2025年中考数学热点题型专项训练：三角形压轴题综合（解析版）

专题10三角形压轴题综合

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01三角形与旋转变换.............................................................................1

题型02三角形与平移变换............................................................................14

题型03三角形与翻折变换............................................................................18

题型04三角形类比探究问题..........................................................................36

中考练场............................................................................................50

热点题型归纳

题型01三角形与旋转变换

【解题策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转性质、平行线的判定和性质，解题的关

键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.(2023・四川・中考真题)如图1,已知线段48,AC,线段AC绕点A在直线42上方旋转，连接BC,以3c为边在

2c上方作RtBDC,且/DBC=30。.

(1)若/&)C=90。，以42为边在AB上方作且NAEB=90。，NEBA=30。，连接DE,用等式表示线段AC与

DE的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若DEJ.AB,AB=4,AC=2,求BC的长;

(3)如图3,若NBCD=9。。,AB=4,AC=2,当AO的值最大时，求此时tan/CBA的值.

【答案】(l)AC=g同E

(2)BC=2A/7

⑶*

【分析】(1)在RtBDC中,ZDBC^30°,RtABAE,且NA£B=90。，ZEBA=30°,可得VABEsvCRD,根据相

似三角形的性质得出要=黑，ZDBE^ZCBA,进而证明△ABCS4£B£),根据相似三角形的性质即可求解；

BCBD

(2)延长DE交于点F,如图所示，在RtAEF中,求得EF,AF,进而求得BF的长，根据(1)的结论，得出DE=石，

在RtBFD中,勾股定理求得进而根据△ABCsa£BD,即可求解.

(3)如图所示，以AB为边在上方作Rt"L4E,且NE4B=90。，ZEBA=30°,连接BE,EA,ED,EC,同(1)

可得BDEsBCA,进而得出。在以E为圆心，递为半径的圆上运动，当点三点共线时，AD的值最大，进

3

而求得cos/BD4=m,sinZBDA=—,根据△ABCSAE&J得出/BDE=NBC4,过点A作AP13C,于点产，

77

分别求得ARC尸，然后求得跳最后根据正切的定义即可求解.

【详解】(1)解：在Rt3DC中，ZDBC=30°,RtABAE,且NAEB=90。，ZEBA=30°,

：.NABE<^NCBD,ADBE+ZEBC=ZABC+ZEBC,BE=ABxcosZABE=—AB

2

.AB

—,ZDBE=NCBA,

"BCBD

：.AABCsAEBD

ACABAB2y/3

-,■~DE~~BE~73

—AB

2

AC=^6DE,

3

故答案为：AC=^DE.

(2),?RtABAE,且ZAEB=90。，ZEBA=30°,AB=4

AAE=AB-sinZEBA=-AB=2,ZBAE=60°,

2

延长OE交A3于点尸，如图所示，

,/DELAB,

：.ZBFD=/DFA=90。,

.•.在RtAE尸中，EF=AExsinZBAE=—x2=y/3,AF=^-AE=1,

22

：.BF=AB-AF=4-1=3,

由(1)可得AC=g®E,

/.DE=—AC=^3,

2

DF=DE+EF=7,y[3,

在RtBED中，BD=《BF?+DF。=炉+(2@?=0T,

"：八ABCs八EBD,

•BCAC2A/3

•,诟一而一亍’

/.BC=^^x厉=25,

3

/.BC=2币；

(3)解：如图所示，以为边在A3上方作且NE4B=90。，ZEBA=30°,连接BE,EA,ED,EC,

则匹=些=也，

ACBC3

VAC=2,则。£=迪，

3

在RtAE3中，AB=4,AE=ABxtanZEBA=4x^=,

33

二。在以E为圆心，逑为半径的圆上运动，

3

当点4ED三点共线时，AQ的值最大，此时如图所示，则AO=AE+OE=更,

3

D

BA

在RtAABD中，BD=^AB2+AD2=J42+j4V21

8^3

4_V21

..AD3247sinZBDA=一

..cosZ/BDDnA=——=—7==-----,BD~4721~7，

BD4后7

3

3

△AB8△石go,

・•・ZBDE=/BCA,

过点A作A尸于点产，

CF=ACxcosZACB=2x^-=^~,AF=ACxsinZACB=

777

ZDBC=30°,

•百RC64A/^TE

・・BC=——BD=——x-------=2,7,

223

•RQurrroR4币］（）近

••BF=BC-CF=2«7------=--------,

77

2721

AF7g

Rt.AFB^,tanZCBA^—=^=T

7

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最

值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

【变式演练】

1.（2023・贵州贵阳・二模）在ABC中，ZC4B=90°,在VADE中，ZEAD=90°,已知RtAABC和Rt^ADE有公共

顶点4连接和CE.

