2025年中考数学热点题型专项训练：四边形的证明与计算（解析版）

专题04四边形的证明与计算

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01四边形与全等.................................................................................1

题型02四边形与相似.................................................................................7

题型03四边形边角计算..............................................................................17

中考练场............................................................................................35

热点题型归纳

题型01四边形与全等

【解题策略】

六个全等模型

c

直角一线三等角

两个正方形等边三角形含半角（/8DC-120

手拉手模型

【典例分析】

例1.（2023・内蒙古・中考真题）如图，在菱形/BCD中，对角线/C,8。相交于点。，点尸，。分别是边2C,线段OD

上的点，连接/尸,0尸,/尸与相交于点£.

（1）如图1,连接。当。/=。尸时，试判断点。是否在线段尸C的垂直平分线上，并说明理由；

（2）如图2,若/4PB=90。，且ZBAP=ZADB,

①求证：AE=2EP；

②当时，设EP=a,求尸。的长（用含。的代数式表示）.

【答案】（1）点。在线段尸。的垂直平分线上（2）①证明见解析，②PQ=。

【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；

（2）①根据菱形的性质得出再由各角之间的关系得出NB4P=/AB£>=/CAD=30。，由含30度

角的直角三角形的性质求解即可；③连接QC.利用等边三角形的判定和性质得出/E=2a,/尸=3°,再由正切函数及

全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可.

【详解】（1）解：如图，点。在线段尸C的垂直平分线上.

理由如下：连接OC.

•.•四边形/BCD是菱形，对角线ZC5D相交于点O,

：.BDLAC,OA=OC

：.QA=QC.

vQA=QP,

:QC=QP,

・••点Q在线段PC的垂直平分线上.

(2)①证明：如图，•・•四边形/8CD是菱形,

/.AB=BC=CD=DA,

/./ABD=ZADB,/CBD=ZCDB,

•:BDLAC,

:.ZADO=ZCDOf

ZABD=ZCBD=ZADO.

•••/BAP=ZADB,

/./BAP=AABD=ZCBD.

/.AE=BE,

•;N4PB=90。,

.\ZBAP+ZASP=90°,

Z.BAP=ZABD=ZCBD=30°.

在R3BPE中，•・•/EPB=90°,ZPBE=30°,

:.EP=-BE.

2

•・•AE=BE.

:.EP=-AE,

2

/.AE=2EP；

A

C

②如图，连接。c.

•・•AB=BC,ZABC=60°,

・・・△/BC是等边三角形.

/APB=90。，

：.BP=CP,EP=a,

AE=2a,AP=3a

在中，ZAPB=90°f

vtmZABP=—石

BP3

BP=JJQ.

CP=BP=y/3a

•：AO=CO,ZAOE=ZCOQ,OE=OQ,

:20E经XCOQ,

/.AE=CQ=2a,ZEA0=ZQCO.

/.AE//CQ,

ZAPB=90°,

ZQCP=90°.

在Rt△尸C0中，ZQCP=90°,

由勾股定理得尸。2=尸。2+。。2,

Pg2=(V3a)2+(2a)2=7a2

PQ=.

【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解

题意，综合运用这些知识点是解题关键.

例2.（2023•黑龙江哈尔滨•中考真题）已知四边形/8CD是平行四边形，点E在对角线BD上，点厂在边8C上，连接

AE,EF,DE=BF,BE—BC.

（1）如图①，求证△4ED四ZkEFB;

（2）如图②，若”AE#ED,过点C作C"〃/£交BE于点H,在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②

中四个角（/A4E除外），使写出的每个角都与NA4E相等.

【答案】（1）见解析；Q）/BEA=NEFC=/DCH=/DHC=/BAE,理由见解析.

【分析】（1）由平行四边形的性质得==BC//AD,进而有乙4。£=NEAF,从而利用“S即可证明结论

成立；

(2)先证四边形48。是菱形，得AB=BC=BE=CD=AD,又证丝ACD〃(AAS),得

/BAE=NDCH=/BEA=/DHC,由(1)得A4ED0AEFB(SAS)得NAED=NEFB,根据等角的补角相等即可证明.

