(完整)初二数学-面积法解题

种一…种一…1-rinrntinn常熟市景航教育信息咨询有限公司ChangshuWonderfulSailingEducationCo.,Ltd初二数学…面积法解题【本讲教育信息】【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题【教学目标】使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。培养学生分析问题、解决问题的能力。【重点、难点】：重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。难点：灵活运用所学知识证明面积问题。【教学过程】（一）证明面积问题常用的理论依据5.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。5.14141—。4三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。（二）证明面积问题常用的证题思路和方法分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。还可以利用面积解决其它问题。【典型例题】（一）怎样证明面积问题分解法例1.从4ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF,各与对边或延长线交于D、E、F,求证：4DEF的面积=24ABC的面积。B D C分析：从图形上观察，^DEF可分为三部分，其中①是^ADE，它与4ADB同底等〜〜,一1-rinrntinn常熟市景航教育信息咨询有限公司ChangshuWonderfulSailingEducationCo.,Ltd高，故S=SAADE AADB②二是△ADF,和上面一样，S=SAADF AADC③三是△AEF,只要再证出它与4ABC的面积相等即可由S△CFE-S△CFB故可得出Saaef=Saabc△△证明：•「AD//BE//CF?.△ADB和4ADE同底等高，S△ADB-S△ADE同理可证：S =S：△ADC △ADF,•S△ABC—0△ADE+SaADFWS=S△CEF △CBF，S△ABC-S△AEF,'S△aef+S△ade+S△adf_2S△abc*Sn口口=2S△DEF △ABC作平行线法例2.已知：在梯形ABCD中，DC/AB,M为腰BC上的中点1求证：S=SAADM2ABCDS=S+SAAMD ADMN AAMN2证明：过M作S=S+SAAMD ADMN AAMN2证明：过M作MN//ABVM为腰BC的中点・•・MN是梯形的中位线设梯形的高为hDC+ABMN= 2ABCD2则S =MN•hABCD1又®S=S+S=MN-hAAMD AAMN AMND 21:.S=SAADM 2ABCD（二）用面积法解几何问题有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：

性质1：等底等高的三角形面积相等性质2：同底等高的三角形面积相等性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比1.证线段之积相等例3.设AD、BE和CF是^ABC的三条高，求证：AD•BC=BE•AC=CF•ABAA分析：分析：B DC从结论可看出，AD、BE、CF分别是BC、AC、AB三边上的高，故可联想到可用面积法。证明：•「AD、BE、CF是^ABC的三条高c AD-BCBE-ACCF-AB:.S= = = aabc 2 2 2...AD-BC=BE-AC=CF-ABF分析：因为AB//DF,所以AABF与AABC是同底AB和等高的两个三角形，所以这两个三角形的面积相等。证明：连结AC「CF//ABS=S=1SAABF AABC 2平行四边形ABCD又「CE//AD1...S =S =SAADE AACD2平行四边形ABCD:.S =SAABF AADE3.证线段之和例5.已知△ABC中，AB=AC,P为底边BC上任一点，PE±AB,PF±AC,BH±AC,求证：PE+PF=BHABP C分析：已知有垂线，就可看作三角形的高，连结AP,则11S=S+S=AB-PE+-AC-PFAABC AABP AAPC221又由AB=AC,所以S=AC-(PE+PF)AABC21又S =AC-BHAABC2故PE+PF=BH证明：连结AP,则S=S+SAABC AABP AAPCVAB=AC,PE±AB,PF±AC111S=AB-PE+-AC-PF=-AC-(PE+PF)AABC2 2 2XVBHXAC1...S=AC-BHAABC211：.—AC-(PE+PF)=AC-BH2 2.\PE+PF=BH4.证角平分线例6.在平行四边形ABCD的两边AD、CD上各取一点F、E,使AE=CF,连AE、CF交于P,求证：BP平分NAPC。D E C分析：要证BP平分NAPC,我们可以考虑，只要能证出B点到PA、PC的距离相等即可，也就是△ABE和4BFC的高相等即可，又由已知AE=FC可联想到三角形的面积，因此只要证出Sx=S®F即可△ABE一SAABC，S△BFC-S△ABC所以SaABF=SABfc，因此问题便得解。△ABE △BFC

证明：连结AC、BE、BF•・•四边形ABCD是平行四边形*，S△ABE-S△ABCSS△BFC △ABC*SS△ABE △BFCXVAE=CF而^ABE和^BFC的底分别是AE、CF.二△ABE和^BFC的高也相等即B至UPA、PC的距离相等*B点在NAPC的平分线上APB平分NAPC【模拟试题】（答题时间：25分钟）连结AF、AE,求证：S△1.在平行四边形ABCD中，E连结AF、AE,求证：S△=SABE △ADF2.在梯形2.在梯形ABCD中，DC//AB,M为腰BC上的中点，求证:S=S+SAADM ADCM AABM111+ 二——Rt△ABCRt△ABC中，NACB=90°,a、b为两直角边，斜边AB上的高为h,求证：a2b2h24.已知：E、F为四边形ABCD的边AB的三等分点，G、H为边DC的三等分点，求证:1S=SEFGH3ABCD种一…种一…1-rinrntinn常熟市景航教育信息咨询有限公司ChangshuWonderfulSailingEducationCo.,LtdCE_15.在^ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且AC3,CD和BE交于G,求△ABC和四边形ADGE的面积比。〜〜,一1-rinrntinn常熟市景航教育信息咨询有限公司ChangshuWonderfulSailingEducationCo.,Ltd【试题答案】.证明：连结AC，则SAABC=SAADC又VE、F分别为BC、CD的中点1...S=SSKADF:.SAABEAABESKADF:.SAABE2AADC二SAADF.证明：过M作MN//DC//ABVVM为腰BC上的中点.,.△DCM和^ABM的高相等，设为h1:.S +SADCM AABM:.S +SADCM AABM1,1,=DC-h+AB-h121=_(DC+AB)-勺又V^DMN与^AMN的高也为h1...S=S+SAADM ADMN AAMN12=1MN.h+1MN.12=1MN(h+h)2 1 1=MN•h1VMN为梯形的中位线1，，一、MN=-(AB+CD).•・2...S=S+SCDXCDXAB.证明：V在Rt^ABC中，NACB=9011/.S =ab=AB-hAABC2 2.ab=AB•h:.a2b2=AB2-h2=(a2+b2)-h2.两边同时除以a2+b2得：1 1 1—十——=—a2b2h2.证明：连结FD、FG、FC

DFCMBDFCM1S—S则由已知可得AFGH 3ADFC:.SAEFG1=2EF(h+a)®SAAFD+SABFC11=—AF•h+—BF•(h+3a)22:.SAEFG1=2EF(h+a)®SAAFD+SABFC11=—AF•h+—BF•(h+3a)2213EF•h+—EF•h+—EF•a233—EF•h+—EF•a113(—EF•h+-EF2 213•2EF•(h+a)3SAEFGS即AEFG—-(S3AAFD+SABFC)1S—-S①+②得：EFGH3ABCD.证明：作DF〃AC交BE于F可得