备用图

⑴如图①，若AB=AC,AD=AE,当11ABe绕点A旋转i（0°</<360。），8D和CE的数量关系是,位置关系

是.

⑵如图②，若A。:AE=4;=1:有，当Rt^ABC绕点A旋转a（0°<£<360。），（1）中80和CE的数量关系与位

置关系是否依然成立，判断并说明理由；

(3)在(2)的条件下，若AD=2百，AB<,在旋转过程中，当C,B,。三点共线时，请直接写出CE的长度.

【答案】⑴BD=CE,BDLCE

⑵CE=6BD,CELBD,理由见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识：

(1)根据SAS证明BAD2_CAE得BD=CE,再证明NtMD=NEHO=90。，可得3D_1.CE；

(2)延长交CE于"，与AE交于。，证明BADsC4E可得结论；

(3)分两种情况讨论：运用相似三角形的性质求出AC,AE,由勾股定理求出DE,在Rt^ECD中，运用勾股定理

求出80,从而可求出CE.

【详解】(1)证明：如图，延长DB交CE于H,与AE■交于O

；VAZ）E和ABC是等腰直角三角形，

AB^AC,AD=AE,

又ZCAE+NEAB=ZDAB+NEAB=90°,

ZBAD=ZCAE,

：.^BAD^CAE（SAS）,

:.BD=CE,ZBDA=ZCEA,

'：ZDOA=ZHOE,

/.ZOAD=ZEHO=90°,

/.CE±BD,

故答案为：BD=CE,BD1CE；

(2)解：CE=履口,CEA.BD,理由如下:

延长OB交CE于H,与AE交于。,

E

D

ADAB1

AE-AC_73?ZBAD=ZCAE,

；.BADsCAE,

BD1

耳，ZADB=ZAEC,

CE

：.CE=6BD,

NBOA=NEOH,

：.ZOAD=ZEHO=90°,

：.BD±CE

综上CE=y[3BD

(3)解：①如图:

E

BDABAD

由（2）知,A4Z）sCAE,的7,且BDJ_CE,

C£-AC-A£

AB=5/3,

AC=3,

在Rt^ABC中，由勾股定理得5C=JAB?+3=25

AD=26

：.AE=6

在RtAAED中，由勾股定理得DE=^AEr+AD1=4G，

VC,B,。三点共线，且NECD=90°

，在RtAECD中，由勾股定理得DE2=CE2+CD2

即(可=(何+(

46BD+2国

・"叵衿

.3（V13-1）

••CE=.---------L

2

②如图:

E

,BDAB1「

由（2）知C4E,~^=~T^=~rf且BD_LCE，

CEAC73

•/AB=6

：.AC=3,

由勾股定理得3C=JAB2+AC2=26,

*.*AD=2百，

AE=6,

在RtzXAED中，DE=dAE?+ALP=4#），

,：C,B,。三点共线，且NEC»=90°,

二在RtAECD中，由勾股定理得DE1=CE2+CD2,

即（4可=（6町2+（BD-2扃，

.3叵捶，

2

.3V13+1

CE=A---u

2

综上，当C,B,。三点共线时，CE的长度为3（而T）或3（而+1）.

22

2.（2023・广西桂林•一模）在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置,

使,。所的顶点。与，ABC的顶点C重合，。所在绕点C的旋转过程中，边DE、£＞尸始终与jAfiC的边A8分别交

于M、N两点.

小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到C4=CB且NACB=90。，可将△£可绕点C顺时针旋转90。至-ACN'位置，连

结W,若能证明3N、分别等于的另两边则可以解决问题.