【详解】(1)证明：••,四边形/BCD是平行四边形，BE=BC

：.AD=BC=BE,BC//AD,

,NADE=NEBF,

'：DE=BF,/LADE=NEBF,AD=BE

：."ED为EFB(SAS)；

(2)解：ZBEA=ZEFC=ZDCH=ZDHC=ZBAE,理由如下：

,/AB=AD,四边形48co是平行四边形，

二四边形ABCD是菱形，BC//AD,AB//CD

AB=BC=BE—CD—AD,Z.ADE=Z.EBF,NABE=/CDH,

/BEA=NBAE,

CH//AE,

:・NBEA=NDHC,

:.八ABE也△CQ〃(AAS),

：.NBAE=NDCH=NBEA=ZDHC,

由(1)得AAED知EFB(SAS),

：.ZAED=/EFB,

・.・ZAED+NBEA=NEFB+ZEFC=180。，

JZBEA=ZEFC=NDCH=NDHC=ZBAE.

AD

He

F

图②

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及等角的补角

相等.熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.

【变式演练】

1.(2023•北京海淀•一模)如图，正方形48co中，点E,尸分别在5C,CD上，BE=CF,AE,2尸交于点G；

(2)在线段NG上截取MG=3G,连接。M,44G尸的角平分线交DM于点N.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段MV与ND的数量关系，并证明.

【答案】⑴90。⑵①见解析；②MN=ND

【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，合理作出辅助线.

(1)通过证明,得出NB4E=NCBF,根据+乙4班=90。，得出NC2B+N/EB=90。，即

可解答；

(2)①根据题意补全图形即可;②过点/作交GN延长线于点连接先证明AA4G均D4〃(SAS),

得出BG=DH,ZAHD=ZAGB=90。,则GM=DH,NDHN=NNGM=45：再证明AHVZ汪AGNM(AAS),即可得出

结论MN=ND.

【详解】（1）解：,・•四边形45co为正方形,

AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

在△/BE和△5CF中，

AB=BC

<AABE=ZBCF,

BE=CF

；."BE知BCF(SAS),

・•・/BAE=ZCBF,

ZBAE+ZAEB=90°,

ZCBF+/AEB=90°,

/BGE=90°,

・・・ZAGF=90°,

故答案为：90°.

(2)解：①根据题意补全图形如图所示:

②证明：过点4作交GN延长线于点兄连接

VZAGF=90°fGN平分N4G厂，

AAGN=-ZAGF=45°,

2

AHLAE,

：./GAH=90。，

ZAHG=ZAGH=45°,

JAG=AH,

・・•四边形/BQ?为正方形，

ZBAD=90°,AB=AD,

・.・/GAH=90。,

：./BAG=ADAH,

,:AG=AH,ZBAG=ADAH,AB=AD,

：.ABAGADAH(SAS),

：.BG=DH,ZAHD=ZAGB=90。,

•:BG=GM,ZAHG=45°,

GM=DH/DHN=ZNGM=45°,

・.・/DHN=/NGM,/DNH=/MNG,GM=DH,：.^HND^GNM(AAS),

：.MN=ND.

2.（2023•山东泰安•三模）已知如图1,尸为正方形/BCD的边上任意一点，BE_LAP于点、E,在ZP的延长线上

取点/，使EF=4E,连接NC5尸的平分线交,于点G.

(1)求证：BF=BC；

(2)求证：ABEG是等腰直角三角形；

(3)如图2,若正方形4BCD的边长为4,连接CF,当尸点为BC的中点时，求CF的长.

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

⑶粤

【分析】(1)利用线段的垂直平分线的性质以及正方形的性质即可证明；

(2)想办法证明/尸==由NEBG=NEBP+NPBG,NEGB=NF+NGBF,即可解决问题；

(3)等面积法求出5E,证明ACBG附AEBG(SAS)得到CG=bG,证明AEB尸名△GCP,即可推出CG=8E,

NCGP=NBEP=90°,由此即可解决问题.

【详解】(1)证明：QBELAF,AE=EF,

.1BE是线段"的垂直平分线，

AB=BF,

四边形/BCD是正方形，

AB=BC,

BF=BC.

