2025年中考数学热点题型专项训练：圆的证明与计算（原卷版）

专题05圆的证明与计算

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01隐圆模型......................................................................................1

题型02圆与相似.....................................................................................3

题型03圆与全等.....................................................................................5

题型04圆的计算.....................................................................................6

中考练场.............................................................................................9

热点题型归纳

题型01隐圆模型

【解题策略】

定点定长的隐圆定弦定角的隐圆对角互补的隐圆

点A为定点，点B为动点，且AB若线段AB的长度及其所对的N

若四边形ABCD对角互补则A、B、C、

长度固定则点B的轨迹是以点AACB的大小不变，则点C的运动轨

D四点共圆。

为圆心，AB长为半径的圆。迹是以AB为弦的圆。

【典例分析】

例1.（2023•浙江•中考真题）如图，在四边形/BCD中，AD//BC,ZC=45°,以NB为腰作等腰直角三角形A4E,顶

点E恰好落在CD边上，若AD=1,则CE的长是（）

A.J2B.—C.2D.1

2

例2.（2023•山东泰安・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，RtZik/08的一条直角边08在x轴上，点N的坐标为

（-6,4）；RtACO。中，ZCOD=90°,OD=473,ZD=30°,连接3C,点M是2C中点，连接将RMC。。以点。

为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（）

A.3B.6后-4C.2713-2D.2

【变式演练】

1.（23-24九年级上•湖北武汉•模拟训练）如图，已知等边的边长为10,点P是43边上的一个动点（与点/、

8不重合）.直线/是经过点尸的一条直线，把。8C沿直线/折叠，点8的对应点是点".当P8=8时，在直线/变

化过程中，则△NCQ面积的最大值为.

2.（2022•湖北武汉•三模）在AABC中，ABAC=60°,BC=26，点D为AC上一动点、,AB=2CD,则的最小值

是.

3.（2023・陕西咸阳•一模）如图，在Y43CD中，=/。=6,点尸在YN8CO内运动，连接P4PB,PC,若

AAPB=ZABC=60°,则PA+PC的最大值为.

4.（2023・广东深圳•模拟预测）如图，在矩形48co中，4B=3,BC=4,E为边BC上一动点，F为4E中点、,G为

DE上一点、,BF=FG,则CG的最小值为.

题型02圆与相似

【解题策略】

对于面写i似植绪书的藤杳词函「廨蔻轩荽汪熹豌察丁芬桥面形「把复系的画形芬廨成冗不算床1形厂通过添加

辅助线补全或构造基本图形

i丽芬而

例.（2023•湖北黄石・中考真题）如图，48为OO的直径，D4和OO相交于点尸，ZC平分ND48,点C在。。上，

且CD_LZM,4c交BF于点、P.

D

⑴求证：co是。。的切线;

⑵求证：ACPC=BC2;

AF

(3)已知BO?=3尸PDC,求——的值.

AB

【变式演练】

1.(2023・湖南湘西•二模)如图，是。。的直径，点C,。在。。上，4D平分NC4B,交BC于点E,连接50.

(1)求证：△BED~AABD.

3

(2)当tanN/3C=w，且/3=10时，求线段的长.

(3)点G为线段/E上一点，且3G平分/ABC,若GE=母,BG=3,求CE的长.

2.(2024•陕西西安•一模)如图，是。。的直径，点。在直径48上(。与42不重合)，CD_LN3且CD=,

连接C5,与。。交于点尸，在CD上取一点E,使E尸与O。相切.

(1)求证：EF=EC；

⑵若。是CM的中点，AB=4,求3尸的长.

题型03圆与全等

【解题策略】

对于圆与全等相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加

辅助线补全或构造基本图形

【典例分析】

例.(2023•湖北襄阳•中考真题)如图，在中，AB=AC,。是8C的中点，。。与N2相切于点。，与8C交于

点、E,F,DG是。。的直径，弦GF的延长线交/C于点且GC.

(1)求证：/C是。。的切线；

(2)若。石=2,GH=3,求5R的长/.

【变式演练】

1.(2023•广东汕头•一模)如图，内接于OO.48是直径，过点A作直线血W,且是。。的切线.

(1)求证：ZMAC=ZABC.

(2)设。是弧/C的中点，连接8。交/C于点G,过点、D作DEJ./B于点、E,交4c于点F.

①求证：FD=FG.

②若BC=3,48=5,试求NE的长.

2.(2022•安徽•模拟预测)如图，。。中两条弦NO,BC互相垂直，垂足为H,M为的中点，连接W并延长交

CD于点N.

⑴求证：MNLCD；

⑵连接OM,求察的值.

题型04圆的计算

【解题策略】

对于圆的计算的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线

补全或构造基本图形

【典例分析】

例.（2023•辽宁丹东•中考真题）如图，已知48是。。的直径，8。是。。的弦，点P是。。外的一点，PC,垂

足为点C,尸C与2D相交于点E,连接尸且PD=PE,延长尸。交8/的延长线于点尸.

（1）求证：尸。是。。的切线;

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(2)若。尸=4,PE、,COSZPFC=-,求成的长.

【变式演练】

1.（2023•天津河东•一模）如图，48为OO的切线，C为切点，。是O。上一点,过点。作。尸_L48,垂足为尸，DF

交。。于点E.

图（2

（1）如图①，若/。=34。，求/DE。的度数;

（2）如图②，连接并延长交G。于点G,连接CG,OD,若NDOE=2NCGE,的半径为5,求CG的长.

2.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，48为。。的直径，点。为。。上一点，过点8作。O切线交4D延长线于

点C,CE平分2/C3,CE,BD交于F.

A

(1)求证：BE=BF■,

(2)若。。半径为2,sin,求。尸的长度.

3.(2024•陕西西安•一模)如图，/£是。。的直径，弦CB与AE交于■点、F,过点/的切线交C5的延长线于点。，点

3是。尸的中点.

(1)求证：AAFB=ZC；

(2)若OO的半径为4,48=5,求上\

4.(2024•陕西西安•模拟预测)如图，在。中，AB=AC,以48为直径的交2c于点。，过点。作。。的切

线DE,交ZC于点£,NC的反向延长线交。。于点厂.

F

（1）求证：DEIAC,

（2）若N£+D£=12,。。的半径为10,求"的长度.

中考练场

3

1.（2023•湖北鄂州•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，OA=OB=3y/5,点C为平面内一动点，BC=-,

连接ZC,点M是线段/C上的一点，且满足CM:九伍=1:2.当线段（W取最大值时，点"的坐标是（）

2.（2023•四川宜宾•中考真题）如图，A/BC和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把“DE以A为中心

顺时针旋转，点〃为射线BD、CE的交点.若AB=6AD=1.以下结论：

①BD=CE；②BDLCE；

③当点E在加的延长线上时，儿幻=三心；

2

④在旋转过程中，当线段也最短时，AAEC的面积为;.

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2023•内蒙古•中考真题）如图，是。。的直径，£为。。上的一点，点C是淞的中点，连接5C,过点C的

直线垂直于5E的延长线于点。，交加的延长线于点P.

⑴求证：尸C为。。的切线；

（2）若尸C=2岳O，PB=10,求BE的长.

4.（2023•内蒙古通辽•中考真题）如图，AB为OO的直径,，E是。。上的两点，延长N8至点C,连接CO,ZBDC=ZA.

(1)求证：AACDSADCB；

⑵求证：co是。。的切线；

3

(3)若tan£=g,ZC=10,求。。的半径.

5.(2023•内蒙古赤峰•中考真题)如图，是。。的直径，C是O。上一点过点。作