请帮小丽继续完成证明过程.

证明：将馍四绕点C顺时针旋转90。至aACM位置，连结MM；

(2)如图2,小昆另取一块与；ABC相同的三角板，放在，ABG位置，边CE与边AG相交于点X,连NH、NG.

①小昆猜想：NCNH=90。,请帮他给出证明；

②图2中始终与CN相等的线段有_；

③请探索AN、BN、AH之间的数量关系，并直接写出结论：

【答案】(1)见解析

(2)①见解析；②NG,NH；③AN-BN=&H

【分析】(1)①由“SAS”可证..CV加丝CM0,可得ACV'=M?V,根据直角三角形中运用勾股定理,2+4U=跖㈠，

即可得结论；

(2)①证明A,C,N,H四点共圆即可解题；

②证明，NBC四A®G,得到QV=NG,然后根据等角对等边得到C7V=NH即可得到结论

③连接CG,推导，HGCs’NBC,则可得到GH=V?BN，然后根据A3=0AG即可证明结论.

【详解】（1）由旋转可知：AN'=BN,CN'=CN,/CAN'=/B,/BCN=ZACN',

•；NECF=45。,NACB=90。，

/.ZACM+ZBCN=45°,

・•・ZACM+ZAOVr=45°,

即ZN'CM=ZNCM,

又•：CM=CM,

:,.CNMMCNM(^网,

・・・MN'=MN,

•.*ZCAM=ZB=45°,

：.ZNfAM=ZCANr+ZCAM=90°,

AM2+ANf2=MN,2,

又・：AN'=BN,MN'=MN,

AM2+BN2=MN2;

(2)①证明：°；/GAB=/MCN=45。,ZAMH=ZCMN,

：.ZAHC=ZANC,

・・・A,C,N,"四点共圆，

・•・ZCAH+ZCNH=180°,

ZC4H=90°,

JZCNH=90°；

②解：•・•四边形AC5G是正方形，

：・BC=BG,ZNBC=ZNBG=45°,

,:BN=BN,

・・..NBC咨qNBG(SAS),

:.CN=NG,

由①可知/CVH=90。，

又：NHCN=45°,

：.ZHCN=ZCHN=45°,

：.CN=NH.

故答案为：NH、NG；

③连接CG,

C(D)

'：ZHCF=ZBCG=45°,

：.ZBCN=NGCH,

又：/CBN=ZCGH=45°,

••JHGCs,NBC，：.——=——=A/2,/.GH=y/2BN，

BNnC

AB=s[2AG=yl2（AH+GH）=>/2AH+>/2GH,

AN+BN=y/2AH+2BN，AN-BN=>/2AH.

故答案为：AN-BN=^/2AH.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性

质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

3.（2023・吉林・一模）如图，ABC和VADE是有公共顶点的直角三角形，N54C=NZME=9O。，点尸为射线80,CE

的交点.

D

A

D

BCB

ffll图2备用图

(1)如图1,若ABC和VADE是等腰三角形，求证：ZABD=ZACE；

(2)如图2,若/4。片=/45。=30。，问：(1)中的结论是否成立？请说明理由.

(3)在(1)的条件下，A8=6,AD=4,若把VADE绕点A旋转，当㈤C=90。时，请直接写出尸8的长度.

【答案】(1)见解析(2)成立，见解析⑶小叵或迎叵

1313

【分析】(1)依据等腰三角形的性质得到AB=AC,AD=AE,依据同角的余角相等得到=,然后依据

SAS可证明"1)3之△AEC,最后，依据全等三角形的性质可得到NABD=NACE；

(2)先判断出△ADBS2XAEC,即可得出结论;

(3)分为点E在上和点E在43的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△尸石方^4/欧，最后依据相似三角形

的性质进行证明即可.

【详解】(1)解：ABC和VADE是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

,-.AB=AC=3,AD=AE=2,ZDAB^ZCAE.

ADBWAEC.:.ZABD^ZACE.