(2)证明：••・四边形48cZ)是正方形，

NABC=90°,

:./ABE+/EBP=9G。，

QBELAF,

ZABE+NBAP=9。。,

/BAP=/EBP,

•・•AB=BF,

/BAP=/BFP,

/EBP=ABFP,

・//CBF的平分线交北于G,

/CBG=/FBG,

/EBP+ZCBG=ZBFP+ZFBG,

ZEBG=ZEGB,

又QBEtAF,

/.△BEG是等腰直角三角形.

(3)解：连接CG.

D

图2

・・•尸是中点，正方形的边长为4,

AB=4,BP=CP=2,

在中，AP=ylBP2+AB2=A/22+42=2A/5

•・•BELAP,

/.SAABP=；x2A/5xBE=；x4x2,

.RF-4出

5

•・•AB=BC,AB=BF,

:.BC=BF,

ZCBG=ZFBG,BG=BG,

.•.△CBG四△FBG(SAS),

:./BFP=/BCG,CG=FG,

由(2)可知NEBP=NBFP,:"EBP=/BCG,

ZEPB=ZCPG,...△£8尸也△GC尸(ASA),

CG=FG=BE=,/CGP=/BEP=90。，

5

/.ZCGF=90°,

:.CF=^CG2+FG2=^~.

故答案为：生叵.

5

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题.

3.(2022・湖南长沙•三模)如图，在A/3C和AOCS中，AB=DC,AC=DB,4c与DB交于点,M.

(1)求证：AABC为DCB；

(2)将ABMC关于BC所在直线翻折，得到ABNC,试判断四边形3NCM的形状，并证明你的结论；

⑶若/C平分/BCD,DM=1,BM=2,求8C的长.

【答案】(1)见解析

(2)四边形8NCM的形状为菱形；理由见解析

(3)8C=2百

【分析】(1)根据SSS直接证明△/8C丝△/)(加；

(2)根据LABCdDCB,可得ZACB=ZDBC,进而可得BM=CM,根据翻折的性质可得：BM=BN,CM=CN,

即可得出结论；

(3)连接九W交BC于点O,过点M作MH,CD交CD的延长线于点利用面积法证明3c=2CD,再利用全等三

角形的性质证明NCDM=90。，OM=DM=\,再利用勾股定理求出03即可.

【详解】(1)证明：如图，在AABC和△DC8中，

AB=DC

■：<AC=DB,

BC=CB

:.AABC^Z\DCB(SSS)；

(2)四边形8NCM的形状为菱形；理由如下：

:"BC均DCB,

NACB=ZDBC,

BM=CM,

根据翻折的性质可得：BM=BN,CM=CN

:.BM=BN=CN=CM,

...四边形的VCW为菱形

(3)如图，连接KN交8C于点。，过点M作交CD的延长线于点H.

•••四边形8NCM是菱形，

:.MN1CB,

•.•ZC平分N3CD,MHLCD,

;.MO=MH,

<-CDxMH]

••1\------------=——=-,BC=2CD,

BM2

S-CBM-CBxMO

2

vOB=OC,CO=CD,

■：AMCO=ZMCD,CM=CM,:.^MCO^MCD(SAS),

:.ZMOC=ZCDM=90°,即点。，点H重合，:.MO=MD=\,

OB=^BM1-MO2=V22-l2=V3，

BC=2拒.

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的

关键是学会利用面积法解决问题.

题型02四边形与相似

【解题策略】

【典例分析】

例.(2023•内蒙古・中考真题)已知正方形/BCD,E是对角线NC上一点.

(1)如图1,连接BE,DE.求证：LABE三AADE；

⑵如图2,尸是延长线上一点，DF交4B于点、G,BF1BE.判断△E3G的形状并说明理由；

AT

⑶在第(2)题的条件下，BE=BF=2.求-工的值.

AB

【答案】(1)见解析

(2)△用G是等腰三角形，理由见解析

(3)血-1

【分析】(1)利用正方形的性质得出=ZBAE=ZDAE=45°,进而即可得到“的三AM)E(SAS)；

(2)先判断出N4GD=/FG3,进而判断出NFGB=NFSG,即可得到结论；

(3)先求出尸G的长，可证明AFBE是等腰直角三角形.从而得到EF的长,再利用NBEF=ZBAE=45°,ZABE=NEBG,

AFFG

可证得AIBE-ZXEBG,进而得到不=受，从而可得到答案.

