2025年中考数学思想方法复习【数形结合】数轴中的数形结合思想（原卷版）

数轴中的数形结合思想

知识方法精讲

1.数轴

(1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的三要素：原点，单位长度，正方向.

(2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理

数.(一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.)

(3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大.

2.绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母。表示有理数，则数。绝对值要由字母。本身的取值来确定：

①当。是正有理数时，。的绝对值是它本身a；

②当。是负有理数时，。的绝对值是它的相反数-a；

③当。是零时，。的绝对值是零.

即同={a(a>0)0(a—0)-a(a<0)

3.非负数的性质：绝对值

在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则

其中的每一项都必须等于0.

根据上述的性质可列出方程求出未知数的值.

4.有理数大小比较

(1)有理数的大小比较

比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序(在数轴上表示

的两个有理数，右边的数总比左边的数大)；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小,

利用绝对值比较两个负数的大小.

(2)有理数大小比较的法则：

①正数都大于0；

②负数都小于0；

③正数大于一切负数；

④两个负数，绝对值大的其值反而小.

【规律方法】有理数大小比较的三种方法

I.法则比较：正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.两个负数比较大小，绝对

值大的反而小.

2.数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.

3.作差比较：

若a-6>0,则a>b；

若a-b<0,贝Ua<b；

若a-b=0,则a—b.

5.实数与数轴

(1)实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴

上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.

(2)在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数。

的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

(3)利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左

边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

6.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

(1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字

与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式.

(2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

7.两点间的距离

(1)两点间的距离

连接两点间的线段的长度叫两点间的距离.

(2)平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，

注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图

形.线段的长度才是两点的距离.可以说画线段，但不能说画距离.

8.数形结合思想

1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直

观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用

了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

2.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问

题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）

函数与图象的对应关系；（3）线与方程的对应关系；（4）所给的等式或代数式的结构含有

明显的几何意义。如等式。

3.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形

结合的重点是研究“以形助数

4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、

最值问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理,

大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要

争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。

选择题（共11小题）

1.（2021秋•七星关区期末）如图，数轴上的两点/、B表示的数分别为a、b,下列结

论正确的是（）

A,.F..

a-10b1

A.a+b>0B.b—a<0C.ab>0D.—<0

b

2.（2020秋•江津区期末）有理数a,b,。在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各

式正确的个数是（）

①abc<0；

②。-6+。<0；

③叫回+回=3；

abc

@\a-b\-\b+c\+\a-c\=2a.

bc0a

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2021秋•都江堰市期中）如图，在数轴上，已知点尸表示的数为-3,则点尸到原点的

距离是（）

P0

A.-3B.3C.--D.-

33

4.（2021秋•瑞安市期中）如图，数轴上点/表示的数是1,点。分别位于点4两侧，

且到点N的距离相等.若点3表示的数是后，则点。表示的数是（）

—Q_?__4——S__>

A.-V2B.V2-1C.2-V2D.及-2

5.（2021秋•义乌市期中）正方形/2C。在数轴上的位置如图所示，点。、/对应的数分

别为0和1,若正方形/BCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点3所

对应的数为2；则翻转2021次后，数轴上数2021所对应的点是（）

Cl——|B

IIII1Al।।.

-4-3-2-101234

A.点/B.点BC.点CD.点。

6.（2021秋•金水区校级期中）数Q,b,c在数轴上的位置如图所示.化简：

21b-q|c-61+1a+61等于（）

"?:1b~~0I*~2^

A.3。—2Z?+cB.—ci+2Z?+cC.—。+46—cD.3。—c

7.（2020秋•建平县期末）实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|>|b|,则化

简历+|。+6|的结果为（）

♦J-----1•-------->

F40b

A.2a+bB.-2a-bC.bD.2a-b

8.（2021秋•山亭区期中）实数a、6在数轴上对应点的位置如图所示，化简|。|-河77

的结果是（）

~0b

A.-2a+bB.2a-bC.-bD.b

9.（2021秋•梁子湖区期中）已知C<a<0<c,代数式16H6-。|+|°-（一|。+回的值等

于（）

A.c-a-bB.b+c-aC.a+c-bD.a+b+c

10.（2021秋•嵯帽区期末）有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式

|a-61-1〃+611b-c|的结果是（）

♦••・今

abo2

A.2a-b+cB.b—cC.b+cD.-b-c

11.（2021秋•五常市期末）有理数a、6在数轴上的位置如图所示，则化简6|+。的结

果为（）

-a0b>

A.bB.-bC.—2a—bD.2a—b

—.填空题（共2小题）

12.（2021秋•西城区期末）线段/8=6,C为线段N3的中点，点。在直线上，若

BD=3AC,贝!|CD=.