(2)(1)中结论成立，理由:

在RtZXABC中，ZABC=30°,AB=^>AC,

在RtAADE中，ZADE=30°,

lADAE

:WAE'••花=就

ABAC=ZDAE=90°,:.ZBAD=ZCAE,.NADB^NAEC.:.ZABD=ZACE■,

(3)①当点E在AB上时，BE=AB-AE=AB-AD=2.

D

NEAC=90°，,-.CE=JAE、AC2=V42+62=2713.

同（1）可证△ADB丝△AEC.:"DBA=NECA.

ZPEB=ZAEC,:ZEBsAAEC.

ACCE62V1313

②当点E在以延长线上时，BE=10.

NE4c=90°,屈.同（1）可证△ADB丝△AEC..•./D54=/EC4.

PBBEPB10・•・叫呼

ZBEP=ZCEA,.-.APEB^AAEC.

~AC~~CE'"6"2^/13,

综上所述，网的长为小叵或辿1.

1313

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，分类讨

论，属于压轴题.

题型02三角形与平移变换

【解题策略】

考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解

题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.

【典例分析】

例.(2023•四川攀枝花•中考真题)如图1,在ABC中，AB=3C=2AC=8,ABC沿方向向左平移得到△DCE,

A、C对应点分别是£＞、E.点厂是线段郎上的一个动点，连接"，将线段"绕点A逆时针旋转至线段AG,使得

ZBAD^ZFAG,连接FG.

⑴当点尸与点C重合时，求FG的长;

(2)如图2,连接3G、DF.在点产的运动过程中：

①BG和DF是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由;

②当BF的长为多少时，ABG能构成等腰三角形?

【答案】(1)2厉

(2)①止=BG；②8尸的长为14或11或8或0

【分析】(1)根据平移的性质可得四边形ABC。、四边形ACED是平行四边形，再由已知推导出A3是NC4G的平分

—JLrr

线，由等腰三角形的性质可得MLCG,过B点作交于H点，求出BH=2厉，再由疝4AC-2岳5，

84

所以CG=9G=2后;

(2)①证明AABG学△ADF(SAS),则DR=3G；

②过点A作AN，3c交于N,由等积法可得gx4x2岳=gx84V,求出AN=&?,分三种情况讨论：当AG=AB时,

AG=AF=8;当尸点与8点重合时，AF=8,此时族=0,当班'=23N时，AF=8,在RtaABN中，BN=1,可

得BF=14；当AG=BG时，DF=AF,过点尸作WW_LAD交于M,所以A〃=/W=4,能求出CN=1,CF=3,则

BF=11；当3A=3G时，DC=DF,当尸点在跖上时，CD=DF,此时C点与厂点重合，此时所=BC=8.

【详解】⑴解：当尸点与C点重合时，AF^AC,

由平移可知，CD=ABfCD//AB,

，四边形ABC。、四边形AC£D是平行四边形,

：.AD=BC,AD〃BC,

ZBAD=ZFAG,

:"DAF=NBAG,

AB=BC,

.\ZBAC=ZACB,

ZDAC=ZACB,

/.ZDAC=ZBAC=ZBAG,

.♦.AB是NC4G的平分线，

AC=AG,

/.AB±CG,

如图1,过3点作交于H点，

AB=BC=2AC=S,

:.AH=2,

BH=2A/15,

...sinABAC='

84

.\CG=FG=2y/15;

(2)解：①DF=BG,理由如下:

如图2,AG=AF,NDAF=NBAG,AB=AD,

...△ABG2AAD尸(SAS),

:.DF=BG-,

②如图2,过点A作AN,8c交于N,

图2

由①可知(x4x2A/T?=gx87W,

:.AN=y[15,

当AG=AB时，

AB=6C=8,

:.AG=8,

.AG=AF,

:.AF=8,

当尸点与3点重合时，AF=8,此时跖=0,

当8尸=23N时，A尸=8,在Rt^ABN中，新=病=15=7,

.\BF=14；

当AG=5G时，AF=BG,

.DF=BG,

:.DF=AF,

过点尸作成_LAD交于M,

.\AM=DM=4,

FM1.AD,ANIBC,

.\AM=FN=4,

BN=7,

:.CN=\,

:.CF=3,

当B4=5G时，

DF=BG,

:.AB=DF,

AB=CD=BC=ADf

:.DC=DF,

当尸点在班上时，CD=DF,此时。点与厂点重合，

：.BF=BC=8；

综上所述：M的长为14或n或8或0.