ABBE

【详解】(1)解：,・•四边形力85是正方形，4C是对角线，

AB=AD,/BAE=ZDAE=45°,

在和VADE中

AB=AD

</BAE=/DAE

AE=AE

：.ADE(SAS).

(2)解：△用G是等腰三角形，理由如下:

・・•4ABE=LADE,

J/ABE=ZADE,

・・•四边形48CD是正方形，

・•・NDAG=90。,

・•・ZADE+ZAGD=90°,

*.•ZAGD=ZFGB,

JZADE+ZFGB=90°f

'：FBLBE9

：.ZEBF=90°,

：./ABE+/FBG=90。,

：.ZFGB=ZFBG,

BF=FG,

JAFBG是等腰三角形.

(3)解：,:BE=BF=2,BF=FG,

BE=BF=FG=2,

又,：FB1BE,

...AFBE是等腰直角三角形.

AZBEF=ZBAE=45°,BF?+BE。=EF?，

，£产=22+22=8，

EF=20，

GE=241-2，

,：NBEF=NBAE=45°，ZABE=NEBG，

AABE~4EBG，

.AEEG

"AB~BE

•AEEF—FG2血-2

=V2—1.

"AB~~BE~-2~

【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形，等腰三角形以及相似三角形，熟练掌握等

腰三角形以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【变式演练】

1.(22-23浙江•模拟预测)在AABC中，D,E分别是NB,/C的中点，延长至点R使得DF=DE,连接3F.

(1)求证：四边形3CEb是平行四边形.

(2)2G，CE于点G,连接CF,若G是CE的中点，CF=6,tan/3CG=3,

①求CG的长.

②求平行四边形BCEF的周长.

【答案】⑴见解析；（2）①&；②4石+4行.

【分析】（1）根据三角形中位线定理证明即〃BC,跖=3。，进而可以解决问题；

（2）①设8G与FC交于点“，设EG=CG=x,则EB=EC=2x,证明,^―=-=—=-,所

CGHCGH1

以万9=4,HC=2,由tan/8CG=gg=3,得8G=3CG=3x；证明AGHC是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出

X的值，进而可以解决问题；

②利用①中的结论，求出昉、BG,再利用勾股定理求出BC,最后利用平行四边形的性质即可得出答案.

【详解】（1）证明：..㈤，E分别是/B,/C的中点，

DE//BC,DE=-BC,

2

DF=DE=-EF,

2

EF//BC,EF=BC,

...四边形BCEF是平行四边形；

（2）解：①设8G与尸C交于点H,

是CE的中点，

EC=2EG=2CG,

V四边形8CE尸是平行四边形,

:,FB=EC,EF=BC,FB//EC,

设EG=CG=x,则必=£C=2x,

,.・FB//EC,

ZFBH=ZCGH,£BFH=BGCH

：.AFBHSKGH,

.FB_FH_BH_2

*'CG-HC-GH-T，

,?FH+HC=CF=6,

:・FH=4,HC=2,

•.・tan/5CG=—=3,

CG

：.BG=3CG=3x,

BH=2GH,BG=BH+GH,

BH—2x,GH=x,

JGH=CG=x,

BGLCE,

/.AG〃C是等腰直角三角形，

HC=2,

；•GH=CG=x=—HC=也，

2

②由①知，EG=CG=x=g，

:•BG=3x=3叵，FB=EC=2X=26

在RtvBCG中，根据勾股定理得：

BC=^BG2+CG2=小行『+（逝）2=2#

平行四边形BCEF的周长=2(8C+必)=2(275+272)=475+472.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判

定与性质，解决本题的关键是得到AFBHSACGH.

2.(2024•陕西西安・模拟预测)如图，在矩形/8CD中，点E在5C上，S.ZAED=ZDEC,延长8C至点R使CF=8E,

连接的，交DE、DC分别于M、N.

(1)求证：四边形NEED为菱形；

(2)若3£:EC=4:1且〃N=2,求/W的长度.

【答案】(1)见解析(2)2加

【分析】(1)先证明四边形/EED是平行四边形，再证明=即可由菱形的判定得出结论；

(2)设EC=k,则BE=4左，AD=BC=5k,再由菱形的性质得/E=4D=54，然后根据勾股定理求得CD=NB=3万,

由勾股定理，得DE=Mk,最后证明△DAWsaocE,得空=咚,即黑=3，即可求解.

