的小球(其中红球有3个,黑球有5个),顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球,若摸出3个红球,则打7折;若摸出2个红球,则打8折,其他情况不打折.方案二,使用扫码支付,此时系统自动对购物的顾客随机优惠,据统计可知,采用扫码支付时有18的概率享受8折优惠,有38的概率享受9折优惠,有1若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.①求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与均值;②试比较小张选择方案一与方案二付款,哪个方案更划算?附:对于一组具有线性相关关系的数据(t1,y1),(t2,y2),(t3,y3),…,(tn,yn),其经验回归方程为y^=b相关数据:ω≈0.96,∑i=15ωi2≈6.2,∑i=15ωiyi≈86,ln6≈22.(12分)(2023·新高考Ⅰ,21)甲乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(∑i=1nXi)=∑i=1nqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求专题过关检测五统计与概率一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.D解析由题意,初中部和高中部总共有400+200=600(人),按照分层随机抽样的原理,应从初中部抽取400600×60=40(人),从高中部抽取200600×第一步,从初中部抽取40人,有C40040种方法,第二步,从高中部抽取20人,有根据分步乘法计数原理,一共有C40040C2002.C解析因为X服从正态分布N(6,σ2)(σ>0),P(X≥3)=0.8,所以P(X>9)=P(X<3)=1P(X≥3)=0.2,所以P(3≤X≤9)=1P(X<3)P(X>9)=0.6.3.B解析由题中散点图可知,y与x成线性相关,设经验回归方程为y=m+kx,由题意z=yx,所以z=mx+k4.C解析设摸出的白球的个数为X,则X=0,1,2,3,4,所以P(X=0)=C84C124=1499,P(X=1)=CP(X=3)=C43C81C12所以摸出白球个数的均值是E(X)=0×1499+1×224495+2×1684955.D解析由题意可知,数学成绩在[75,100)的学生的频率为0.012×25=0.3,数学成绩在[125,150]的学生的频率为0.008×25=0.2.用分层随机抽样的方法从[75,100),[125,150]这两组学生中选取5人,则其中有3人的成绩在[75,100),有2人的成绩在[125,150],从这5人中任选2人,其中这2人成绩不在同一组的概率P=C6.B解析三人选角的不同结果共43种,若甲如愿,则已满足题意,故乙、丙可随机选择,此时共2×42=32种;若甲未如愿,则丙必选旦角,则甲选生角或旦角,乙只能选净角或丑角,共2×1×2=4种.所求概率为32+47.A解析从盒中任取1球,是红球记为A1,是黑球记为A2,是白球记为A3,则A1,A2,A3彼此互斥,设第二次抽出的是红球记为事件B,则P(A1)=27,P(A2)=37,P(A3)=27,P(B|A1)=38,P(B|A2)=14,P(B|A3)=14,P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P8.C解析记一个小球从正上方落下,落到3号位置的事件为M,一个小球从正上方落下,落到3号位置,需要4次碰撞中有2次向左、2次向右,则一个小球从正上方落下落到3号位置的概率为P(M)=C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.CD解析x=1n∑i=1nxi,y=1n∑i=1nxi+nc=x+c,故A错误;两组样本数据的样本中位数相差c,故B错误;sx2=1n∑i=1n(xix)2,sy2=1n∑i=1n10.BCD解析对于A选项,由题图可知,从2018年到2019年,我国新能源汽车年产量在下降,A错误;对于B选项,2017~2022年我国新能源汽车年产量的极差为705.879.4=626.4万辆,B正确;对于C选项,2022年我国汽车年总产量约为705.80.256≈2757万辆,C正确;对于D选项,2019年我国汽车年总产量为124.20.04811.BC解析对于A,四个人每人从中随机抽取一张共有C41C31C21种抽法,其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有C21种,故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为C21C41C31C21=112,A错误;对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A,则P(A)=C312.BD解析由题意知P(A1)=49,P(A2)=29,P(A3)=39=13.若A1先发生,则乙袋中有4个红球、3个白球、3个黑球,P(B|A1)=410=25;若A2先发生,则乙袋中有3个红球、4个白球、3个黑球,P(B|A2)=310;若A3先发生,则乙袋中有3个红球、3个白球、4个黑球,P(B|A3)=310.P(A1B)=P(B|A1)P(A1)=25×49=845,故B正确;P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=310×29=115,P(A3B)=P(B|A3)P(A3)=310×13=110,所以P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.1解析因为X~B(100,p),所以E(X)=100p=20,解得p=15,所以D(X)=100p(1p)=100×15×45=16.故D14X+3=14.900解析因为高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以23为公比的等比数列,设从高二年级抽取的学生人数为x,则从高一、高三年级抽取的人数分别为32x,2由题意可得32x+x+23x=38,所以x=12,故32设我校高一年级的学生人数为n,再根据381900=18n15.1635127所以P(X=2)=C由已知可得X的取值有1,2,3,4,P(X=1)=C6P(X=2)=1635P(X=3)=C3P(X=4)=1C所以E(X)=1×1535+2×1635+316.75解析设参加考试的49名学生的数学成绩为xi(i=1,2,3,…,49),平均成绩为x,小明的数学成绩为x由题意得∑i=1∑四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解(1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为150200乙机床生产的产品中一级品的频率为120(2)零假设为H0:甲机床的产品质量与乙机床的产品质量没有差异.χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c依据小概率值α=0.010的独立性检验,推断H0不成立,即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.解(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A表示生活垃圾投放正确.事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量总和除以生活垃圾总量,即P(A)=500+240+601000=0.8,所以P(A)=10.8=0.2(3)当a=450,b=c=0时,s2取得最大值.因为x=13(a+b+c)=150,所以s2=13×[(450150)2+(0150)2+(0150)19.解(1)由样本频率分布直方图得,样本中获一等奖的有6人,获二等奖的有8人,获三等奖的有16人,共有30人获奖,70人没有获奖.从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩,样本点的总数为C100设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A,则事件A包含的样本点的个数为C70所以P(A)=C70即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为14(2)由样本频率分布直方图得,样本平均数的估计值μ=35×0.006×10+45×0.012×10+55×0.018×10+65×0.034×10+75×0.016×10+85×0.008×10+95×0.006×10=64,则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(64,152).①因为μ+σ=79,所以P(X>79)≈1-0.6827故参赛学生中成绩超过79分的学生数为0.15865×10000≈1587.②由μ=64,得P(X>64)=12即从所有参赛学生中随机抽取1名学生,该学生竞赛成绩在64分以上的概率为1所以Y~B(3,12所以P(Y=0)=C30×(12)P(Y=1)=C31×(12)P(Y=2)=C32×(12)P(Y=3)=C33×(12所以随机变量Y的分布列为Y0123P1331均值E(Y)=0×18+1×38+220.解(1)设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件C,在A组10户中超过20次的有3户,由样本频率估计总体概率,则P(C)=3(2)由样本频率估计总体概率,一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20的概率为310,二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20的概率为X的可能取值为0,1,2,所以P(X=0)=(1310)