【点睛】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，等腰

三角形的性质，分类讨论是解题的关键.

【变式演练】

1.（2023•辽宁大连•模拟预测）如图，/1BC中，=AC=夜,NBAC=90。,OE经过点A,且DE_L3C,垂足为E,

ZDCE=60°.

D

（1）以点E为中心，逆时针旋转-CDE,使旋转后的C力Z'的边C'D'恰好经过点4求此时旋转角的大小;

⑵在（1）的情况下，将..C力Z‘沿BC向右平移设平移后的图形与二ABC重叠部分的面积为S,求S与f

的函数关系式，并直接写出f的取值范围.

【答案】（1）旋转角为30度或90度；

0</<

9A/3+I2

（2）当旋转角为30。时，S=＜

f-2/+1-<(<1

当旋转角为90。时，S=〈

【分析】（1）如图，先根据等腰直角三角形的性质、旋转的性质推知-AEC'是等边三角形，则NAEC'=60。，易求

AC'EC=30°-即旋转角为30。；或C点与A重合;

（2）需要分类讨论：当旋转角不是为90。时，分0＜三立和@＜仁1两种情况进行解答.①当0＜/立时.如图2,作

333

NN'工BC，垂足为M.设NN'=X，则N'C=X.由相似三角形..AMPS.CNE'的面积之比等于相似比的平方得到，

沁，则S=SMC+S研一SpE®-5^=；»-黑.+：・②当与々＜1时，如图3,作W3C，

垂足为「设M“=y，贝"浮.由―到-当旋转角为9。。时,分两种情形求

解即可.

【详解】（1）解：如图1,

D'

B

图1

AB=AC=-Ji,ABAC=90°,AE1BC,

:.AE=EC=1,ZB=ZC=45°.

由旋转过程知Ed=EC=AE,ND'c'E=60°，

AEC'是等边三角形，

ZAEC'=60°=90°-AC'EC-

:.ZC'EC=30°>即旋转角为30°；

。点与A重合，即旋转角为90度；

综上，旋转角为30。或90。；

(2)解：当旋转角是为30。时：

①当时.如图2,设£)‘E'、C'E'与AB、AC分别相交于点“、N,与AE相

交于点P.作MV'J_3C，垂足为N’.

图2

设NN'=x，则N'C=x，

由平移过程知NNE,C=30°，

:工N'=MNN'=®.

L1-f

由E'N'+N'C=E'C知，yJ3x+x=\-t,即工=石+].

ZAPM=ZEPE=90。-NPE'E=N7VEW,ZPAM=ZE'CN=45°，

AMPs.、CNE'，

：.s=sS-S-S=^M-^^t+^^-1X；(1T)XW=-?2-舒

AEc+AMPpEeCNEit"g.

②当且4<1时，如图3,设C'*与AC分别相交于点M、N,作垂

3

足为M'.

图3

设A/M'=y，贝1J"E'=gy.

MEr+E，C=M，C=M，M，

即/y+(i—)=y，则>=黑•

「•S=SME'C~SNE'C=:(1T)X^^一；(1T)X2^=(1="2Z+1-

当旋转角为90。时，如图4中，当0V/K石-1时，重叠部分是五边形，

\/6+A/2A/6—A/21/、22

S=SABC-SAMN—S，-------------1---------------1__(1-N=_/+/+

CKE222V7

如图5中，当6-14V1时,重叠部分是四边形MA的。,

图5

-r2+z+1(0<r<V3-l)

「-与4回）-如小与产+东所以,

s=s-s

MCD'.CNE"

综上所述，当旋转角不是为90。时,当旋转角为90。时

-z2+r+1（0<z<V3-l）

S=<

【点睛】本题考查了几何变换综合题.需要学生熟练掌握旋转和平移的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的

判定与性质，函数关系式是求法.解答（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解.

2.（2023・四川成都•一模）如图1,在.ASC中，AC=4,以43为底边作等腰.9，连接PC,作，尸CD,使得PC=PD,

^.ZCPD=ZAPB.