DECE712k左

【详解】(1)证明：・・,矩形/5CZ),

AAD=BC,AB=CD,AD//BC,

・•・AD〃EF,

°：BE=CF,BC=BE+EC,EF=EC+CF,

BC=EF,

：.AD=EF,

・・・四边形/EQ是平行四边形，

,：AD//EF,

：.ZADE=/DEC,

ZAED=/DEC,

：.ZADE=ZAED,

AE=AD,

・•・四边形4£五。是菱形.

(2)解：•：BE:EC=4:1f

，设EC=k,则5£=4左，AD=BC=5k,

・・,四边形4瓦切是菱形，

・•・AE=AD=5k,

・・•矩形力灰刀，

JZBCD=ZB=90°f

由勾股定理，得AB7AE2-BE?=3k，

：.CD=AB=3k,

由勾股定理，得DE=NEC?+CD?=5k，

・・•四边形4£户。是菱形，

JAF1DE,

：.ZDMN=90°9

：.ZDMN=ZECD,

•.*ZMDN=ZCDE,

・•・ADMNS/\DCE,

,DN_MN

••而一花‘

・DN_2

一历「工’

：.DN=2而.

【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质.（1）

证明四边形/EFD是平行四边形，（2）证明是解题的关键.

3.（2022•湖北武汉•模拟预测）【基础巩固】（1）如图1,四边形48co中，NBAC=NACD,ZB=ZD,求证：四

边形/BCD是平行四边形.

【灵活运用】（2）如图2,YABCD中，点、E,尸分别在边NB,上，ZEDF=ABAC,EF〃AC,E尸的延长线交

DC的延长线于点G,若所=3,DE=4,求/C的长.

【拓展提高】（3）如图3,矩形/BCD中，48=2,8C=4,点£,歹分别在边NB,BC上，tanNEDF=2,EF〃AC,

求/E的长度.

【答案】（1）见解析；（2）/C=§；（3）/E的长度为亚-5

【分析】（1）易得ABHCD,再证明△/BC0△CD4（AAS）,得4B=CD,即可作答；

（2）易得四边形/EGC是平行四边形，再证明AE。下SA£G。，得EG=0"=电，即可作答；

EF3

（3）如图，延长EF,DC相交于点P,易得四边形/£尸。是平行四边形，然后在中，AB=2,BC=4,得

tanZBAC=—=2结合tan/ED尸=2,所以NEDF=/BAC=NP,证明尸则DE2=EF・EP，根据勾

ABf

股定理，即可作答.

【详解】（1）证明：VABAC=AACD,

/.ABHCD.

在AABC和AC。/中，NBAC=NACD,NB=ZD,AC=CA,

：.AABC^ACDA（AAS）

：.AB=CD,

：.四边形N3CD是平行四边形.

(2)解：,・•四边形45co是平行四边形，

JAE//CG.

・・•EF//AC,

・•・四边形AEGC是平行四边形，

：・/BAC=ZG,EG=AC.

•：ZEDF=/BAC,:./EDF=/G.

DEEF

.ZDEF=AGED,：,AEDFS^EGD,：.——二——，

EGDE

(3)如图，延长E尸，。。相交于点尸,

・・,四边形45s是矩形，

・•・AB//CD,/BAD=/ABC=/BCD=90°.

VEF//AC,・•・四边形尸C是平行四边形，:・/BAC=/P,EP=AC,AE=CP.

在Rt△力中，AB=2,BC=4,：.tanABAC=—=2.

AB

・.,tan/£Q尸=2,AZEDF=ABAC=ZP.

DEEF

**ZDEF=ZPED,：.AEDFS^EPD,——-——,「・f)E2—EF-EP-

EPDE

•.•tanNP=41=2,...设CP=尤，则尸C=2x,FP=&.

•：AC=LB2+BC?=26，:.DE'=EF-EP=2垂义［1垂-垂x)=2Q-\Qx.