13.（2021秋•金水区校级期中）已知有理数0、6在数轴上的对应点位置如图所示，请化

简：\a\+\a+b\-2\a-b\=.

a,b,

・,---------大・-----1------>

-101

三.解答题（共10小题）

14.（2021秋•长丰县期末）如图，A,B,尸三点在数轴上，点/对应的数为多项式

3/一2%+1中一次项的系数，点8对应的数为单项式5〃//的次数，点？对应的数为x.

（1）请直接写出点/和点B在数轴上对应的数.

（2）请求出点尸对应的数x,使得尸点到/点，3点距离和为10.

（3）若点P在原点，点3和点尸同时向右运动，它们的速度分别为1,4个长度单位/分钟，

则第几分钟时，A,B,尸三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？

15.（2021秋•江夏区期末）如图，在数轴上有4,2两点，其中点/在点8的左侧，已知

点B对应的数为4,点A对应的数为0.

（1）^a=2x（l-l）xA^2x72,则线段N3的长为（直接写出结果）.

663145

（2）若点C在射线上（不与4,3重合），且2/C-33c=6,求点C对应的数（结

果用含“的式子表示）.

（3）若点M在线段之间，点N在点/的左侧（M、N均不与/、2重合），且

AM-BM=1.当处=3,=时.求“的值.

AN

---------------------------------B-^

5

备用图

16.（2021秋•西城区校级期中）我们知道，|a|的几何意义是：在数轴上数。对应的点到

原点的距离，类似的，|x-y|的几何意义就是：数轴上数x,y对应点之间的距离.比如：

2和5两点之间的距离可以用|2-51表示，通过计算可以得到他们的距离是3.

（1）数轴上1和-3两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离

是—.

（2）数轴上表示x和-3的两点/、3之间的距离可以表示为N8=；如果N3=2,结

合几何意义，那么x的值为—；

（3）代数式住-1|+|》+2|表示的几何意义是—,该代数式的最小值是—.

-5-4-3-2-10123456

17.（2021秋•魏都区校级期中）已知有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，化简:

|a-l|-|c-/?|+|/）-l|+|-l-c|.

-10bI

18.（2021秋•滕州市期中）送货员开着货车从超市出发，向东走了4千米到达小刚家，继

续走了2千米到达小明家，然后向西走了10千米到达小芳家，最后回到超市.

（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，小芳家在超市

的一方，距超市一千米，请在数轴上表示出小明家、小芳家的位置.

I1111111111111A

-7-6-5-4-3-2-10123456

（2）小刚家距小芳家一千米.

（3）若送货车每千米耗油0.15升，每升汽油6元，请问货车全程油耗多少元？

19.（2021秋•运城期中）已知6是最小的正整数，且a,b,c满足（c-6）2+|a+b|=0,

请回答下列问题：

（1）请直接写出a,b,c的值，a=,b=,c=.

（2）如图a,b,c在数轴上所对应的点分别为4,B,C,点尸为一动点，其对应的数

为x,当点P在N,3之间运动时，请化简式子：|x+l|-|x-l|-|x+5］；（请写出化简过

程）

（3）在（1）和（2）的条件下，若点/以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点C

以每秒1个单位长度向右运动，假设经过I秒，点3与点C之间的距离为2C,点/与点2

之间的距离为48,贝U&C=,AB=,并求出8C-4S的值.

A0BC

20.（2021秋•青岛期中）同学们，学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数

的范围，这说明我们的知识越来越丰富了.可是，无理数究竟是一个什么样的数呢？下面让

我们在几个具体的图形中认识一下无理数.

（1）如图①是一个直角边长为2的等腰直角三角形，它的面积是2,把它沿着斜边

的高线剪开拼成如图②的正方形/皿C,则这个正方形的面积也就等于等腰直角三角形的

（2）如图，直径为1个单位长度的圆从原点。沿数轴向右滚动一周，圆上的一点（滚动时

与点。重合）由原点到达点则的长度就等于圆的周长万，所以数轴上点。，代表的

实数就是—,它是一个无理数.

（3）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,根据已知可求得48=,它

是一个无理数.好了，相信大家对无理数是不是有了更具体的认识了，那么你分别在①②图

形中作出两个无理数吧:

①你能在6x8的网格图中（每个小正方形边长均为1）,画出一条长为痴的线段吗？

②学习了实数后，我们知道数轴上的点与实数