（1）如图2,若NAP3=60。，请按题意补全图形，并写出画图步骤;

⑵将线段CA沿CD的方向平移得到线段DE,连接BE,

①如图3,若NCPD=ZAPB=90°,求BE的长；

②若ZAPB=36。，直接写出BE的长.

【答案】（1）见解析

⑵①4点；②20-2

【分析】（1）根据题意，作等边△CPD即可；

（2）①连接8。，证明，CE4丝DPB（SAS）,得3D=AC=4,ZBDP=ZACP,由AC〃上，知NEDC+NACD=18O。,

可推得/ED8=90。，在RtZkBE。中，BE=ylBD2+DE2,即可得答案；

②连接3。，作/EfiD角平分线交切于凡证明,CR4四一DPB(SAS),得BD=AC=4,NBDP=ZACP,ffi]AC//DE,

BEEFx4-x

可推得ZEDB=36。，，EBFS'EDB，得——=——，设BE=x，则所=。"—。尸=DE-BE=4—x,歹!J出方程一=——,

DEBE4x

即得2E=2有-2.

【详解】(1)解：如图所示：

画图步骤：①连接PC,

②分别以尸、C为圆心，尸C长为半径画弧，两弧相交于点

③连接FD、CD-

(2)①连接3£),如图：

,?ZCPD=ZAPB=90°,

：.NCPA=NDPB,

又；PA=PB,PC=PD,

；.；.CPA空DPB(SAS)),

：.BD=AC=4,NBDP=ZACP,

AC//DE,

NEDC+ZACD=180°,

即ZEDB+ZBDP+ZPDC+ZACD=180°,

ZEDB+ZACP+ZPDC+ZACD=180°,即ZEDB+ZPDC+ZPCD=180°,

而ZPDC+ZPCD=90°,

NEDB=90。,

V将线段CA沿CD的方向平移得到线段DE,

DE=AC=4,

在RtZ\2E£>中，BE=NBD。+DE。=4立；

②连接BD，作NEBD角平分线交EO于凡如图：

,/ZCPD=ZAPB=36°,

：./CPA=NDPB,

XVPA=PB,PC=PD,

.•…CB4"DPB(SAS),

BD=AC=4,NBDP=ZACP,

,?AC//DE,

ZEDB+ABDC+APCD+ZACP=l80°,

ZEDB+ZBDC+ZPCD+ZBDP=180°,即ZEDB+ZPDC+Z.PCD=180°,

而ZPDC+NPCD=180°-NCPD=144°,

：.ZEDB=36°,

・・,将线段CA沿CD的方向平移得到线段DE,

DE=AC=BD=4,

Z.EBD=ABED=72°,

•：BF平分/EBD，

：.ZEBF=ZFBD=ZEDB=36°f

:,BF=DF,ZBFE=ZBED=M,

BE=BF=DF,

•：ZEBF=NEDB,NE=NE,

:.^EBFS_EDB,

,BE_EF

''~DE~~BE'

设=贝lj跖=。石一。9=O七-5£=4—%，

.x_4-x

••一=----，

4x

解得x=2百一2或x=—2逐一2（舍去），

：.BE=2y/5-2.

【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及旋转变换、三角形全等判定及性质、三角形相似判定及性质、等腰三角形性

质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题.

题型03三角形与翻折变换

【解题策略】

考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，

解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.

【典例分析】

例.（2023•湖北武汉•中考真题）问题提出：如图（1）,E是菱形ABCD边2C上一点，是等腰三角形，AE=EF,

/AEP=/ABC=（z（a290。）,AF交8于点G,探究/GC/与a的数量关系.

⑴(2)(3)

问题探究：

⑴先将问题特殊化，如图(2),当《=90。时，直接写出/GCR的大小；

(2)再探究一般情形，如图(1),求/GCP与a的数量关系.

问题拓展：

⑶将图(1)特殊化，如图(3),当夕=120。时，若尝==，求券的值.

CG2CE

【答案】(1)45。

3

(2)ZGCF=-a-90°

c、BE2

(3)=一

CE3

【分析】(1)延长5c过点尸作证明,.ABE1马即可得出结论.