:在RtZUED中，DE2=AD2+AE2=16+X2,，16+/=20-lOx,

Z.%）=V29-5,x2=-V29-5<0（舍去），:•x=标-5,

/E的长度为a-5.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形以及勾股定理等

知识内容，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

4.（2022•安徽•模拟预测）如图1,E是正方形/8CD的边3c上一个动点，连接。的平分线EW交。C于点”,

直线MNLDE于点、N,交AB于点G,交8C的延长线于点尸，连接EG,CN.

⑴求证：FN=AB.

（2）如图2,若NC〃GE,连接3N并延长，交CD于点尸.

①求证：BE=CE；

②求注的值.

【答案】（1）见解析（2）①见解析；②由二1

2

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定

与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键，（1）根据正方形的性质和角平分线的性质可得△/冲丝△EMC和

ADEC四八/即即可求证网=48；（2）①利用（1）的结论和NC〃GE,可证明△GSV四AGES进而得证；②延

长CN交/。于点0.利用①的结论和ZPBC+NBPC=90°可得ZPBC=NPCN=4BNE进而证明ABCP公△CDQ,

△ECNs&DQN和ADNPsADCN,从而得出。N?=尸，设CD=l,CP=x,根据等量关系建立方程即可求解.

【详解】（1）（1）如图1,,••四边形A8C。是正方形.

VMN±DE,ZENF=ZDCE=90°.

EM平分/DEC,:.ADEM=/CEM,

•・・EM=EM,丛EMN”丛EMC,：.EN=CE,

又•；/DEC=NFEN,

ADEC^AFEN,；.CD=FN,FN=AB.

(2)解：由(1)知EN=CE,："ENC=/ECN.

•・•NC//GE,:./GEN=4ENC/GEB=ZECN,,AGEN=ZGEB.

ZABE=ZGNE=90°,GE=GE,:.AGEN会AGEB,

：.BE=EN,：.BE=CE.

②延长CN交/。于点。，

由①知5£=EN=CE,

/.ZEBN=/BNE/ENC=ZECN,

ZBNC=NBNE+ZENC=90°,

ZPCN+Z.BPC=90°.

•・•ZPBC+ZBPC=90°f

/.ZPBC=ZPCN=NBNE.

又・・•/BCD=ZCDA=90°,BC=CD,

/.ABCP^ACDQ,：.CP=DQ,

•・.AD//BC,

DNEN

/.AECNs4DQN,—=1,/.DN=DQ=CP.

•・•ZPCN=ZBNE,ZDNP=/BNE,

ZDNP=ZPCN,ADNPsADCN,DN2^CD-DP.

DPDN

设CD=l,B=x,即/=i一x,解得不（舍去），.CP=^hl.

222CD2

题型03四边形边角计算

【解题策略】

勾股定理常见折叠模型:

【典例分析】

例1.（2023•湖南•中考真题）如图，在Y/BCD中，D尸平分N4DC,交BC于点、E,交48的延长线于点足

AD

(1)求证：AD=AF；

(2)若/。=6,AB=3,ZA=120°,求3月的长和厂的面积.

【答案】(1)见解析(2)3/=3；厂的面积为9百

【分析】(1)根据平行线的性质得到/CDE=N尸，根据角平分线的定义得到乙=求得“=N4DF,根

据等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF；

(2)根据线段的和差得到加'="-/3=3；过。作尸交E4的延长线于乜根据直角三角形的性质得到

47=；㈤=3,根据三角形的面积公式即可得到才的面积.

【详解】(1)证明：在Y48C。中，AB//CD,：.ZCDE=ZF,

,：DF平分ZADC,；.AADE=Z.CDE,：.NF=ZADF,AD=AF.

(2)解：•：4D=4F=6,AB=3,:.BF=AF-AB=3；

过D作。H_L4F交E4的延长线于H,

VZBAD=nO°,：.ADAH=60°,/.AADH=30°,

AH=^-AD=3,:.DH=J/〃2_/〃2=3m,△/。尸的面积=(/尸.=(x6x30=9百.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助

线是解题的关键.

例2.(2023・湖北•中考真题)如图，将边长为3的正方形48co沿直线E尸折叠，使点3的对应点M落在边上(点

M不与点4。重合)，点C落在点N处，MN与CD交于■点、P,折痕分别与边AS,CD交于点E,尸，连接3M.

⑴求证：AAMB^ZBMP-

(2)若。P=l,求MD的长.