(2)在上截取4V,使AN=EC,连接2VE,证明ZWE/ZXEB,通过边和角的关系即可证明.

3

(3)过点A作。的垂线交CD的延长线于点尸，设菱形的边长为3加，由(2)知，ZGCF=-a-90°=90°f通过相

似求出。方=述相，即可解出.

5

【详解】⑴延长3C过点尸作

ZBAE+ZAEB=90°,

NFEH+ZAEB=900,

・•・ZBAE=ZFEH,

在△£&!和一加E中

NABE=NEHF

<NBAE=NFEH

AE=EF

:,&ABE冬-EHF，

AB=EH,

BE=FH,

：.BC=EH,

：.BE=CH=FH,

：.?GCFIFCH45?.

故答案为：45°.

(2)解：在AB上截取⑷V,使AN=EC,连接2VE.

ZABC+ZBAE+ZAEB=ZAEF-bZFEC+ZAEB=180°,

ZABC=ZAEFf

:.ZEAN=ZFEC.

AE=EF,

:.LANEqAECF.

.\ZANE=ZECF.

AB=BC,

:.BN=BE

/EBN=a,

/.ZBNE=90°--a.

2

:.ZGCF=ZECF-ZBCD=ZANE-ZBCD

=|90o+1<z|-(180o-6r)=16Z-90o.

(3)解：过点A作8的垂线交8的延长线于点P,设菱形的边长为3根,

DG_1

~CG~29

\DG=m,CG=2m.

在RtADP中，

?ADC1ABC120?,

.\ZADP=6O°,

/.PD=—m,AP=—V3m.

22

3

a=120°,由(2)知，ZGCF=-a-90°=90°.

2

?AGP?FGC,

\APGsFCG.

APPG

,~CF~'CG，

CF2m

.f6K

..CF=-----m,

5

在AB上截取AN,使AN=EC,连接NE,作BOLNE于点O.

由（2）知，AAAE^AECF,

:・NE=CF,

•:AB=BC,

:・BN=BE,OE=EF=-EN=—m.

25

,?ZABC=120°,

：.ZBNE=ZBEN=30°f

OF

Vcos30?—,

BE

BE=—m,.

5

9

\CE=-m

5

.BE_2

'^CE~3,

P

【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似.

【变式演练】

1.（2024.安徽阜阳.一模）（1）如图1,在矩形ABCD中，AB=5,3c=4,点E为边BC上一点,沿直线将矩

形折叠，使点C落在AB边上的点C'处.求AC的长；

(2)如图2,展开后，将eDC'E沿线段向右平移，使点C'的对应点与点B重合，得到aDTJE，，DE与3c交于点

F,求线段所的长；

(3)在图1中，将DC'E绕点C'旋转至A,C,E三点共线时，请直接写出CD的长.

【答案】(1)3；(2)1；(3)病或石

【分析】(1)本题利用折叠和矩形的性质得出CD=CZ»=AB=5,AD=BC=4,再利用勾股定理即可解题;

(2)本题利用平移的性质证得，CDEs.ez/F,设EB长为无，利用勾股定理算出心推出CE,再利用相似三角形的

性质得到男=要，算出C/，从而求得石尸的长；

CD

(3)本题根据A,C',E三点共线，分以下两种情况讨论，①当E旋转到C'左侧时，②当E旋转到C'右侧时，根据

以上两种情况作辅助线构造直角三角形，利用旋转的性质、矩形的性质和判定、以及勾股定理进行分析求解，即可解

题.