12

【答案】(1)证明见解析(2)30=不

【分析】(1)由折叠和正方形的性质得到N£MP=NE3C=90。，EM=EB,则NEMS=NE2N,进而证明

NBMP=ZMBC,再由平行线的性质证明ZAMB=AMBC即可证明ZAMB=ZBMP；

(2)如图，延长MV,3C交于点。.证明△DMPsaco尸得到。C=2MD,QP=2MP,

设MD=x,则0c=2x,BQ=3+2x.由NBA①=得到=80=3+2x.则加？=：苗。=之『.由勾股

定理建立方程/+/=］主手；，解方程即可得到MD*.

【详解】(1)证明：由翻折和正方形的性质可得，ZEMP=ZEBC=90°,EM=EB.

：.AEMB=NEBM.

：.ZEMP-NEMB=NEBC-NEBM,即/BMP=4MBe,

:四边形43CD是正方形，

AD//BC.

：.ZAMB=NMBC.

ZAMB=ZBMP.

(2)解：如图，延长儿W,BC交于点。.

VAD//BC,：.ADMPsACQP.

又,：DP=1,正方形/BCD边长为3,

・「p_7・—MD=—MP=—DP二—1

**99QCQPCP2'

AQC=2MDfQP=2MP,

^MD=x,则。。=2x,/.BQ=3+2x.

・；/BMP=/MBC,IPZBMQ=ZMBQ,

:.MQ=BQ=3+2x.：.MP=^MQ^^^.

在RADMP中，MD2+DP2=MP2，

x2+P=f2±^Y.得：x1=0（舍）,x2=y.

【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等,

正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

【变式演练】

1.（2024・贵州贵阳•模拟预测）如图，在矩形/BCD中，AB<BC,将矩形沿EF折叠，使点。与点A重合.

⑴若ZBAF=20。,求NG/E的度数；

（2）求证：AAGE/AABF；

（3）若48=6cm,BC=8cm,求3尸的长.

7

【答案】（1）20。；（2）证明见解析；（3）8尸=）.

【分析】（1）根据矩形和翻折的性质即可解决问题；

（2）根据矩形和翻折的性质可得/G=/B=90。，AG=AB,即可解决问题；

（3）设BF=xcm,则CF=8C-B尸=（8-x）cm,根据勾股定理列出方程求解即可；

本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定

理列方程是解题的关键.

【详解】（1）解：：四边形疝?。。是矩形，

ZBAD=ZC=ZD=90°,

由翻折可知：ZFAG=ZC=90°,

：.ZGAE=90°-NEAF=NBAF=20°,

/G4E度数为20。；

（2）证明：•.•四边形/8CD是矩形，

AZBAD=ZC=ZD=90°,AB=CD

由翻折可知：NG=ND=90。，AG=CD,

/G=4=90。，AG=AB,

在A/GE和尸中，

NG=4=90。

<AG=AB,:.AAGE知ABF（ASA）；

NGAE=NBAF

(3)解：设5F=xcm,则C尸=8C-5F=(8-x)cm,

■:沿EF翻折后点C与点A重合，

/.AF=CF=（8-x）cm,

,77

在RM4B尸中，由勾股定理得4笈+8/产，即62+x2=（8-x）,解得尤=:，，3尸=：.

2.（2023•广东广州•一模）如图，在菱形N8CL1中，对角线ZC,8。相交于点O.

（1）尺规作图：过点。作的垂线，垂足为E;（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若/C=4,BD=2,求cos/BCE的值.

4

【答案】⑴见解析⑵二

【分析】（1）以点C为圆心，大于C到NB的距离为半径，画弧交NB的延长线于两点，再分别以这两点为圆心，大于

两点距离的一半为半径画弧，相交于一点，连接该点与点C所在的直线，交延长线于点E即可；

（2）根据已知条件及菱形的对角线互相垂直平分性质，得到04OB的值，再利用勾股定理求得AB=^O^+OB1=6，

再利用等角的正弦值相等5吊/以。=包=且=\"，即可求出CE的值，由菱形的四边相等可得3c的值，然后根据

AB5AC

余弦公式求解即可.