【详解】(1)解：ABCD为矩形，AB=5,BC=4,

:.CD=C'D=AB=5,AD=BC=4,

AC=^C'D2-AD2=3；

(2)解：07晅为cOC'E平移后的图形，AC=3,AB=5,

C'B=DD'=AB-AC'=2,EfE,//DE,

:...CDEscCD'F，

设长为x,

CB2^EB2=CE2,CE=CE=BC-EB,

x2+22=（4—x）2

3

解得：％=j

35

,CE=4——

22

CDCF

~CD~~CECD'=CD—DD'=5—2=3,

3CF

55,

2

e|

:.EF=CE-CF=1-,

(3)解：将，。C'E绕点C'旋转至A,C',E三点共线,

分以下两种情况：

①当E旋转到C左侧时，如图所示：

作。WJ_C3,交CB的延长线于点

C

B

由（2）可知3C'=2,

由旋转性质可知，ZDCE=90°,

ZDC'B=90°,

ZCBC=90°,

：.Z.CBM=ZM=NDC'B=90°,

二四边形为矩形，

:.BM=DC'=5,DM=BC=2,

DC=^DM2+（BM+BC^=^22+92=屈,

②当E旋转到C'右侧时，如图所示：

作DN_L3C,交BC的延长线于点N,

由（2）可知3c'=2,由旋转性质可知，ZDC'E=9Q°,

ZCBC=90°,ZCBC=ZN=ZDC'E=90°,

四边形BNDC'为矩形，:.BN=DC=5,DN=BC'=2,

:.CN=BN-BC=5-4=l,

DC=^DN2+CN2=722+12=75•

【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质和判定、勾股定理、平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、

旋转的性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题.

2.（2023•陕西榆林•一模）【问题背景】

(1)如图1,在矩形ABCD中，BC=6,点E是BC上一点,连接4E,DE,若NA£B+NCED=90。，贝UAE?+DE?=

(2)如图2,在正方形ABQ)中，AB=8,点E在边C。上，将VADE沿AE翻折至△AFE,连接CP,求△CEF周长

的最小值；

图2

【问题解决】

(3)如图3,某植物园在一个足够大的空地上拟修建一块四边形花圃ABCD,点/是该花圃的一个入口，沿DM和CM

分别铺两条小路，且NDMC=135。，AD+BC=am,AM=60m,BM=80m.管理员计划沿CD边上种植一条绿化带

(宽度不计)，为使美观，要求绿化带的长度尽可能的长，那么管理员是否可以种植一条满足要求的长度最大的绿化

带8?若可以，求出满足要求的绿化带8的最大长度(用含。的式子表示)；若不可以，请说明理由.

图3

【答案】(1)36；(2)80;(3)管理员可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带8,绿化带8的最大长度为

(«+100)m

【分析】(1)利用矩形的性质和勾股定理进行求解即可；

(2)连接AC,根据翻折，得到。E=£F,AD=AF=CD,得到△声的周长

=CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=AF+CF,进而得到当AF+CF的值最小时，△€£产的周长最小，进行求

解即可；

(3)将AADM沿着DM翻折得到AEDM,将.BCM沿着CM翻折得到LFCM,连接EF,推出当DE、EF、FC三

条线段共线时，CD有最大值，进行求解即可.

【详解】解：(1)解：；在矩形ABCD中，BC=6,

：.AD=BC=6,

'：ZAEB+ZCED=90°,

AZAED=90°,

/.AE2+DE2=AD2=36；

故答案为：36.

(2)连接AC,如图1

YADE沿AE翻折至AAFE,

/./^ADE^AAFE,

:.AF=AD=CD,DE=EF，

?.飞斯的周长nCE+EF+CdCE+DE+CdCD+BnAF+B,

,?AF+CF^AC,

当点A、F、C三点共线时，AF+CF最小，即△€£厂的周长最小，止匕时AF+CF=AC,

AB=8C=8,

AC=^AB2+BC2=8叵，

/•△CEF的周长最小为80;

(3)管理员可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带8.

如图2,将△ADAf沿着DM翻折得到将沿着CM翻折得到△/CM,连接EF

:.DE=AD，CF=BC,AM=EM=60,FM=BM=80,/AMD=NDME,/CMB=/CMF,

：.DE+CF=AD+BC=a,

=135°,

NDME+NCMF=NAMD+NCMB=45°,

：.ZEMF=NDMC-1/DME+NCMF)=135°-45°=90°,

EF=y/EM2+FM2=100；

DE+EF+CF>CD,

.•.当DE、EF、FC三条线段共线时，8有最大值，it^CD=DE+FC+EF=a+100,

故管理员可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带CO,绿化带8的最大长度为(a+100)m.

【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理.本题的综合性强，属于常见的中考压轴题.熟

练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键.

题型04三角形类比探究问题

【解题策略】

考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定