【详解】（1）解：如图，CE为所作;

（2）解：・••四边形/BCD为菱形，AC=4,BD=2,

11

OA=OC=—AC=2,OB=OD=—BD=1,AB±BD,AB二BC,

22

在RtACMB中，AB^OA2+OB?=B

sin4/0=竺J5__CE_

AB~T~AC

:.CE=AC-sinZBAO=迪

5

BC=AB=5

CE4

cos/BCE=-尸5

BC旧5

【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握垂线的尺规作图法，“菱形的对角线互

相垂直平分且平分每一组对角”等菱形的性质，锐角三角函数公式是解本题关键.

3.(2023•广东深圳•一模)综合与探究

在矩形48CD的CD边上取一点E,将沿翻折，使点C恰好落在边上的点尸处.

(1)如图①，若BC=2BA,求/C8E的度数;

(2)如图②，当/3=5,且/户也=10时，求昉的长；

(3)如图③，延长斯，与NA8尸的角平分线交于点M,BM交AD于点、N,当NF=/N+FD时，请直接写出力的值.

3

【答案】(l)/CBE=15o(2)EF=3(3)y

【分析】(1)由折叠的性质可推出B尸=2/8,再由含30。的直角三角形的特征即可求解;

(2)证即可求解;

NGFGMF1

(3)过点N作NG_L5/于点G,证△NFGs\BE4可得——=——=——=一，设ZN=,设尸G=y,由

/ABFABF2

AB2+AF2=BF2即可求解.

【详解】(1)解：,・•四边形45CZ?是矩形，

・•・ZC=90°,

,/将ABCE沿BE翻折，使点。恰好落在4。边上的点尸处

:.BC=BF,/FBE=/EBC,/C=/BFE=90。,

BC=2AB,

：.BF=2AB,

ZAFB=30°,

・・•四边形48C。是矩形，

AD//BC,

：./AFB=/CBF=3G0,

：./CBE=；/FBC=15。；

(2)解：•・•将△△五沿翻折，使点。恰好落在4。边上的点尸处

AZBFE=ZC=90°,CE=EF,

又・・,矩形中，44=/。=90。，

ZAFB+ZDFE=90°,ZDEF+ZDFE=90°,

/AFB=/DEF,

/\FABs/^EDF,

.AF_AB

…法―BF'

AFDF=ABDE,

VAFDF=10,4B=5,

DE=2,

：.CE=DC—DE=5—2=3,

：.EF=3；

（3）解：过点N作方于点G,

•：NF=AN+FD,：.NF=AD=；BC,

■:BC=BF,：.NF=BF,

■:/NFG=4FB,ZNGF=ZBAF=90°,

：.4NFGs^BFA,

.NGFGMF

••万—77一/-2'

设ZN=x,•:BN平分/ABF,AN1AB,NG1BF,

AN=NG=x,AB=BG=2x,

设下G=y,则Zb=2y,

AB1+AF2=BF2，（2X）2+（2J）2=（2X+J）2,解得y=gx.

.410.3

.,*BF-BG+GF—2xH—x=—x.BCBF10——.

33丁5

【点睛】本题以矩形中的折叠问题为背景，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等.熟记相关数学结论是解题

关键.

中考练场

1.（2023・山东・中考真题）（1）如图1,在矩形48co中，点E,尸分别在边。C,BC上，AELDF,垂足为点G.求

证：AADEsADCF.

图1图2图3

【问题解决】

（2）如图2,在正方形48co中，点£,尸分别在边。C,BC上，NE=。尸，延长8c到点"，使CH,连接.求

证：ZADF=ZH.

【类比迁移】

（3）如图3,在菱形48co中，点E,厂分别在边。C,8C上，AE=DF=ll,DE=8,N4ED=60°,求CF的长.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）3

【分析】（1）由矩形的性质可得/ADE=/OCF=90。，则NC£＞尸+厂C=90。，再由/E_L£＞尸，可得/DGE=90。，

则ZCDF+ZAED=90°,根据等角的余角相等得ZAED=ZDFC,即可得证；

（2）利用“HL"证明"DE丝ADCF,可得DE=CF,由C〃=DE,可得CF=C",利用“SAS”证明ADC户包。CH,

则=尸C,由正方形的性质可得根据平行线的性质，即可得证；

（3）延长